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- 2021-11-11 发布
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题型突破(三)
三角形、四边形的有关计算与证明
类型一 有关三角形的计算与证明
三角形的有关知识的综合主要围绕三角形全等展开
,
先通过其他的条件得出判断三角形全等的边、角条件
,
再利用全等三角形的性质得出边或角之间的关系
.
1
.
[2019·
绍兴
]
如图
Z3-1
①是实验室中的一种摆动装置
,
BC
在地面上
,
支架
ABC
是底边为
BC
的等腰直角三角形
,
摆动臂
AD
可绕点
A
旋转
,
摆动臂
DM
可绕点
D
旋转
,
AD
=30,
DM
=10
.
(1)
在旋转过程中
:
①当
A
,
D
,
M
三点在同一直线上时
,
求
AM
的长
;
②当
A
,
D
,
M
三点在同一直角三角形的顶点时
,
求
AM
的长
.
(2)
若摆动臂
AD
顺时针旋转
90°,
点
D
的位置由
△
ABC
外的点
D
1
转到其内的点
D
2
处
,
连接
D
1
D
2
,
如图
Z3-1
②
,
此时∠
AD
2
C
=135°,
CD
2
=60,
求
BD
2
的长
.
①
②
图
Z3-1
1
.
[2019·
绍兴
]
如图
Z3-1
①是实验室中的一种摆动装置
,
BC
在地面上
,
支架
ABC
是底边为
BC
的等腰直角三角形
,
摆动臂
AD
可绕点
A
旋转
,
摆动臂
DM
可绕点
D
旋转
,
AD
=30,
DM
=10
.
(2)
若摆动臂
AD
顺时针旋转
90°,
点
D
的位置由
△
ABC
外的点
D
1
转到其内的点
D
2
处
,
连接
D
1
D
2
,
如图
Z3-1
②
,
此时∠
AD
2
C
=135°,
CD
2
=60,
求
BD
2
的长
.
①
②
图
Z3-1
2
.
如图
Z3-2,
在
△
ABC
中
,
∠
ABC
=45°,
CD
⊥
AB
,
BE
⊥
AC
,
垂足分别为
D
,
E
,
F
为
BC
的中点
,
BE
与
DF
,
DC
分别交于点
G
,
H
,
∠
ABE
=
∠
CBE.
(1)
线段
BH
与
AC
相等吗
?
若相等
,
给予证明
;
若不相等
,
请说明理由
.
(2)
求证
:
BG
2
-
GE
2
=
EA
2
.
图
Z3-2
2
.
如图
Z3-2,
在
△
ABC
中
,
∠
ABC
=45°,
CD
⊥
AB
,
BE
⊥
AC
,
垂足分别为
D
,
E
,
F
为
BC
的中点
,
BE
与
DF
,
DC
分别交于点
G
,
H
,
∠
ABE
=
∠
CBE.
(2)
求证
:
BG
2
-
GE
2
=
EA
2
.
图
Z3-2
3
.
已知两个共顶点的等腰直角三角形
ABC
和
CEF
,
∠
ABC
=
∠
CEF
=90°,
连接
AF
,
M
是
AF
的中点
,
连接
MB
,
ME.
(1)
如图
Z3-3
①
,
当
CB
与
CE
在同一条直线上时
,
求证
:
MB
∥
CF
;
(2)
在
(1)
的条件下
,
若
AB
=
a
,
CE
=2
a
,
求
BM
,
ME
的长
;
(3)
如图②
,
当∠
BCE
=45°
时
,
求证
:
BM
=
ME.
图
Z3-3
解
:(1)
证明
:
如图①
,
连接
CM.
∵
△
ABC
与
△
CEF
都是等腰直角三角形
,
∴∠
ACF
=2×45°=90°
.
又∵
M
是
AF
的中点
,
∴
CM
=
AM
=
MF.
又∵
AB
=
CB
,
BM
=
BM
,
∴
△
ABM
≌△
CBM
,
∴∠
1=
∠
2,
∴∠
AMC
=2
∠
1
.
∵
CM
=
MF
,
∴∠
3=
∠
4,
∴∠
AMC
=2
∠
3,
∴∠
1=
∠
3,
∴
BM
∥
CF.
3
.
已知两个共顶点的等腰直角三角形
ABC
和
CEF
,
∠
ABC
=
∠
CEF
=90°,
连接
AF
,
M
是
AF
的中点
,
连接
MB
,
ME.
(2)
在
(1)
的条件下
,
若
AB
=
a
,
CE
=2
a
,
求
BM
,
ME
的长
;
图
Z3-3
3
.
已知两个共顶点的等腰直角三角形
ABC
和
CEF
,
∠
ABC
=
∠
CEF
=90°,
连接
AF
,
M
是
AF
的中点
,
连接
MB
,
ME.
(3)
如图②
,
当∠
BCE
=45°
时
,
求证
:
BM
=
ME.
图
Z3-3
解
:
(3)
证明
:(
方法一
)
如图②
,
延长
BM
交
CF
于点
D
,
连接
BE
,
DE.
