一元二次方程的根与系数的关系　　教案3 2页

‎21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 ‎1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．‎ ‎2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．‎ ‎3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．‎ ‎4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．‎ 重点 根与系数的关系及其推导 难点 正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．‎ 一、复习引入 ‎1．已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，则求a及另一个根的值．‎ ‎2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？‎ ‎3．由求根公式可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝，x2＝.观察两式右边，分母相同，分子是－b＋与－b－.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？‎ 二、探索新知 解下列方程，并填写表格：‎ 方程 x1‎ x2‎ x1＋x2‎ x1·x2‎ x2－2x＝0‎ x2＋3x－4＝0‎ x2－5x＋6＝0‎ ‎　　观察上面的表格，你能得到什么结论？‎ ‎(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？‎ ‎(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？‎ 解下列方程，并填写表格：‎ 方程 x1‎ x2‎ x1＋x2‎ x1·x2‎ ‎2x2－7x－4＝0‎ ‎3x2＋2x－5＝0‎ ‎5x2－17x＋6＝0‎ ‎　　小结：根与系数关系：‎ ‎(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)‎ 2‎ ‎(2)形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．‎ 即：对于方程　ax2＋bx＋c＝0(a≠0)‎ ‎∵a≠0，∴x2＋x＋＝0‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1·x2＝ ‎(可以利用求根公式给出证明)‎ 例1　不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：‎ ‎(1)x2－3x－1＝0　　　(2)2x2＋3x－5＝0‎ ‎(3)x2－2x＝0 (4)x2＋x＝ ‎(5)x2－1＝0 (6)x2－2x＋1＝0‎ 例2　不解方程，检验下列方程的解是否正确？‎ ‎(1)x2－2x＋1＝0 (x1＝＋1，x2＝－1)‎ ‎(2)2x2－3x－8＝0 (x1＝，x2＝)‎ 例3　已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)‎ 例4　已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．‎ 变式一：已知方程x2－2kx－9＝0的两根互为相反数，求k；‎ 变式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的两根互为倒数，求k.‎ 三、课堂小结 ‎1．根与系数的关系．‎ ‎2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．‎ 四、作业布置 ‎1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．‎ ‎(1)x2－5x－3＝0　(2)9x＋2＝x2　(3)6x2－3x＋2＝0‎ ‎(4)3x2＋x＋1＝0‎ ‎2．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，求另一根及m的值．‎ ‎3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b的值 2‎