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- 2021-11-12 发布
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题型突破(八)
类比拓展应用型问题
类型一 旋转结构
解决此类问题时
,
需仔细观察图形旋转前后相关的线段之间的数量关系、位置关系
,
相关的角的变化及角与角之间的关系
,
从中提炼出基本图形和常用模型
,
如旋转产生的等腰三角形等
,
进而借助全等
(
相似
)
三角形转化
,
结合勾股定理、基本图形的性质等其他知识求解
.
图
Z8-1
【
分层分析
】
(1)
由四边形
ABCD
与四边形
AEFG
为正方形
,
利用正方形的性质得到两邻边相等
,
且夹角相等
,
∠
DAG
=
∠
BAE
=90°,
可得
:△
≌△
,
利用全等三角形的对应角相等得∠
=
∠
,
延长
EB
交
DG
于点
H
,
利用等角的余角相等得到∠
=90°,
利用垂直的定义即可得
DG
⊥
BE
;
图
Z8-1
【
分层分析
】
(2)
同
(1)
可得
:△
≌△
,
利用全等三角形的对应边相等得到
=
,
过点
A
作
AM
⊥
DG
于点
M
,
则∠
AMD
=
∠
AMG
=90°,
在
Rt△
AMD
中
,
求出
DM
的长
,
根据勾股定理求出
GM
的长
,
进而确定出
DG
的长
,
即为
BE
的长
;
图
Z8-1
【
分层分析
】
(3)
对于
△
EGH
,
点
H
在以
EG
为直径的圆上
,
即当点
H
与点
A
重合时
,△
EGH
的高最大
,
即面积最大
;
对于
△
BDH
,
点
H
在以
BD
为直径的圆上
,
即当点
H
与点
A
重合时
,△
BDH
的高最大
,
即面积最大
,
即可确定出面积和的最大值
.
解
:(3)△
GHE
与
△
BHD
面积之和的最大值为
6
.
理由
:
对于
△
EGH
,
点
H
在以
EG
为直径的圆上
,
∴当点
H
与点
A
重合时
,△
EGH
的高最大
,
即面积最大
;
对于
△
BDH
,
点
H
在以
BD
为直径的圆上
,
∴当点
H
与点
A
重合时
,△
BDH
的高最大
,
即面积最大
,
则
△
GHE
与
△
BHD
面积之和的最大值为
2+4=6
.
【
方法点析
】
旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等规则的图形上
,
其功能是利用旋转变换可以使图形发生重组
,
使分散的条件得以集中
,
并运用旋转的
“
不变性
”
使一些问题迎刃而解
,
常用的辅助线作法有
:
(1)
图形中出现等边三角形时
,
通常旋转
60°;
出现等腰直角三角形、正方形时
,
通常旋转
90°
.
(2)
图形中有线段的中点
,
通常旋转
180°
.
(3)
图形中出现有公共端点的线段
,
通常旋转夹角的度数
.
(4)
共端点或共线的三条线段若想要转化到同一个三角形里
,
通常考虑旋转
.
1
.
在
△
ABC
中
,
∠
C
=90°,
AC
=
BC
=
a
,
将一块三角板的直角顶点放在斜边
AB
的中点
P
处
,
将三角板绕点
P
旋转
,
三角板与两直角边分别交于
D
,
E
两点
.
(1)
图
Z8-2
①中
,
线段
PD
与
PE
的数量关系是
.
(2)
如图②
,
在旋转过程中
,
判断
△
PDE
的形状
,
并给予证明
.
(3)
在旋转过程中
,
四边形
PDCE
的面积是否发生变化
?
若不变
,
求出面积的值
(
用含
a
的式子表示
);
若改变
,
请说明理由
.
|
题型精练
|
图
Z8-2
PD
=
PE
1
.
在
△
ABC
中
,
∠
C
=90°,
AC
=
BC
=
a
,
将一块三角板的直角顶点放在斜边
AB
的中点
P
处
,
将三角板绕点
P
旋转
,
三角板与两直角边分别交于
D
,
E
两点
.
(2)
如图②
,
在旋转过程中
,
判断
△
PDE
的形状
,
并给予证明
.
图
Z8-2
1
.
在
△
ABC
中
,
∠
C
=90°,
AC
=
BC
=
a
,
将一块三角板的直角顶点放在斜边
AB
的中点
P
处
,
将三角板绕点
P
旋转
,
三角板与两直角边分别交于
D
,
E
两点
.
(3)
在旋转过程中
,
四边形
PDCE
的面积是否发生变化
?
若不变
,
求出面积的值
(
用含
a
的式子表示
);
若改变
,
请说明理由
.
图
Z8-2
2
.
[2018·
益阳
]
如图
Z8-3
①
,
在矩形
ABCD
中
,
E
是
AD
的中点
,
以点
E
为直角顶点的直角三角形
EFG
的两边
EF
,
EG
分别过点
B
,
C
,
∠
F
=30°
.
(1)
求证
:
BE
=
CE
;
(2)
将
△
EFG
绕点
E
按顺时针方向旋转
,
当旋转到
EF
与
AD
重合时停止转动
,
若
EF
,
EG
分别与
AB
,
BC
相交于点
M
,
N
(
如图②
)
.
①求证
:△
BEM
≌△
CEN
;
②若
AB
=2,
求
△
BMN
面
积的最大值
;
③当旋转停止时
,
点
B
恰
好在
FG
上
(
如图③
),
求
sin
∠
EBG
的值
.
图
Z8-3
解
:(1)
证明
:
∵四边形
ABCD
为矩形
,
∴∠
A
=
∠
D
=90°,
AB
=
DC.
