弧、弦、圆心角　　导学案 4页

‎24.1.3　弧、弦、圆心角 ‎1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．‎ ‎2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．‎ 重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理．‎ 难点：探索推导定理及其应用．‎ 一、自学指导．(10分钟)‎ 自学：自学教材P83～84内容，回答下列问题．‎ 探究：‎ ‎1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．‎ ‎2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．‎ ‎3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．‎ ‎4．在⊙O中，AB，CD是两条弦，‎ ‎(1)如果AB＝CD，那么__＝，__∠AOB＝∠COD__；‎ ‎(2)如果＝，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD；‎ ‎(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__AB＝CD__，＝__．‎ 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)‎ ‎1．如图，AD是⊙O的直径，AB＝AC，∠CAB＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)‎ ‎(1)__△ACO_≌_△ABO__；‎ ‎(2)__AD垂直平分BC__；‎ ‎(3)＝.‎ ‎2．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.‎ 4‎ 证明：∵＝，∴AB＝AC.‎ 又∵∠ACB＝60°，‎ ‎∴△ABC为等边三角形，‎ ‎∴AB＝AC＝BC，‎ ‎∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.‎ ‎,第2题图)　　　　,第3题图)‎ ‎3．如图，(1)已知＝.求证：AB＝CD.‎ ‎(2)如果AD＝BC，求证：＝.‎ 证明：(1)∵＝，‎ ‎∴＋＝＋，‎ ‎∴＝，∴AB＝CD.‎ ‎(2)∵AD＝BC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＋＝＋，即＝.‎ 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)‎ ‎1．⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的，则弦AB所对的圆心角为__90°__．‎ 点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．‎ ‎2．在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为__120°__．‎ ‎3．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝75°，求∠BAC的度数．‎ 解：30°.‎ ‎,第3题图)　　　　,第4题图)‎ ‎4．如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M，N分别是AB，CD的中点，‎ 4‎ AB＝CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？‎ 点拨精讲：(1)OM，ON具备垂径定理推论的条件．‎ ‎(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．‎ 解：∠AMN＝∠CNM.‎ ‎∵AB＝CD，M，N为AB，CD中点，‎ ‎∴OM＝ON，OM⊥AB，ON⊥CD，‎ ‎∴∠OMA＝∠ONC，∠OMN＝∠ONM，‎ ‎∴∠OMA－∠OMN＝∠ONC－∠ONM.‎ 即∠AMN＝∠CNM.‎ 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)‎ ‎1．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝35°，求∠AOE的度数．‎ 解：75°.‎ ‎,第1题图)　　,第2题图)‎ ‎2．如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上截取CE＝DF，连接OE，OF，它们的延长线交⊙O于点A，B.‎ ‎(1)试判断△OEF的形状，并说明理由；‎ ‎(2)求证：＝.‎ 解：(1)△OEF为等腰三角形．‎ 理由：过点O作OG⊥CD于点G，‎ 则CG＝DG.∵CE＝DF，‎ ‎∴CG－CE＝DG－DF.‎ ‎∴EG＝FG.∵OG⊥CD，‎ ‎∴OG为线段EF的垂直平分线．‎ ‎∴OE＝OF，‎ ‎∴△OEF为等腰三角形．‎ ‎(2)证明：连接AC，BD.‎ 由(1)知OE＝OF，‎ 又∵OA＝OB，‎ ‎∴AE＝BF，∠OEF＝∠OFE.‎ ‎∵∠CEA＝∠OEF，∠DFB＝∠OFE，‎ ‎∴∠CEA＝∠DFB.‎ 在△CEA与△DFB中，‎ AE＝BF，∠CEA＝∠BFD，CE＝DF，‎ ‎∴△CEA≌△DFB，∴AC＝BD，∴＝.‎ 点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC，BD，通过证弦等来证弧等．‎ ‎3．已知：如图，AB是⊙O的直径，M，N是AO，BO 4‎ 的中点．CM⊥AB，DN⊥AB，分别与圆交于C，D点．求证：＝.‎ 证明：连接AC，OC，OD，BD.‎ ‎∵M，N为AO，BO中点，‎ ‎∴OM＝ON，AM＝BN.‎ ‎∵CM⊥AB，DN⊥AB，‎ ‎∴∠CMO＝∠DNO＝90°.‎ 在Rt△CMO与Rt△DNO中，‎ OM＝ON，OC＝OD，‎ ‎∴Rt△CMO≌Rt△DNO.‎ ‎∴CM＝DN.在Rt△AMC和Rt△BND中，‎ AM＝BN，∠AMC＝∠BND，CM＝DN，‎ ‎∴△AMC≌△BND.‎ ‎∴AC＝BD.∴＝.‎ 点拨精讲：连接AC，OC，OD，BD，构造三角形．‎ 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)‎ 圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．‎ 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)‎ 4‎