∵∠
BCE
=45°,
∴∠
BCF
=
∠
BCE
+
∠
ECF
=45°+45°=90°
.
∵∠
ABC
=90°,
∴∠
ABC
=
∠
BCF
,
∴
AB
∥
CF
,
∴∠
1=
∠
2,
∠
ABM
=
∠
FDM.
又∵
AM
=
FM
,
∴
△
ABM
≌△
FDM
,
∴
AB
=
DF
,
∴
BC
=
DF.
又∵∠
BCE
=
∠
DFE
=45°,
CE
=
FE
,
∴
△
BCE
≌△
DFE
,
∴∠
3=
∠
4,
∴∠
BED
=
∠
3+
∠
CED
=
∠
4+
∠
CED
=90°
.
又由
△
ABM
≌△
FDM
可知
,
BM
=
DM
,
∴
EM
是
Rt△
BED
的斜边
BD
上的中线
,
∴
BM
=
ME.
类型二 有关四边形的计算与证明
(
2018,19/2016,23/2015,21/2014,
22/2013,22
)
证明平行四边形及特殊平行四边形时
,
通常要先看题中已知条件的特点
,
再根据条件选择合适的判定方法加以证明
.
图
Z3-4
图
Z3-4
解
:
(2)
如图
,
连接
OB.
∵∠
BEF
=2
∠
BAC
,
∠
BEF
=
∠
BAC
+
∠
AOE
,
∴∠
BAC
=
∠
AOE
,
∴
△
EAO
为等腰三角形
,
AE
=
OE.
由
(1)
知
,△
FCO
≌△
EAO
,
∴
△
FCO
为等腰三角形
,
∴
OF
=
CF
=
AE
=
OE
,
∴
O
为
EF
的中点
.
∵
BE
=
BF
,
∴
BO
垂直平分
EF
,
∴
Rt△
BCF
≌
Rt△
BOF
≌
Rt△
BOE
(HL),
∴∠
CBF
=
∠
OBF
=
∠
OBE
=30°
.
∵
BC
=2,
∴
CF
=
AE
=2,
∴
BF
=
BE
=4,
∴
AB
=
AE
+
BE
=2+4=6
.
2
.
[2018·
鄂尔多斯
19
题
]
如图
Z3-5,
在
△
ABC
中
,
∠
BAC
=45°,
AD
⊥
BC
于点
D
,
BD
=6,
DC
=4
.
求
AD
的长
.
小明同学利用翻折
,
巧妙地解答了此题
,
按小明的思路探究并解答下列问题
:
(1)
分别以
AB
,
AC
为对称轴
,
画出
△
ABD
和
△
ACD
的对称图形
,
点
D
的对称点分别为点
E
,
F
,
延长
EB
和
FC
相交于点
G
,
求证
:
四边形
AEGF
是正方形
.
(2)
设
AD
=
x
,
建立关于
x
的方程模型
,
求出
AD
的长
.
图
Z3-5
解
:(1)
证明
:
∵
△
AEB
与
△
ADB
关于
AB
对称
,
△
ADC
与
△
AFC
关于
AC
对称
,
∴∠
EAB
=
∠
DAB
,
∠
FAC
=
∠
DAC
,
∠
E
=
∠
ADC
=
∠
F
=90°,
AE
=
AD
=
AF
,
BD
=
BE
,
CD
=
CF.
又∵∠
DAC
+
∠
DAB
=45°,
∴∠
EAB
+
∠
FAC
=45°,
∴∠
EAF
=90°,
∴四边形
AEGF
是矩形
,
又
AE
=
AF
,
∴四边形
AEGF
是正方形
.
2
.
[2018·
鄂尔多斯
19
题
]
如图
Z3-5,
在
△
ABC
中
,
∠
BAC
=45°,
AD
⊥
BC
于点
D
,
BD
=6,
DC
=4
.
求
AD
的长
.
小明同学利用翻折
,
巧妙地解答了此题
,
按小明的思路探究并解答下列问题
:
(2)
设
AD
=
x
,
建立关于
x
的方程模型
,
求出
AD
的长
.
图
Z3-5
解
: (2)
∵
BD
=6,
CD
=4,
∴
BE
=6,
CF
=4
.
又∵
AD
=
x
,
∴
AE
=
EG
=
GF
=
x
,
∴
BG
=
x
-6,
CG
=
x
-4
.
在
Rt△
BCG
中
,(
x
-6)
2
+(
x
-4)
2
=10
2
,
解得
x
1
=12,
x
2
=-2(
舍去
),
∴
AD
的长为
12
.
图
Z3-6
解
:(1)
证明
:
由折叠知
,
∠
EFA
=
∠
DFA
,
EG
=
GD
,
EF
=
DF.
∵
EG
∥
DC
,
∴∠
DFA
=
∠
EGF
,
∴∠
EFA
=
∠
EGF
,
∴
EF
=
EG
,
∴
EF
=
EG
=
FD
=
GD.
∴四边形
EFDG
是菱形
.
图
Z3-6
图
Z3-6
4
.
