2018年湖南省永州市中考数学试卷 25页

‎2018年湖南省永州市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共40分 ‎1．（4.00分）﹣2018的相反数是（　　）‎ A．2018 B．﹣2018 C． D．﹣‎ ‎2．（4.00分）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（4.00分）函数y=中自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≥3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3‎ ‎4．（4.00分）如图几何体的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（4.00分）下列运算正确的是（　　）‎ A．m2+2m3=3m5 B．m2•m3=m6 C．（﹣m）3=﹣m3 D．（mn）3=mn3‎ ‎6．（4.00分）已知一组数据45，51，54，52，45，44，则这组数据的众数、中位数分别为（　　）‎ A．45，48 B．44，45 C．45，51 D．52，53‎ ‎7．（4.00分）下列命题是真命题的是（　　）‎ A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．任意多边形的内角和为360°‎ D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 ‎8．（4.00分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎9．（4.00分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（4.00分）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（　　）‎ A．商贩A的单价大于商贩B的单价 B．商贩A的单价等于商贩B的单价 C．商版A的单价小于商贩B的单价 D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关 ‎　‎ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）‎ ‎11．（4.00分）截止2017年年底，我国60岁以上老龄人口达2.4亿，占总人口比重达17.3%．将2.4亿用科学记数法表示为　 　．‎ ‎12．（4.00分）因式分解：x2﹣1=　 　．‎ ‎13．（4.00分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC=　 　．‎ ‎14．（4.00分）化简：（1+）÷=　 　．‎ ‎15．（4.00分）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是　 　．‎ ‎16．（4.00分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为　 　．‎ ‎17．（4.00分）对于任意大于0的实数x、y，满足：log2（x•y）=log2x+log2y，若log22=1，则log216=　 　．‎ ‎18．（4.00分）现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有　 　种．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）‎ ‎19．（8.00分）计算：2﹣1﹣sin60°+|1﹣|．‎ ‎20．（8.00分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎21．（8.00分）永州植物园“清风园”共设11个主题展区．为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．‎ ‎（1）参观的学生总人数为　 　人；‎ ‎（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为　 　；‎ ‎（3）补全条形统计图；‎ ‎（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为　 　．‎ ‎22．（10.00分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．‎ ‎（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；‎ ‎（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．‎ ‎23．（10.00分）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．‎ ‎24．（10.00分）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，=，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．‎ ‎（1）求证：CF=BF；‎ ‎（2）若cos∠ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．‎ ‎25．（12.00分）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．‎ ‎（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．‎ ‎26．（12.00分）如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI=4，HI=3，AD=．矩形DFGI恰好为正方形．‎ ‎（1）求正方形DFGI的边长；‎ ‎（2）如图2，延长AB至P．使得AC=CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？‎ ‎（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M，N，求△MNG′的周长．‎ ‎　‎ ‎2018年湖南省永州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共40分 ‎1．（4.00分）﹣2018的相反数是（　　）‎ A．2018 B．﹣2018 C． D．﹣‎ ‎【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．‎ ‎【解答】解：﹣2018的相反数是2018．