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  • 2021-11-11 发布

2011年西城区初三数学一模试题答案

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北京市西城区 2011 年初三一模试卷 数学答案及评分标准 2011. 5 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 A C A B C C D B 二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9 10 11 12 ①③ , 11 题阅卷说明:全对得 4 分,仅填①或③得 2 分,其余情况均不得分. 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.解:原式 = ………………………………………………………4 分 = . …………………………………………………………………………5 分 14.解: 由①得 . ………………………………………………………………………1 分 由②得 x≤1.………………………………………………………………………… 3 分 ∴ 原不等式组的解集是 <x≤1. ………………………………………………4 分 ∵ , ∴ 不是该不等式组的解.………………………………………………… 5 分 15.解:(1)如图 1. 设直线 的解析式为 (k,b 为常数且 k≠0). ∵ 直线 经过点 ,点 , ∴ 解得 ( )23−xy 8 5 n5 1 32 3 4 12 2 + − × − 1 2 − 3 0 2( 1) 3 3 . x x x + >  − + , ≥ 3x > − 3− 3 1> 3x = l y kx b= + l (0,2)B (1,1)P 2, 1. b k b =  + = 1, 2. k b = −  = ① ② 图 1 ∴ 直线 的解析式为 . …………………………………………… 2 分 (2)∵ 直线 的解析式为 , ∴ 点 A 的坐标为 .………………………………………………………3 分 ∵ 点 P 的坐标为 , ∴ = .………………………………………5 分 16. 证明:如图 2. (1)∵ 平分 , ∴ .………………1 分 在△ABF 与△CBF 中, ∴ △ABF≌△CBF. ……………………………………………………… 2 分 ∴ .……………………………………………………………… 3 分 (2)∵ , ∴ .……………………………………………………… 4 分 ∵ ∥ , ∴ . ∴ ,即 平分 . ………………………………5 分 17. 解:由题意, .…………………………………………1 分 ∴ . ………………………………………………………………………2 分 ∴ 原式 ……………………………………………………3 分 .…………………………………………………4 分 ∵ , ∴ 原式 .………………………………………………………………5 分 18. 解:(1) l 2y x= − + l 2y x= − + (2,0) (1,1) 1 2AOP PS OA y∆ = × × 1 2 1 12 × × = BF ABC∠ ABF CBF∠ = ∠ , , , AB CB ABF CBF BF BF = ∠ = ∠  = AF CF= AF CF= FCA FAC∠ = ∠ AF DC FAC DCA∠ = ∠ FCA DCA∠ = ∠ CA DCF∠ 2 214 2 02b a b a∆ = − × = − = 2 2b a= 2 2 22 1 1 ab a a b = − + + − 2 2 2 2 ab a b a = + − 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a ⋅= =+ − 0a ≠ 2 2 2 2a a = = 图 2 ………………………………………………………………………………4 分 阅卷说明:每空 1 分. (2)72.………………………………………………………………………………5 分 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.解:设抢修车每小时行驶 千米,则吉普车每小时行驶 千米. .………………………………………………………………………2 分 解得 . ………………………………………………………………………3 分 经检验, 是原方程的解,并且符合题意. ………………………………4 分 ∴ . 答:抢修车每小时行驶 20 千米,吉普车每小时行驶 30 千米.………………………5 分 20.解:如图 3. (1)由题意,点 A 与点 ,点 与点 分别关于直线 对称, ∴ , . ………………………………………………1 分 设 ,则 . ∵ 正方形 , ∴ . ∴ . ∵ =3, ∴ . 解得 . ∴ .……………………………………………………………………2 分 (2)∵ 正方形 , ∴ AD∥BC, . ∵ 点 M,N 分别在 AD,BC 边上, ∴ 四边形 ABNM 是直角梯形. ∵ , , ∴ . ∴ , . ∵ , , ∴ . 