∵
E
为
AD
中点
,
∴
AE
=
DE
,
∴
△
ABE
≌△
DCE
,
∴
BE
=
CE.
2
.
[2018·
益阳
]
如图
Z8-3
①
,
在矩形
ABCD
中
,
E
是
AD
的中点
,
以点
E
为直角顶点的直角三角形
EFG
的两边
EF
,
EG
分别过点
B
,
C
,
∠
F
=30°
.
(2)
将
△
EFG
绕点
E
按顺时针方向旋转
,
当旋转到
EF
与
AD
重合时停止转动
,
若
EF
,
EG
分别与
AB
,
BC
相交于点
M
,
N
(
如图②
)
.
①求证
:△
BEM
≌△
CEN
;
②若
AB
=2,
求
△
BMN
面
积的最大值
;
③当旋转停止时
,
点
B
恰
好在
FG
上
(
如图③
),
求
sin
∠
EBG
的值
.
图
Z8-3
类型二 折叠结构
折叠即轴对称
,
解决此类问题要抓住折叠的本质
,
充分利用轴对称的相关性质
,
利用好折痕的双线作用
:
①对应线段夹角的角平分线
;
②对应点连线的垂直平分线
.
求解时注意从中提炼基本图形
,
如折叠会产生角平分线
,
角平分线
+
平行线可得等腰三角形等
,
进而结合图形本身的性质借助边角关系、相似等寻找解题途径
.
图
Z8-4
解
:(1)
证明
:
由折叠可得
:
AE
=
A'E
=
GE
,
BC
=
CH
,
∵四边形
ABCD
是矩形
,
∴
A'E
=
BC
,
∴
EG
=
CH.
图
Z8-4
1
.
[2017·
济宁
]
实验探究
:
(1)
如图
Z8-5
①
,
对折矩形纸片
ABCD
,
使
AD
与
BC
重合
,
得到折痕
EF
,
把纸片展开
;
再一次折叠纸片
,
使点
A
落在
EF
上
,
并使折痕经过点
B
,
得到折痕
BM
,
同时得到线段
BN
,
MN.
请你观察图①
,
猜想∠
MBN
的度数是多少
,
并证明你的结论
.
(2)
将图①中的三角形纸片
BMN
剪下
,
如图②
.
折叠该纸片
,
探究
MN
与
BM
的数量关系
.
写出折叠方案
,
并结合方案证明你的结论
.
|
题型精练
|
图
Z8-5
1
.
[2017·
济宁
]
实验探究
:
(2)
将图①中的三角形纸片
BMN
剪下
,
如图②
.
折叠该纸片
,
探究
MN
与
BM
的数量关系
.
写出折叠方案
,
并结合方案证明你的结论
.
图
Z8-5
2
.
[2016·
十堰
]
如图
Z8-6,
将矩形纸片
ABCD
(
AD>AB
)
折叠
,
使点
C
刚好落在线段
AD
上
,
且折痕分别与边
BC
,
AD
相交
,
设折叠后点
C
,
D
的对应点分别为点
G
,
H
,
折痕分别与边
BC
,
AD
相交于点
E
,
F.
(1)
判断四边形
CEGF
的形状
,
并证明你的结论
;
(2)
若
AB
=3,
BC
=9,
求线段
CE
的取值范围
.
图
Z8-6
解
:(1)
四边形
CEGF
为菱形
.
证明
:
∵四边形
ABCD
是矩形
,
∴
AD
∥
BC
,
∴∠
GFE
=
∠
FEC
,
∵图形翻折后点
C
与点
G
重合
,
EF
为折痕
,
∴∠
GEF
=
∠
FEC
,
∴∠
GFE
=
∠
GEF
,
∴
GF
=
GE
,
∵图形翻折后
EC
与
GE
完全重合
,
∴
GE
=
EC
,
∴
GF
=
EC
,
∴四边形
CEGF
为平行四边形
,
∴四边形
CEGF
为菱形
.
2
.
[2016·
十堰
]
如图
Z8-6,
将矩形纸片
ABCD
(
AD>AB
)
折叠
,
使点
C
刚好落在线段
AD
上
,
且折痕分别与边
BC
,
AD
相交
,
设折叠后点
C
,
D
的对应点分别为点
G
,
H
,
折痕分别与边
BC
,
AD
相交于点
E
,
F.
(2)
若
AB
=3,
BC
=9,
求线段
CE
的取值范围
.
图
Z8-6
解
:(2)
如图①
,
当
F
与
D
重合时
,
CE
取最小值
,
由
(1)
得四边形
CEGF
是菱形
,
∴
CE
=
CD
=
AB
=3;
如图②
,
当
G
与
A
重合时
,
CE
取最大值
,
由折叠的性质得
AE
=
CE
,
∵∠
B
=90°,
∴
AE
2
=
AB
2
+
BE
2
,
即
CE
2
=3
2
+(9-
CE
)
2
,
∴
CE
=5,
∴线段
CE
的取值范围为
3≤
CE
≤5
.
类型三 一线三等角模型
一线三等角模型是全等与相似的基本模型
,
解决这类题目的关键是寻找到问题中的全等或相似的基本图形
,
从而建立边角之间的数量关系来解决问题
.
例
3
[2017·岳阳]
问题背景:已知∠
EDF
的顶点
D
在△
ABC
的边
AB
所在直线上(不与
A
,
B
重合),
DE
交
AC
所在直线于点
M
,
DF
交
BC
所在直线于点
N
,记△
ADM
的面积为
S
1
,△
BND
的面积为
S
2
.
