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- 2021-11-12 发布
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1 / 15
一、选择题
1.(2019·泰州) 小明和同学做"抛掷质地均匀的硬币试验"获得的数据如下表
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为 1000,则"下面朝上"的频数最接近( )
A.200 B.300 C.500 D.800
【答案】C
【解析】根据实验,正面朝上的频率依次为:0.35,0,49,0.52,0.505,0.488,据此可估计,抛掷质地均匀的硬币,
正面朝上的概率约为 0.5,所以抛掷硬币的次数为 1000,则"下面朝上"的频数最接近 1000×0.5=500(次),
故选 C.
2.(2019·德州)甲、乙是两个不透明的纸箱,甲中有三张标有数字 , ,1 的卡片,乙中有三张标
有数字 1,2,3 的卡片,卡片除所标数字外无其他差别,现制定一个游戏规则:从甲中任取一张卡片,
将其数字记为 a,从乙中任取一张卡片,将其数字记为 b.若 a,b 能使关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1
=0 有两个不相等的实数根,则甲获胜;否则乙获胜.则乙获胜的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】画树状图如下:
由图可知,共有 9 种等可能的结果,其中能使乙获胜的有 4 种结果数,
∴乙获胜的概率为 ,
故选 C.
3.(2019·温州)在同一副扑克牌中抽取 2 张“方块”,3 张“梅花”,1 张“红桃”.将这 6 张牌背面
朝 上,从中任意抽取 1 张,是“红桃”的概率为 ( )
A. 1
6
B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
【答案】A
【解析】本题考查了概率公式,根据概率的定义即可得到答案. 共 6 张扑克牌,其中 1 张“红桃”,则
从中任意抽取 1 张,是“红桃”的概率为 1
6
.故选 A.
4.(2019·绍兴 )为了解某地区九年级男生的身高情况,随机抽取了该地区 100 名九年级男生,他们
知识点 43——概率
2 / 15
的身高 x(cm)统计如下:
根据以上结果,抽查该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于 180cm 的概率是 ( )
A.0.85 B. 0.57 C. 0.42 D.0.15
【答案】D
【解析】结合表格,根据频率=频数÷样本容量,即身高不低于 180cm 的频率是 15÷100=0.15,再用频
率估计概率进行解答.
5.(2019·烟台)将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上,飞镖落在白色区域的概率为
( ).
A. 2
5
B. 1
2
C. 3
5
D.无法确定
【答案】B
【解析】利用图形的对称性,可以看出在正六边形镖盘中白色区域与阴影区域的面积相等,所以飞镖落
在白色区域的概率为 1
2
.
6.(2019·株洲)从﹣1,1,2,4 四个数中任取两个不同的数(记作: ak ,bk )构成一个数组 Mk=
{ ak ,bk }(其中 k=1,2,…,S,且将{ ak ,bk }与{bk ,ak }视为同一个数组),若满足:对于任
意的 Mi={ ai ,bi }和 Mj={ a j ,bj }(i≠j,1≤i≤S,1≤j≤S)都有 ai +bi ≠ a j +bj ,则 S 的最
大值()
A.10B.6C.5D.4
【答案】C
【解析】从-1,1,2,4 这四个数中任取两个不同的数,共有{ -1,1}{ -1,2}{ -1,4}{ 1,2}{ 1,4}{ 2,4}六种情况,
其中{ -1,4}{ 1,2}两数和相同,所以共有五种情况,即 S 最大为 5,选 C。
7.(2019·武汉)从 1、2、3、4 四个数中随机选取两个不同的数,分别记为 a、c,则关于 x 的一元二次方
程 ax2+4x+c=0 有实数解的概率为( )
A. 1
4 B.
3
1 C.
2
1 D.
3
2
【答案】C
【解析】列表如下:
3 / 15
1 2 3 4
1 —— (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) —— (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) —— (3,4)
4 (4,1) (4,2) (4,3) ——
所有等可能的情况有 12 种,其中关于 x 的一元二次方程 ax2+4x+c=0 有实数根的情况有 6 种,分别为
(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1),则 P= 61
12
=
2
.故选 C.
