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  • 2021-11-11 发布

二次函数与一元二次方程  导学案

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‎22.2 二次函数与一元二次方程(1)‎ ‎1.理解二次函数与一元二次方程的关系.‎ ‎2.会判断抛物线与x轴的交点个数.‎ ‎3.掌握方程与函数间的转化.‎ 重点:理解二次函数与一元二次方程的关系;会判断抛物线与x轴的交点个数.‎ 难点:掌握方程与函数间的转化.‎ 一、自学指导.(10分钟)‎ 自学:自学课本P43~45.自学“思考”与“例题”,理解二次函数与一元二次方程的关系,会判断抛物线与x轴的交点情况,会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解,完成填空.‎ 总结归纳:抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.‎ 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,抛物线与x轴有0个交点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0根的三种情况:有两个不等的实数根,有两个相等实数根,没有实数根.‎ 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)‎ ‎1.观察图中的抛物线与x轴的交点情况,你能得出相应方程的根吗?‎ 方程x2+x-2=0的根是:x1=-2,x2=1;‎ 方程x2-6x+9=0的根是:x1=x2=3;‎ 方程x2-x+1=0的根是:无实根.‎ ‎2.如图所示,你能直观看出哪些方程的根?‎ 点拨精讲:此题充分利用二次函数与一元二次方程之间的关系,即函数y=-x2+2x+3中,y为某一确定值m(如4,3,0)时,相应x值是方程-x2+2x+3=m(m=4,3,0)的根.‎    ,第3题图)‎ ‎3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根是x1=x2=1.‎ 一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,‎ 4‎ 小组代表展示活动成果.(6分钟)‎ 探究 已知二次函数y=2x2-(4k+1)x+2k2-1的图象与x轴交于两点.求k的取值范围.‎ 解:根据题意知b2-4ac>0,‎ 即[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1)>0,‎ 解得k>-.‎ 点拨精讲:根据交点的个数来确定判别式的范围是解题关键,要熟悉它们之间的对应关系.‎ 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(12分钟)‎ ‎1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-2,0),(4,0),抛物线的对称轴是x=1.‎ 点拨精讲:根据对称性来求.‎ ‎2.画出函数y=x2-2x+3的图象,利用图象回答:‎ ‎(1)方程x2-2x+3=0的解是什么?‎ ‎(2)x取什么值时,函数值大于0?‎ ‎(3)x取什么值时,函数值小于0?‎ 点拨精讲:x2-2x+3=0的解,即求二次函数y=x2-2x+3中函数值y=0时自变量x的值.‎ ‎3.用函数的图象求下列方程的解.‎ ‎(1)x2-3x+1=0;  (2)x2-6x-9=0;‎ ‎(3)x2+x-2=0; (4)2-x-x2=0.‎ 点拨精讲:(3分钟):本节课所学知识:1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程之间的关系,当y为某一确定值m时,相应的自变量x的值就是方程ax2+bx+c=m的根.‎ ‎2.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点为(x0,0),则x0是方程ax2+bx+c=0的根.‎ ‎3.有下列对应关系:‎ 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况 b2-4ac的值 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0‎ 只有一个公共点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0‎ 无公共点 无实数根 b2-4ac<0‎ 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)‎ 学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)‎ ‎22.2 二次函数与一元二次方程(2)‎ ‎1.会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解.‎ ‎2.熟练掌握函数与方程的综合应用.‎ ‎3.能利用函数知识解决一些简单的实际问题.‎ 4‎ 重点:根据函数图象观察方程的解和不等式的解集.‎ 难点:观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况.‎ 一、自学指导.(10分钟)‎ 自学:自学课本P46.理解二次函数与一元二次方程的关系,会判断抛物线与x轴的交点情况,会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解,完成填空.‎ 总结归纳:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标实质上是抛物线与直线y=0组成的方程组的解;抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标实质上是的解;抛物线y=ax2+bx+c与直线的交点坐标实质上是的解.‎ 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(7分钟)‎ ‎1.若二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围为( D )‎ A.k<4      B.k≤4‎ C.k<4且k≠3 D.k≤4且k≠3‎ ‎2.已知二次函数y=x2-2ax+(b+c)2,其中a,b,c是△ABC的边长,则此二次函数图象与x轴的交点情况是( A )‎ A.无交点 B.有一个交点 C.有两个交点 D.交点个数无法确定 ‎3.若二次函数y=x2+mx+m-3的图象与x轴交于A,B两点,则A,B两点的距离的最小值是( C )‎ A.2 B.0‎ C.2 D.无法确定 一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(13分钟)‎ 探究1 将抛物线y=x2+2x-4向右平移2个单位,又向上平移3个单位,最后绕顶点旋转180°.(1)求变换后新抛物线对应的函数解析式;(2)若这个新抛物线的顶点坐标恰为x的整式方程x2-(4m+n)x+3m2-2n=0的两根,求m,n的值.‎ 解:(1)y=x2+2x-4=(x+1)2-5,‎ 由题意可得平移旋转后的抛物线解析式为y=-(x-1)2-2=-x2+2x-3;‎ ‎(2)该抛物线顶点坐标为(1,-2),设方程两根分别为x1,x2,则有x1+x2=4m+n=-1,x1·x2=3m2-2n=-2,即 解得或 点拨精讲:熟练运用二次函数平移规律解决问题,二次函数与一元二次方程的转化,以及运用一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法.‎ 4‎ 探究2 如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是x>3或x<-1.‎ 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)‎ ‎1.若二次函数y=ax2-x+c的图象在x轴的下方,则a,c满足关系为( A )‎ A.a<0且4ac>1     B.a<0且4ac<1‎ C.a<0且4ac≥1 D.a<0且4ac≤1‎ ‎2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图,关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,则另一个解x2=-1.‎ 点拨精讲:可根据抛物线的对称性求解.‎ ‎3.二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴交于A,B两点,点C在该函数的图象上运动,若S△ABC=2,求点C的坐标.‎ 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)‎ 学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)‎ 4‎

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