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- 2021-11-11 发布
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2018年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题(本题共6小题,每小题3分,共18分.每小题给出的4个选项中,有且只有一个案是正确的)
1.(3.00分)﹣的相反数是( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
2.(3.00分)下列运算结果正确的是( )
A.3a3•2a2=6a6 B.(﹣2a)2=﹣4a2 C.tan45°= D.cos30°=
3.(3.00分)函数y=中自变量x的取值范围是( )
A.x≥﹣1且x≠1 B.x≥﹣1 C.x≠1 D.﹣1≤x<1
4.(3.00分)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD为( )
A.50° B.70° C.75° D.80°
5.(3.00分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=( )
A.2 B.3 C.4 D.2
6.(3.00分)当a≤x≤a+1时,函数y=x2﹣2x+1的最小值为1,则a的值为( )
A.﹣1 B.2 C.0或2 D.﹣1或2
二、填空题(本题共8小题,每题小3分,共24分
7.(3.00分)实数16800000用科学记数法表示为 .
8.(3.00分)因式分解:x3﹣9x= .
9.(3.00分)化简(﹣1)0+()﹣2﹣+= .
10.(3.00分)则a﹣=,则a2+值为 .
11.(3.00分)如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= .
12.(3.00分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根,则三角形的周长为 .
13.(3.00分)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计).
14.(3.00分)在﹣4、﹣2,1、2四个数中、随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a,b的值,则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为 .
三、解答题(本题共10题,满分78分(x-2)≤8
15.(5.00分)求满足不等式组的所有整数解.
16.(6.00分)在端午节来临之际,某商店订购了A型和B型两种粽子,A型粽子28元/千克,B型粽子24元/千克,若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克,购进两种粽子共用了2560元,求两种型号粽子各多少千克.
17.(8.00分)央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承﹣﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查.对收集的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图所提供的信息解答下列问题:
图中A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”、C表示“一般”,D表示“不喜欢”.
(1)被调查的总人数是 人,扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为 ;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校共有学生1800人,请根据上述调查结果,估计该校学生中A类有 人;
(4)在抽取的A类5人中,刚好有3个女生2个男生,从中随机抽取两个同学担任两角色,用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率.
18.(7.00分)如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,过B点的切线交OP于点C.
(1)求证:∠CBP=∠ADB.
(2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长.
19.(6.00分)如图,反比例函数y=(x>0)过点A(3,4),直线AC与x轴交于点C(6,0),过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.
(1)求k的值与B点的坐标;
(2)在平面内有点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形,试写出符合条件的所有D点的坐标.
20.(8.00分)如图,在▱ABCD中,分别以边BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接AF,AE.
(1)求证△ABF≌△EDA;
(2)延长AB与CF相交于G.若AF⊥AE,求证BF⊥BC.
21.(7.00分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上.
(1)求坡底C点到大楼距离AC的值;
(2)求斜坡CD的长度.
22.(8.00分)已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2﹣4x.
(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;
(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k=﹣2时,求△OAB的面积.
23.(9.00分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为:y=,每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
z
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
10
10
(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式;
(2)若月利润w(万元)=当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式;
(3)当x为何值时,月利润w有最大值,最大值为多少?
24.(14.00分)如图,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动,点N从A出发沿边AB﹣BC﹣CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动,过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P,交对角线OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动.
(1)当t=2时,求线段PQ的长;
(2)求t为何值时,点P与N重合;
(3)设△APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.
2018年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共6小题,每小题3分,共18分.每小题给出的4个选项中,有且只有一个案是正确的)
1.(3.00分)﹣的相反数是( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得一个数的相反数.
【解答】解:﹣的相反数是.
故选:C.
2.(3.00分)下列运算结果正确的是( )
A.3a3•2a2=6a6 B.(﹣2a)2=﹣4a2 C.tan45°= D.cos30°=
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、特殊角的三角函数值进行计算.
【解答】解:A、原式=6a5,故本选项错误;
B、原式=4a2,故本选项错误;
C、原式=1,故本选项错误;
D、原式=,故本选项正确.
故选:D.
3.(3.00分)函数y=中自变量x的取值范围是( )
A.x≥﹣1且x≠1 B.x≥﹣1 C.x≠1 D.﹣1≤x<1
【分析】根据分式的分母不为0;偶次根式被开方数大于或等于0;当一个式子中同时出现这两点时,应该是取让两个条件都满足的公共部分.
【解答】解:根据题意得到:,
解得x≥﹣1且x≠1,
故选:A.
4.(3.00分)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD为( )
A.50° B.70° C.75° D.80°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC,根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C,根据三角形内角和定理求出∠BAC,计算即可.