(1)
【
初步尝试
】
如图
Z8-7
①
,
当
△
ABC
是等边三角形
,
AB
=6,
∠
EDF
=
∠
A
,
且
DE
∥
BC
,
AD
=2
时
,
则
S
1
·
S
2
=
;
图
Z8-7
(2)
【
类比探究
】
在
(1)
的条件下
,
先将点
D
沿
AB
平移
,
使
AD
=4,
再将∠
EDF
绕点
D
旋转至如图②所示位置
,
求
S
1
·
S
2
的值
;
图
Z8-7
(3)
【
延伸拓展
】
当
△
ABC
是等腰三角形时
,
设∠
B
=
∠
A
=
∠
EDF
=
α.
①如图③
,
当点
D
在线段
AB
上运动时
,
设
AD
=
a
,
BD
=
b
,
求
S
1
·
S
2
的表达式
(
结果用
a
,
b
和
α
的三角函数表示
)
.
②如图④
,
当点
D
在
BA
的延长线上运动时
,
设
AD
=
a
,
BD
=
b
,
直接写出
S
1
·
S
2
的表达式
,
不必写出解答过程
.
图
Z8-7
【
分层分析
】
(1)
首先证明
△
ADM
,△
BDN
都是等边三角形
,
可得
S
1
=
,
S
2
=
,
由此即可解决问题
;
解
:(1)12
例
3
[2017·岳阳]
问题背景:已知∠
EDF
的顶点
D
在△
ABC
的边
AB
所在直线上(不与
A
,
B
重合),
DE
交
AC
所在直线于点
M
,
DF
交
BC
所在直线于点
N
,记△
ADM
的面积为
S
1
,△
BND
的面积为
S
2
.
(2)
【
类比探究
】
在
(1)
的条件下
,
先将点
D
沿
AB
平移
,
使
AD
=4,
再将∠
EDF
绕点
D
旋转至如图②所示位置
,
求
S
1
·
S
2
的值
;
图
Z8-7
例
3
[2017·岳阳]
问题背景:已知∠
EDF
的顶点
D
在△
ABC
的边
AB
所在直线上(不与
A
,
B
重合),
DE
交
AC
所在直线于点
M
,
DF
交
BC
所在直线于点
N
,记△
ADM
的面积为
S
1
,△
BND
的面积为
S
2
.
(3)
【
延伸拓展
】
当
△
ABC
是等腰三角形时
,
设∠
B
=
∠
A
=
∠
EDF
=
α.
①如图③
,
当点
D
在线段
AB
上运动时
,
设
AD
=
a
,
BD
=
b
,
求
S
1
·
S
2
的表达式
(
结果用
a
,
b
和
α
的三角函数表示
)
.
②如图④
,
当点
D
在
BA
的延长线上运动时
,
设
AD
=
a
,
BD
=
b
,
直接写出
S
1
·
S
2
的表达式
,
不必写出解答过程
.
图
Z8-7
【
方法点析
】
在直线
AB
上有一点
P
,
以
A
,
B
,
P
为顶点的∠
1,
∠
2,
∠
3
相等
,
∠
1,
∠
2
的一条边在直线
AB
上
,
另一条边在
AB
同侧
,
∠
3
两边所在的直线分别交∠
1,
∠
2
非公共边所在的直线于点
C
,
D.
1
.
当点
P
在线段
AB
上
,
且∠
3
两边在
AB
同侧时
.
(1)
如图
Z8-8,
若∠
1
为直角
,
则
△
ACP
∽△
BPD.
图
Z8-8
(2)
如图
Z8-9,
若∠
1
为锐角
,
则
△
ACP
∽△
BPD.
图
Z8-9
(3)
如图
Z8-10,
若∠
1
为钝角
,
则
△
ACP
∽△
BPD.
图
Z8-10
2
.
当点
P
在
AB
或
BA
的延长线上
,
且∠
3
两边在
AB
同侧时
.
如图
Z8-11,
则
△
ACP
∽△
BPD.
图
Z8-11
3
.
当点
P
在
AB
或
BA
的延长线上
,
且∠
3
两边在
AB
异侧时
.
如图
Z8-12,
则
△
ACP
∽△
BPD.
图
Z8-12
|
题型精练
|
图
Z8-13
[
答案
]
D
图
Z8-14
图
Z8-14
3
.
[2019·
兰州
]
通过对下面数学模型的研究学习
,
解决下面的问题
.
【
模型呈现
】
如图
Z8-15,
在
Rt△
ABC
中
,
∠
ACB
=90°,
将斜边
AB
绕点
A
顺时针旋转
90°
得到
AD
,
过点
D
作
DE
⊥
AC
于点
E
,
可以推理得到
△
ABC
≌△
DAE
,
进而得到
AC
=
DE
,
BC
=
AE
,
我们把这个数学模型称为
“K
型
”
.
图
Z8-15
推理过程如下
:
图
Z8-16
【
模型应用
】
如图
Z8-17,Rt△
ABC
内接于☉
O
,
∠
ACB
=90°,
BC
=2,
将斜边
AB
绕点
A
顺时针旋转一定角度得到
AD
,
过点
D
作
DE
⊥
AC
于点
E
,
∠
DAE
=
∠
ABC
,
DE
=1,
连接
DO
交☉
O
于点
F.
(1)
求证
:
AD
是☉
O
的切线
;
(2)
连接
FC
交
AB
于点
G
,
连接
FB.
求证
:
FG
2
=
GO
·
GB.
图
Z8-17
证明
:(1)
∵☉
O
为
Rt△
ABC
的外接圆
,
∴
O
为斜边
AB
的中点
,
AB
为直径
.
∵∠
ACB
=90°,
∴∠
ABC
+
∠
BAC
=90°
.
∵∠
DAE
=
∠
ABC
,
∴∠
DAE
+
∠
BAC
=90°,
∴∠
BAD
=180°-(
∠
DAE
+
∠
BAC
)=90°,
∴
AD
⊥
AB
,
∴
AD
是☉
O
的切线
.
