• 604.68 KB
  • 2021-11-11 发布

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第2讲 判别式——二次方程根的检测器

  • 6页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
1 第二讲 判别式——二次方程根的检测器 为了检查产品质量是否合格,工厂里通常使用各种检验仪器,为了辨别钞票的真伪,银行里常常 使用验钞机,类似地,在解一元二次方程有关问题时,最好能知道根的特性:如是否有实数根,有几个 实数根,根的符号特点等。我们形象地说,判别式是一元二次方程根的“检测器”,在以下方面有着广 泛的应用: 利用判别式,判定方程实根的个数、根的特性; 运用判别式,建立等式、不等式,求方程中参数或参数的取值范围; 通过判别式,证明与方程相关的代数问题; 借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题、最值问题。 【例题求解】 【例 1】 已知关于 x 的一元二次方程 0112)21( 2  xkxk 有两个不相等的实数根,那么 k 的取值范 围是 。 (广西中考题) 思路点拨:利用判别式建立关于 的不等式组,注意 k21 、 1k 的隐含制约。 注:运用判别式解题,需要注意的是: (1)解含参数的二次方程,必须注意二次项系数不为 0 的隐含制约; (2)在解涉及多个二次方程的问题时,需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下,综合运用方 程、不等式的知识。 【例 2】 已知三个关于 y 的方程: 02  ayy , 012)1( 2  yya 和 012)2( 2  yya ,若其中至 少有两个方程有实根,则实数 a 的取值范围是( ) (山东省竞赛题) A、 2a B、 4 1a 或 21  x C、 1a D、 14 1  a 思路点拨:“至少有两个方程有实根”有多种情形,从分类讨论人手,解关于 的不等式组,综合判断 选择。 【例 3】 已知关于 x 的方程 02)2(2  kxkx , (1)求证:无论 取任何实数值,方程总有实数根; (2)若等腰三角形△ABC 的一边长 a =1,另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长。 (湖北省荆门市中考题) 思路点拨:对于(1)只需证明△≥0;对于(2)由于未指明底与腰,须分 cb  或 、 c 中有一个与 c 相等 两种情况讨论,运用判别式、根的定义求出 、 的值。 注:(1)涉及等腰三角形的考题,需要分类求解,这是命题设计的一个热点,但不一定每个这类题均有 多解,还须结合三角形三边关系定理予以取舍。 (2)运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉,而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上) 是近年中考,竞赛依托判别式的创新题型,解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法。 【例 4 】 设 方 程 42 axx ,只有 3 个 不 相 等 的 实 数 根 , 求 的 值 和 相 应 的 3 个根。 (重庆市竞赛题) 思路点拨:去掉绝对值符号,原方程可化为两个一元二次方程.原方程只有 3 个不相等的实数根,则其 中一个判别式大于零,另一个判别式等于零。 2 【例 5】已知:如图,矩形 ABCD 中,AD= a ,DC=b ,在 AB 上找一点 E,使 E 点与 C、D 的连线将此矩 形分成的三个三角形相似,设 AE= x ,问:这样的点 E 是否存在?若存在, 这样的点 E 有几个?请说明理由。 (云南省中考题) 思路点拨:要使 Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD 彼此相似,点 E 必须满足∠AED+∠BEC=90°,为此,可 设在 AE 上存在满足条件的点 E 使得 Rt△ADE∽Rt△BEC,建立一元二次方程的数学模型,通过判别式讨 论点 E 的存在与否及存在的个数。 注:有些与一元二次方程表面无关的问题,可通过构造方程为判别式的运用铺平道路,常见的构造方法 有: (1)利用根的定义构造; (2)利用根与系数关系构造; (3)确定主元构造。 3 判别式——二次方程根的检测器学力训练 1、已知 014  ba ,若方程 02  baxkx 有两个相等的实数根,则 k = 。 2、若关于 x 的方程 0122  xkx 有两个不相等的实数根,则 的取值范围是 。 (辽宁省中考题) 3、已知关于 方程 0422  kxkx 有两个不相等的实数解,化简 442 2  kkk = 。 4、若关于 的一元二次方程 01)12()2( 22  xmxm 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是 ( ) A、 4 3m B、 4 3m C、 4 3m 且 2m D、 4 3m 且 2m (山西省中考题) 5、已知一直角三角形的三边为 a 、b 、c ,∠B=90°,那么关于 的方程 0)1(2)1( 22  xbcxxa 的 根的情况为( ) A、有两个相等的实数根 B、没有实数根 C、有两个不相等的实数根 D、无法确定 (河南省中考题) 6、如果关于 x 的方程 0)1(2)2( 2  mxmxm 只有一个实数根,那么方程 0)4()2(2  mxmmx 的 根的情况是( ) A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相等的实数根 D、只有一个实数根 (2003 年河南省中考题) 7、在等腰三角形 ABC 中,∠ A、∠B、∠C 的对边分别为 、 、 ,已知 3a , 和 c 是 关于 的 方程 02 122  mmxx 的两个实数根,求△ABC 的周长。(济南市中考题) 8、已知关于 的方程 063)2(22  mxmx (1)求证:无论 m 取什么实数,方程总有实数根; (2)如果方程的两实根分别为 1x 、 2x ,满足 =3 ,求实数 m 的值。(盐城市中考题) 9、 、 为实数,关于 的方程 22  baxx 有三个不等的实数根。 (1)求证: 0842  ba ; (2)若该方程的三个不等实根,恰为一个三角形三内角的度数,求证该三角形必有一个内角是 60°; (3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边,求 和 的值。 (江苏省苏州市中考题) 4 10、关于的两个方程 03242  mmxx , 0)12( 22  mxmx 中至少有一个方程有实根,则 m 的取值 范围是 。(2002 年四川省竞赛题) 11、当 a = , b = 时,方程 0)2443()1(2 222  babaxax 有实数根。 (全国初中 数学联赛试题) 12、若方程 axx 52 有且只有相异二实根,则 的取值范围是 。 13 、 如 果 关 于 x 的 方 程 05)2(22  mxmmx 没 有 实 数 根 , 那 么 关 于 的 方 程 0)2(2)5( 2  mxmxm 的实根的个数( ) A、2 B、1 C、0 D、不能确定 14、已知一元二次方程 02  cbxx ,且 、 c 可在 1、2、3、4、5 中取值,则在这些方程中有实数根 的方程共有( ) A、12 个 B、10 个 C、7 个 D、5 个 (河南省中考题) 15、已知△ABC 的三边长为 a、b、c,且满足方程 0)( 22222  bxbacax ,则方程根的情况是( ) A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定 (河北省竞赛题) 16、若 a、b、c、d>0, 证明 :在方 程 022 1 2  cdxbax ①; 022 1 2  adxcbx ②; 022 1 2  abxdcx ③; 022 1 2  bcxadx ④中,至少有两个方程有两个不相等的实数根。 (湖北省黄冈市竞赛题) 17、已知三个实数 a、b、c 满足 0 cba ,abc=1,求证:a、b、c 中至少有一个大于 2 3 。 18、关于 x 的方程 01)1(2  xkkx 有有理根,求整数是的值。 (山东省竞赛题) 19、考虑方程 baxx  22 )10( ① (1)若 a =24,求一个实数b ,使得恰有 3 个不同的实数 满足①式。 (2)若 ≥25,是否存在实数 ,使得恰有 3 个不同的实数 满足①式?说明你的结论。 (国家理科实验 班招生试题) 20、如图,已知边长为 的正方形 ABCD 内接于边长为 的正方形 EFGH,试求 a b 的取值范围。 5 参考答案 6

相关文档