【解答】解:∵DE是AC的垂直平分线,
∴DA=DC,
∴∠DAC=∠C=25°,
∵∠B=60°,∠C=25°,
∴∠BAC=95°,
∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=70°,
故选:B.
5.(3.00分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=( )
A.2 B.3 C.4 D.2
【分析】
根据直角三角形的性质得出AE=CE=5,进而得出DE=3,利用勾股定理解答即可.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE为AB边上的中线,CE=5,
∴AE=CE=5,
∵AD=2,
∴DE=3,
∵CD为AB边上的高,
∴在Rt△CDE中,CD=,
故选:C.
6.(3.00分)当a≤x≤a+1时,函数y=x2﹣2x+1的最小值为1,则a的值为( )
A.﹣1 B.2 C.0或2 D.﹣1或2
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值,结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1,即可得出关于a的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:当y=1时,有x2﹣2x+1=1,
解得:x1=0,x2=2.
∵当a≤x≤a+1时,函数有最小值1,
∴a=2或a+1=0,
∴a=2或a=﹣1,
故选:D.
二、填空题(本题共8小题,每题小3分,共24分
7.(3.00分)实数16800000用科学记数法表示为 1.68×107 .
【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可.
【解答】解:16800000=1.68×107.
故答案为:1.68×107.
8.(3.00分)因式分解:x3﹣9x= x(x+3)(x﹣3) .
【分析】先提取公因式x,再利用平方差公式进行分解.
【解答】解:x3﹣9x,
=x(x2﹣9),
=x(x+3)(x﹣3).
9.(3.00分)化简(﹣1)0+()﹣2﹣+= ﹣1 .
【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案.
【解答】解:原式=1+4﹣3﹣3
=﹣1.
故答案为:﹣1.
10.(3.00分)则a﹣=,则a2+值为 8 .
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.
【解答】解:∵a﹣=
∴(a﹣)2=6
∴a2﹣2+=6
∴a2+=8
故答案为:8
11.(3.00分)如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= 2 .
【分析】连接BD.在Rt△ADB中,求出AB,再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题;
【解答】解:连接BD.
∵AB是直径,
∴∠C=∠D=90°,
∵∠CAB=60°,AD平分∠CAB,
∴∠DAB=30°,
∴AB=AD÷cos30°=4,
∴AC=AB•cos60°=2,
故答案为2.
12.(3.00分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根,则三角形的周长为 16 .
【分析】首先求出方程的根,再根据三角形三边关系定理,确定第三边的长,进而求其周长.
【解答】解:解方程x2﹣10x+21=0得x1=3、x2=7,
∵3<第三边的边长<9,
∴第三边的边长为7.
∴这个三角形的周长是3+6+7=16.
故答案为:16.
13.(3.00分)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 20 cm(杯壁厚度不计).
【分析】将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
【解答】解:如图:
将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′,
连接A′B,则A′B即为最短距离,A′B===20(cm).
故答案为20.
14.(3.00分)在﹣4、﹣2,1、2四个数中、随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a,b的值,则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为 .
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数,根据二次函数的性质,找出满足a>0,b<0的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:画树状图为:
共有12种等可能的结果数,满足a>0,b<0的结果数为4,但a=1,b=﹣2和a=2,b=﹣2时,抛物线不过第四象限,
所以满足该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的结果数为2,
所以该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率==.
故答案为.
三、解答题(本题共10题,满分78分(x-2)≤8
15.(5.00分)求满足不等式组的所有整数解.
【分析】先求出不等式组的解集,然后在解集中找出所有的整数即可.
【解答】解:解不等式x﹣3(x﹣2)≤8,得:x≥﹣1,
解不等式x﹣1<3﹣x,得:x<2,
则不等式组的解集为﹣1≤x<2,
所以不等式组的整数解为﹣1、0、1.
16.(6.00分)在端午节来临之际,某商店订购了A型和B型两种粽子,A型粽子28元/千克,B型粽子24元/千克,若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克,购进两种粽子共用了2560元,求两种型号粽子各多少千克.
【分析】订购了A型粽子x千克,B型粽子y千克.根据B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克,购进两种粽子共用了2560元列出方程组,求解即可.
【解答】解:设订购了A型粽子x千克,B型粽子y千克,
根据题意,得,
解得.
答:订购了A型粽子40千克,B型粽子60千克.
17.(8.00分)央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承﹣﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查.对收集的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图所提供的信息解答下列问题:
图中A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”、C表示“一般”,D表示“不喜欢”.
(1)被调查的总人数是 50 人,扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为 216° ;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校共有学生1800人,请根据上述调查结果,估计该校学生中A类有 180 人;
(4)在抽取的A类5人中,刚好有3个女生2个男生,从中随机抽取两个同学担任两角色,用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率.