[2016·
鄂尔多斯
23
题
]
如图
Z3-7
①
,
在正方形
ABCD
中
,
点
O
是对角线
AC
的中点
,
点
P
是线段
AO
上
(
不与
A
,
O
重合
)
的一个动点
,
过点
P
作
PE
⊥
PB
,
且
PE
交边
CD
于点
E.
(1)
求证
:
PB
=
PE.
(2)
如图②
,
若正方形
ABCD
的边长为
2,
过点
E
作
EF
⊥
AC
于点
F
,
在点
P
运动的过程 中
,
PF
的长度是否发生变化
?
若不变
,
试求出这个不变的值
;
若变化
,
请说明理由
.
(3)
如图①
,
用等式表示线段
PC
,
PA
,
EC
之间的数量关系
.
图
Z3-7
解
:(1)
证明
:
如图①
,
过点
P
作
MN
∥
AD
,
交
AB
于
M
,
交
CD
于点
N.
∵
PB
⊥
PE
,
∴∠
BPE
=90°,
∴∠
MPB
+
∠
EPN
=90°
.
∵四边形
ABCD
是正方形
,
∴∠
BAD
=
∠
D
=90°
.
∵
AD
∥
MN
,
∴∠
BMP
=
∠
BAD
=
∠
PNE
=
∠
D
=90°,
∴∠
MPB
+
∠
MBP
=90°,
∴∠
EPN
=
∠
MBP.
在
Rt△
PNC
中
,
∠
PCN
=45°,
∴
△
PNC
是等腰直角三角形
,
∴
PN
=
CN.
∵∠
BMP
=
∠
PNC
=
∠
ABC
=90°,
∴四边形
MBCN
是矩形
,
∴
BM
=
CN
,
∴
BM
=
PN
,
∴
△
BMP
≌△
PNE
(ASA),
∴
PB
=
PE.
4
.
[2016·
鄂尔多斯
23
题
]
如图
Z3-7
①
,
在正方形
ABCD
中
,
点
O
是对角线
AC
的中点
,
点
P
是线段
AO
上
(
不与
A
,
O
重合
)
的一个动点
,
过点
P
作
PE
⊥
PB
,
且
PE
交边
CD
于点
E.
(2)
如图②
,
若正方形
ABCD
的边长为
2,
过点
E
作
EF
⊥
AC
于点
F
,
在点
P
运动的过程 中
,
PF
的长度是否发生变化
?
若不变
,
试求出这个不变的值
;
若变化
,
请说明理由
.
图
Z3-7
4
.
[2016·
鄂尔多斯
23
题
]
如图
Z3-7
①
,
在正方形
ABCD
中
,
点
O
是对角线
AC
的中点
,
点
P
是线段
AO
上
(
不与
A
,
O
重合
)
的一个动点
,
过点
P
作
PE
⊥
PB
,
且
PE
交边
CD
于点
E.
(3)
如图①
,
用等式表示线段
PC
,
PA
,
EC
之间的数量关系
.
图
Z3-7
5
.
猜想与证明
:
如图
Z3-8
①
,
摆放矩形纸片
ABCD
与矩形纸片
ECGF
,
使
B
,
C
,
G
三点在一条直线上
,
CE
在边
CD
上
,
连接
AF
,
若
M
为
AF
的中点
,
连接
DM
,
ME
,
试猜想
DM
与
ME
的数量关系
,
并证明你的结论
.
图
Z3-8
拓展与延伸
:
(1)
若将
“
猜想与证明
”
中的纸片换成正方形纸片
ABCD
与正方形纸片
ECGF
,
其他条件不变
,
则
DM
和
ME
的关系为
;
(2)
如图
Z3-8
②
,
摆放正方形纸片
ABCD
与正方形纸片
ECGF
,
使点
F
在边
CD
上
,
点
M
仍为
AF
的中点
,
试证明
(1)
中的结论仍然成立
.
图
Z3-8
解
:
猜想与证明
猜想
DM
与
ME
的数量关系是
DM
=
ME.
证明
:
如图①
,
延长
EM
交
AD
于点
H.
∵四边形
ABCD
,
四边形
ECGF
都是矩形
,
∴
AD
∥
BG
,
EF
∥
BG
,
∠
HDE
=90°
.
∴
AD
∥
EF.
∴∠
AHM
=
∠
FEM.
又∵
AM
=
FM
,
∠
AMH
=
∠
FME
,
∴
△
AMH
≌△
FME.
∴
HM
=
EM.
又∵∠
HDE
=90°,
∴
DM
=
ME.
5
.
拓展与延伸
:
(1)
若将
“
猜想与证明
”
中的纸片换成正方形纸片
ABCD
与正方形纸片
ECGF
,
其他条件不变
,
则
DM
和
ME
的关系为
;
图
Z3-8
DM
=
ME
,
DM
⊥
ME
5
.
拓展与延伸
:
(2)
如图
Z3-8
②
,
摆放正方形纸片
ABCD
与正方形纸片
ECGF
,
使点
F
在边
CD
上
,
点
M
仍为
AF
的中点
,
试证明
(1)
中的结论仍然成立
.
图
Z3-8