- 1.48 MB
- 2021-11-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
北京市西城区 2011 年初三一模试卷
数学答案及评分标准 2011. 5
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分)
题
号
1 2 3 4 5 6 7 8
答
案
A C A B C C D B
二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分)
9 10 11 12
①③ ,
11 题阅卷说明:全对得 4 分,仅填①或③得 2 分,其余情况均不得分.
三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)
13.解:原式 = ………………………………………………………4 分
= . …………………………………………………………………………5 分
14.解:
由①得 . ………………………………………………………………………1 分
由②得 x≤1.…………………………………………………………………………
3 分
∴ 原不等式组的解集是 <x≤1. ………………………………………………4 分
∵ ,
∴ 不是该不等式组的解.………………………………………………… 5 分
15.解:(1)如图 1.
设直线 的解析式为 (k,b 为常数且 k≠0).
∵ 直线 经过点 ,点 ,
∴ 解得
( )23−xy 8 5 n5
1 32 3 4 12 2
+ − × −
1
2
−
3 0
2( 1) 3 3 .
x
x x
+ >
− +
,
≥
3x > −
3−
3 1>
3x =
l y kx b= +
l (0,2)B (1,1)P
2,
1.
b
k b
=
+ =
1,
2.
k
b
= −
=
①
②
图
1
∴ 直线 的解析式为 . ……………………………………………
2 分
(2)∵ 直线 的解析式为 ,
∴ 点 A 的坐标为 .………………………………………………………3 分
∵ 点 P 的坐标为 ,
∴ = .………………………………………5 分
16. 证明:如图 2.
(1)∵ 平分 ,
∴ .………………1 分
在△ABF 与△CBF 中,
∴ △ABF≌△CBF. ………………………………………………………
2 分
∴ .………………………………………………………………
3 分
(2)∵ ,
∴ .……………………………………………………… 4
分
∵ ∥ ,
∴ .
∴ ,即 平分 . ………………………………5 分
17. 解:由题意, .…………………………………………1 分
∴ . ………………………………………………………………………2 分
∴ 原式 ……………………………………………………3 分
.…………………………………………………4 分
∵ ,
∴ 原式 .………………………………………………………………5 分
18. 解:(1)
l 2y x= − +
l 2y x= − +
(2,0)
(1,1)
1
2AOP PS OA y∆ = × × 1 2 1 12
× × =
BF ABC∠
ABF CBF∠ = ∠
,
,
,
AB CB
ABF CBF
BF BF
=
∠ = ∠
=
AF CF=
AF CF=
FCA FAC∠ = ∠
AF DC
FAC DCA∠ = ∠
FCA DCA∠ = ∠ CA DCF∠
2 214 2 02b a b a∆ = − × = − =
2 2b a=
2
2 22 1 1
ab
a a b
= − + + −
2
2 2 2
ab
a b a
= + −
2
2 2
2 2
2 2
a a a
a a a a
⋅= =+ −
0a ≠
2
2
2 2a
a
= =
图
2
………………………………………………………………………………4 分
阅卷说明:每空 1 分.
(2)72.………………………………………………………………………………5 分
四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分)
19.解:设抢修车每小时行驶 千米,则吉普车每小时行驶 千米.
.………………………………………………………………………2 分
解得 . ………………………………………………………………………3 分
经检验, 是原方程的解,并且符合题意. ………………………………4 分
∴ .
答:抢修车每小时行驶 20 千米,吉普车每小时行驶 30 千米.………………………5 分
20.解:如图 3.
(1)由题意,点 A 与点 ,点 与点 分别关于直线 对称,
∴ , . ………………………………………………1 分
设 ,则 .
∵ 正方形 ,
∴ .
∴ .
∵ =3,
∴ .
解得 .
∴ .……………………………………………………………………2 分
(2)∵ 正方形 ,
∴ AD∥BC, .
∵ 点 M,N 分别在 AD,BC 边上,
∴ 四边形 ABNM 是直角梯形.
∵ , ,
∴ .
∴ , .
∵ , ,
∴ .
初三学生
人数
步行
人数
骑车
人数
乘公交车
人数
其它方式
人数
300 99 132 9
x x5.1
15 1 15
4 1.5x x
− =
20x =
20x =
1.5 30x =
A′ B B′ MN
AM A M′= BN B N′=
BN B N x′= = 9CN x= −
ABCD
o90C∠ =
2 2 2CN B C B N′ ′+ =
CB′
2 2 2(9 ) 3x x− + =
5x =
5BN =
ABCD
o90A∠ =
' 5BN B N= = 9BC =
4NC =
4sin 1 5
∠ = 4tan 1 3
∠ =
1 2 90∠ +∠ = ° 2 3 90∠ +∠ = °
3 1∠ = ∠
图
3
∴ .
在 Rt△ 中,∵ , , ,
∴ .
∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
在 Rt△ 中,∵ , , ,
∴ .…………………………………………………………………4 分
∴ .…………………5 分
21.(1)证明:连接 BO.(如图 4)
∵ AB=AD,
∴ ∠D=∠ABD.
∵ AB=AO,
∴ ∠ABO=∠AOB.
又∵ 在△OBD 中,∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°,
∴ ∠OBD=90°.
∴ BD⊥BO.…………………………………………………………………1 分
∵ 点 B 在⊙O 上,
∴ BD 是⊙O 的切线 . ……………………………………………………2 分
(2)解:∵ ∠C=∠E,∠CAF=∠EBF ,
∴ △ACF∽△BEF . ………………………………………………………3 分
∵ AC 是⊙O 的直径,点 B 在⊙O 上,
∴ ∠ABC=90°.
∵ 在 Rt△BFA 中,∠ABF=90°,cos∠BFA= ,
4sin 3 sin 1 5
∠ = ∠ =
DB P′ 90 D∠ = ° 6DB DC B C′ ′= − = 4sin 3 5
DB
PB
′∠ = =′
15
2PB′ =
9A B AB′ ′ = =
3
2A P A B PB′ ′ ′ ′= − =
4 3∠ = ∠
4tan 4 tan 3 3
∠ = ∠ =
A MP′ 90 A A′∠ = ∠ = ° 3
2A P′ = 4tan 4 3
A M
A P
′∠ = =′
2A M′ =
1 1 63( ) (2 5) 92 2 2ABNMS AM BN AB= + × = × + × =梯形
3
2=
AF
BF
图
4
∴ .………………………………………………………4 分
又∵ =8 ,
∴ =18 . ……………………………………………………………5 分
22.解:(1)1∶2,121 .……………………………………………………………………
2 分
(2)正三角形或正六边形.…………………………………………………………
4 分
(3)如图 5. …………5 分
阅卷说明:第(2)问全对得 2 分,仅填正三角形或正六边形得 1 分,其余情况均不得
分;第(3)问其它符合题意的图形同样给分.
五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分)
23.(1)证明:∵ ,
∴ . ………………………………………1 分
∵ a>0,c<0,
∴ , .
∴ . ……………………………………………………………2 分
(2)解:∵ 抛物线经过点 P ,点 Q ,
∴
① ∵ ,a>0,c<0,
∴ , .
∴ <0.………3 分
>0.………………………4 分
2 4( ) 9
BEF
ACF
S BF
S AF
∆
∆
= =
BEFS∆
ACFS∆
2 3 6 0a b c+ + =
1 2 3 6
2 3 6 6
b a b c c
a a a a
++ = = − = −
0c
a
< 0c
a
− >
1 02 3
b
a
+ >
1( , )2 m (1, )n
1 1 ,4 2
.
a b c m
a b c n
+ + =
+ + =
2 3 6 0a b c+ + =
22 3
ab c+ = − 2 23
ab c= − −
1 1 1 2 1 1 1( )4 2 4 2 4 3 12
b cm a b c a a a a
+= + + = + = + − = −
2( 2 )3 3
a an a b c a c c c= + + = + − − + = −
图
5
图
6
∴ .…………………………………………………………………5 分
② 由 a>0 知抛物线 开口向上.
∵ , ,
∴ 点 P 和点 Q 分别位于 x 轴下方和 x 轴上方.
∵ 点 A,B 的坐标分别为 A ,B (点 A 在点 B 左侧),
∴ 由抛物线 的示意图可知,对称轴右侧的点 B 的横坐标
满足 .(如图 6 所示)………………………………………6
分
∵ 抛物线的对称轴为直线 ,由抛物线的对称性可 ,
由(1)知 ,
∴ .
∴ ,即 .…………………………………… 7 分
24.解:(1)∠AOB= 30 °,α= 60 °.…………………………………………………
2 分
(2)∵ A ,B ,△OAB 绕点 O 顺时针旋转α角得到△OCD,(如图
7)
∴ OA=OB=OC=OD=4.
由(1)得 .
∴ 点 C 与点 A 关于 x 轴对称,点 C 的坐标为 .
∵ 点 C,D,F 落在同一反比例函数 (k≠0)的图象上,
∴ .
∵ 点 F 是由点 A 沿 轴负方向平移 m 个单位得到,
∴ , ,点 F 的坐标为 .……………3 分
∴ 点 F 与点 A 关于 y 轴对称,可设经过点 A,B,F 的抛物线的解析式为
.