【分析】(1)由A类别人数及其所占百分比可得总人数,用360°乘以C部分人数所占比例可得;
(2)总人数减去其他类别人数求得B的人数,据此即可补全条形图;
(3)用总人数乘以样本中A类别人数所占百分比可得;
(4)用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率.
【解答】解:(1)被调查的总人数为5÷10%=50人,扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×=216°,
故答案为:50、216°;
(2)B类别人数为50﹣(5+30+5)=10人,
补全图形如下:
(3)估计该校学生中A类有1800×10%=180人,
故答案为:180;
(4)列表如下:
女1
女2
女3
男1
男2
女1
﹣﹣﹣
女2女1
女3女1
男1女1
男2女1
女2
女1女2
﹣﹣﹣
女3女2
男1女2
男2女2
女3
女1女3
女2女3
﹣﹣﹣
男1女3
男2女3
男1
女1男1
女2男1
女3男1
﹣﹣﹣
男2男1
男2
女1男2
女2男2
女3男2
男1男2
﹣﹣﹣
所有等可能的结果为20种,其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8,
∴被抽到的两个学生性别相同的概率为=.
18.(7.00分)如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,过B点的切线交OP于点C.
(1)求证:∠CBP=∠ADB.
(2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长.
【分析】(1)连接OB,如图,根据圆周角定理得到∠ABD=90°,再根据切线的性质得到∠OBC=90°,然后利用等量代换进行证明;
(2)证明△AOP∽△ABD,然后利用相似比求BP的长.
【解答】(1)证明:连接OB,如图,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°,
∴∠A+∠ADB=90°,
∵BC为切线,
∴OB⊥BC,
∴∠OBC=90°,
∴∠OBA+∠CBP=90°,
而OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∴∠CBP=∠ADB;
(2)解:∵OP⊥AD,
∴∠POA=90°,
∴∠P+∠A=90°,
∴∠P=∠D,
∴△AOP∽△ABD,
∴=,即=,
∴BP=7.
19.(6.00分)如图,反比例函数y=(x>0)过点A(3,4),直线AC与x轴交于点C(6,0),过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.
(1)求k的值与B点的坐标;
(2)在平面内有点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形,试写出符合条件的所有D点的坐标.
【分析】(1)将A点的坐标代入反比例函数y=求得k的值,然后将x=6代入反比例函数解析式求得相应的y的值,即得点B的坐标;
(2)使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形,如图所示,找出满足题意D的坐标即可.
【解答】解:(1)把点A(3,4)代入y=(x>0),得
k=xy=3×4=12,
故该反比例函数解析式为:y=.
∵点C(6,0),BC⊥x轴,
∴把x=6代入反比例函数y=,得
y==6.
则B(6,2).
综上所述,k的值是12,B点的坐标是(6,2).
(2)①如图,当四边形ABCD为平行四边形时,AD∥BC且AD=BC.
∵A(3,4)、B(6,2)、C(6,0),
∴点D的横坐标为3,yA﹣yD=yB﹣yC即4﹣yD=2﹣0,故yD=2.
所以D(3,2).
②如图,当四边形ACBD′为平行四边形时,AD′∥CB且AD′=CB.
∵A(3,4)、B(6,2)、C(6,0),
∴点D的横坐标为3,yD′﹣yA=yB﹣yC即yD﹣4=2﹣0,故yD′=6.
所以D′(3,6).
③如图,当四边形ACD″B为平行四边形时,AC=BD″且AC=BD″.
∵A(3,4)、B(6,2)、C(6,0),
∴xD″﹣xB=xC﹣xA即xD″﹣6=6﹣3,故xD″=9.
yD″﹣yB=yC﹣yA即yD″﹣2=0﹣4,故yD″=﹣2.
所以D″(9,﹣2).
综上所述,符合条件的点D的坐标是:(3,2)或(3,6)或(9,﹣2).
20.(8.00分)如图,在▱ABCD中,分别以边BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接AF,AE.
(1)求证△ABF≌△EDA;
(2)延长AB与CF相交于G.若AF⊥AE,求证BF⊥BC.
【分析】(1)想办法证明:AB=DE,FB=AD,∠ABF=∠ADE即可解决问题;
(2)只要证明FB⊥AD即可解决问题;
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠ADC,
∵BC=BF,CD=DE,
∴BF=AD,AB=DE,
∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°,∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°,∠EDC=∠CBF,
∴∠ADE=∠ABF,
∴△ABF≌△EDA.
(2)证明:延长FB交AD于H.
