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  • 2021-11-12 发布

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第22讲 园幂定理

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1 第二十二讲 园幂定理 相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理.圆幂定理实质上是反映两条相 交直线与圆的位置关系的性质定理,其本质是与比例线段有关. 相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系,主要体现在: 1.用运动的观点看,切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形,即移动圆内两 条相交弦使其交点在圆外的情况; 2.从定理的证明方法看,都是由一对相似三角形得到的等积式. 熟悉以下基本图形、基本结论: 【例题求解】 【例 1】 如图,PT 切⊙O 于点 T,PA 交⊙O 于 A、B 两点,且与直径 CT 交于点 D,CD=2, AD=3,BD=6,则 PB= . 思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求 PB 长. 注:比例线段是几何之中一个重要问题,比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的 过程,大致经历了四个阶段: (1)平行线分线段对应成比例; (2)相似三角形对应边成比例; (3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来; (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来. 【例 2】 如图,在平行四边形 ABCD 中,过 A、B、C 三点的圆交 AD 于点 E,且与 CD 相 切,若 AB=4,BE=5,则 DE 的长为( ) A.3 B.4 C. 4 15 D. 5 16 思路点拨 连 AC,CE,由条件可得许多等线段,为切割线定理的运用创设条件. 2 注:圆中线段的算,常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识,通过代数化 获解,加强对图形的分解,注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键. 【例 3】 如图,△ABC 内接于⊙O,AB 是∠O 的直径,PA 是过 A 点的直线,∠PAC=∠ B. (1)求证:PA 是⊙O 的切线; (2)如果弦 CD 交 AB 于 E,CD 的延长线交 PA 于 F,AC=8,CE:ED=6:5,, AE:BE=2: 3,求 AB 的长和∠ECB 的正切值. 思路点拨 直径、切线对应着与圆相关的丰富知识.(1)问的证明为切割线定理的运用创 造了条件;引入参数 x、k 处理(2)问中的比例式,把相应线段用是的代数式表示,并寻找 x 与 k 的关系,建立 x 或 k 的方程. 【例 4】 如图,P 是平行四边形 AB 的边 AB 的延长线上一点,DP 与 AC、BC 分别交于点 E、E,EG 是过 B、F、P 三点圆的切线,G 为切点,求证:EG=DE 思路点拨 由切割线定理得 EG2=EF·EP,要证明 EG=DE,只需证明 DE2=EF·EP,这样 通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明. 注:圆中的许多问题,若图形中有适用圆幂定理的条件,则能化解问题的难度,而圆中线段 等积式是转化问题的桥梁. 需要注意的是,圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明,可拓展到平面几何 各种类型的问题中. 【例 5】 如图,以正方形 ABCD 的 AB 边为直径,在正方形内部作半圆,圆心为 O,DF 切 半圆于点 E,交 AB 的延长线于点 F,BF=4. 求:(1)cos∠F 的值;(2)BE 的长. 思路点拨 解决本例的基础是:熟悉圆中常用辅助线的添法(连 OE,AE);熟悉圆中重要性 质定理及角与线段的转化方法.对于(1),先求出 EF,FO 值;对于(2),从△BE F∽△EAF, Rt△AEB 入手. 3 注:当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形,善于分析图形是解与圆相关综合题的关键, 分析图形可从以下方面入手: (1)多视点观察图形.如本例从 D 点看可用切线长定理,从 F 点看可用切割线定理. (2)多元素分析图形.图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三 角形、相似三角形. (3)将以上分析组合,寻找联系. 