中考数学全程复习方略第十二讲反比例函数课件 58页

第十二讲　 反比例函数 考点一　反比例函数的图象和性质 【 主干必备 】 一、反比例函数解析式的三种形式 1.y= ___(k≠0,k 为常数 ).  2.y=k_________(k≠0,k 为常数 ).  3.xy=________(k≠0,k 为常数 ).  x -1 k 二、反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数 y= (k 为常数 ,k≠0) 的图象是 ______ ________, 且关于 ___________ 对称 .  2. 反比例函数 y= (k 为常数 ,k≠0) 的图象和性质 双 曲线 原点 函数 图象 所在象限 性质 y= (k 为 常数 , k≠0) k>0 _________ 象限 (x,y 同号 ) 在每个象限内 ,y 随 x 增大而 ___________   k<0 _______ 象限 (x,y 异号 ) 在每个象限内 ,y 随 x 增大而 ___________   一、三 减小 二、四 增大 【 微点警示 】 双曲线不是连续曲线 , 而是两支在不同象限的曲线 , 所以比较函数值大小时 , 要注意所判断的点是否在同一象限 , 再结合每个象限内反比例函数图象的增减性来比较 . 【 核心突破 】 例 1(1)(2019· 贺州中考 ) 已知 ab<0, 一次函数 y=ax-b 与反比例函数 y= 在同一直角坐标系中的图象可能 是 ( 　 　 ) A (2)(2019· 天津中考 ) 若点 A(-3,y 1 ),B(-2,y 2 ),C(1,y 3 ) 都在反比例函数 y=- 的图象上 , 则 y 1 ,y 2 ,y 3 的大小关 系是 ( 　 　 ) A.y 2 0 C.a<2 D.a>2 D 2.(2019· 天津南开区期末 ) 若点 (x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ) 都是 反比例函数 y=- 图象上的点 , 并且 y 1 <0x 2 B.x 1 2 考点二　求反比例函数的解析式 【 核心突破 】 例 2(2019· 广东中考 ) 如图 , 一次函数 y=kx+b 的图象与 反比例函数 y= 的图象相交于 A,B 两点 , 其中点 A 的坐 标为 (-1,4), 点 B 的坐标为 (4,n). (1) 根据图象 , 直接写出满足 kx+b> 的 x 的取值范围 . (2) 求这两个函数的表达式 . (3) 点 P 在线段 AB 上 , 且 S △AOP ∶S △BOP =1∶2, 求点 P 的坐标 . 【 思路点拨 】 (1) 根据一次函数图象在反比例图象的上方 , 可求 x 的取值范围 . (2) 将点 A, 点 B 坐标代入两个表达式可求 k 2 ,n,k,b 的值 , 从而求得表达式 . (3) 根据三角形面积的比例 , 可得答案 . 【 自主解答 】 (1)∵ 点 A 的坐标为 (-1,4), 点 B 的坐标为 (4,n). 由图象可得 :kx+b> 的 x 的取值范围是 x<-1 或 00) 的图象交于点 B(m,2). 世纪金榜导学号 (1) 求反比例函数的表达式 . (2) 求△ AOB 的面积 . 【 解析 】 (1)∵ 点 B(m,2) 在直线 y=x+1 上 , ∴2=m+1, 得 m=1,∴ 点 B 的坐标为 (1,2), ∵ 点 B(1,2) 在反比例函数 y= (x>0) 的图象上 , ∴2= , 得 k=2, 即反比例函数的表达式为 y= . (2) 将 x=0 代入 y=x+1, 得 y=1, 则点 A 的坐标为 (0,1), ∵ 点 B 的坐标为 (1,2), ∴△AOB 的面积是 考点三　一次函数与反比例函数的综合 【 核心突破 】 例 3 如图 , 一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 的图象交于 A(m,4),B(2,n) 两点 , 与坐标 轴分别交于 M,N 两点 . (1) 求一次函数的解析式 . (2) 根据图象直接写出 kx+b- >0 中 x 的取值范围 . (3) 求△ AOB 的面积 . 