台区2007年初三数学统一练习（二） 17页

丰台区2007年初三统一练习（二）‎ 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 ‎ ‎ 第I卷（选择题 32分）‎ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1、－3的倒数是 ‎ A. B. C. 3 D. －3‎ ‎2、在函数中，自变量x的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、下列计算中正确的是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是 ‎5、某同学调查了一周内全校学生参加体育活动的情况，数据如下表：‎ 活动次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 学生人数 ‎120‎ ‎238‎ ‎110‎ ‎80‎ ‎40‎ 则全校学生参加体育活动的次数的众数和中位数分别是 A. 1，2 B. 2，‎1 ‎ C. 2，2， D. 1，1‎ ‎6、如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依次类推，第2007个三角形的周长是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7、如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8、如图，现有一圆心角为90°，半径为‎8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 ‎ A. ‎4cm B. ‎3cm C. ‎2cm D. ‎‎1cm ‎ ‎ 第II卷（非选择题 88分）‎ 二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）‎ ‎9、将0.0089用科学记数法表示为_______________。‎ ‎10、如上图，一次函数的图象经过点P（a，b）、Q（c，d），则的值为_______________。‎ ‎11、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为根据这个规则，方程的解为_______________。‎ ‎12、如上图，矩形ABCD中，将矩形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动的每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为_______________。‎ ‎ ‎ 三、（共3个小题，其中13小题4分，14、15小题每小题5分，共14分）‎ ‎13、计算：‎ ‎ 解：‎ ‎14、计算：‎ ‎ 解：‎ ‎15、解方程组：‎ ‎ 解：‎ ‎ ‎ 四、（共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎16、已知：如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1。线段AB和CD分别是图中1×3的两个矩形的对角线，显然AB∥CD。请你用类似的方法画出过点E且垂直于AB的直线，并证明。‎ 证明：‎ ‎17、已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2。‎ ‎ 求：（1）一次函数的解析式；‎ ‎ （2）△AOB的面积。‎ ‎ 解：‎ ‎18、将正面分别标有数字6，7，8，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上。‎ ‎ （1）随机地抽取一张，求这张卡片上的数字为偶数的概率；‎ ‎ （2）随机地抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数？恰好为“‎68”‎的概率是多少？‎ ‎ 解：‎ ‎19、已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC，交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB。‎ ‎ （1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎ （2）若∠ADC＝30°，AC＝6，求BC的长。‎ ‎ （1）证明：‎ ‎（2）解：‎ ‎ ‎ 五、（共3个小题，每小题5分，共15分）‎ ‎20、按要求解答下列问题：‎ ‎ （1）图1是一块直角三角形纸片，将该三角形纸片按如图方法折叠，使点A与点C重合，DE为折痕，试证明△CBE为等腰三角形；‎ ‎ （2）再将图1中的△CBE沿对称轴EF折叠（如图2）。通过折叠，原三角形恰好折成两个完全重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝隙无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”，你能将图3中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图3中画出折痕；‎ ‎ （3）请你在图4的方格纸中画出一个斜三角形，使它同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点（各小正方形顶点）上。（画出一个即可）。‎ ‎ 证明：‎ ‎21、学校鼓励学生参加社会实践，小萌所在班级的研究性学习小组，在假期对她们所在城市的一家晚报的读者进行了一次问卷调查，以便了解读者对该种报纸四个版面的喜欢情况。她们调查了男女读者各500名，要求每个读者选出自己最喜欢的一个版面，并将得到的数据绘制了下面尚未完成的统计图。‎ ‎（1）请直接将图①所示的统计图补充完整；‎ ‎（2）请分别计算出喜欢各版面的总人数，并根据计算结果利用图②画出折线统计图；‎ ‎（3）请你根据上述统计情况，对该报社提出一条合理化建议。‎ 解：‎ ‎22、已知：如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，小明想测量A到湖边的距离，他从湖边的B处测得A在北偏东60°的方向上，在C处测得A在北偏东45°的方向上，且量得B、C两点之间的距离为‎10米。根据上述测量结果，请你帮小明计算凉亭A到湖边的距离。‎ 解：‎ ‎ ‎ 六、（本题满分7分）‎ ‎23、如图①，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO＝30°，OA＝4。‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）如图②，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到的位置，其中交直线OA于点E，A′B′分别交直线OA，CA于点F，G，则除外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案（不再另外添加辅助线）；‎ ‎（3）在（2）的基础上，将绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线CE的函数表达式。‎ 解：‎ ‎ ‎ 七、（本题满分8分）‎ ‎24、已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10。且点E在下底边BC上，点F在腰AB上。‎ ‎（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；‎ ‎（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：3两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由。‎ 解：‎ ‎ ‎ 八、（本题满分8分）‎ ‎25、已知：如图，抛物线与坐标轴的交点依次是A（－4，0），B（－2，0），E（0，8）‎ ‎ （1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；‎ ‎ （2）设抛物线的顶点为M，抛物线与x轴分别交于C、D两点（点C在点D 的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S。若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止。求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎ （3）在（2）的运动过程中，当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；‎ ‎ （4）在（2）的运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由。‎ ‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 丰台区2007年初三统一练习（二）‎ 数学试卷答案及评分参考 ‎ ‎ 第I卷（选择题 32分）‎ 一、（共8个小题，每小题4分，共32分）‎ ‎1~5 BBADD 6~8 CAC ‎ ‎ 第II卷（非选择题 88分）‎ 二、（共4个小题，每小题4分，共16分）‎ ‎9、‎ ‎10、9‎ ‎11、‎ ‎12、‎ ‎ ‎ 三、（共3个小题，其中13小题4分，14、15小题每小题5分，共14分）‎ ‎13、计算：‎ ‎ 解：‎ ‎ 1分 ‎ 2分 ‎ 3分 ‎ 4分 ‎14、计算：‎ ‎ 解：‎ ‎ 4分 ‎ 5分 ‎15、解方程组：‎ ‎ 解：得 ‎ 1分 ‎ 2分 把代入（1），得 ‎ 3分 ‎ 4分 所以原方程组的解是 5分 ‎ ‎ 四、（共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎16、已知：如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1。线段AB和CD分别是图中1×3的两个矩形的对角线，显然AB∥CD。请你用类似的方法画出过点E且垂直于AB的直线，并证明。‎ 证明：如图，过B、E作直线，则BE⊥AB于点B。 1分 证明如下：‎ 在△ABG和△BEF中，‎ ‎∵AG＝BF＝1，∠G＝∠F＝90°，BG＝EF＝3。 2分 ‎∴△ABG≌△BEF。 3分 ‎∴∠ABG＝∠BEF。 4分 ‎∵∠BEF＋∠EBF＝90°，‎ ‎∴∠ABG＋∠EBF＝90°。‎ ‎∴∠ABE＝90°。‎ ‎∴BE⊥AB。 5分 ‎17、已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2。‎ ‎ ‎ ‎ 求：（1）一次函数的解析式；‎ ‎ （2）△AOB的面积。‎ ‎ 解：（1）∵反比例函数的图象经过点A、B，‎ ‎∴时，y＝4；y＝－2时，x＝4。 1分 ‎∴点A（－2，4），点B（4，－2）。 2分 ‎∵一次函数的图象经过点A、B，‎ ‎∴一次函数的解析式为 3分 ‎（2）在中令则 ‎∴直线与x轴的交点M（2，0）。 4分 ‎ 5分 ‎18、将正面分别标有数字6，7，8，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上。‎ ‎ （1）随机地抽取一张，求这张卡片上的数字为偶数的概率；‎ ‎ （2）随机地抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数？恰好是“‎68”‎的概率是多少？‎ ‎ 解：（1）随机地抽取一张，所有可能出现的结果有3个，每个结果发生的可能性都相等，其中卡片上的数字为偶数的结果有2个。‎ ‎ 所以P（偶数）。 2分 ‎（2）随机地抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，能组成的两位数为：67，68，76，78，86，87。 4分 P（恰好是“‎68”‎） 5分 ‎19、已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC，交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB。‎ ‎ （1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎ （2）若∠ADC＝30°，AC＝6，求BC的长。‎ ‎ （1）证明：联结OC，则∠CAO＝∠ACO。‎ ‎∵AC平分∠EAB， ∴∠EAC＝∠CAO。‎ ‎∴∠EAC＝∠ACO。 ∴AE∥OC。 1分 ‎∴∠DCO＝∠E＝90°，即DE⊥OC。‎ ‎∴DE是⊙O的切线。 2分 ‎（2）解：∵∠ADC＝30°， ∴∠EAD＝60°。‎ ‎ 3分 ‎∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°。‎ ‎ 4分 ‎ 5分 ‎ ‎ 五、（共3个小题，每小题5分，共15分）‎ ‎20、按要求解答下列问题：‎ ‎ （1）图1是一块直角三角形纸片，将该三角形纸片按如图方法折叠，使点A与点C重合，DE为折痕，试证明△CBE为等腰三角形；‎ ‎ （2）再将图1中的△CBE沿对称轴EF折叠（如图2）。通过折叠，原三角形恰好折成两个完全重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝隙无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”，你能将图3中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图3中画出折痕；‎ ‎ （3）请你在图4的方格纸中画出一个斜三角形，使它同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点（各小正方形顶点）上。