∵AE⊥AF,
∴∠EAF=90°,
∵△ABF≌△EDA,
∴∠EAD=∠AFB,
∵∠EAD+∠FAH=90°,
∴∠FAH+∠AFB=90°,
∴∠AHF=90°,即FB⊥AD,
∵AD∥BC,
∴FB⊥BC.
21.(7.00分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上.
(1)求坡底C点到大楼距离AC的值;
(2)求斜坡CD的长度.
【分析】(1)在直角三角形ABC中,利用锐角三角函数定义求出AC的长即可;
(2)由相似三角形△ABC∽△ECD的对应边成比例解答.
【解答】解:(1)在直角△ABC中,∠BAC=90°,∠BCA=60°,AB=60米,则AC===20(米)
答:坡底C点到大楼距离AC的值是20米.
(2)设CD=2x,则DE=x,CE=x,
在Rt△ABC中,∠ABC=30°,则BC===60(米),
在Rt△BDF中,∵∠BDF=45°,
∴BF=DF,
∴60﹣x=20+x,
∴x=40﹣60.
∴CD的长为(80﹣120)米.
22.(8.00分)已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2﹣4x.
(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;
(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k=﹣2时,求△OAB的面积.
【分析】(1)联立两解析式,根据判别式即可求证;
(2)画出图象,求出A、B的坐标,再求出直线y=﹣2x+1与x轴的交点C,然后利用三角形的面积公式即可求出答案.
【解答】解:(1)联立
化简可得:x2﹣(4+k)x﹣1=0,
∴△=(4+k)2+4>0,
故直线l与该抛物线总有两个交点;
(2)当k=﹣2时,
∴y=﹣2x+1
过点A作AF⊥x轴于F,过点B作BE⊥x轴于E,
∴联立
解得:或
∴A(1﹣,2﹣1),B(1+,﹣1﹣2)
∴AF=2﹣1,BE=1+2
易求得:直线y=﹣2x+1与x轴的交点C为(,0)
∴OC=
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC
=OC•AF+OC•BE
=OC(AF+BE)
=××(2﹣1+1+2)
=
23.(9.00分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为:y=,每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
z
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
10
10
(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式;
(2)若月利润w(万元)=当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式;
(3)当x为何值时,月利润w有最大值,最大值为多少?
【分析】(1)根据表格中的数据可以求得各段对应的函数解析式,本题得以解决;
(2)根据题目中的解析式和(1)中的解析式可以解答本题;
(3)根据(2)中的解析式可以求得各段的最大值,从而可以解答本题.
【解答】解;(1)当1≤x≤9时,设每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式为z=kx+b,
,得,
即当1≤x≤9时,每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式为z=﹣x+20,
当10≤x≤12时,z=10,
由上可得,z=;
(2)当1≤x≤8时,
w=(x+4)(﹣x+20)=﹣x2+16x+80,
当x=9时,
w=(﹣9+20)×(﹣9+20)=121,
当10≤x≤12时,
w=(﹣x+20)×10=﹣10x+200,
由上可得,w=;
(3)当1≤x≤8时,w=﹣x2+16x+80=﹣(x﹣8)2+144,
∴当x=8时,w取得最大值,此时w=144;
当x=9时,w=121,
当10≤x≤12时,w=﹣10x+200,
则当x=10时,w取得最大值,此时w=100,
由上可得,当x为8时,月利润w有最大值,最大值144万元.
24.(14.00分)如图,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限,∠
C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动,点N从A出发沿边AB﹣BC﹣CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动,过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P,交对角线OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动.
(1)当t=2时,求线段PQ的长;
(2)求t为何值时,点P与N重合;
(3)设△APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.
【分析】(1)解直角三角形求出PM,QM即可解决问题;
(2)根据点P、N的路程之和=24,构建方程即可解决问题,;
(3)分四种情形考虑问题即可解决问题;
【解答】解:(1)当t=2时,OM=2,
在Rt△OPM中,∠POM=60°,
∴PM=OM•tan60°=2,
在Rt△OMQ中,∠QOM=30°,
∴QM=OM•tan30°=,
∴PQ=CN﹣QM=2﹣=.
(2)由题意:8+(t﹣4)+2t=24,
解得t=.
(3)①当0<x<4时,S=•2t•4=4t.
②当4≤x<时,S=×[8﹣(t﹣4)﹣(2t﹣8)]×4=40﹣6t.
③当≤x<8时.S=×[(t﹣4)+(2t﹣8)﹣8]×4=6t﹣40.
④当8≤x≤12时,S=S菱形ABCO﹣S△AON﹣S△ABP=32﹣•(24﹣2t)•4﹣•[8﹣(t﹣4)]•4=6t﹣40.
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