初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第9讲 坐标平面上的直线 7页

1 第九讲 坐标平面上的直线 一般地，若 bkxy  ( k 、b 是常数， 0k )，则 y 叫做 x 的一次函数，它的图象是一条直线，函数 解析式 bkxy  式中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性( 随 的变化情况)。如图所示： 一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系，任意一个一次函数 bkxy  都可看作是关于 、 的一个二元一次方程 0 bykx ；任意一个关于 、 的二元一次方程 0 cbyax ，可化为形如 b cxb ay  ( 0b )的函数形式。坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用方程和 函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程 组。 【例题求解】 【例 1】 如图，在直角坐标系中，直角梯形 OABC 的顶点 A(3，0)、B(2，7)，P 为线段 OC 上一点，若 过 B 、P 两 点 的 直 线 为 111 bxky  ，过 A 、P 两 点 的 直 线 为 222 bxky  ，且 BP ⊥AP ，则 )( 2121 kkkk  = 。 思路点拨 解题的关键是求出 P 点坐标，只需运用几何知识建立 OP 的等式即可。 【例 2】 设直线 2)1(  ynnx ( n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为 nS ( ＝1，2，… 2000)， 则 S1+S2+…+S2000 的值为( ) A．1 B． 2000 1999 C． 2001 2000 D． 2002 2001 思路点拨 求出直线与 x 轴、 轴交点坐标，从一般形式入手，把 用含 的代数式表示。 【例 3】 某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中， 设运输飞机的油箱余油量为 Q1 吨，加油飞机的加油油箱．．．．余油量为 Q2 吨，加油时间为 t 分钟，Q1、Q2 与 t 之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题： (1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟? (2)求加油过程中，运输飞机的余油量 Q1 (吨)与时间 (分钟)的函数关系式； (3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需 10 小时到达目的地，油料是否够用?说明理由． 思路点拨 对于(3)，解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量。 2 注：（1）当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点，一次函数当自变量取值受限 制时，存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了。 （2）当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起，求两交点坐标并能发掘隐 含条件是解相关综合题的基础。 【例 4】 如图，直线 13 3  xy 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作 等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点 P( a ， 2 1 )，且△ABP 的面积与△A ABC 的 面积相等，求 a 的值． 思路点拨 利用 S△ABP＝S△ABC 建立含 的方程，解题的关键是把 S△ABP 表示成有边落在坐标轴上的三角 形面积和、差。 注：解函数图象与面积结合的问题，关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面 积来表示， 这样面积与坐标就建立了联系． 【例 5】 在直角坐标系中，有以 A(一 1，一 1)，B(1，一 1)，C(1，1)，D(一 1，1)为顶点的正方形，设 它在折线 aaxy  上侧部分的面积为 S，试求 S 关于的函数关系式，并画出它们的图象。 思路点拨 先画出符合题意的图形，然后对不确定折线 aaxy  及其中的字母 的取值范围进行分类 讨论， 的取值决定了正方形在折线上侧部分的图形的形状。 注：我们把有自变量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号在内的一类函数称为绝对值函数．去掉绝 对值符号，把绝对值函数化为分段函数，这是解绝对值的一般思路。 学历训练 1．一次函数的自变量的取值范围是-3≤ ≤6，相应函数值的取值范围是-5≤ y ≤-2，则这个函数的解析 式为 ． 2．已知 a cba b cba c cbak  ，且 nnm 695 2  ，则关于自变量 x 的一次函数 bkxy  的图象一定经过第 象限． 3．一家小型放影厅的盈利额(元)与售票数 之间的关系如图所示，其中超过 150 人时，要缴纳公安消防 保险费 50 元．试根据关系图回答下列问题： (1)当售票数满足 0< ≤150 时，盈利额 (元)与之间的函数关系式是 。 (2)当售票数满足 150