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  • 2021-11-11 发布

中考数学三轮真题集训冲刺知识点33圆的基本性质pdf含解析

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1 / 35 一、选择题 1.(2019·嘉兴)如图,已知⊙O 上三点 A,B,C,半径 OC=1,∠ABC=30°,切线 PA 交 OC 延长线于 点 P,则 PA 的长为( ) A.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】连接 OA,因为∠ ABC=30°,所以∠AOC=60°,又因为 PA 为切线,所以∠OAP=90°,因 为 OC=1,所以 PA= 3 . 2.(2019·杭州)如图,P 为⊙O 外一点,PA、PB 分别切⊙O 于 A、B 两点,若 PA=3,则 PB= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】因为 PA 和 PB 与⊙O 相切,根据切线长定理,可知: PA=PB=3,故选 B. 3.(2019·烟台)如图,AB 是 O 的直径,直线 DE 与 O 相切于点 C,过点 A,B 分别作 AD ⊥ DE , BE ⊥ DE ,垂足为点 D,E,连接 AC,BC.若 AD = 3 ,CE = 3 ,则 AC 的长为( ). A. 2 3 3 B. 3 3 π C. 3 2 π D. 23 3 π 【答案】D PO A B C O D E B A 第 3 题答图 知识点 33——圆的基本性质 2 / 35 【解题过程】连接 OC, 因为 AD DE⊥ , BE DE⊥ , 所以 90ADC CEB∠ =∠=° 所以 90DAC ACD∠ +∠ = ° 因为 AB 是 O 的直径, 所以 90ACB∠=°, 所以 90BCE ACD∠ +∠ = °, 所以 BCE DAC∠=∠, 在△ADC 与△CED, 因为 90ADC CEB∠ =∠=°, BCE DAC∠=∠ 所以△ADC∽△CED, 所以 3 3 3 BC CE AC AD = = = 在 Rt△ACB 中,sin 3BCBAC AC ∠==, 所以 60BAC∠=°, 又因为OA OC= , 所以△AOC 是等边三角形, 所以 60ACO∠=°, 因为直线 DE 与 O 相切于点 C, 所以OC DE⊥ , 因为 AD DE⊥ ,OC DE⊥ , 所以 AD//OC, 所以 60DAC ACO∠=∠=°, 所以 90 30ACD DAC∠ = °−∠ = °, 所以 2 23AC AD= = , 所以△AOC 是等边三角形, 所以 23OA AC= = , 60AOC∠=°, 所以 AC 的长为 60 23 23 180 3 π π×× = . 4.(2019·威海) 如图,⊙P 与 x 轴交与点 A(—5,0),B(1,0),与 y 轴的正半轴交于点 C,若∠ ACB=60°,则点 C 的纵坐标为 。 3 / 35 A. 13 3+ B. 22 3+ C. 42D. 22 2+ 【答案】D 【解题过程】连接 PA、PB、PC,过点 P 分别作 PF⊥ AB, PE⊥ OC,垂足为 F,E. 由题意可知:四边形 PFOE 为矩形, ∴ PE= OF,PF=OE. ∵∠ACB=60°, ∴∠ APB=120°. ∵PA=PB, ∴∠PAB=∠ PBA=30°. ∵PF⊥ AB, ∴ AF= BF= 3. ∴ PE= OF= 2. ∵ tan30°= PF AF ,cos30°= AF AP , ∴PF= 3 ,AP= 23. ∴OE= 3 ,PC= 23. 在 RT△PEC 中,CE= 22PC PE− = 22, ∴OC=CE+EO= 22+2. 5.(2019·青岛) 如圈, 结段 AB 经过⊙O 的圆心,AC BD 分别与⊙O 相切于点 D.若 AC= BD = 4, x y C P A BO x y E C P FA BO 4 / 35 ∠A=45°, 则圆弧 CD 的长度为( ) A.π B. 2π C. 2 2 π D.4π 【答案】B 【 解 析 】 连 接 CO,DO, 因 为 AC,BD 分 别 与 ⊙ O 相 切 于 C,D , 所以∠ACO=∠DBO=90°, 所以∠AOC=∠A=45°, 所 以 CO=AC=4 ,因为 AC=BD,CO=DO, 所以△ ACO ≌△BDO, 所以∠ DOB= ∠ AOC=45° ,所以∠ DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°, CD = 90 4 180 π × =2π,故选 B. 6.