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（4.00分）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；‎ B、是轴对称图形，故此选项错误；‎ C、不是轴对称图形，故此选项正确；‎ D、是轴对称图形，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（4.00分）函数y=中自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≥3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3‎ ‎【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x﹣3≠0，‎ 解得：x≠3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（4.00分）如图几何体的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图．‎ ‎【解答】解：由图可得，几何体的主视图是：‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（4.00分）下列运算正确的是（　　）‎ A．m2+2m3=3m5 B．m2•m3=m6 C．（﹣m）3=﹣m3 D．（mn）3=mn3‎ ‎【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐一计算可得．‎ ‎【解答】解：A、m2与2m3不是同类项，不能合并，此选项错误；‎ B、m2•m3=m5，此选项错误；‎ C、（﹣m）3=﹣m3，此选项正确；‎ D、（mn）3=m3n3，此选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（4.00分）已知一组数据45，51，54，52，45，44，则这组数据的众数、中位数分别为（　　）‎ A．45，48 B．44，45 C．45，51 D．52，53‎ ‎【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．‎ ‎【解答】解：数据从小到大排列为：44，45，45，51，52，54，‎ 所以这组数据的众数为45，中位数为（45+51）=48．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（4.00分）下列命题是真命题的是（　　）‎ A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．任意多边形的内角和为360°‎ D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 ‎【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据多边形的内角和对C进行判断；根据三角形中位线性质对D进行判断．‎ ‎【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题；‎ B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；‎ C、任意多边形的外角和为360°，所以C选项为假命题；‎ D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以D选项为真命题．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（4.00分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得=，即AC2=AD•AB，由此即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，‎ ‎∴△ADC∽△ACB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AC2=AD•AB=2×8=16，‎ ‎∵AC＞0，‎ ‎∴AC=4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（4.00分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：A、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．所以反比例函数y=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；‎ B、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；‎ C、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；‎ D、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（4.00分）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（　　）‎ A．商贩A的单价大于商贩B的单价 B．商贩A的单价等于商贩B的单价 C．商版A的单价小于商贩B的单价 D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关 ‎【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．‎ ‎【解答】解：利润=总售价﹣总成本=×5﹣（3a+2b）=0.5b﹣0.5a，赔钱了说明利润＜0‎ ‎∴0.5b﹣0.5a＜0，‎ ‎∴a＞b．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）‎ ‎11．（4.00分）截止2017年年底，我国60岁以上老龄人口达2.4亿，占总人口比重达17.3%．将2.4亿用科学记数法表示为　2.4×108　．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：2.4亿=2.4×108．‎ 故答案为：2.4×108‎ ‎　‎ ‎12．（4.00分）因式分解：x2﹣1=　（x+1）（x﹣1）　．‎ ‎【分析】方程利用平方差公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）．‎ 故答案为：（x+1）（x﹣1）．‎ ‎　‎ ‎13．（4.00分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC=　75°　．‎ ‎【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可；‎ ‎【解答】解：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°，‎ ‎∴∠ADE=180°﹣∠CEA﹣∠BAE=75°，‎ ‎∴∠BDC=∠ADE=75°，‎ 故答案为75°．‎ ‎　‎ ‎14．（4.00分）化简：（1+）÷=　　．‎ ‎【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题．‎ ‎【解答】解：（1+）÷‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（4.00分）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是　100　．