3
.
[2019·
兰州
]
通过对下面数学模型的研究学习
,
解决下面的问题
.
【
模型呈现
】
如图
Z8-15,
在
Rt△
ABC
中
,
∠
ACB
=90°,
将斜边
AB
绕点
A
顺时针旋转
90°
得到
AD
,
过点
D
作
DE
⊥
AC
于点
E
,
可以推理得到
△
ABC
≌△
DAE
,
进而得到
AC
=
DE
,
BC
=
AE
,
我们把这个数学模型称为
“K
型
”
.
图
Z8-15
推理过程如下
:
图
Z8-16
【
模型应用
】
如图
Z8-17,Rt△
ABC
内接于☉
O
,
∠
ACB
=90°,
BC
=2,
将斜边
AB
绕点
A
顺时针旋转一定角度得到
AD
,
过点
D
作
DE
⊥
AC
于点
E
,
∠
DAE
=
∠
ABC
,
DE
=1,
连接
DO
交☉
O
于点
F.
(2)
连接
FC
交
AB
于点
G
,
连接
FB.
求证
:
FG
2
=
GO
·
GB.
图
Z8-17
4
.
如图
Z8-18
①
,
在四边形
ABCD
的边
AB
上任取一点
E
(
点
E
不与
A
,
B
重合
),
分别连接
ED
,
EC.
可以把四边形
ABCD
分成三个三角形
,
如果其中有两个三角形相似
,
我们就把
E
叫做四边形
ABCD
的边
AB
上的
“
相似点
”;
如果这三个三角形都相似
,
我们就把
E
叫做四边形
ABCD
的边
AB
上的
“
强相似点
”
.
【
试题再现
】
如图②
,
在
△
ABC
中
,
∠
ACB
=90°,
直角顶点
C
在直线
DE
上
,
分别过点
A
,
B
作
AD
⊥
DE
于点
D
,
BE
⊥
DE
于点
E.
求证
:△
ADC
∽△
CEB.
图
Z8-18
【
问题探究
】
在图①中
,
若∠
A
=
∠
B
=
∠
DEC
=40°,
试判断点
E
是否是四边形
ABCD
的边
AB
上的相似点
,
并说明理由
.
【
深入探究
】
如图③
,
AD
∥
BC
,
DP
平分∠
ADC
,
CP
平分∠
BCD
交
DP
于点
P
,
过点
P
作
AB
⊥
AD
于点
A
,
交
BC
于点
B.
(1)
请证明点
P
是四边形
ABCD
的边
AB
上的一个强相似点
;
(2)
若
AD
=3,
BC
=5,
试求
AB
的长
.
图
Z8-18
解
:
【
试题再现
】
证明
:
∵∠
ACB
=90°,
∴∠
ACD
+
∠
BCE
=90°,
∵
AD
⊥
DE
,
∴∠
ACD
+
∠
CAD
=90°,
∴∠
BCE
=
∠
CAD
,
∵∠
ADC
=
∠
CEB
=90°,
∴
△
ADC
∽△
CEB.
4
.
如图
Z8-18
①
,
在四边形
ABCD
的边
AB
上任取一点
E
(
点
E
不与
A
,
B
重合
),
分别连接
ED
,
EC.
可以把四边形
ABCD
分成三个三角形
,
如果其中有两个三角形相似
,
我们就把
E
叫做四边形
ABCD
的边
AB
上的
“
相似点
”;
如果这三个三角形都相似
,
我们就把
E
叫做四边形
ABCD
的边
AB
上的
“
强相似点
”
.
【
问题探究
】
在图①中
,
若∠
A
=
∠
B
=
∠
DEC
=40°,
试判断点
E
是否是四边形
ABCD
的边
AB
上的相似点
,
并说明理由
.
图
Z8-18
解
:
【
问题探究
】
点
E
是四边形
ABCD
的边
AB
上的相似点
.
理由如下
:
∵∠
DEC
=40°,
∴∠
DEA
+
∠
CEB
=140°,
∵∠
A
=40°,
∴∠
ADE
+
∠
AED
=140°,
∴∠
ADE
=
∠
CEB
,
∴
△
ADE
∽△
BEC
,
∴点
E
是四边形
ABCD
的边
AB
上的相似点
.
4
.
如图
Z8-18
①
,
在四边形
ABCD
的边
AB
上任取一点
E
(
点
E
不与
A
,
B
重合
),
分别连接
ED
,
EC.
可以把四边形
ABCD
分成三个三角形
,
如果其中有两个三角形相似
,
我们就把
E
叫做四边形
ABCD
的边
AB
上的
“
相似点
”;
如果这三个三角形都相似
,
我们就把
E
叫做四边形
ABCD
的边
AB
上的
“
强相似点
”
.
【
深入探究
】
如图③
,
AD
∥
BC
,
DP
平分∠
ADC
,
CP
平分∠
BCD
交
DP
于点
P
,
过点
P
作
AB
⊥
AD
于点
A
,
交
BC
于点
B.
(1)
请证明点
P
是四边形
ABCD
的边
AB
上的一个强相似点
;
图
Z8-18
4
.
如图
Z8-18
①
,
在四边形
ABCD
的边
AB
上任取一点
E
(
点
E
不与
A
,
B
重合
),
分别连接
ED
,
EC.
可以把四边形
ABCD
分成三个三角形
,
如果其中有两个三角形相似
,
我们就把
E
叫做四边形
ABCD
的边
AB
上的
“
相似点
”;
如果这三个三角形都相似
,
我们就把
E
叫做四边形
ABCD
的边
AB
上的
“
强相似点
”
.