(2019·益阳)如图,PA、PB 为圆 O 的切线,切点分别为 A、B,PO 交 AB 于点 C,PO 的延长 线 交圆 O 于点 D,下列结论不一定成立的是() A. PA=PBB.∠BPD=∠APDC.AB⊥PDD.AB 平分 PD 第 6题图 【答案】D 【解析】∵PA、PB 为圆 O 的切线,切点分别为 A、B,PO 交 AB 于点 C,PO 的延长线交圆 O 于点 D, ∴PA=PB,∠BPD=∠APD,故 A、B 正确; ∵PA=PB,∠BPD=∠APD,∴PD⊥AB,PD 平分 AB,但 AB 不一定平分 PD,故 C 正确,D 错误. 5 / 35 7.(2019·黄 冈 )如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( AB ), 点 O是这段弧所在圆的圆心,AB=40m, 点C是 AB 的中点,点D是AB的中点,且CD=10m.则这段弯路所在圆的半径为() A.25m B.24m C.30m D.60m 【答案】A 【解析】连接OD,由垂径定理可知O,C,D在同一条直线上,OC⊥AB,设半径为r,则OC=OA=r, AD=20,OD=OA-CD=r-10,在Rt△ADO,由勾股定理知:r2=202+(r-10)2,解得r=25. 8.(2019·陇南)如图,点 A,B,S 在圆上,若弦 AB 的长度等于圆半径的 倍,则∠ASB 的度数 是 ( ) A.22.5° B.30° C.45° D.60° 【答案】C 【解析】作 AB 的垂直平分线,交圆与点 C,D,设圆心为 O,CD 与 AB 交于点 E,∵AB= 2 OA,∴ AE= 2 2 OA ,∴ 2 22sin 2 OAOEAOE OA OA ∠== =,∴∠AOE=45°,∴∠AOB=90°, (第7题图) O D C B A A B C D O 6 / 35 ∴∠ASB=45°, 故选:C. 9.(2019·滨州)如图,AB 为 ⊙ O 的直径,C,D 为 ⊙ O 上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD 的大小为 ( ) A.60° B.50° C.40° D.20° 【答案】B 【解析】如图,连接 AD,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB=90°.∵∠A 和∠BCD 都是弧 BD 所对的圆周 角,∴∠A=∠BCD=40°,∴∠ABD=90°-40°=50°.故选 B. 10. (2019·聊城)如图,BC 是半圆 O 的直径,D,E 是 BC 上两点,连接 BD,CE 并延长交于点 A,连接 OD,OE, 如果∠A=70°,那么∠DOE 的度数为( ) A.35° B.38° C.40° D.42° 7 / 35 【答案】C 【解析】∵∠A=70°,∴∠B+∠C=110°,∴∠BOE+∠COD=220°,∴∠DOE=∠BOE+∠COD-180° =40°,故选 C. 11.(2019·潍坊)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AB 为直径,AD=CD.过点 D 作 DE⊥AB 于 点 E.连 接 AC 交 DE 于点 F.若 sin∠CAB= 3 5 ,DF=5,则 BC 的长为( ) A.8 B.10 C.12 D.16 【答案】C 【解析】连接 BD. ∵AD=CD,∴∠DAC=∠ACD. ∵AB 为直径,∴∠ADB=∠ACB=90°.∴∠DAB+∠ABD=90°. ∵DE⊥AB,∴∠DAB+∠ADE=90°.∴∠ADE=∠ABD. ∵∠ABD=∠ACD,∴∠DAC=∠ADE.∴AF=DF=5. 在 Rt△AEF 中,sin∠CAB= 3 5 EF AF = ∴EF=3,AE=4.∴DE=3+5=8. 8 / 35 由 DE2=AE ▪EB,得 228 164 DEBE AE = = = . ∴AB=16+4=20. 在 Rt△ABC 中,sin∠CAB= 3 5 BC AB = ∴BC=12. 12.(2019·凉山)下列命题:①直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;②两点之间线 段最短;③相等的圆心角所对的弧相等;④平分弦的直径垂直于弦.其中,真命题的个数( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离;两点之间线段最短;在同圆或 等圆中,相等的圆心角所对的弧相等;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,所以只有①是对的,故选 A. 13.(2019·眉山)如图,⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD.垂足是 点 E,∠CAO=22.5°,OC=6, 则 CD 的长为( ) A. 6 2 B. 3 2 C.6 D.12 【答案】A 【解析】∵∠A=22.5°,∴∠COE=45°,∵⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD,OC=6,∴∠CEO=90°, ∵∠COE=45°,∴CE=OE= 2 2 OC= 32,∴CD=2CE=62,故选 D. 9 / 35 14.(2019·衢州)一块圆形宣传标志牌如图所示,点A,B,C在⊙O上,CD垂直平分AB于点D.现测 得 AB=8dm,DC=2dm,则圆形标志牌的半径为( ) A.6dm B.5dm C.4dm D.3dm 【答案】B 【解析】连接OD,OB,则 O,C,D三点在一条直线上,因为CD 垂直平分 AB,AB=8dm,所以BD=4dm,OD= (r-2)dm,由勾股定理得 42+(r-2)2=r2,r=5dm,故选 B. 15.(2019·泰安) 如图,△ABC 是  O 的内接三角形,∠A=119°,过点 C 的圆的切线交 BO 于点 P,则∠P 的度数为( ) A.32 ° B.31° C.29° D.61° 【答案】A 【解析】连接 CO,CF,∵∠A=119°,∴∠BFC=61°,∴∠BOC=122°,∴∠COP=58°,∵CP 与圆相切 于点 C,∴OC⊥CP,∴在 Rt△OCP 中,∠P=90°-∠COP=32°,故选 A. 10 / 35 二、填空题 1.(2019·嘉兴)如图,已知⊙O 上三点 A,B,C,半径 OC=1,∠ABC=30°,切线 PA 交 OC 延长线于 点 P,则 PA 的长为( ) A.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】连接 OA,因为∠ ABC=30°,所以∠AOC=60°,又因为 PA 为切线,所以∠OAP=90°,因 为 OC=1,所以 PA= 3 . 2.(2019·杭州)如图,P 为⊙O 外一点,PA、PB 分别切⊙O 于 A、B 两点,若 PA=3,则 PB= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】因为 PA 和 PB 与⊙O 相切,根据切线长定理,可知: PA=PB=3,故选 B. 3.(2019·烟台)如图,AB 是 O 的直径,直线 DE 与 O 相切于点 C,过点 A,B 分别作 AD ⊥ DE , BE ⊥ DE ,垂足为点 D,E,连接 AC,BC.若 AD = 3 ,CE = 3 ,则 AC 的长为( ). A. 2 3 3 B. 3 3 π C. 3 2 π D. 23 3 π 【答案】D PO A B C O D E B A 第 3 题答图 11 / 35 【解题过程】连接 OC, 因为 AD DE⊥ , BE DE⊥ , 所以 90ADC CEB∠ =∠=° 所以 90DAC ACD∠ +∠ = ° 因为 AB 是 O 的直径, 所以 90ACB∠=°, 所以 90BCE ACD∠ +∠ = °, 所以 BCE DAC∠=∠, 在△ADC 与△CED, 因为 90ADC CEB∠ =∠=°, BCE DAC∠=∠ 所以△ADC∽△CED, 所以 3 3 3 BC CE AC AD = = = 在 Rt△ACB 中,sin 3BCBAC AC ∠==, 所以 60BAC∠=°, 又因为OA OC= , 所以△AOC 是等边三角形, 所以 60ACO∠=°, 因为直线 DE 与 O 相切于点 C, 所以OC DE⊥ , 因为 AD DE⊥ ,OC DE⊥ , 所以 AD//OC, 所以 60DAC ACO∠=∠=°, 所以 90 30ACD DAC∠ = °−∠ = °, 所以 2 23AC AD= = , 所以△AOC 是等边三角形, 所以 23OA AC= = , 60AOC∠=°, 所以 AC 的长为 60 23 23 180 3 π π×× = . 4.(2019·威海) 如图,⊙P 与 x 轴交与点 A(—5,0),B(1,0),与 y 轴的正半轴交于点 C,若∠ ACB=60°,则点 C 的纵坐标为 。 12 / 35 B. 13 3+ B. 22 3+ C. 42D. 22 2+ 【答案】D 【解题过程】连接 PA、PB、PC,过点 P 分别作 PF⊥ AB, PE⊥ OC,垂足为 F,E. 由题意可知:四边形 PFOE 为矩形, ∴ PE= OF,PF=OE. ∵∠ACB=60°, ∴∠ APB=120°. ∵PA=PB, ∴∠PAB=∠ PBA=30°. ∵PF⊥ AB, ∴ AF= BF= 3. ∴ PE= OF= 2. ∵ tan30°= PF AF ,cos30°= AF AP , ∴PF= 3 ,AP= 23. ∴OE= 3 ,PC= 23. 在 RT△PEC 中,CE= 22PC PE− = 22, ∴OC=CE+EO= 22+2. 