中考数学全程复习方略第十四讲二次函数的应用课件 62页

第十四讲 　 二次函数的应用 考点一　应用二次函数解决抛物线型实际问题 【 主干必备 】 应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路 1. 结合题意 , 建立恰当的平面直角坐标系 . 2. 数形结合 , 根据题中所给的数据转化为点的坐标 . 3. 求出抛物线解析式 , 应用二次函数性质或点的坐标的意义解决问题 . 【 核心突破 】 例 1(2018· 衢州中考 ) 某游乐园有一个直径为 16 米的圆形 喷水池 , 喷水池的周边有一圈喷水头 , 喷出的水柱为抛 物线 , 在距水池中心 3 米处达到最高 , 高度为 5 米 , 且各方 向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合 . 如图 所示 , 以水平方向为 x 轴 , 喷水池中心为原点建立直角坐 标系 . (1) 求水柱所在抛物线 ( 第一象限部分 ) 的函数解析式 . (2) 王师傅在喷水池内维修设备期间 , 喷水管意外喷水 , 为了不被淋湿 , 身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内 ? (3) 经检修评估 , 游乐园决定对喷水设施做如下设计改进 : 在喷出水柱的形状不变的前提下 , 把水池的直径扩大到 32 米 , 各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物 ( 高度不变 ) 处汇合 , 请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度 . 【 思路点拨 】 (1) 根据顶点坐标可设二次函数的顶点式 , 代入点 (8,0), 求出系数的值 , 此题得解 . (2) 利用二次函数图象上点的坐标特征 , 求出当 y=1.8 时 x 的值 , 由此即可得出结论 . (3) 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与 y 轴的交点坐标 , 由抛物线的形状不变可设改造后水柱 所在抛物线 ( 第一象限部分 ) 的函数解析式为 y=- x 2 + bx+ , 代入点 (16,0) 可求出 b 值 , 再利用配方法将二 次函数解析式变形为顶点式 , 即可得出结论 . 15 【 自主解答 】 (1) 设水柱所在抛物线 ( 第一象限部分 ) 的函数解析式为 y=a(x-3) 2 +5(a≠0), 将 (8,0) 代入 y=a(x-3) 2 +5, 得 :25a+5=0, 解得 :a=- , ∴ 水柱所在抛物线 ( 第一象限部分 ) 的函数解析式为 y=- (x-3) 2 +5(06, 所以这辆货车能 安全通过 . (3) 令 y=8, 则 - (x-6) 2 +10=8, 解得 x 1 =6+2 , x 2 =6-2 , 则 x 1 -x 2 =4 , 所以两排灯的水平距离最小是 4 m. 考点二　利润最大化问题 【 主干必备 】 应用二次函数性质解决最优化问题思路 1. 分析题中数量关系 , 确定变量 . 2. 根据等量关系 , 构建二次函数模型 . 3. 根据函数性质 , 确定最值 . 【 核心突破 】 例 2(2019· 成都中考 ) 随着 5G 技术 的发展 , 人们对各类 5G 产品的使用 充满期待 , 某公司计划在某地区销 售一款 5G 产品 , 根据市场分析 , 该产品的销售价格将随 销售周期的变化而变化 . 设该产品在第 x(x 为正整数 ) 个 销售周期每台的销售价格为 y 元 ,y 与 x 之间满足如图所示的一次函数关系 . (1) 求 y 与 x 之间的关系式 . (2) 设该产品在第 x 个销售周期的销售数量为 p( 万台 ), p 与 x 的关系可以用 p= x+ 来描述 . 根据以上信息 , 试问 : 哪个销售周期的销售收入最大 ? 此时该产品每台 的销售价格是多少元 ? 【 自主解答 】 (1) 设函数的关系式为 y=kx+b(k≠0), 由图象可得 , 解得 ∴ y 与 x 之间的关系式为 y=-500x+7 500. (2) 设销售收入为 w 万元 , 根据题意得 , w=yp=(-500x+7 500) , 即 w=-250(x-7) 2 +16 000, ∴ 当 x=7 时 ,w 有最大值为 16 000, 此时 y=-500 × 7+7 500=4 000( 元 ). 答 : 第 7 个销售周期的销售收入最大 , 此时该产品每台的销售价格是 4 000 元 . 