【
深入探究
】
如图③
,
AD
∥
BC
,
DP
平分∠
ADC
,
CP
平分∠
BCD
交
DP
于点
P
,
过点
P
作
AB
⊥
AD
于点
A
,
交
BC
于点
B.
(2)
若
AD
=3,
BC
=5,
试求
AB
的长
.
图
Z8-18
类型四 角含半角模型
例
4
问题:如图Z8-19①,在Rt△
ACB
中,∠
ACB
=90°,
AC
=
CB
,∠
DCE
=45°,试探究
AD
,
DE
,
EB
满足的等量关系
.
【
探究发现
】
小聪同学利用图形变换
,
将
△
CAD
绕点
C
逆时针旋转
90°
得到
△
CBH
,
连接
EH
,
由已知条件易得∠
EBH
=90°,
∠
ECH
=
∠
ECB
+
∠
BCH
=
∠
ECB
+
∠
ACD
=45°
.
根据
“
边角边
”,
可证
△
CEH
≌
,
得
EH
=
ED.
在
Rt△
HBE
中
,
由
定理
,
可得
BH
2
+
EB
2
=
EH
2
,
由
BH
=
AD
,
可得
AD
,
DE
,
EB
之间的等量关系是
.
图Z8-19
△
CED
勾股
AD
2
+
EB
2
=
DE
2
【
实践运用
】
(1)
如图②
,
在正方形
ABCD
中
,△
AEF
的顶点
E
,
F
分别在
BC
,
CD
边上
,
高
AG
与正方形的边长相等
,
求∠
EAF
的度数
;
(2)
在
(1)
的条件下
,
连接
BD
,
分别交
AE
,
AF
于点
M
,
N
,
若
BE
=2,
DF
=3,
BM
=,
运用小聪同学探究的结论
,
求正方形的边长及
MN
的长
.
图Z8-19
例
4
问题:如图Z8-19①,在Rt△
ACB
中,∠
ACB
=90°,
AC
=
CB
,∠
DCE
=45°,试探究
AD
,
DE
,
EB
满足的等量关系
.
【
实践运用
】
(1)
如图②
,
在正方形
ABCD
中
,△
AEF
的顶点
E
,
F
分别在
BC
,
CD
边上
,
高
AG
与正方形的边长相等
,
求∠
EAF
的度数
;
图Z8-19
例
4
问题:如图Z8-19①,在Rt△
ACB
中,∠
ACB
=90°,
AC
=
CB
,∠
DCE
=45°,试探究
AD
,
DE
,
EB
满足的等量关系
.
【
实践运用
】
(2)
在
(1)
的条件下
,
连接
BD
,
分别交
AE
,
AF
于点
M
,
N
,
若
BE
=2,
DF
=3,
BM
=,
运用小聪同学探究的结论
,
求正方形的边长及
MN
的长
.
图Z8-19
【
方法点析
】
1
.
等腰直角三角形角含半角
如图
Z8-20,
在
△
ABC
中
,
AB
=
AC
,
∠
BAC
=90°,
点
D
,
E
在
BC
上
,
且∠
DAE
=45°,
则
:
(1)△
BAE
∽△
ADE
∽△
CDA
;
(2)
BD
2
+
CE
2
=
DE
2
.
图
Z8-20
【
拓展
】
(1)
如图
Z8-21,
在
△
ABC
中
,
AB
=
AC
,
∠
BAC
=90°,
点
D
在
BC
上
,
点
E
在
BC
的延长线上
,
且∠
DAE
=45°,
则
BD
2
+
CE
2
=
DE
2
.
图
Z8-21
可以通过旋转、翻折的方法来证明
,
如图
Z8-22
.
图
Z8-22
图
Z8-23
可以通过旋转、翻折的方法将
BD
,
DE
,
EC
转移到一个三角形中
,
如图
Z8-24
.
图
Z8-24
2
.
正方形角含半角
如图
Z8-25,
在正方形
ABCD
中
,
点
E
,
F
分别在
BC
,
CD
上
,
∠
EAF
=45°,
连接
EF
,
则
:
(1)
EF
=
BE
+
DF
;
(2)
如图②
,
过点
A
作
AG
⊥
EF
于点
G
,
则
AG
=
AD
;
(3)
如图③
,
连接
BD
交
AE
于点
H
,
连接
FH
,
则
FH
⊥
AE.
图
Z8-25
【
拓展
】
(1)
如图
Z8-26,
在正方形
ABCD
中
,
点
E
,
F
分别在
CB
,
DC
的延长线上
,
∠
EAF
=45°,
连接
EF
,
则
EF
=
DF
-
BE.
可以通过旋转的方法来证明
,
如图
Z8-27
.
图
Z8-26
图
Z8-27
图
Z8-28
图
Z8-29
[2013·
达州
]
通过类比联想、引申拓展研究典型题目
,
可达到解一题知一类的目的
.
下面是一个案例
,
请补充完整
.
原题
:
如图
Z8-30,
点
E
,
F
分别在正方形
ABCD
的边
BC
,
CD
上
,
∠
EAF
=45°,
连接
EF
,
则
EF
=
BE
+
DF
,
试说明理由
.
|
题型精练
|
图
Z8-30
(1)
思路梳理
∵
AB
=
AD
,
∴把
△
ABE
绕点
A
逆时针旋转
90°
至
△
ADG
,
可使
AB
与
AD
重合
.
∵∠
ADC
=
∠
B
=90°,
∴∠
FDG
=180°,
点
F
,
D
,
G
共线
.
根据
,
易证
△
AFG
≌
,
得
EF
=
BE
+
DF.