（画出一个即可）。‎ ‎（1）证明：由对称性，可知∠A＝∠DCE。‎ ‎∵∠ECB＝90°－∠DCE，∠B＝90°－∠A，‎ ‎∴∠ECB＝∠B。‎ ‎∴△CBE为等腰三角形。 2分 ‎（2）能将图3中的△ABC折叠成一个组合矩形。‎ 如图3。（共有三种折法，折痕画对一种即可） 4分 ‎（3）如图4（1）或图4（2）。（答案不唯一，画对一种即可） 5分 ‎21、学校鼓励学生参加社会实践，小萌所在班级的研究性学习小组在假期对她们所在城市的一家晚报的读者进行了一次问卷调查，以便了解读者对该种报纸四个版面的喜欢情况。她们调查了男女读者各500名，要求每个读者选出自己最喜欢的一个版面，并将得到的数据绘制了下面尚未完成的统计图。‎ ‎（1）请直接将图①所示的统计图补充完整；‎ ‎（2）请分别计算出喜欢各版面的总人数，并根据计算结果利用图②画出折线统计图；‎ ‎（3）请你根据上述统计情况，对该报社提出一条合理化建议。‎ 解：（1）补全统计图，如图1。 2分 ‎（2）喜欢新闻版的总人数 ‎500×30%＋500×32%＝310（人），‎ 喜欢文娱版的总人数 ‎500×10%＋500×30%＝200（人），‎ 喜欢体育版的总人数 500×48%＋500×20%＝340（人），‎ 喜欢生活版的总人数 500×12%＋500×18%＝150（人）。‎ 绘制的折线统计图如图2。 4分 ‎（3）答案一唯一，有意义即可。 5分 ‎22、已知：如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，小明想测量A到湖边的距离，他从湖边的B处测得A在北偏东60°的方向上，在C处测得A在北偏东45°的方向上，且量得B、C两点之间的距离为‎10米。根据上述测量结果，请你帮小明计算凉亭A到湖边的距离。‎ 解：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，AD的长为所求。‎ 由已知，得∠ACD＝45°，∠ABD＝30°，BC＝10。 1分 设AD＝x，则CD＝x，AB＝2x。‎ 由勾股定理，得 2分 解得（舍去） 4分 ‎∴（米），即凉亭A到湖边的距离是米。 5分 ‎ ‎ 六、（本题满分7分）‎ ‎23、如图①，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO＝30°，OA＝4。‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）如图②，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到的位置，其中交直线OA于点E，A′B′分别交直线OA、CA于点F，G，则除外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案（不再另外添加辅助线）；‎ ‎（3）在（2）的基础上，将绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线CE的函数表达式。‎ ‎ ‎ 解：（1）在Rt△AOC中，∠ACO＝90°，∠CAO＝30°，OA＝4，‎ ‎∴OC＝2。 1分 ‎∵点C在x轴的负半轴上，‎ ‎∴点C的坐标为（－2，0） 2分 ‎（2）‎ ‎ 4分 ‎（3）如图③，过点作于点M。‎ ‎∵在Rt△E1MO中，‎ ‎∴点的坐标为（）。 5分 设直线的函数表达式为 则 解得 ‎∴直线的函数表达式为 6分 同理，如图④所示，点的坐标为。‎ 设直线的函数表达式为 则 解得 ‎∴直线的函数表达式为 7分 ‎ ‎ 七、（本题满分8分）‎ ‎24、已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10。且点E在下底边BC上，点F在腰AB上。‎ ‎（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；‎ ‎（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：3两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由。‎ 解：（1）由已知，得梯形的周长为24，高为4，面积为28。‎ ‎∵BE＋BF＝12， ∴BF＝12－x。‎ 过点F作FM⊥BC于点M，过点A作AN⊥BC于点N。‎ 可证△BMF∽△BNA。‎ ‎∴即 ‎ 2分 ‎（2）存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分。‎ 由（1）得 解得 当x＝5时，（舍去）。‎ ‎∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分，此时BF＝7。 5分 ‎（3）不存在。‎ 假设存在，显然是 则有 整理，得 ‎∴不存在这样的实数x，即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：3两部分。 8分 ‎ ‎ 八、（本题满分8分）‎ ‎25、已知：如图，抛物线与坐标轴的交点依次是A（－4，0），B（－2，0），E（0，8）。‎ ‎ （1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；‎ ‎ （2）设抛物线的顶点为M，抛物线与x轴分别交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S。若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止。求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎ （3）在（2）的运动过程中，当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；‎ ‎ （4）在（2）的运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由。‎ ‎ 解：（1）点A（－4，0）、B（－2，0）、E（0，8）关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），F（0，－8）。‎ 设抛物线的解析式是 则 解得 ‎∴所求抛物线的解析式是 2分 ‎（2）由（1）可得，点M（－3，－1），N（3，1）。‎ 过点N作NH⊥AD，垂足为H。‎ 当运动到时刻t时，‎ 根据中心对称的性质得 ‎∴四边形MDNA是平行四边形。‎ 据题意，可知 ‎∴所求关系式是t的取值范围是 4分 ‎（3）由（2）得 时，S有最大值 6分 ‎（4）在（2）的运动过程中，四边形MDNA能形成矩形。‎ 由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，‎ 当AD＝MN时四边形MDNA是矩形。‎ ‎ 解得（舍）。‎ ‎∴在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时 8分 ‎ ‎ ‎ ‎