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- 2021-11-11 发布
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课时训练(十五) 二次函数的图象与性质2
(限时:40分钟)
|夯实基础|
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K15-1所示,下列结论:①ac<0,②b-2a<0,③b2-4ac<0,④a-b+c<0,正确的是 ( )
图K15-1
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
2.[2019·烟台]已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:
x
-1
0
2
3
4
y
5
0
-4
-3
0
下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当00;④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;⑤若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则x10.有下列结论:①abc>0;②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;③00),-x(x≤0)的图象如图K15-7所示.若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点,则m的取值范围为 .
图K15-7
7
【参考答案】
1.A
2.B [解析]先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以结论①正确,由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0,0),(4,0),所以抛物线的对称轴为直线x=2,且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4,所以结论②和④正确,由抛物线可以看出当0x2,所以结论⑤错误.
3.C [解析]由二次函数的图象可知,a<0,b>0,c<0.当a<0,b>0,c<0时,一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限;反比例函数y=cx的图象位于第二、四象限,选项C符合.故选C.
4.C [解析]①因为当x=-12时,与其对应的函数值y>0,且由表可知x=0时,y=-2,x=1时,y=-2,所以可以判断对称轴左侧y随x的增大而减小,图象开口向上,a>0,对称轴为直线x=12,所以b<0;x=0时,y=-2,所以c=-2<0,故abc>0,①正确;②由于对称轴是直线x=12,点(-2,t),(3,t)关于对称轴对称,所以②正确;③由对称轴是直线x=12,可得a+b=0,由①可知c=-2,当x=-12时,与其对应的函数值y>0,可得14a-12b-2>0,解得a>83,当x=-1时,m=a-b-2=2a-2>103,因为-1+22=12,所以点(-1,m),(2,n)关于对称轴对称,可得m=n,所以m+n>203,故③错误.故选C.
5.2 [解析]当x=0时,y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-4);
当y=0时,-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),
所以抛物线与坐标轴有2个交点.
6.k<4 [解析]∵二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,
∴二次函数y=x2-4x+k的图象与x轴有两个公共点.
∴b2-4ac>0,即(-4)2-4×1×k>0.解得k<4.
7.解:(1)∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,
∴x=-k2+k-62=0,
即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.
当k=2时,抛物线解析式为y=x2+6,与x轴无交点,不满足题意,舍去;
当k=-3时,抛物线解析式为y=x2-9,与x轴有两个交点,满足题意,∴k=-3.
(2)∵点P到y轴的距离为2,
∴点P的横坐标为-2或2.
当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5.
7
∴点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).
8.解:(1)根据题意,设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x-3),
把(0,-3)代入表达式,得-3=-3a,
解得a=1,∴二次函数的表达式是y=x2-2x-3.
(2)根据图象可得,一次函数值小于二次函数值时自变量x的取值范围是x<0或x>3.
9.①③④ [解析]m+2=-x2+2x+m+1,
得:x2-2x+1=0,
因为b2-4ac=0,
所以抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点,①正确;
由图可得:y10,∴函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点,∴M=2.∵函数y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1,∴当a≠b,ab≠0时,(a+b)2-4ab=(a-b)2>0,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点,即N=2,此时M=N;
当ab=0时,不妨令a=0,∵a≠b,∴b≠0,函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数,与x轴有一个交点,即N=
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1,此时M=N+1.综上可知,M=N或M=N+1.故选C.
12.解:(1)将C(0,4)代入y=ax2+bx-4a中得a=-1,
∵对称轴为直线x=32,
∴-b2×(-1)=32,解得b=3.
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.
∵y=-x2+3x+4=-x-322+254,
∴顶点坐标为32,254,
当x=4时,
y=-42+3×4+4=0,
∴当0≤x≤4时,y的取值范围是0≤y≤254.
(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,
∴m+1=-m2+3m+4,
解得m=-1或m=3.
∵点D在第一象限,
∴点D的坐标为(3,4).
又∵C(0,4),∴CD∥AB,且CD=3.
当y=-x2+3x+4=0时,
解得x=-1或x=4,
∴B(4,0).
∴OB=OC=4,
∴∠OCB=∠DCB=45°,
∴点E在y轴上,且CE=CD=3,
∴OE=1,∴点E的坐标为(0,1).
13.D [解析]∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点,∴b2-4c=0,c=b24,∴y=x2+bx+b24=x+b22,∵
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图象过A(x1,m),B(x1+n,m)两点,∴-b2=x1+x1+n2=x1+12n,把(x1,m)代入二次函数解析式,得m=x1+b22,∴m=-12n2,即m=14n2,故选D.
14.00,解得m<14,当直线y=x+m经过原点时与函数y=-x2+2x(x>0),-x(x≤0)的图象有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,∴m>0,∴m的取值范围为0
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