5.(2019·青岛) 如圈, 结段 AB 经过⊙O 的圆心,AC BD 分别与⊙O 相切于点 D.若 AC= BD = 4, x y C P A BO x y E C P FA BO 13 / 35 ∠A=45°, 则圆弧 CD 的长度为( ) A.π B. 2π C. 2 2 π D.4π 【答案】B 【解析】连接CO,DO,因为AC,BD分别与⊙O相切于C,D, 所以∠ACO=∠DBO=90°, 所以∠AOC=∠A=45°, 所 以 CO=AC=4 ,因为 AC=BD,CO=DO, 所以△ ACO ≌△BDO, 所以∠ DOB= ∠ AOC=45° ,所以∠ DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°, CD = 90 4 180 π × =2π,故选 B. 6.(2019·娄底)如图(9),C、D 两点在以 AB 为直径的圆上,AB=2,∠ACD=30°,则 AD= _____________. 【答案】1. 【解析】如图,图 9-1,连结 AD, ∵由 AB 为⊙O 的直径, 14 / 35 ∴∠ADB=90°, 又∵在⊙O 中有∠ACD=30°, ∴∠B=∠ACD=30°, ∴ 1121AD = 2 AB = 2 × = . 7.(2019·衡阳)已知圆的半径是 6,则圆内接正三角形的边长是__________. 【答案】6 3 【解析】如图,作 OD⊥BC 于 D,∵OB=6,∠OBD=30,∴BD= 1 2 BC=3 3 ,∴BC=6 3 ,故答 案为 6 3 . 8.(2019·安徽)如图,△ABC 内接于⊙O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB 于点 D,若⊙O 的半径为 2,则 CD 的长为_______. 【答案】 2 【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,等腰直角三角形的性质,正确的作出辅助线 是解题的关键.连接 CO 并延长交⊙O 于 E,连接 BE,于是得到∠E=∠A=30°,∠EBC=90°,解直角 三角形即可得到结论.连接 CO 并延长交⊙O 于 E,连接 BE, 则∠E=∠A=30° ,∠ EBC=90°,∵⊙O 的半径为 2,∴ CE=4,∴ BC= 2 1 CE=2,∵ CD⊥AB,∠ CBA=45°, ∴CD= 2 2 BC= 2 ,故答案为 2 . D CB O A 15 / 35 9.(2019·株洲)如图所示,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,且 OC⊥AB,过点 C 的弦 CD 与线 段 OB 相交于点 E,满足∠AEC=65°,连接 AD,则∠BAD=度. 【答案】20° 【解析】如图,连接 DO,因为 CO⊥AB,所以∠COB=90°,∵∠AEC=65°,∴∠C=25°, ∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°,△DCO 中,∠DOC=130°,∴∠DOB=40°,∴2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°。 10.(2019·凉山州)如图所示,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于 H,∠A =30°,CD =2 3 ,则⊙O 的半径是______________. 【答案】2 【解析】连接OC,则OA=OC,∴∠A=∠ACO=30°,∴∠COH=60°,∵OB⊥CD,CD=2 3 ,∴CH= 3 , ∴OH=1,∴OC=2. 11.(2019·泰州)如图,⊙O 的半径为 5,点 P 在⊙O 上,点 A 在⊙O 内,且 AP=3,过点 A 作 AP 的垂线交于 ⊙O 点 B、C.设 PB=x,PC=y,则 y 与 x 的函数表达式为________. 16 / 35 第 11题图 【答案】 y 30 x = 【解析】过点 O 作 OD⊥PC 于点 D 连接 OP,OC,因为 PC=y,由垂径定理可得 DC= 2 y ,因为 OP=OC,所以 ∠COD= 1 2 ∠POC,由圆周角定理,∠B= 1 2 ∠POC,所以∠COD=∠B,所以△COD∽△PBA, PA BP CD OC = ,即 3 5 2 x y = ,整理可得函数表达式为: 30y x = . 12.(2019·嘉兴)如图,在⊙O 中,弦 AB=1,点 C 在 AB 上移动,连结 OC,过点 C 作 CD⊥OC 交⊙O 于 点 D,则 CD 的最大值为 . 