8.(2019·武汉)不透明的袋子中只有 4 个黑球和 2 个白球,这些球除颜色外无其他差别,随机从袋子中一
次摸出 3 个球,下列事件是不可能事件的是( )
A.3 个球都是黑球 B.3 个球都是白球
C.三个球中有黑球 D.3 个球中有白球
【答案】B
【解析】A 中,3 个球都是黑球是随机事件;B 中 3 个球都是白球是不可能事件;C 中,三个球中有黑球是
随机事件;D 中,3 个球中有白球是随机事件.故选 B.
9. (2019·泰安)一个盒子中装有标号为 1,2,3,4,5 的五个小球,这些球除标号外都相同,从中随机摸出两个小
球,则摸出的小球标号之和大于 5 的概率为( )
A. 1
5 B. 2
5 C. 3
5 D. 4
5
【答案】C
【解析】随机摸出两个球,所有可能的结果有 20 种,每种结果的可能性相同,其中,摸出的小球标号之和大
于 5 的结果有 12 种,∴P= 63=20 5 ,故选 C.
10. (2019·枣庄) 从-1,2,3,-6 这四个数中任取两个数,分别记作 m,n,那么点(m,n) 在函数 6y x
= 图象上的
概率是
A. 1
2 B. 1
3 C. 1
4 D. 1
8
【答案】B
【解析】从-1,2,3,-6 这四个数中任取两个数,所有可能的结果有 12 种,每种结果的可能性相同,其中,两
数乘积为 6 的结果有 4 种,当两数乘积为 6 时,点(m,n)必定在函数 6y x
= 的图象上,因此 P= 41=12 3 .故选 B.
11.(2019·乐山)小强同学从 −1,0 ,1, 2 ,3, 4 这六个数中任选一个数,满足不等式 x +1< 2
的概率是 ( )
A. 1
5
B. 2
4
C. 1
3
D. 1
2
【答案】C
【解析】本题考查了概率的计算与不等式解法的综合, 21<+x 的解集为 x<1, 1− ,0 ,1,2 ,3,4
这六个数中有 1− , 0 两个符合,故满足不等式 21<+x 的概率是 21=63
,故选 C.
4 / 15
12.(2019·湖州)已知现有的 10 瓶饮料中有 2 瓶已过了保质期,从这 10 瓶饮料中任取 1 瓶,恰好取
到 已过了保质期的饮料的概率是( )
A. 1
10
B. 9
10
C. 1
5
D. 4
5
【答案】C.
【解析】P(从这 10 瓶饮料中任取 1 瓶,恰好取到已过了保质期的饮料)= 2
10
= 1
5
,故选 C.
13.(2019·金华)一个布袋里装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个白球,除颜色外其它都相同. 搅匀后任意
摸 出一个球,是白.球.的概率为( )
A. 1
2 B. 3
10 C. 1
5 D. 7
10
【答案】A.
【解析】白球..的概率为 5
235++
= 1
2
.故选 A.
14.(2019·长沙)下列事件中,是必然事件的是( )
A.购买一张彩票,中奖 B.射击运动员射击一次,命中靶心
C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯 D.任意画一个三角形,其内角和是 180°
【答案】D
【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别.根据实际情况
即可解答.A.购买一张彩票,中奖是随机事件;B.射击运动员射击一次,命中靶心是随机事件;
C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯是随机事件;D.任意画一个三角形,其内角和是 180°是
必然事件.故本题选:D.
15.(2019·衢州)在一个箱子里放有1个白球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,从箱子里任意摸
出1 个球,摸到白球的概率是( )
A.1 B. 2
3
C. 1
3
D. 1
2
【答案】C
【解析】本题考查概率的计算,因为在箱子里放有 1 个白球和 2 个红球,从箱子里任意摸出 1 个球有三
种情况:白球、红球 1、红球 2,所以摸到白球的概率是 1
3
,故选 C.