图
Z8-30
(2)
类比引申
如图②
,
四边形
ABCD
中
,
AB
=
AD
,
∠
BAD
=90°
.
点
E
,
F
分别在边
BC
,
CD
上
,
∠
EAF
=
45°
.
若∠
B
,
∠
D
都不是直角
,
则当∠
B
与∠
D
满足等量关系
时
,
仍有
EF
=
BE
+
DF.
图
Z8-30
(3)
联想拓展
如图③
,
在
△
ABC
中
,
∠
BAC
=90°,
AB
=
AC
,
点
D
,
E
均在边
BC
上
,
且∠
DAE
=45°
.
猜想
BD
,
DE
,
EC
应满足的等量关系
,
并写出推理过程
.
图
Z8-30
[
答案
]
(1)SAS
△
AFE
[2013·
达州
]
通过类比联想、引申拓展研究典型题目
,
可达到解一题知一类的目的
.
下面是一个案例
,
请补充完整
.
原题
:
如图
Z8-30,
点
E
,
F
分别在正方形
ABCD
的边
BC
,
CD
上
,
∠
EAF
=45°,
连接
EF
,
则
EF
=
BE
+
DF
,
试说明理由
.
图
Z8-30
(2)
类比引申
如图②
,
四边形
ABCD
中
,
AB
=
AD
,
∠
BAD
=90°
.
点
E
,
F
分别在边
BC
,
CD
上
,
∠
EAF
=
45°
.
若∠
B
,
∠
D
都不是直角
,
则当∠
B
与∠
D
满足等量关系
时
,
仍有
EF
=
BE
+
DF.
图
Z8-30
[
答案
]
(2)
∠
B
+
∠
D
=180°
[2013·
达州
]
通过类比联想、引申拓展研究典型题目
,
可达到解一题知一类的目的
.
下面是一个案例
,
请补充完整
.
原题
:
如图
Z8-30,
点
E
,
F
分别在正方形
ABCD
的边
BC
,
CD
上
,
∠
EAF
=45°,
连接
EF
,
则
EF
=
BE
+
DF
,
试说明理由
.
图
Z8-30
(3)
联想拓展
如图③
,
在
△
ABC
中
,
∠
BAC
=90°,
AB
=
AC
,
点
D
,
E
均在边
BC
上
,
且∠
DAE
=45°
.
猜想
BD
,
DE
,
EC
应满足的等量关系
,
并写出推理过程
.
图
Z8-30
1
.
[2018·
岳阳
]
已知在
Rt△
ABC
中
,
∠
BAC
=90°,
CD
为∠
ACB
的平分线
,
将∠
ACB
沿
CD
所在的直线对折
,
使点
B
落在点
B'
处
,
连接
AB'
,
BB'
,
延长
CD
交
BB'
于点
E
,
设∠
ABC
=2
α
(0°
<α<
45°)
.
(1)
如图
Z8-31
①
,
若
AB
=
AC
,
求证
:
CD
=2
BE
;
(2)
如图②
,
若
AB
≠
AC
,
试求
CD
与
BE
的数量关系
(
用含
α
的式子表示
);
综合提升训练
图
Z8-31
图
Z8-31
解
:(1)
证明
:
∵
B
,
B'
关于
EC
对称
,
∴
BB'
⊥
EC
,
BE
=
EB'
,
∴∠
DEB
=
∠
DAC
=90°,
∵∠
EDB
=
∠
ADC
,
∴∠
DBE
=
∠
ACD
,
∵
AB
=
AC
,
∠
BAB'
=
∠
DAC
=90°,
∴
△
BAB'
≌△
CAD
,
∴
CD
=
BB'
=2
BE.
1
.
[2018·
岳阳
]
已知在
Rt△
ABC
中
,
∠
BAC
=90°,
CD
为∠
ACB
的平分线
,
将∠
ACB
沿
CD
所在的直线对折
,
使点
B
落在点
B'
处
,
连接
AB'
,
BB'
,
延长
CD
交
BB'
于点
E
,
设∠
ABC
=2
α
(0°
<α<
45°)
.
(2)
如图②
,
若
AB
≠
AC
,
试求
CD
与
BE
的数量关系
(
用含
α
的式子表示
);
图
Z8-31
图
Z8-31
2
.
[2016·
自贡
]
已知矩形
ABCD
的一条边
AD
=8,
将矩形
ABCD
折叠
,
使得顶点
B
落在
CD
边上的
P
点处
.
(1)
如图
Z8-32
①
,
已知折痕与边
BC
交于点
O
,
连接
AP
,
OP
,
OA.
若
△
OCP
与
△
PDA
的面积比为
1
∶
4,
求边
CD
的长
.
(2)
如图
Z8-32
②
,
在
(1)
的条件下
,
擦去折痕
AO
,
线段
OP
,
连接
BP.
动点
M
在线段
AP
上
(
点
M
与点
P
,
A
不重合
),
动点
N
在线段
AB
的延长线上
,
且
BN
=
PM
,
连接
MN
交
PB
于点
F
,
作
ME
⊥
BP
于点
E.
试问当动点
M
,
N
在
移动的过程中
,
线段
EF
的长度是否发生
变化
?
若变化
,
说明变化规律
.
若不变
,
求
出线段
EF
的长度
.
图
Z8-32
2
.
[2016·
自贡
]
已知矩形
ABCD
的一条边
AD
=8,
将矩形
ABCD
折叠
,
使得顶点
B
落在
CD
边上的
P
点处
.
(2)
如图
Z8-32
②
,
在
(1)
的条件下
,
擦去折痕
AO
,
线段
OP
,
连接
BP.