‎ ‎【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．‎ ‎【解答】解：由题意可得，=0.03，‎ 解得，n=100．‎ 故估计n大约是100．‎ 故答案为：100．‎ ‎　‎ ‎16．（4.00分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为　　．‎ ‎【分析】由点A（1，1），可得OA==，点A在第一象限的角平分线上，那么∠AOB=45°，再根据弧长公式计算即可．‎ ‎【解答】解：∵点A（1，1），‎ ‎∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，‎ ‎∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，‎ ‎∴∠AOB=45°，‎ ‎∴的长为=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎17．（4.00分）对于任意大于0的实数x、y，满足：log2（x•y）=log2x+log2‎ y，若log22=1，则log216=　4　．‎ ‎【分析】利用log2（x•y）=log2x+log2y得到log216=log22+log22+log22+log22，然后根据log22=1进行计算．‎ ‎【解答】解：log216=log2（2•2•2•2）=log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4．‎ 故答案为4．‎ ‎　‎ ‎18．（4.00分）现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有　4　种．‎ ‎【分析】根据点A、B的可以在直线的两侧或异侧两种情形讨论即可；‎ ‎【解答】解：输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有4种，如图所示；‎ 故答案为4．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）‎ ‎19．（8.00分）计算：2﹣1﹣sin60°+|1﹣|．‎ ‎【分析】原式利用负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=﹣×+2=1．‎ ‎　‎ ‎20．（8.00分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎【分析】分别解不等式组的两个不等式，即可得到其公共部分，依据解集即可在数轴上表示出来．‎ ‎【解答】解：，‎ 解不等式①，可得 x＜3，‎ 解不等式②，可得 x＞﹣1，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，‎ 在数轴上表示出来为：‎ ‎　‎ ‎21．（8.00分）永州植物园“清风园”共设11个主题展区．为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．‎ ‎（1）参观的学生总人数为　40　人；‎ ‎（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为　15%　；‎ ‎（3）补全条形统计图；‎ ‎（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为　　．‎ ‎【分析】（1）依据最喜欢“和文化”的学生数以及百分比，即可得到参观的学生总人数；‎ ‎（2）依据最喜欢“瑶文化”的学生数，即可得到其占参观总学生数的百分比；‎ ‎（3）依据“德文化”的学生数为40﹣12﹣8﹣10﹣6=4，即可补全条形统计图；‎ ‎（4）设最喜欢“德文化”的4个学生分别为甲乙丙丁，画树状图可得最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率．‎ ‎【解答】解：（1）参观的学生总人数为12÷30%=40（人）；‎ ‎（2）喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为×100%=15%；‎ ‎（3）“德文化”的学生数为40﹣12﹣8﹣10﹣6=4，条形统计图如下：‎ ‎（4）设最喜欢“德文化”的4个学生分别为甲乙丙丁，画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，甲同学被选中的有6种情况，‎ ‎∴甲同学被选中的概率是：=．‎ 故答案为：40；15%；．‎ ‎　‎ ‎22．（10.00分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．‎ ‎（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；‎ ‎（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．‎ ‎【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．‎ ‎（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，‎ ‎∴∠ABC=60°．‎ 在等边△ABD中，∠BAD=60°，‎ ‎∴∠BAD=∠ABC=60°．‎ ‎∵E为AB的中点，‎ ‎∴AE=BE．‎ 又∵∠AEF=∠BEC，‎ ‎∴△AEF≌△BEC．‎ 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，‎ ‎∴CE=AB，BE=AB．‎ ‎∴CE=AE，‎ ‎∴∠EAC=∠ECA=30°，‎ ‎∴∠BCE=∠EBC=60°．‎ 又∵△AEF≌△BEC，‎ ‎∴∠AFE=∠BCE=60°．‎ 又∵∠D=60°，‎ ‎∴∠AFE=∠D=60°．‎ ‎∴FC∥BD．‎ 又∵∠BAD=∠ABC=60°，‎ ‎∴AD∥BC，即FD∥BC．‎ ‎∴四边形BCFD是平行四边形．‎ ‎（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，‎ ‎∴BC=AB=3，AC=BC=3，‎ ‎∴S平行四边形BCFD=3×=9．‎ ‎　‎ ‎23．（10.00分）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．‎ ‎【分析】设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y人，根据“男生人数+女生人数=55、男生人数=1.5×女生人数+5”列出方程组并解答．‎ ‎【解答】解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y人，‎ 依题意得：，‎ 解得，‎ 答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人．‎ ‎　‎ ‎24．（10.00分）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，=，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．