二、填空题
1.(2019·嘉兴)从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动,甲被选中的概率为 .
【答案】 2
3
【解析】画出树状图,共有 6 个等可能的结果,甲被选中的结果有 4 个,由概率公式即可得出结果.概
5 / 15
率为 2
3
.
2.(2019·盐城) 如图,转盘中 6 个扇形的面积都相等,任意转动转盘 1 次,当转盘停止转动时,指
针落在阴影部分的概率为 .
【答案】 1
2
【解析】首先确定指针图中阴影部分区域的面积在整个面积中占的比例,
根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率.
3.(2019·益阳)小蕾有某文学名著上、中、下各 1 册,她随机将它们叠放在一起,从上到下的顺序
恰好为“上册、中册、下册”的概率是 .
【答案】
6
1 【解题过程】画树状图如下:
∵从上到下的顺序总共有种可能的结果,顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果又 1 种,
∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是
6
1 .
4.(2019·娄底)如图(7),随机闭合开关 S1 ,S2 ,S3 中的两个,能让灯泡发光的概率是____________.
【答案】 2
3
.
【解析】当开关 1S 与 2S 闭合或 1S 与 3S 闭合时,灯泡才会发光.同时闭合两个开关可能出现表格中的几
种情况:
6 / 15
( ) 42P 灯泡发光 =
6
=
3
.
5.(2019·衡阳)在一个不透明布袋里装有 3 个白球、2 个红球和 a 个黄球,这些球除颜色不同其它没
有任何区别,若从该布袋里任意摸出 1 个球,该球是黄球的概率为 1
2
,则 a 等于
.
【答案】5
【解析】由题意得
32
a
a++
= 1
2
,解得 a=5,故答案为 5.
6.(2019·陇南)一个猜想是否正确,科学家们要经过反复的实验论证.下表是几位科学家“掷硬币”
的实验数据:
实验者 德•摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基
掷币次数 6140 4040 10000 36000 80640
出现“正面朝上”
的次数
3109 2048 4979 18031 39699
频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492
请根据以上数据,估计硬币出现“正面朝上”的概率为 (精确到 0.1).
【答案】0.5.
【解析】解:由表格中的数据可知,概率约为 0.5,故答案为:0.5.
7.(2019·长沙)在一个不透明的袋子中有若千个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸
出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过程.以
下是利用计算机模拟的摸球试验统计表:
摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000
“摸出黑球”的次数 36 387 2019 4009 19970 40008
“摸出黑球”的频率(结果保留小数点后三位) 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400
根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是(结果保留小数点后一位).
7 / 15
【答案】0.4
【解析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率.观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐
稳定在 0.4 附近,故摸到白球的频率估计值为 0.4;故填:0.4.
8.(2019·岳阳)分别写有数字 1
3
, 2 ,-1,0,π 的五张大小和质地均相同的卡片,从中任意抽取
一张,抽到无理数的概率是_______.
【答案】 2
5
【解析】五个数中 2 和 π 是无理数,故从中任意抽取一张,抽到无理数的概率是 2
5
.
9. (2019·聊城)在阳光中学举行的春季运动会上,小亮和大刚报名参加 100 米比赛,预赛分 A,B,C,D 四组进
行,运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组,小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是________.
【答案】 1
4
【解析】两人从四个组中抽一个组,共有 16 种等可能的结果,其中,两人抽到同一组的结果有 4 种,∴小亮
和大刚恰好抽到同一个组的概率= 41=16 4 .
10.(2019·淄博)某校欲从初三级部 3 名女生,2 名男生中任取两名学生代表学校参加全市举办的“中
国 梦•青春梦”演讲比赛,则恰好选中一男一女的概率是___________.
【答案】 3
5
【解析】解法 1:列表如下
女 女 女 男 男
女 女,女 女,女 女,男 女,男
女 女,女 女,女 女,男 女,男
女 女,女 女,女 女,男 女,男
男 女,男 女,男 女,男 男,男
男 女,男 女,男 女,男 男,男
所有可能的结果数为 20,选中一男一女的结果数为 12,
所以,选中一男一女的概率 P= 12 3
20 5
= .