动点
M
在线段
AP
上
(
点
M
与点
P
,
A
不重合
),
动点
N
在线段
AB
的延长线上
,
且
BN
=
PM
,
连接
MN
交
PB
于点
F
,
作
ME
⊥
BP
于点
E.
试问当动点
M
,
N
在移动的过程中
,
线段
EF
的长度是否发生
变化
?
若变化
,
说明变化规律
.
若不变
,
求出线段
EF
的长度
.
图
Z8-32
图
Z8-33
图
Z8-33
图
Z8-33
图
Z8-33
解
:(3)
延长
GP
到点
H
,
使得
PH
=
GP
,
连接
CH
,
DG
,
DH
,
延长
DC
交
EA
的延长线于点
M
,
如图③所示
:
∵
GP
=
PH
,
∠
GPF
=
∠
HPC
,
FP
=
PC
,
∴
△
PFG
≌△
PCH
,
∴∠
GFC
=
∠
HCF
,
FG
=
CH
,
∴
FG
∥
CH
,
∵
FG
∥
AE
,
∴
CH
∥
EM
,
∴∠
DCH
=
∠
M.
∵
CD
∥
AB
,
∴∠
M
=
∠
MAB
,
∴∠
DCH
=
∠
MAB
,
∵∠
BAD
=
∠
AEF
=180°-2
α
,
∴∠
EAG
=
∠
ADC
=2
α
,
∴∠
GAM
=180°-2
α
,
∴∠
GAD
=
∠
BAM
,
∴∠
GAD
=
∠
DCH
,
4
.
[2019·
鄂尔多斯
23
题
]
(1)
【
探究发现
】
如图
Z8-34
①
,
∠
EOF
的顶点
O
在正方形
ABCD
两条对角线的交点处
,
∠
EOF
=90°,
将∠
EOF
绕点
O
旋转
,
旋转过程中
,
∠
EOF
的两边分别与正方形
ABCD
的边
BC
和
CD
交于点
E
和点
F
(
点
F
与点
C
,
D
不重合
)
.
则
CE
,
CF
,
BC
之间满足的数量关系是
.
图
Z8-34
(2)
【
类比应用
】
如图②
,
若将
(1)
中的
“
正方形
ABCD
”
改为
“
∠
BCD
=120°
的菱形
ABCD
”,
其他条件不变
,
当∠
EOF
=60°
时
,
上述结论是否仍然成立
?
若成立
,
请给出证明
;
若不成立
,
请猜想结论并说明理由
.
图
Z8-34
图
Z8-34
解
:(1)
CE
+
CF
=
BC
[
解析
]
∵四边形
ABCD
是正方形
,
∴
AC
⊥
BD
,
OB
=
OC
,
∠
OBE
=
∠
OCF
=45°,
∵∠
EOF
=
∠
BOC
=90°,
∴∠
BOE
=
∠
COF
,
∴
△
BOE
≌△
COF
(ASA),
∴
BE
=
CF
,
∴
CE
+
CF
=
CE
+
BE
=
BC.
故答案为
CE
+
CF
=
BC.
4
.
[2019·
鄂尔多斯
23
题
]
(2)
【
类比应用
】
如图②
,
若将
(1)
中的
“
正方形
ABCD
”
改为
“
∠
BCD
=120°
的菱形
ABCD
”,
其他条件不变
,
当∠
EOF
=60°
时
,
上述结论是否仍然成立
?
若成立
,
请给出证明
;
若不成立
,
请猜想结论并说明理由
.
图
Z8-34
图
Z8-34
5
.
[2017·
临沂
]
数学课上
,
张老师出示了问题
:
如图
Z8-35
①
,
AC
,
BD
是四边形
ABCD
的对角线
,
若∠
ACB
=
∠
ACD
=
∠
ABD
=
∠
ADB
=60°,
则线段
BC
,
CD
,
AC
三者之间有何等量关系
?
经过思考
,
小明展示了一种正确的思路
:
如图②
,
延长
CB
到
E
,
使
BE
=
CD
,
连接
AE
,
证得
△
ABE
≌△
ADC
,
从而容易证明
△
ACE
是等边三角形
,
故
AC
=
CE
,
所以
AC
=
BC
+
CD.
小亮展示了另一种正确的思路
:
如图③
,
将
△
ABC
绕着点
A
逆时
针旋转
60°,
使
AB
与
AD
重合
,
从
而容易证明
△
ACF
是等边三角
形
,
故
AC
=
CF
,
所以
AC
=
BC
+
CD.
在此基础上
,
同学们作了进一步的研究
:
图
Z8-35
(1)
小颖提出
:
如图④
,
如果把
“
∠
ACB
=
∠
ACD
=
∠
ABD
=
∠
ADB
=60°”
改为
“
∠
ACB
=
∠
ACD
=
∠
ABD
=
∠
ADB
=45°”,
其他条件不变
,
那么线段
BC
,
CD
,
AC
三者之间有何等量关系
?
针对小颖提出的问题
,
请你写出结论
,
并给出证明
.
(2)
小华提出
:
如图⑤
,
如果把
“
∠
ACB
=
∠
ACD
=
∠
ABD
=
∠
ADB
=60°”
改为
“
∠
ACB
=
∠
ACD
=
∠
ABD
=
∠
ADB
=
α
”,
其他条件不变
,
那么线段
BC
,
CD
,
AC
三者之间有何等量关系
?
针对小华提出的问题
,
请你写出结论
,
不用证明
.
图
Z8-35
5
.
[2017·
临沂
]
数学课上
,
张老师出示了问题
:
如图
Z8-35
①
,
AC
,
BD
是四边形
ABCD
的对角线
,
若∠
ACB
=
∠
ACD
=
∠
ABD
=
∠
ADB
=60°,
则线段
BC
,
CD
,
AC
三者之间有何等量关系
?