【答案】 1 2 【解析】连接 OD,因为 CD⊥OC,则有 CD= 22OD OC− ,根据题意可知圆半径一定,故当 OC 最 17 / 35 小时则有 CD 最大,故当 OC⊥AB 时 CD=BC= 1 2 最大. 13.(2019·盐城)如图,点 A、B、C、D、E 在⊙O 上,且弧 AB 为 50°,则∠E+∠C=________ 【答案】155° 【解析】如图,连结 OA、OB、AE,由弧 AB 为 50°可知,∠AOB=50°,又∠AOB 和∠AEB 分别为弧 AB 所对的圆心角和圆周角,故 1 2 AEB AOB∠=∠,即∠AEB=25°,又四边形 AEDC 是O 的内接四边形,所 以∠ACD+∠AED=180°,又∠AEB=25°,可得∠ACD+∠BED=180°-25°=155°. 三、解答题 1.(2019 浙江省温州市,22,10 分)(本题满分 10 分) 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,点 E 在 BC 边上,且 CA=CE,过 A,C,E 三点的⊙O 交 AB 于另一点 F,作直径 AD,连结 DE 并延长交 AB 于点 G,连结 CD,CF. (1)求证:四边形 DCFG 是平行四边形; (2)当 BE=4,CD= 3 8 AB 时,求⊙O 的直径长. O A C D E B O C D E B A 18 / 35 【解题过程】(1)连接 AE. ∵∠BAC=90°,∴CF 是⊙O 的直径. ∵ AC=EC,∴CF⊥AE.∵AD 为⊙O 的直径,∴∠AED=90°,即 GD⊥AE,∴CF∥DG. ∵ AD 为⊙O 的直径,∴∠ACD=90°,∴∠ACD+∠BAC=180°,∴AB∥CD,∴四边形 DCFG 为平 行四边形; (2)由 CD= 3 8 AB,可设 CD=3x,AB=8x,∴CD=FG=3x. ∵ ∠AOF=∠COD,∴AF=CD=3x,∴BG=8x-3x-3x=2x. ∵ GE∥CF,∴△BGE∽△CDE,∴ 2 3 BE BG EG = GF = . 又∵ BE=4,∴AC=CE=6,∴BC=6+4=10,∴AB= 102 -62 =8=8x,∴x=1. 在 Rt△ACF 中,AF=3,AC=6,∴CF= 32 +62 =3 5 ,即⊙O 的直径长为 3 5 . 2.(2019 年浙江省绍兴市,第 21 题,10 分 )在屏幕上有如下内容: 如图,△ABC 内接于圆 O,直径 AB 的长为 2,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D. 张老师要求添加条件后,编制一道题目,并解答 0 (1)在屏幕内容中添加条件∠D=30°,求 AD 的长,请你解答. (2)以下是小明,小聪的对话: 参考此对话,在屏幕内容中添加条件,编制一道题目(可以添线、添字母),并解答. 第1题图 O G F E D CB A 第1题图 O G F E D CB A 19 / 35 【解题过程】 3.(2019 江苏盐城卷,24,10)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是斜边 AB 上的中线,以 CD 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 M、N,过点 N 作 NE⊥AB,垂足为 E. (2)求证:NE 与⊙O 相切. 20 / 35 21 / 35 4.(2019·山西)阅读以下材料,并按要求完成相应的任务: 莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler )是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公 式和定理,下面就是欧拉发现的一个定理:在△ABC 中,R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径,O 和 I 分别为 其外心和内心,则OI 2 =R2 - 2Rr . 如图 1,O 和I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆,I 与 AB 相切于点 F,设O 的半径为 R,I 的半 径为 r,外心 O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心 I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离 OI =d,则有 22=2d R Rr- . 下面是该定理的证明过程(部分): 延长 AI 交O 于点 D,过点 I 作O 的直径 MN,连接 DM,AN. ∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等), ∴△MDI∽△ANI.∴ IM ID IA IN= .