解法 2:画树状图如下
所有可能的结果数为 20,选中一男一女的结果数为 12,
8 / 15
所以,选中一男一女的概率 P= 12 3
20 5
= .
11.(2019·达州)如图所示的电路中,当随即闭合开关 S 1 、S 2 、S 3 中的两个时,能够让灯泡发光的
概率为______.
【答案】
3
2
【解析】共有 21SS 、 31SS 、 32SS 、 12SS 、 13SS 、 23SS 六种情况,其中能让灯泡发亮的有 21SS 、 31SS 、
12SS 、 13SS 四种情况,所以概率为
3
2
.
12.(2019·天津)不透明袋子中装有 7 个球,其中有 2 个红球,3 个绿球和 2 个蓝球,这些球出颜色
外 无其他差别,从袋子中随机取出 1 个球,则它是绿球的概率是______.
【答案】
7
3
【解析】任意摸一个球,共有 7 种可能,其中绿色的有 3 种可能,所以答案为
7
3
.
13.(2019·宁波)袋中装有除颜色外其余均相同的 5 个红球和 3 个白球.从袋中任意摸出一个球,则摸出的
球 是红球的概率为________.
【答案】 5
8
【解析】袋中共有 8 个球,任意摸一次,有 8 中等可能的结果,其中,摸到红球的结果有 5 中,∴摸出的球是红
球的概率= 5
8
14.(2019·株洲)若一个盒子中有 6 个白球,4 个黑球,2 个红球,且各球的大小与质地都相问,现随
机从中摸出一个球,得到白球的概率是 .
【答案】 1
2
【解析】由题意知共有 12 个球,白球 6 个,随机摸球,机会均等,所以得到白球的概率是 1
2 。
9 / 15
15. (2019·台州)一个不透明的布袋中仅有 2 个红球,1 个黑球,这些球除颜色外无其它差别,先随机摸出一
个小球,记下颜色后放回搅匀,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球颜色不同的概率是________.
【答案】 4
9
【解析】
红 1 红 2 黑
红 1 (红 1,红 1) (红 1,红 2) (红 1,黑)
红 2 (红 2,红 1) (红 2,红 2) (红 2,黑)
黑 (黑,红 1) (黑,红 2) (黑,黑)
共有 9 种等可能的结果,其中两次摸出小球颜色不同的可能结果有 4 种,∴P(两次摸出小球颜色不同)= 4
9 .
16.(2019·重庆 B 卷)一枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数。连续掷两次骰
子, 在骰子向上的一面上,第二次出现的点数是第一次出现的点数的 2 倍的概率是_____.
【答案】12
1
【解析】因为本题两次抛掷结果互不影响,所以所有可能出现的结果为 6×6=36 种,其中第二次出现的
点数是第一次出现的点数的 2 倍的结果有(1,2) ,( 2,4),(3,6)共 3 种,所以根据概率计算公式 P=
36
3 故
答案为12
1
三、解答题
1.(2019 山东威海,20,8 分)在一个箱内装入只有标号不同的三颗小球,标号分别为 1,2,3.每次
随机取出一颗小球,记下标号作为得分,再将小球放回箱内.小明现已取球三次,得分分别为 1 分,3
分,2 分,小明又从箱内取球两次,若五次得分的平均数不小于 2.2 分,请用画树状图或列表的方法,
发生“五次取球得分的平均数不小于 2.2 分”情况的概率.
【解题过程】画树状图如下:
共有 9 种等可能的结果数,由于五次得分的平均数不小于 2.2 分,
所以,五次的总得分不小于 11 分,后 2 次的得分不小于 5 分,而在这 9 种结果中,得出不小于 5 分的
有 3 种结果.