【 自主解答 】 略 【 明 · 技法 】 根据一次函数和反比例函数的图象写不等式的解集的步骤 (1) 数形结合 : 根据题意画出图象 . (2) 找交点 : 根据函数图象 , 找到两函数的交点坐标 . (3) 画三线 : 根据两条函数的交点画出三条垂直于 x 轴的直线 . (4) 分四域 : 以三线为界可将直角平面划分为四个区域 . (5) 定大小 : 根据“上大下小”原则 . 如果一次函数图象与反比例函数图象有交点时 , 就可以利用上面的步骤去解决问题 ; 若没有交点时 , 可以借助 y 轴分两个区域 , 再直接用“上大下小”原则去解决问题 . 【 题组过关 】 1.(2019· 衡阳中考 ) 如图 , 一次函数 y 1 =kx+b(k≠0) 的 图象与反比例函数 y 2 = (m 为常数且 m≠0) 的图象都经 过 A(-1,2),B(2,-1), 结合图象 , 则不等式 kx+b> 的解 集是 ( 　 　 ) C A.x<-1 B.-12 2.(2019· 长沙中考 ) 如图 , 函数 y= (k 为常数 ,k>0) 的 图象与过原点 O 的直线相交于 A,B 两点 , 点 M 是第一象限 内双曲线上的动点 ( 点 M 在点 A 的左侧 ), 直线 AM 分别交 x 轴 ,y 轴于 C,D 两点 , 连接 BM 分别交 x 轴 ,y 轴于点 E,F. 连接 OM. 现有以下四个结论 :①△ODM 与△ OCA 的面积相等 ; ② 若 BM⊥AM 于点 M, 则∠ MBA=30°;③ 若 M 点的横坐标为 1,△OAM 为等边三角形 , 则 k=2+ ;④ 若 MF= MB, 则 MD=2MA. 其中正确的结论的序号是 _____________. 世纪金榜导学号  ①③④ 3.(2019· 聊城中考 ) 如图 , 点 A ,B(3,m) 是直线 AB 与反比例函数 y= (x>0) 图象的两个交点 ,AC⊥x 轴 , 垂 足为点 C, 已知 D(0,1), 连接 AD,BD,BC. 世纪金榜导 学号 (1) 求直线 AB 的表达式 . (2)△ABC 和△ ABD 的面积分别为 S 1 ,S 2 , 求 S 2 -S 1 . 【 解析 】 (1)∵ 点 A ,B(3,m) 在反比例函数 y= (x>0) 图象上 , ∴4= ,∴n=6,∴ 反比例函数的表达式为 y= (x>0), 将点 B(3,m) 代入 y= (x>0) 得 m=2,∴B(3,2), 设直线 AB 的表达式为 y=kx+b(k≠0), ∴ ∴ 直线 AB 的表达式为 y=- x+6. (2) 由点 A,B 坐标得 AC=4, 点 B 到 AC 的距离为 ∴ S 1 = 设 AB 与 y 轴的交点为 E, 可得 E(0,6), 如图 : ∴DE=6-1=5, 由点 A ,B(3,2) 知点 A,B 到 DE 的距离分 别为 ,3, ∴S 2 =S △BDE -S △ADE = ∴S 2 -S 1 = 考点四　反比例函数的实际应用 【 核心突破 】 例 4(2018· 河北中考 ) 如图是轮滑场地的截面示意图 , 平台 AB 距 x 轴 ( 水平 )18 米 , 与 y 轴交于点 B, 与滑道 y= (x≥1) 交于点 A, 且 AB=1 米 . 运动员 ( 看成点 ) 在 BA 方向获 得速度 v 米 / 秒后 , 从 A 处向右下飞向滑道 , 点 M 是下落 路线的某位置 . 忽 略 空气阻力 , 实验表明 :M,A 的竖直距离 h( 米 ) 与飞出时间 t( 秒 ) 的平方成正比 , 且 t=1 时 h=5, M,A 的水平距离是 vt 米 . (1) 求 k, 并用 t 表示 h. (2) 设 v=5. 用 t 表示点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y, 并求 y 与 x 的关系式 ( 不写 x 的取值范围 ), 及 y=13 时运动员与正下方滑道的竖直距离 . (3) 若运动员甲、乙同时从 A 处飞出 , 速度分别是 5 米 / 秒、 v 乙 米 / 秒 . 当甲距 x 轴 1.8 米 , 且乙位于甲右侧超过 4.5 米的位置时 , 直接写出 t 的值及 v 乙 的范围 . 【 自主解答 】 (1) 由题意 , 将点 A(1,18) 代入 y= , 得 :18= ,∴k=18. 设 h=at 2 , 把 t=1,h=5 代入 , ∴a=5,∴h=5t 2 . (2)∵v=5,AB=1,∴x=5t+1, ∵h=5t 2 ,OB=18,∴y=-5t 2 +18. 