经过思考
,
小明展示了一种正确的思路
:
如图②
,
延长
CB
到
E
,
使
BE
=
CD
,
连接
AE
,
证得
△
ABE
≌△
ADC
,
从而容易证明
△
ACE
是等边三角形
,
故
AC
=
CE
,
所以
AC
=
BC
+
CD.
小亮展示了另一种正确的思路
:
如图③
,
将
△
ABC
绕着点
A
逆时
针旋转
60°,
使
AB
与
AD
重合
,
从
而容易证明
△
ACF
是等边三角
形
,
故
AC
=
CF
,
所以
AC
=
BC
+
CD.
在此基础上
,
同学们作了进一步的研究
:
图
Z8-35
(2)
小华提出
:
如图⑤
,
如果把
“
∠
ACB
=
∠
ACD
=
∠
ABD
=
∠
ADB
=60°”
改为
“
∠
ACB
=
∠
ACD
=
∠
ABD
=
∠
ADB
=
α
”,
其他条件不变
,
那么线段
BC
,
CD
,
AC
三者之间有何等量关系
?
针对小华提出的问题
,
请你写出结论
,
不用证明
.
图
Z8-35
6
.
[2016·
湖州
]
数学活动课上
,
某学习小组对有一内角为
120°
的平行四边形
ABCD
(
∠
BAD
=120°)
进行探究
:
将一块含
60°
角的直角三角板如图
Z8-36
①放置在平行四边形
ABCD
所在平面内旋转
,
且
60°
角的顶点始终与点
C
重合
,
较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段
AB
,
AD
于点
E
,
F
(
不包括线段的端点
)
.
图
Z8-36
图
Z8-36
6
.
[2016·
湖州
]
数学活动课上
,
某学习小组对有一内角为
120°
的平行四边形
ABCD
(
∠
BAD
=120°)
进行探究
:
将一块含
60°
角的直角三角板如图
Z8-36
①放置在平行四边形
ABCD
所在平面内旋转
,
且
60°
角的顶点始终与点
C
重合
,
较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段
AB
,
AD
于点
E
,
F
(
不包括线段的端点
)
.
(2)
类比发现
如图②
,
若
AD
=2
AB
,
过点
C
作
CH
⊥
AD
于点
H
,
求证
:
AE
=2
FH
;
图
Z8-36
图
Z8-36
图
Z8-37
(1)
【
类比探究
】
如图
Z8-38,
在▱
ABCD
中
,
点
E
,
F
分别在
AD
,
CD
上
,
且
AF
=
CE
,
并相交于点
O
,
连接
BE
,
BF
,
求证
:
OB
平分∠
AOC.
图
Z8-38
(2)
【
探究延伸
】
如图
Z8-39,
已知直线
m
∥
n
,
点
A
,
C
是直线
m
上两点
,
点
B
,
D
是直线
n
上两点
,
点
P
是线段
CD
的中点
,
且∠
APB
=90°,
两平行线
m
,
n
间的距离为
4
.
求证
:
PA
·
PB
=2
AB.
图
Z8-39
图
Z8-40
图
Z8-37
(2)
【
探究延伸
】
如图
Z8-39,
已知直线
m
∥
n
,
点
A
,
C
是直线
m
上两点
,
点
B
,
D
是直线
n
上两点
,
点
P
是线段
CD
的中点
,
且∠
APB
=90°,
两平行线
m
,
n
间的距离为
4
.
求证
:
PA
·
PB
=2
AB.
图
Z8-39
图
Z8-37
图
Z8-40
8
.
[2018·
鄂尔多斯
24
题
]
(1)
【
操作发现
】
如图
Z8-41
①
,
将
△
ABC
绕点
A
顺时针旋转
60°
得到
△
ADE
,
连接
BD
,
则∠
ABD
=
度
.
(2)
【
类比探究
】
如图②
,
在等边三角形
ABC
内任取一点
P
,
连接
PA
,
PB
,
PC.
求证
:
以
PA
,
PB
,
PC
的长为三边必能组成三角形
.
图
Z8-41
①
图
Z8-41
②
60
图
Z8-41
③
(4)
【
拓展应用
】
如图④是
A
,
B
,
C
三个村子位置的平面图
,
经测量
AC
=4,
BC
=5,
∠
ACB
=30°,
P
为
△
ABC
内的一个动点
,
连接
PA
,
PB
,
PC.
求
PA
+
PB
+
PC
的最小值
.
图
Z8-41
④
8
.
[2018·
鄂尔多斯
24
题
]
(2)
【
类比探究
】
如图②
,
在等边三角形
ABC
内任取一点
P
,
连接
PA
,
PB
,
PC.
求证
:
以
PA
,
PB
,
PC
的长为三边必能组成三角形
.
图
Z8-41
②
解
: (2)
证明
:
如图
,
将
△
APC
绕点
A
顺时针旋转
60°
得到
△
AQB
,
连接
PQ
,
则
PC
=
BQ
,
AQ
=
AP
,
∠
PAQ
=60°
.
∴
△
AQP
为等边三角形
.
∴
AP
=
PQ.
∵
BP
,
BQ
,
QP
能组成三角形
,
∴以
PA
,
PB
,
PC
的长为三边必能组成三角形
.
图
Z8-41
③
8
.
[2018·
鄂尔多斯
24
题
]
(4)
【
拓展应用
】
如图④是
A
,
B
,
C
三个村子位置的平面图
,
经测量
AC
=4,
BC
=5,
∠
ACB
=30°,
P
为
△
ABC
内的一个动点
,
连接
PA
,
PB
,
PC.
求
PA
+
PB
+
PC
的最小值
.
图
Z8-41
④