所以,发生“五次取球得分的平均数不小于 2.2 分”情况的概率为 . 31
93
=
第一次
第二次
10 / 15
2.(2019·苏州)如图,将一个棱长为 3 的正方体的表面涂上红色,再把它分割成棱长为 1 的小正方
体,从中任取一个小正方体,则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为 .
【答案】 8
27
【解析】本题主要考查了概率公式的应用,由题意可得:小立方体一共有 27 个,恰有三个面涂有红色
的有 8 个,故取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为 8
27
.故答案为 8
27
.
3.(2019 江苏盐城卷,20,8)在一个不透明的布袋中,有 2 个红球,1 个白球,这些球除颜色外都
相同.
(1) 搅匀后从中任意摸出 1 个球,摸到红球的概率是 ;
(2) 搅匀后先从中任意摸出 1 个球(不放回),再从余下的球中任意摸出 1 个球.求两次都摸到红球
的概率.
(用树状图或表格列出所有等可能出现的结果)
【解题过程】解:
(1) 布袋中共 3 个小球,这些球除颜色外都相同,故能摸到红球的概率为 2
3P = ;
(2) 解法一:
用表格列出所有可能出现的结果如下:
红 1 红 2 白
红 1 (红 1,红 2) (红 1,白)
红 2 (红 2,红 1) (红 2,白)
白 (白 》红 1) (白,红 2)
由表格可知,一共有 6 种可能出现的结果,它们是等可能的,其中“两
次都摸到红球”有 2 种.
∴P(两次都摸到红球)= 21
63
= .
解法二:
解:根据题意,可以画出如下的树状图:
11 / 15
由树状图知,所有可能出现的结果有 6 种,它们是等可能的,
其中“两次都摸到红球”有 2 种.
∴P(两次都摸到红球)= 21
63
= .
4.(2019·青岛)
小明和小刚一起做游戏,游戏规则如下:将分别标有数字 1, 2,3,4 的 4 个小球放入一个不透明的袋子
中,这些球除数字外都相同.从中随机摸出一个球记下数字后放回, 再从中随机摸出一个球记下数字.若
两次数字差的绝对值小于 2, 则小明获胜, 否则小刚获胜.这个游戏对两人公平吗?请说明理由.
【解题过程】根据题意画树状图如下:
根据树状图分析,两次摸球之差的绝对值有 16 种情况,其中两次数字差的绝对值小于 2 的有 10 种情况,
所以两次数字差的绝对值小于 2 的概率是10
16
= 5
8
,所以小明获胜的概率是 5
8
,小明获胜的概率是 3
8
,
∵ 5
8
>
3
8
,∴这个游戏对两人不公平.
5.(2019·江西)为纪念建国 70 周年,某校举行班级歌咏比赛,歌曲有:《我爱你,中国》,《歌唱祖
国》,《(我和我的祖国》(分别用字母 A,B,C 依次表示这三首歌曲).比赛时,将 A,B,C 这三个字母
分别写在 3 张无差别不透明的卡片正面上,洗匀后正面向下放在桌面上,八(1)班班长先从中随机轴取
一张卡片,放回后洗匀,再由八(2)班班长从中随机抽取一张卡片,进行歌比赛.
(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 .
(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果,并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率.
【解题过程】解:(1)∵总共有三种可能的抽取结果,抽中歌曲《我和我的祖国》的可能结果有一种,
∴八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是
3
1 .
(2)画树状图如下:
∵总共有 9 种可能的抽取结果,八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的结果有 6 种,
两者之差绝对值
第二次摸球
第一次摸球
0101 2321 0 1 23210 1
4321432143211 2 3 4
4321
红
红 白
红
红 白
白
红 红
12 / 15
∴八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是
3
2
9
6 = .
