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- 2021-11-11 发布
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第五讲 一元二次方程的整数整数解
在数学课外活动中,在各类数学竞赛中,一元二次方程的整数解问题一直是个热点,它
将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合,涉及面广,解法灵活,综合性强,备
受关注,解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有:
从求根入手,求出根的有理表达式,利用整除求解;
从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设△= 2k ),通过穷举,
逼近求解;
从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因
数分解、因式分解求解;
从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解.
注:一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知
识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关.
【例题求解】
【例 1】若关于 x 的方程 054)15117()9)(6( 2 xkxkk 的解都是整数,则符合条件的整
数是的值有 个.
思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式,因方程的类型未指明,故须按一次方程、
二次方程两种情形讨论,这样确定是的值才能全面而准确.
注:系数含参数的方程问题,在没有指明是二次方程时,要注意有可能是一次方程,根据问
题的题设条件,看是否要分类讨论.
【例 2】 已知 a 、b 为质数且是方程 0132 cxx 的根,那么
b
a
a
b 的值是( )
A.
22
127 B.
22
125 C.
22
123 D.
22
121
思路点拨 由韦达定理 、 的关系式,结合整数性质求出 、 、 c 的值.
【例 3】 试确定一切有理数 r ,使得关于 x 的方程 01)2(2 rxrrx 有根且只有整数根.
思路点拨 由于方程的类型未确定,所以应分类讨论.当 0r 时,由根与系数关系得到关
于 r 的两个等式,消去 r,利用因式(数)分解先求出方程两整数根.
【例4】 当 m 为整数时,关于 的方程 01)12()12( 2 xmxm 是否有有理根?如果有,
求出 m 的值;如果没有,请说明理由.
思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数.
设△= 2222 4)12(544)12(4)12( nmmmmm ( n 为整数)解不定方程,讨论 的
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存在性.
注:一元二次方程 02 cbxax (a≠0)而言,方程的根为整数必为有理数,而△= acb 42
为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件.
【例 5】 若关于 x 的方程 0)13()3(22 axaax 至少有一个整数根,求非负整数 a 的值.
思路点拨 因根的表示式复杂,从韦达定理得出的 a 的两个关系式中消去 也较困难,又因
的次数低于 的次数,故可将原方程变形为关于 的一次方程.
学历训练
1.已知关于 的方程 012)1( 2 axxa 的根都是整数,那么符合条件的整数 有 .
2.已知方程 019992 mxx 有两个质数解,则 m= .
3.给出四个命题:①整系数方程 (a≠0)中,若△为一个完全平方数,则方程
必有有理根;②整系数方程 (a≠0)中,若方程有有理数根,则△为完全平方数;
③无理数系数方程 (a≠0)的根只能是无理数;④若 、 b 、 c 均为奇数,则方
程 没有有理数根,其中真命题是 .
4.已知关于 的一元二次方程 0)12( 22 axax ( 为整数)的两个实数根是 1x 、 2x ,
则 21 xx = .
5.设 rn 为整数,且 40, 2x >0.
(1)求证: <0, <0, <0, < 0;
(2)求证: 11 bcb ;
(3)求 b 、 c 所有可能的值.
13.如果直角三角形的两条直角边都是整数,且是方程 0122 mxmx 的根( m 为整数),
这样的直角三角形是否存在?若存在,求出满足条件的所有三角形的三边长;若不存在,请
说明理由.
参考答案
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