∴ IA ID IM IN??. ① 如图 2,在图 1(隐去 MD,AN)的基础上作O 的直径 DE,连接 BE,BD,BI,IF. ∵DE 是O 的直径,∴∠DBE=90°.∵I 与 AB 相切于点 F,∴∠AFI=90°,∴∠DBE=∠IFA. 22 / 35 ∵∠BAD=∠E(同弧所对的圆周角相等),∴△AIF∽△EDB. ∴ IA IF DE BD= .∴ IA BD DE IF??. ② …… 任务: (1)观察发现:IM=R+r,IN=_____(用含 R,d 的代数式表示); (2)请判断 BD 和 ID 的数量关系,并说明理由; (3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1),(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩 余部分; (4)应用:若△ABC 的外接圆的半径为 5cm,内切圆的半径为 2cm,则△ABC 的外心与内心之间的距离为 ___cm 5.(2019·天津)如图,在每个小正方形的边长为 1 的网格中,△ABC 的顶点 A 在格点上,B 是小正 方形边的中点,∠ABC=50°,∠BAC=30°,经过点 A,B 的圆的圆心在边 AC 上, (1)线段 AB 的长等于; (2)请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出一个点 P,使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB,并 23 / 35 简要说明点 P 的位置是如何找到的(不需要证明) 【答案】(1) (2)如图,取圆与网格线的交点 E,F 连接 EF 与 AC 相交,得圆心 O;AB 与网格 线相交于点 D,连 接 DO 并延长,交 O 于点 Q,连 接 QC 并延长,与点 B,O 的连线 BO 相交于点 P, 连接 AP,则点 P 满足∠PAC=∠PBC=∠PCB 【解析】(1)如图,Rt△ABD 中,AD=2,BD= 2 1 ,由勾股定理可得 AB= (2)由于点 A 在格点上,可得直角,根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径,又因为圆心 在 AC 上,所以取圆与网格线的交点 E,F 连接 EF 与 AC 相交,得圆心 O;AB 与网格线相交于点 D, 则点 D 为 AB 的中点,连接 DO 并延长,根据垂径定理可得则 DO 垂直平分 AB,连 接 BO,则 ∠OAB= 24 / 35 ∠OBA=30°,因为∠ABC=50°,所以∠OBC=20°,DO 的延长线交 O 于点 Q,连接 QC 并延长,与 点 B,O 的连线 BO 相交于点 P,连接 AP,则点 P 满足∠PAC=∠PBC=∠PCB. 6.(2019·湖州)已知一条弧所对的圆周角的度数为 15°,则它所对的圆心角的度数是______. 【答案】30°. 【解析】根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的 2 倍,可知答 案为 30°. 7. (2019·台州)如图,AC 是圆内接四边形 ABCD 的一条对角线,点 D 关于 AC 的对称点 E 在边 BC 上,连 接 AE,若∠ABC=64°,则∠BAE 的度数为________. 【答案】52° 【解析】∵圆内接四边形 ABCD,∴∠B+∠D=180°,∵∠B=64°,∴∠D=116°,又∵点 D 关于 AC 的 对称点是点 E,∴∠D=∠AEC=116°,又∵∠AEC=∠B+∠BAE,∴∠BAE=52°. 三、解答题 1.(2019·苏州,26,12)如图,AB 为 ⊙ O 的直径,C 为 ⊙ O 上一点,D 是弧 BC 的中点,BC 与 AD、 OD 分别交于点 E、F.(1)求证:DO∥AC;(2)求证:DE•DA=DC2;(3)若 tan∠CAD 1 2 = ,求 sin∠CDA 的值. 第 1 题图 【解题过程】解 :( 1)∵点 D 是 BC 中点,OD 是圆的半径,∴OD⊥BC,∵AB 是圆的直径,∴∠ ACB=90°,∴AC∥OD; 25 / 35 (2)∵  CD BD= ,∴∠CAD=∠DCB,∴△DCE∽△DCA,∴CD2=DE•DA; (3)∵tan∠CAD 1 2 = ,∴△DCE 和△DAC 的相似比为 1 2 ,设:DE=a,则 CD=2a,AD=4a,AE =3a, ∴ AE DE = 3,即△AEC 和△DEF 的相似比为 3,设 EF=k,则 CE=3k,BC=8k,tan∠CAD 1 2 = ,∴ AC=6k,AB=10k,∴sin∠CDA 3= 5 . 2.