6.(2019·株洲)某甜品店计划订购一种鮮奶,根据以往的销售经验,当天的需求量与当天的最高气
温 T 有关,现将去年六月份(按 30 天计算)的有关情况统计如下:
(最高气温与需求量统计表)
(最高气温与天数的统计图)
(1)求去年六月份最高气温不低于 30℃的天数;
(2)若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率,求去年六月份这种鲜奶一
天的需求量不超过 200 杯的概率;
(3)若今年六月份每天的进货量均为 350 杯,每杯的进价为 4 元,售价为 8 元,未售出的这种鲜
奶厂家以 1 元的价格收回销毁,假设今年与去年的情况大致一样,若今年六月份某天的最高
气温 T 满足 25≤T<30(单位: ℃ ), 试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元?
【解题过程】(1)最高温度不低于 30°天数为 6+2=8(天)
(2)由表格知每日鲜奶需求量不超过 200 杯时,当日最高气温小于 25°,由条形统计图可
得,最高气温低于 25°的天数有(9+3)天,所以去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过
200 杯的概率是
9+3 = 2
30 5
(3)由表格知某天的最高气温 T 满足 25≤T<30 时,销售量为 250 杯,则利润为
250×8+(350-250)×1-350×4=700(元)
7.(2019·重庆 A 卷)一个不透明的布袋内装有除颜色外,其余完全相同的 3 个红球,2 个白球,1 个
黄球,搅匀后,从中随机摸出一个球,记下颜色后放回搅匀,再从中随机摸出一个球,则两次都摸
到红球的概率为_____.
【答案】 1
4
.
【解析】记红球三个分别为 a1、a2、a3,白球两个分别为 b1、b2,黄球为 c,现列表如下:
13 / 15
由上表可知,共有 36 种等可能的结果,其中两个球都是红球的有 9 种情况,故 P(两次都摸到红球)= 9
36
= 1
4
.
三、解答题
1.(2019·泰州)小明代表学校参加"我和我的祖国"主题宣传教育活动,该活动分为两个阶段,第一阶段有
"歌曲演唱"、"书法展示"、"器乐独奏"3 个项目(依次用 A. B、C 表示),第二阶段有"故事演讲"、"诗歌朗
诵"2 个项目(依次用 D、E 表示),参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成.用画树状图或列表的方法
列出小明参加项目的所有等可能的结果,并求小明恰好抽中 B、D 两个项目的概率.
【解题过程】小明在两个阶段参加项目的所有可能的结果如下表:
第一次
第二次
D E
A (A,D) (A,E)
B (B,D) (B,E)
C (C,D) (C,E)
所有可能的结果有 6 种,每种结果的可能性相同,其中,抽中 B,D 两个项目的结果有 1 中,所以其概率为 P=
1
6 .答:小明恰好抽中 B、D 两个项目的概率为 1
6
2.(2019·苏州)在一个不透明的盒子中装有 4 张卡片,4 张仁片的正面分别标有数字 1,2,3,4,
这些卡片除数字外都相同,将卡片搅匀.
(1)从盒子中任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数数字卡片的概率是 ;
(2)先从盒子中任意抽取一张忙片,再从余下的 3 张卡片中任意抽取一张卡片,求抽取的 2 张卡片标有
的数字之和大于 4 的概率(请用面树状图或列表等方法求解).
解:(1)从盒子中任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是为 2 1
42
= ,
故答案为 1
2
.
(2)根据题意列表得:
1 2 3 4
(b1,c)(b1,b2)(b1,b1)(b1,a3)(b1,a2)(b1,a1)
(c,c)(c,b2)(c,b1)(c,a3)(c,a2)(c,a1)
(b2,a1) (b2,a2) (b2,a3) (b2,b1) (b2,b2) (b2,c)
(a2,a2)(a2,a1) (a2,a3) (a2,b1) (a2,b2) (a2,c)
(a1,a2)(a1,a1) (a1,a3) (a1,b1) (a1,b2) (a1,c)
(a3,c)(a3,b2)(a3,b1)(a3,a3)(a3,a1) (a3,a2)
a1 a3a2 b1 b2 c
c
b2
b1
a2
a3
a1
14 / 15
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
由表格可知,共有 12 种可能的结果,并且它们的出现是等可能的,其中两次抽取卡片数字和大于 4 的
情况包括:(1,4),(2,3),(2,4),( 3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4.3)共 8 种.所以 P(抽取曲张卡
片数字和大于 4)= 82
12 3
=
.