‎ ‎（1）求证：CF=BF；‎ ‎（2）若cos∠ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．‎ ‎【分析】（1）延长CD交⊙O于G，如图，利用垂径定理得到=，则可证明=，然后根据圆周角定理得∠CBE=∠GCB，从而得到CF=BF；‎ ‎（2）连接OC交BE于H，如图，先利用垂径定理得到OC⊥BE，再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH=，OH=，接着证明△OHB∽△OCM得到∠OCM=∠OHB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．‎ ‎【解答】证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴=，‎ ‎∵=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠CBE=∠GCB，‎ ‎∴CF=BF；‎ ‎（2）连接OC交BE于H，如图，‎ ‎∵=，‎ ‎∴OC⊥BE，‎ 在Rt△OBH中，cos∠OBH==，‎ ‎∴BH=×6=，‎ ‎∴OH==，‎ ‎∵==，==，‎ ‎∴=，‎ 而∠HOB=∠COM，‎ ‎∴△OHB∽△OCM，‎ ‎∴∠OCM=∠OHB=90°，‎ ‎∴OC⊥CM，‎ ‎∴直线CM是⊙O的切线．‎ ‎　‎ ‎25．（12.00分）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．‎ ‎（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．‎ ‎【分析】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；‎ ‎（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；‎ ‎（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=﹣2x+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4，‎ 把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，‎ a=﹣1，‎ ‎∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）存在，‎ 如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，‎ ‎∵E（0，3），‎ ‎∴E'（2，3），‎ 易得E'F的解析式为：y=3x﹣3，‎ 当x=1时，y=3×1﹣3=0，‎ ‎∴G（1，0）‎ ‎（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），‎ 易得AB的解析式为：y=﹣2x+6，‎ 过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，‎ 设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（1＜m＜3），‎ ‎∴NQ=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）=﹣m2+4m﹣3，‎ ‎∵AD∥NH，‎ ‎∴∠DAB=∠NQM，‎ ‎∵∠ADB=∠QMN=90°，‎ ‎∴△QMN∽△ADB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴MN=﹣（m﹣2）2+，‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴当m=2时，MN有最大值；‎ 过N作NG⊥y轴于G，‎ ‎∵∠GPN=∠ABD，∠NGP=∠ADB=90°，‎ ‎∴△NGP∽△ADB，‎ ‎∴==，‎ ‎∴PG=NG=m，‎ ‎∴OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3﹣m=﹣m2+m+3，‎ ‎∴S△PON=OP•GN=（﹣m2+m+3）•m，‎ 当m=2时，S△PON=×2（﹣4+3+3）=2．‎ ‎（方法2：根据m的值计算N的坐标为（2，3），与E是对称点，连接EN，同理得：EP=EN=1，则OP=2，根据面积公式可得结论）．‎ ‎　‎ ‎26．（12.00分）如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI=4，HI=3，AD=．矩形DFGI恰好为正方形．‎ ‎（1）求正方形DFGI的边长；‎ ‎（2）如图2，延长AB至P．使得AC=CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？‎ ‎（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M，N，求△MNG′的周长．‎ ‎【分析】（1）由HI∥AD，得到=，求出AD即可解决问题；‎ ‎（2）如图2中，设等G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．求出IG′和BD的长比较即可判定；‎ ‎（3）如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．想办法证明MN=MI′+NF′，即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，‎ ‎∵HI∥AD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AD=6，‎ ‎∴ID=CD﹣CI=2，‎ ‎∴正方形的边长为2．‎ ‎（2）如图2中，设等G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．‎ ‎∵CA=CP，CD⊥PA，‎ ‎∴∠ACD=∠PCD，∠A=∠P，‎ ‎∵HG′∥PA，‎ ‎∴∠CHG′=∠A，∠CG′H=∠P，‎ ‎∴∠CHG′=∠CG′H，‎ ‎∴CH=CG′，‎ ‎∴IH=IG′=DF′=3，‎ ‎∵IG∥DB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DB=3，‎ ‎∴DB=DF′=3，‎ ‎∴点B与点F′重合，‎ ‎∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是△BGG′，‎ ‎∴移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形．‎ ‎（3）如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．‎ ‎∵∠MDN=∠NDF+∠MDI′=∠NDF′+∠DF′R=∠NDR=45°，‎ ‎∵DN=DN，DM=DR，‎ ‎∴△NDM≌△NDR，‎ ‎∴MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′，‎ ‎∴△MNG′的周长=MN+MG′+NG′=MG′+MI′+NG′+F′R=2I′G′=4．‎ ‎　‎