学力训练 1.如图,PT 是⊙O 的切线,T 为切点,PB 是⊙O 的割线,交⊙O 于 A、B 两点,交弦 CD 于点 M,已知 CM=10,MD=2,PA=MB=4,则 PT 的长为 . 2.如图,PAB、PCD 为⊙O 的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=11,则 AC:BD= . 3.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是 AB 延长线上的一点,CD 是⊙O 的切线,D 为切点,过 点 B 作⊙O 的切线交 CD 于点 F,若 AB=CD=2,则 CE= . 4.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以 AC 为直径作圆与斜边交于点 P, 则 BP 的长为( ) A.6.4 B.3.2 C .3.6 D.8 5.如图,⊙O 的弦 AB 平分半径 OC,交 OC 于 P 点,已知 PA、PB 的长分别为方程 024122  xx 的两根,则此圆的直径为( ) A. 28 B. 26 C. 24 D. 22 4 6.如图,⊙O 的直径 Ab 垂直于弦 CD,垂足为 H,点 P 是 AC 上一点(点 P 不与 A、C 两点 重合),连结 PC、PD、PA、AD,点 E 在 AP 的延长线上,PD 与 AB 交于点 F,给出下列四 个结论:①CH2=AH·BH;②AD=AC:③AD2=DF·DP;④∠EPC=∠APD,其中正确的 个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图,BC 是半圆的直径,O 为圆心,P 是 BC 延长线上一点,PA 切半圆于点 A,AD⊥ BC 于点 D. (1)若∠B=30°,问 AB 与 AP 是否相等?请说明理由; (2)求证:PD·PO=PC·PB; (3)若 BD:DC=4:l,且 BC=10,求 PC 的长. 8.如图,已知 PA 切⊙O 于点 A,割线 PBC 交⊙O 于点 B、C,PD⊥AB 于点 D,PD、AO 的延长线相交于点 E,连 CE 并延长交⊙O 于点 F,连 AF. (1)求证:△PBD∽△PEC; (2)若 AB=12,tan∠EAF= 3 2 ,求⊙O 的半径的长. 9.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,PB 切⊙O 于点 B,PA 交⊙O 于点 C,PF 分别交 AB、 BC 于 E、D,交⊙O 于 F、G,且 BE、BD 恰哈好是关于 x 的方程 0)134(6 22  mmxx (其中 m 为实数)的两根. (1)求证:BE=BD;(2)若 GE·EF= 36 ,求∠A 的度数. 10.如图,△ABC 中,∠C=90°,O 为 AB 上一点,以 O 为圆心,OB 为半径的圆与 AB 相交于点 E,与 AC 相切于点 D,已知 AD=2,AE=1,那么 BC= . ⌒ ⌒ ⌒ 5 11.如图,已知 A、B、C、D 在同一个圆上,BC=CD,AC 与 BD 交于 E,若 AC=8,CD=4, 且线段 BE、ED 为正整数,则 BD= . 12.如图,P 是半圆 O 的直径 BC 延长线上一点,PA 切半圆于点 A,AH⊥BC 于 H,若 PA=1, PB+PC= a ( a >2),则 PH=( ) A. a 2 B. a 1 C. 2 a D. 3 a 13.如图,△ABC 是⊙O 的内接正三角形,弦 EF 经过 BC 的中点 D,且 EF∥AB,若 AB=2, 则 DE 的长为( ) A. 2 1 B. 2 15  C. 2 3 D.1 14.如图,已知 AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,延长 BC 至 D,使 CD=BC,CE⊥AD 于 E,B E 交⊙O 于 F,AF 交 CE 于 P,求证:PE=PC. 15.已知:如图,ABCD 为正方形,以 D 点为圆心,AD 为半径的圆弧与以 BC 为直径的⊙ O 相交于 P、C 两点,连结 AC、AP、CP,并延长 CP、AP 分别交 AB、BC、⊙O 于 E、H、 F 三点,连结 OF. (1)求证:△AEP∽△CEA;(2)判断线段 AB 与 OF 的位置关系,并证明你的结论; (3)求 BH:HC 16.如图,PA、PB 是⊙O 的两条切线,PEC 是一条割线,D 是 AB 与 PC 的交点,若 PE=2, CD=1,求 DE 的长. 6 17.如图,⊙O 的直径的长是关于 x 的二次方程 0)2(22  kxkx ( k 是整数)的最大整数 根,P 是⊙O 外一点,过点 P 作⊙O 的切线 PA 和割线 PBC,其中 A 为切点,点 B、C 是直 线 PBC 与⊙O 的交点,若 PA、PB、PC 的长都是正整数,且 PB 的长不是合数,求 PA+PB+PC 的值. 参考答案 7 8

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