一元二次方程的根与系数的关系　　教案2 4页

第9课时 一元二次方程的根与系数的关系（1）‎ 学 习 目 标 ‎1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。‎ ‎2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。‎ 学习重点 一元二次方程的根与系数的关系及运用。‎ 学习难点 定理的发现及运用。‎ 教 学 互 动 设 计 设计意图 一、自主学习 感受新知 ‎【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？‎ 一元二次方程 x1‎ x2‎ x1+x2‎ x1·x2 ‎ ‎+6x-16=0‎ ‎-2x-5=0‎ ‎2-3x+1=0‎ ‎5+4x-1=0‎ 通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。‎ 二、自主交流 探究新知 ‎【探究】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知x1=，x2=，　能得出以下结果：‎ x1＋x2=，即：两根之和等于 ‎ x1•x2=，即：两根之积等于 ‎ 特殊的：若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：‎ x1＋x2== -p x1•x2= q ‎ 如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为 x2＋x＋＝0(a≠0)，‎ 则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：‎ x2-（x1+x2）x＋x1x2＝0(a≠0)‎ 让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。‎ 4‎ 三、自主应用 巩固新知 ‎【例1】求下列方程的两根之和与两根之积.‎ ‎（1）-6x-15=0 （2）5x-1= 4‎ ‎（3）=4 （4）2=3x ‎（5）-(k+1)x+2k-1=0（x是未知数，k是常数）‎ ‎【例2】已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；‎ 解：设方程的另一个根是x1，那么 ‎ ‎ ∴ x1= ‎ 又x1+2= ‎ ‎∴ k= ‎ ‎【例3】利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的 ‎（1）平方和 （2）倒数和 解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2= ， x1x2= ‎ ‎（1）∵ （x1+x2）2= x12+2 +x22‎ ‎ ∴ x12+x22=（x1+x2）2-2 = ‎ ‎（2） ‎ ‎【练习】Р42 练习 让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解。‎ 进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。‎ 四、自主总结 拓展新知 不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值。‎ ‎1、先化成一般形式，再确定a,b,c.‎ ‎2、当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系.‎ ‎3、要注意比的符号：两个根的和－－比前面有负号，两个根的积－－比前面没有负号。‎ 五、课堂作业 P43 7 （《课堂内外》对应练习）‎ 教学理念/教学反思 4‎ 第10课时 一元二次方程的根与系数的关系（2）‎ 学 习 目 标 ‎1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系；‎ ‎2、灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．‎ ‎3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．‎ 学习重点 一元二次方程根与系数关系的应用．‎ 学习难点 某些代数式的变形．‎ 教 学 互 动 设 计 设计意图 一、自主学习 感受新知 ‎【问题1】若一元二次方程x2+10x+16=0的两根是x1、x2，则x1 + x2 =____；x1 • x2 =_______.‎ ‎【问题2】关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是 ；＝ 。‎ ‎【问题3】甲乙同时解方程+px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根为2﹑7，乙抄错了常数项，得两根为3﹑-10。则p= ，q= 。‎ ‎【问题4】以-3和5为根的一元二次方程是 。‎ 通过巩固练习,及时巩固定理，再次体会一元二次方程的根与系数的关系，培养思维的灵活性。‎ 二、自主交流 探究新知 ‎【例1】、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：‎ ‎（1） （2） （3）‎ 解：（1）＝＝‎ ‎ （2）＝＝‎ ‎ （3）原式＝＝＝‎ ‎【例2】若一元二次方程+ax+2=0的两根满足：+=12，求a的值。‎ ‎【例3】已知关于的方程，且方程两实根的积为5，求的值．‎ 解：∵方程两实根的积为5‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 所以，当时，方程两实根的积为5．‎ ‎【例4】已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0‎ 考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和 等于2等。‎ 根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．‎ 4‎ 有两个不相等的实数根．‎ ‎（1）求实数k的取值范围；‎ ‎（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．‎ ‎【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．‎ 解：（1）△= [ 2（k—1）] 2－4（k2－1）‎ ‎= 4k2－8k + 4－4k2 + 4 =－8k + 8．‎ ‎∵ 原方程有两个不相等的实数根，‎ ‎∴ －8k + 8＞0，解得 k＜1，即实数k的取值范围是 k＜1．‎ ‎（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k－1）· 0 + k2－1 = 0，‎ 解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．‎ 即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．‎ 此时，原方程变为 x2－4x = 0，解得 x1 = 0，x2 = 4，所以它的另一个根是4． ‎ 三、自主演练 巩固新知 ‎1.方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为______，其中a=____，b=____，c=____．‎ ‎2.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．‎ ‎3.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．‎ ‎4. 关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（ ）‎ ‎ A．1 B． C．－ D．±‎ ‎5. 若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ）‎ ‎ A．1 B．2 C．1或2 D．0‎ 四、课堂作业 （《课堂内外》对应练习）‎ 教学理念/教学反思 4‎