初三学生 人数 步行 人数 骑车 人数 乘公交车 人数 其它方式 人数 300 99 132 9 x x5.1 15 1 15 4 1.5x x − = 20x = 20x = 1.5 30x = A′ B B′ MN AM A M′= BN B N′= BN B N x′= = 9CN x= − ABCD o90C∠ = 2 2 2CN B C B N′ ′+ = CB′ 2 2 2(9 ) 3x x− + = 5x = 5BN = ABCD o90A∠ = ' 5BN B N= = 9BC = 4NC = 4sin 1 5 ∠ = 4tan 1 3 ∠ = 1 2 90∠ +∠ = ° 2 3 90∠ +∠ = ° 3 1∠ = ∠ 图 3 ∴ . 在 Rt△ 中,∵ , , , ∴ . ∵ , ∴ . ∵ , ∴ . 在 Rt△ 中,∵ , , , ∴ .…………………………………………………………………4 分 ∴ .…………………5 分 21.(1)证明:连接 BO.(如图 4) ∵ AB=AD, ∴ ∠D=∠ABD. ∵ AB=AO, ∴ ∠ABO=∠AOB. 又∵ 在△OBD 中,∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°, ∴ ∠OBD=90°. ∴ BD⊥BO.…………………………………………………………………1 分 ∵ 点 B 在⊙O 上, ∴ BD 是⊙O 的切线 . ……………………………………………………2 分 (2)解:∵ ∠C=∠E,∠CAF=∠EBF , ∴ △ACF∽△BEF . ………………………………………………………3 分 ∵ AC 是⊙O 的直径,点 B 在⊙O 上, ∴ ∠ABC=90°. ∵ 在 Rt△BFA 中,∠ABF=90°,cos∠BFA= , 4sin 3 sin 1 5 ∠ = ∠ = DB P′ 90 D∠ = ° 6DB DC B C′ ′= − = 4sin 3 5 DB PB ′∠ = =′ 15 2PB′ = 9A B AB′ ′ = = 3 2A P A B PB′ ′ ′ ′= − = 4 3∠ = ∠ 4tan 4 tan 3 3 ∠ = ∠ = A MP′ 90 A A′∠ = ∠ = ° 3 2A P′ = 4tan 4 3 A M A P ′∠ = =′ 2A M′ = 1 1 63( ) (2 5) 92 2 2ABNMS AM BN AB= + × = × + × =梯形 3 2= AF BF 图 4 ∴ .………………………………………………………4 分 又∵ =8 , ∴ =18 . ……………………………………………………………5 分 22.解:(1)1∶2,121 .…………………………………………………………………… 2 分 (2)正三角形或正六边形.………………………………………………………… 4 分 (3)如图 5. …………5 分 阅卷说明:第(2)问全对得 2 分,仅填正三角形或正六边形得 1 分,其余情况均不得 分;第(3)问其它符合题意的图形同样给分. 五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.(1)证明:∵ , ∴ . ………………………………………1 分 ∵ a>0,c<0, ∴ , . ∴ . ……………………………………………………………2 分 (2)解:∵ 抛物线经过点 P ,点 Q , ∴ ① ∵ ,a>0,c<0, ∴ , . ∴ <0.………3 分 >0.………………………4 分 2 4( ) 9 BEF ACF S BF S AF ∆ ∆ = = BEFS∆ ACFS∆ 2 3 6 0a b c+ + = 1 2 3 6 2 3 6 6 b a b c c a a a a ++ = = − = − 0c a < 0c a − > 1 02 3 b a + > 1( , )2 m (1, )n 1 1 ,4 2 . a b c m a b c n  + + =  + + = 2 3 6 0a b c+ + = 22 3 ab c+ = − 2 23 ab c= − − 1 1 1 2 1 1 1( )4 2 4 2 4 3 12 b cm a b c a a a a += + + = + = + − = − 2( 2 )3 3 a an a b c a c c c= + + = + − − + = − 图 5 图 6 ∴ .…………………………………………………………………5 分 ② 由 a>0 知抛物线 开口向上. ∵ , , ∴ 点 P 和点 Q 分别位于 x 轴下方和 x 轴上方. ∵ 点 A,B 的坐标分别为 A ,B (点 A 在点 B 左侧), ∴ 由抛物线 的示意图可知,对称轴右侧的点 B 的横坐标 满足 .(如图 6 所示)………………………………………6 分 ∵ 抛物线的对称轴为直线 ,由抛物线的对称性可 , 由(1)知 , ∴ . ∴ ,即 .…………………………………… 7 分 24.解:(1)∠AOB= 30 °,α= 60 °.………………………………………………… 2 分 (2)∵ A ,B ,△OAB 绕点 O 顺时针旋转α角得到△OCD,(如图 7) ∴ OA=OB=OC=OD=4. 由(1)得 . ∴ 点 C 与点 A 关于 x 轴对称,点 C 的坐标为 . ∵ 点 C,D,F 落在同一反比例函数 (k≠0)的图象上, ∴ . ∵ 点 F 是由点 A 沿 轴负方向平移 m 个单位得到, ∴ , ,点 F 的坐标为 .……………3 分 ∴ 点 F 与点 A 关于 y 轴对称,可设经过点 A,B,F 的抛物线的解析式为 . 