3.(2019·陇南)2019 年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于 4 月 29 日至 10 月 7 日在
北京延庆区举行.世园会为满足大家的游览需求,倾情打造了 4 条各具特色的趣玩路线,分别是:A.“解
密世园会”、B.“爱我家,爱园艺”、C.“园艺小清新之旅”和 D.“快速车览之旅”.李欣和张帆都
计划暑假去世园会,他们各自在这 4 条线路中任意选择一条线路游览,每条线路被选择的可能性相同.
(1)李欣选择线路 C.“园艺小清新之旅”的概率是多少?
(2)用画树状图或列表的方法,求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率.
解:(1)∵在这四条线路任选一条,每条被选中的可能性相同,
∴在四条线路中,李欣选择线路 C.“园艺小清新之旅”的概率是 ;
(2)画树状图分析如下:
共有 16 种等可能的结果,李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有 4 种,
∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为 = .
4.(2019 安徽)为监控某条生产线上产品的质量,检测员每隔相同时间抽取一件产品,并测量其尺寸.
在一天的抽检结束后,检测员将测得的 15 个数据按从小到大的顺序整理成如下表格:
按照生产标准,产品等次规定如下:
尺寸(单位:cm) 产品等次
8.97≤x≤9.03 特等品
8.95≤x≤9.05 优等品
15 / 15
8.90≤x≤9.10 合格品
x﹤8.90 或 x﹥9.10 非合格品
注:在统计优等品个数时,将特等品计算在内;在统计合格品个数时,将优等品(含特等品)计算在内.
(1)已知这次抽检的合格率为 80%,请判断编号为 ○15 的产品是否为合格品.并说明理由.
(2)已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为 9cm.
(i)求 a 的值;
(ii)将这些优等品分成两组,一组尺寸大于 9 cm,另一组尺寸不大于 9 cm.从这两组中各随机抽取 1
件进行复检,求抽到的 2 件产品都是特等品的概率.
【解题过程】解 :( 1)因为抽检的合格率为 80%,所以合格产品有 15×80%=12 个,即非合
格品有 3 个,而从编号①至编号 ○14 对应的产品中,只有编号①与编号②对应的产品为非合格
品,从而编号为 ○15 的产品不是合格品; ………………4 分
(2)( i)按照优等品的标准,从编号 ○6 到编号 ○11 对应的 6 个产品为优等品,中间两个产
品的尺寸数分别为 8.98 和 a,所以中位数为
2
98.8 a+ =9,则 a=9.02; …………7 分
(ii)优等品中,编号⑥、编 号⑦、编 号⑧对应的产品尺寸不大于 9cm,分别记为 A1,A2,A3,编号⑨、
编号⑩、编号 ○11 的产品尺寸大于 9cm,分别记为 B1,B2,B3,其中特等品为 A2,A3,B1,B2,从两组
产品中各随机抽取 1 件,有如下 9 种不同事物等可能结果:A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,
A3B1,A3B2,A3B3,其中 2 件都是特等品的有如下 4 种不同的等可能结果:A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,
所以抽到的两个产品都是特等品的概率 P=
9
4 .………………12 分
5.(2019·无锡)某商场举办抽奖活动,规则如下:在不透明的袋子中有 2 个红球和 2 个黑球,这些球
除颜色外都相同,顾客每次摸出一个球,若摸到红球,则获得 1 份奖品,若摸到黑球,则没有奖品.
(1)如果小芳只有一次摸球机会,那么小芳获得奖品的概率为 ;
(2)如果小芳有两次摸球机会(摸出后不放回),求小芳获得 2 份奖品的概率.(请用“画树状图”或“列
表”等方法写出分析过程)
解:(1) 1
2
(2)根据题意,画出树状图如下:
∵共有等可能事件 12 种,其中符合题目要求,∴获得 2 份奖品的事件有 2 种所以概率 P= 1
6
.