0mn <
2y ax bx c= + +
0m < 0n >
1( , )2 m (1, )n
1( ,0)x 2( ,0)x
2y ax bx c= + + 2x
2
1 12 x< <
2
bx a
= − 1 2
2 2
x x b
a
+ = −
1
2 3
b
a
− <
1 2 1
2 3
x x+ <
1 2
2 2 1
3 3 2x x< − < − 1
1
6x <
(2 3,2) (4,0)
30BOC AOB∠ = ° = ∠
(2 3, 2)−
ky x
=
4 3C Ck x y= ⋅ = −
x
2Fy = 4 3 2 32Fx
−= = − ( 2 3,2)−
2y ax c= +
∴ 解得
∴ 所求抛物线的解析式为 . …………………………………4 分
(3)满足条件的点 P 的个数为 5 .………………………………………………5 分
抛物线 的顶点为 .
∵ △EFG 是由△OAB 沿 轴负方向平移 m 个单位得到,
∴ , ,∠FEG=∠AOB=30°.
∴ 点 E 的坐标为 .
可得直线 EF 的解析式为 .
∵ 点 H 的横坐标是方程 的解,
整理,得 .
解得 .
∴ 点 H 的坐标为 .
由抛物线的对称性知符合题意的 点的坐标为 .……………6 分
可知△AFM 是等边三角形,∠MAF= 60°.
由 A,M 两点的坐标分别为 A , ,
可得直线 AM 的解析式为 .
2 (2 3) 2,
16 0.
a c
a c
+ = + =
1 ,2
8.
a
c
= −
=
21 82y x= − +
21 82y x= − + (0,8)M
x
4 3m FA= = 4 3E Ox x m= − = −
( 4 3,0)−
3 43y x= +
23 14 83 2x x+ = − +
23 2 3 24 0x x+ − =
1 2
4 3 , 2 33x x= = −
4 3 16( , )3 3
1P 4 3 16( , )3 3
−
(2 3,2) (0,8)M
3 8y x= − +
过点 H 作直线 AM 的平行线 l,设其解析式为 (b≠8).
将点 H 的坐标代入上式,得 .
解得 ,直线 l 的解析式为 .
∵ 直线 l 与抛物线的交点的横坐标是方程 的解.
整理,得 .解得 .
∴ 点 满足 ,四边形 的面积与四边形
MFAH 的面积相等.(如图 8)……………………………………………7 分
点 关于 y 轴的对称点 也符合题意,其坐标为 .………
8 分
综上所述,位于直线 EF 上方的点 P 的坐标分别为 ,
, .
25.解:(1)如图 9,∠APE= 45 °. ……………………2 分
(2)解法一:如图 10,将 AE 平移到 DF,连接 BF,EF.
……………………3 分
则四边形 AEFD 是平行四边形.
∴ AD∥EF,AD=EF.
∵ , ,
∴ , .
∴ .……………………………………………………4 分
∵ ∠C=90°,
∴ .
∴ ∠C=∠BDF.
∴ △ACD∽△BDF.………………5 分
∴ ,∠1=∠2.
∴ .
∵ ∠1+∠3=90°,
∴ ∠2+∠3=90°.
∴ BF⊥AD .
3y x b= − +
16 4 333 3 b= − × +
28
3b = 283 3y x= − +
228 13 83 2x x− + = − +
23 6 3 8 0x x− + = 1 2
4 3 2 3,3 3x x= =
2P 2 3 22( , )3 3 HAMAMP SS ∆∆ =
2 2P MFA
2P 3P 3P 2 3 22( , )3 3
−
1P 4 3 16( , )3 3
−
2P 2 3 22( , )3 3 3P 2 3 22( , )3 3
−
3AC BD= 3CD AE=
3=
BD
AC 3==
DF
CD
AE
CD
AC CD
BD DF
=
180 90BDF C∠ = ° − ∠ = °
3AD AC
BF BD
= =
3EF AD
BF BF
= =
图
10
图
9
∴ BF⊥EF.…………………………………………………………6 分
∴ 在 Rt△BEF 中, .
∴ ∠APE=∠BEF =30°.…………………………………………7 分
解法二:如图 11,将 CA 平移到 DF,连接 AF,BF,EF.………………3 分
则四边形 ACDF 是平行四边形.
∵ ∠C=90°,
∴ 四边形 ACDF 是矩形,∠AFD=∠CAF= 90°,∠1+∠2=90°.
∵ 在 Rt△AEF 中, ,
在 Rt△BDF 中, ,
∴ .
∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°,即∠EFB =90°.
∴ ∠AFD=∠EFB. …………………4 分
又∵ ,
∴ △ADF∽△EBF. ………………………………………………
5 分
∴ ∠4=∠5.…………………………………………………………
6 分
∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5,
∴ ∠APE=∠3=30°.………………………………………………
7 分
3tan 3
BFBEF EF
∠ = =
3tan 3 3
AE AE
AF CD
∠ = = =
3tan 1 3
BD BD
DF AC
∠ = = =
3 1 30∠ = ∠ = °
3
2
DF AF
BF EF
= =
图 11