0mn < 2y ax bx c= + + 0m < 0n > 1( , )2 m (1, )n 1( ,0)x 2( ,0)x 2y ax bx c= + + 2x 2 1 12 x< < 2 bx a = − 1 2 2 2 x x b a + = − 1 2 3 b a − < 1 2 1 2 3 x x+ < 1 2 2 2 1 3 3 2x x< − < − 1 1 6x < (2 3,2) (4,0) 30BOC AOB∠ = ° = ∠ (2 3, 2)− ky x = 4 3C Ck x y= ⋅ = − x 2Fy = 4 3 2 32Fx −= = − ( 2 3,2)− 2y ax c= + ∴ 解得 ∴ 所求抛物线的解析式为 . …………………………………4 分 (3)满足条件的点 P 的个数为 5 .………………………………………………5 分 抛物线 的顶点为 . ∵ △EFG 是由△OAB 沿 轴负方向平移 m 个单位得到, ∴ , ,∠FEG=∠AOB=30°. ∴ 点 E 的坐标为 . 可得直线 EF 的解析式为 . ∵ 点 H 的横坐标是方程 的解, 整理,得 . 解得 . ∴ 点 H 的坐标为 . 由抛物线的对称性知符合题意的 点的坐标为 .……………6 分 可知△AFM 是等边三角形,∠MAF= 60°. 由 A,M 两点的坐标分别为 A , , 可得直线 AM 的解析式为 . 2 (2 3) 2, 16 0. a c a c  + = + = 1 ,2 8. a c  = −  = 21 82y x= − + 21 82y x= − + (0,8)M x 4 3m FA= = 4 3E Ox x m= − = − ( 4 3,0)− 3 43y x= + 23 14 83 2x x+ = − + 23 2 3 24 0x x+ − = 1 2 4 3 , 2 33x x= = − 4 3 16( , )3 3 1P 4 3 16( , )3 3 − (2 3,2) (0,8)M 3 8y x= − + 过点 H 作直线 AM 的平行线 l,设其解析式为 (b≠8). 将点 H 的坐标代入上式,得 . 解得 ,直线 l 的解析式为 . ∵ 直线 l 与抛物线的交点的横坐标是方程 的解. 整理,得 .解得 . ∴ 点 满足 ,四边形 的面积与四边形 MFAH 的面积相等.(如图 8)……………………………………………7 分 点 关于 y 轴的对称点 也符合题意,其坐标为 .……… 8 分 综上所述,位于直线 EF 上方的点 P 的坐标分别为 , , . 25.解:(1)如图 9,∠APE= 45 °. ……………………2 分 (2)解法一:如图 10,将 AE 平移到 DF,连接 BF,EF. ……………………3 分 则四边形 AEFD 是平行四边形. ∴ AD∥EF,AD=EF. ∵ , , ∴ , . ∴ .……………………………………………………4 分 ∵ ∠C=90°, ∴ . ∴ ∠C=∠BDF. ∴ △ACD∽△BDF.………………5 分 ∴ ,∠1=∠2. ∴ . ∵ ∠1+∠3=90°, ∴ ∠2+∠3=90°. ∴ BF⊥AD . 3y x b= − + 16 4 333 3 b= − × + 28 3b = 283 3y x= − + 228 13 83 2x x− + = − + 23 6 3 8 0x x− + = 1 2 4 3 2 3,3 3x x= = 2P 2 3 22( , )3 3 HAMAMP SS ∆∆ = 2 2P MFA 2P 3P 3P 2 3 22( , )3 3 − 1P 4 3 16( , )3 3 − 2P 2 3 22( , )3 3 3P 2 3 22( , )3 3 − 3AC BD= 3CD AE= 3= BD AC 3== DF CD AE CD AC CD BD DF = 180 90BDF C∠ = ° − ∠ = ° 3AD AC BF BD = = 3EF AD BF BF = = 图 10 图 9 ∴ BF⊥EF.…………………………………………………………6 分 ∴ 在 Rt△BEF 中, . ∴ ∠APE=∠BEF =30°.…………………………………………7 分 解法二:如图 11,将 CA 平移到 DF,连接 AF,BF,EF.………………3 分 则四边形 ACDF 是平行四边形. ∵ ∠C=90°, ∴ 四边形 ACDF 是矩形,∠AFD=∠CAF= 90°,∠1+∠2=90°. ∵ 在 Rt△AEF 中, , 在 Rt△BDF 中, , ∴ . ∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°,即∠EFB =90°. ∴ ∠AFD=∠EFB. …………………4 分 又∵ , ∴ △ADF∽△EBF. ……………………………………………… 5 分 ∴ ∠4=∠5.………………………………………………………… 6 分 ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5, ∴ ∠APE=∠3=30°.……………………………………………… 7 分 3tan 3 BFBEF EF ∠ = = 3tan 3 3 AE AE AF CD ∠ = = = 3tan 1 3 BD BD DF AC ∠ = = = 3 1 30∠ = ∠ = ° 3 2 DF AF BF EF = = 图 11

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