(2019 安徽,19 题号,10 分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图 1,明朝科学家徐光启 在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图 2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆. 已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦 AB 的长为 6 米,∠OAB=41.3°.若点 C 为运行轨道的最高 点(C,O 的连线垂直于 AB).求点 C 到弦 AB 所在直线的距离. (参考数据:sin41.3°≈0.66, cos41.3°≈0.75 , tan41.3°≈0.88) 【解题过程】解:连接 CO 并延长,交 AB 于点 D,所以 CD⊥AB,所以 D 为 AB 中点,所 求运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在直线的距离即为线段 CD 的长. ………………2 分 在 Rt△AOD 中,∵AD= 2 1 AB=3,∠OAD=41.3°, ∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64,OA= 03.41cos AD ≈ 75.0 3 =4,…………8 分 ∴CD=CO+OD=AO+OD2.64+4=6.64.………………10 分 答:运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在直线的距离约为 6.64 米. 3.(2019·宁波)如图 1,  O 经过等边三角形 ABC 的顶点 A,C(圆心 O 在△ABC 内),分别与 AB,CB 的延长 线交于点 D,E,连接 DE,BF⊥EC 交 AE 于点 F. 26 / 35 (1)求证:BD=BE; (2)当 AF:EF=3:2,AC=6 时,求 AE 的长; (3)设 AF EF =x,tan∠DAE=y. ①求 y 关于 x 的函数表达式; ②如图 2,连接 OF,OB,若△AEC 的面积是△OFB 面积的 10 倍,求 y 的值. 解:(1)∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,∠DEB=∠BAC=60°,∠D=∠C=60°,∠DEB =∠D,BD=BE. (2)如图,过点 A 作 AG⊥EC 于点 G,∵△ABC 为等边三角形,AC=6,∴BG= 1 2 BC= 1 2 AC=3,在 Rt△ABG 中,AG= 3 BG= 33,∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴ =AF BG EF EB ,∵AF:EF=3:2,∴BE= 2 3 BG=2,∴EG= BE+BG=3+2=5,∴在 Rt△AEG 中,AE= 222 13AG EG+= ; 答图(1) (3)①如图,过点 E 作 EH⊥AD 于点 H,∵∠EBD=∠ABC=60,在 Rt△BEH 中, EH EB =sin60= 3 2 ,EH= 3 2 BE,BH= 1 2 BE, =BG AF EB EF =x,BG=xBE,AB=BC=2BG=2xBE,AH=AB+BH=2xBE+ 1 2 BE=(2x+ 1 2 )BE,Rt△AHE 中,tanEAD= 3 32= 1 412 2 BEEH AH xx BE = ++ ,∴y= 3 41x + ; 27 / 35 答图(2) ②如图,过点 O 作 OM⊥EC 于点 M,设 BE=a,∵ =BG AF EB EF =x,∴CG=BG=xBE=ax,∴EC=CG+BG+BE = a+2ax,∴EM= 1 2 EC= 1 2 a+ax, ∴BM=EM- BE = ax - 1 2 a, ∵BF∥ AG, ∴△EBF∽△EGA, ∴ 1== =1 BF BE a AG EG a ax x++, ∵ AG = 3 BG = 3 ax, ∴ BF = 1 1 x+ AG = 3 1 ax x+ , △ OFB 的面积= 13 1 2 21 2 BF BM ax ax ax ⋅ =×−+  ,△AEC 的面积= ( )1 3222 EC AG ax a ax⋅ =×+,∵△OFB 的面积是△AEC 的面积的 10 倍,∴ 13 110 21 2 ax ax ax ×× −+  = ( )1 322 ax a ax×+,∴2x2-7x+6=0,解之,得 x1=2,x2= 3 2 ,y= 3 9 或 3 7 . 答图(3) 4.(2019·自贡,第21题)如图,⊙O 中,弦 AB 与 CD 相交于点 E,AB=CD,连 接 AD、BC, 求证:(1)

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