【 明 · 技法 】 二次函数在销售问题中的应用 步骤 ① 读懂题意 , 借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系 ;② 确定函数解析式 ;③ 确定二次函数的最值 , 解决实际问题 . 【 易错提示 】 在求二次函数最值时 , 要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响 . 【 题组过关 】 1.(2019· 内蒙古呼和浩特期中 ) 某商品的销售利润与 销售单价存在二次函数关系 , 且二次项系数 a=-1, 当商 品单价为 160 元和 200 元时 , 能获得同样多的利润 , 要使 销售商品利润最大 , 销售单价应定为 __________ 元 .  180 2.(2019· 黑龙江哈尔滨道外区期末 ) 某商场经调研得出某种商品每天的利润 y( 元 ) 与销售单价 x( 元 ) 之间满足关系 :y=ax 2 +bx-75, 其图象如图所示 . (1) 求 a 与 b 的值 . (2) 销售单价为多少元时 , 该种商品每天的销售利润最 大 ? 最大利润是多少元 ?( 参考公式 : 当 x=- 时 , 二次 函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 有最小 ( 大 ) 值 ) (3) 销售单价定在多少时 , 该种商品每天的销售利润为 21 元 ? 结合图象 , 直接写出销售单价定在什么范围时 , 该种商品每天的销售利润不低于 21 元 ? 【 解析 】 (1)y=ax 2 +bx-75 图象过点 (5,0),(7,16), ∴ 解得 : (2) ∵ y=-x 2 +20x-75=-(x-10) 2 +25, ∴ 当 x=10 时 ,y 最大 =25. 答 : 销售单价为 10 元时 , 该种商品每天的销售利润最大 , 最大利润为 25 元 . (3) 根据题意 , 当 y=21 时 , 得 :-x 2 +20x-75=21, 解得 : x 1 =8,x 2 =12, ∴ x=8 或 x=12, 即销售单价定在 8 元或 12 元时 , 该种商品每天的销售利润为 21 元 ; 故销售单价 在 8≤x≤12 时 , 销售利润不低于 21 元 . 3.(2019· 南通二模 )A 厂一月份产值为 16 万元 , 因管理不善 , 二、三月份产值的月平均下降率为 x(0y B , y A -y B =16(1-x) 2 -12(1-x)(1+2x)=40 ∵ x< 时 ,y A -y B 的值随 x 的增大而减小 , 且 0y A , y B -y A =12(1-x)(1+2x)-16(1-x) 2 =4(1-x)(10x-1)= -40 ∵ -40<0, 4, ∴ 当 x= 时 , 三月份 A,B 两厂产值的差距最大 , 最大值 是 8.1 万元 . 考点三　面积最大化问题 【 核心突破 】 例 3(2018· 福建中考 ) 如图 , 在足 够大的空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN, 某人利用旧墙 和木栏围成一个矩形菜园 ABCD, 其中 AD≤MN, 已知矩形 菜园的一边靠墙 , 另三边一共用了 100 米木栏 . (1) 若 a=20, 所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米 , 求所利用旧墙 AD 的长 . (2) 求矩形菜园 ABCD 面积的最大值 . 【 思路点拨 】 (1) 设 AB=x m, 则 BC=(100-2x)m, 利用矩形 的面积公式得到 x(100-2x)=450, 解方程得 x 1 =5,x 2 =45, 然后计算 100-2x 后与 20 进行大小比较即可得到 AD 的长 . (2) 设 AD=y m, 利用矩形面积得到 S= y(100-y), 然后 配方 , 根据二次函数的性质得 S 的最大值 . 【 自主解答 】 (1) 设 AB=x m, 则 BC=(100-2x)m, 根据题意得 x(100-2x)=450, 解得 x 1 =5,x 2 =45, 当 x=5 时 ,100-2x=90>20, 不合题意舍去 ; 当 x=45 时 ,100-2x=10, ∴ AD 的长为 10m. (2) 设 AD=y m, ∴ S= y(100-y)=- (y-50) 2 +1 250, 当 a≥50 时 , 则 y=50 时 ,S 的最大值为 1 250; 当 0