由 x=5t+1, 则 t= (x-1),∴y=- (x-1) 2 +18=- x 2 + x+ , 当 y=13 时 ,13=- (x-1) 2 +18, 解得 x=6 或 -4,∵x≥1,∴x=6, 把 x=6 代入 y= , 得 y=3. ∴ 运动员与正下方滑道的竖直距离是 13-3=10( 米 ). (3) 略 【 明 · 技法 】 本题是二次函数和反比例函数所构成的分段函数 , 并进一步利用反比例函数解决实际问题 , 解决这类问题的关键是审清题目 , 理清步骤 : 先根据点的坐标确定解析式 , 再根据方程或不等式解决实际问题 . 【 题组过关 】 1.(2019· 安徽模拟 ) 一个可以改变体积的密闭容器内 装有一定质量的某种气体 , 当改变容器体积时 , 气体的 密度也随之改变 . 密度 ρ( 单位 :kg/m 3 ) 与体积 V( 单位 : m 3 ) 满足函数关系式 ρ= (k 为常数 ,k≠0), 其图象如图 所示 , 那么当 V≥6 m 3 时 , 气体的密度 ρ( 单位 :kg/m 3 ) 的 取值范围是 ( 　 　 ) B A.ρ≤1.5 　　　　　 B.0<ρ≤1.5 C.ρ≥1.5 D.ρ>1.5 2.(2019· 杭州中考 ) 方方驾驶小汽车匀速从 A 地行驶到 B 地 , 行驶路程为 480 千米 , 设小汽车的行驶时间为 t( 单位 : 小时 ), 行驶速度为 v( 单位 : 千米 / 小时 ), 且全程速度限定为不超过 120 千米 / 小时 . 世纪金榜导学号 (1) 求 v 关于 t 的函数表达式 . (2) 方方上午 8 点驾驶小汽车从 A 地出发 . ① 方方需在当天 12 点 48 分至 14 点 ( 含 12 点 48 分和 14 点 ) 间到达 B 地 , 求小汽车行驶速度 v 的范围 . ② 方方能否在当天 11 点 30 分前到达 B 地 ? 说明理由 . 【 解析 】 (1)∵vt=480, 且全程速度限定为不超过 120 千 米 / 小时 ,∴v 关于 t 的函数表达式为 v= (t≥4). (2)① 上午 8 点至 12 点 48 分时间长为 小时 ,8 点至 14 点 时间长为 6 小时 . 将 t=6 代入 v= 得 v=80; 将 t= 代入 v= 得 v=100. ∴ 小汽车行驶速度 v 的范围为 80≤v≤100. ② 方方不能在当天 11 点 30 分前到达 B 地 . 理由如下 : 上午 8 点至 11 点 30 分时间长为 小时 , 将 t= 代入 v= 得 v= >120, 故方方不能在当天 11 点 30 分前到达 B 地 . 3.(2019· 兰州永登期末 ) 为了预防疾病 , 某单位对办公 室采用药熏消毒法进行消毒 , 已知药物燃烧时 , 室内每 立方米空气中的含药量 y( 毫克 ) 与时间 x( 分钟 ) 成正比 例 , 药物燃烧后 ,y 与 x 成反比例 ( 如图 ), 现测得药物 8 分 钟燃毕 , 此时室内空气中每立方米的含药量为 6 毫克 , 请 根据题中所提供的信息 , 解答下列问题 : 世纪金榜导学 号 (1) 药物燃烧时 ,y 关于 x 的函数关系式为 ____________, 自变量 x 的取值范围为 ____________; 药物燃烧后 ,y 关于 x 的函数关系式为 ____________.  (2) 研究表明 , 当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时员工方可进办公室 , 那么从消毒开始 , 至少需要经过 ____________ 分钟后 , 员工才能回到办公室 .  (3) 研究表明 , 当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时 , 才能有效杀灭空气中的病菌 , 那么此次消毒是否有效 ? 为什么 ? 【 解析 】 (1)y= x(0≤x≤8),y= (x>8). (2) 结合实际 , 令 y= 中 y<1.6 得 x>30, 即从消毒开始 , 至少需要 30 分钟后员工才能进入办公室 . (3) 把 y=3 代入 y= x, 得 :x=4, 把 y=3 代入 y= , 得 :x=16,∵16-4=12>10. 所以这次消毒是有效的 .