中考数学全程复习方略第十八讲等腰三角形直角三角形课件 70页

第十八讲　 等腰三角形、直角三角形 考点一　等腰 ( 等边 ) 三角形的性质与判定 【 主干必备 】 1. 等腰三角形 定义 有 ___________ 相等的三角形  两边 性质 轴对 称性 等腰三角形是轴对称图形 ,________ ________________________________ _________________ 是它的对称轴  定理 (1) 等腰三角形的两个底角 ___________ ( 简称 :_________________)  (2) 等腰三角形顶角 _____________ 、 底边上的中线和底边上的 _________ 相互重合 ( 简称“三线合一” )  底边 上的中线 ( 或底边上的高或顶角平分 线 ) 所在的直线 相等 等边对等角 平分线 高 判定 如果一个三角形有两个角相等 , 那么这两 个角所对的边也 ___________( 简写为 “ _________________”)  相等 等角对等边 2. 等边三角形 定义 ___________ 相等的三角形  性质 (1) 等边三角形的三个内角都 ___________, 并且每一个角都等于 ___________  (2) 等边三角形是轴对称图形 , 并且有 _________ 条对称轴  (3) 等边三角形每边上的中线 , 该边上的高 线 , 该边所对角的角平分线互相重合 三边 相等 60° 三 判定 (1) 三个角都 ___________ 的三角形  (2) 有一个角是 60° 的 ___________ 三角形  相等 等腰 【 微点警示 】 (1) 注意等腰三角形边的分类讨论 : 已知等腰三角形的两条边时 , 此两边可能是一底边一腰 , 也可能是两个腰 , 但要符合三角形的三边关系 . (2) 注意等腰三角形角的分类讨论 : 已知等腰三角形的一个角时 , 若此角≥ 90°, 则它是顶角 ; 若此角 <90°, 则它可能是顶角 , 也可能是底角 . 【 核心突破 】 例 1(2019· 重庆中考 A 卷 ) 如图 , 在△ ABC 中 ,AB=AC,D 是 BC 边上的中点 , 连接 AD,BE 平分∠ ABC 交 AC 于点 E, 过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F. (1) 若∠ C=36°, 求∠ BAD 的度数 . (2) 求证 :FB=FE. 【 思路点拨 】 (1) 利用等腰三角形的性质求出∠ ABC, 再利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ ADB=90°, 即可解决问题 . (2) 先证明∠ FBE=∠FEB, 再利用“等角对等边”解决问题 . 【 自主解答 】 略 【 明 · 技法 】 等腰三角形中的分类讨论 1. 已知等腰三角形的两边 (a,b), 求周长 (c) 时 , 分两种情况 : (1) 若 a 为腰 ,b 为底时 , 则周长 c=2a+b. (2) 若 b 为腰 ,a 为底时 , 则周长 c=2b+a. 2. 已知等腰三角形的周长 (c) 和一边 (a), 求另一边时 , 分两种情况 : (1) 若已知边 (a) 为腰 : 则第三边为 c-2a; (2) 若已知边 (a) 为底 : 则另两边为 (c-a). 【 题组过关 】 1.(2019· 驻马店正阳模拟 ) 如图 , 在△ ABC 中 ,AB=AC, 若 以点 B 为圆心 ,BC 长为半径作弧 , 交 AC 于点 E, 则下列结论 一定正确的是 ( 　 　 ) A.AE=BE 　　　　　 B.BE 是∠ ABC 的平分线 C.∠BAC=∠EBC D.AE=BC C 2.(2019· 襄阳模拟 ) 如图 ,△ABC 是等边三角形 ,DE∥BC, 若 AB=5,BD=3, 则△ ADE 的周长为 ( 　 　 ) A.2 　　　 B.6 　　　 C.9 　　　 D.15 B 3.( 易错警示题 )(2019· 兰州中考 ) 在△ ABC 中 ,AB=AC, ∠A=40°, 则∠ B=_________°. 世纪金榜导学号  70 4.(2019· 武汉江汉区期末 ) 如图 , 在△ ABC 中 ,BO 平分 ∠ ABC,CO 平分∠ ACB,MN 经过点 O, 与 AB,AC 相交于点 M,N, 且 MN∥BC. 若 AB=7,AC=6, 那么△ AMN 的周长是 _________.  13 5.(2019· 温州鹿城区模拟 ) 如图 , 在△ ABC 中 ,AB=AC,CD 是∠ ACB 的平分线 ,DE∥BC, 交 AC 于点 E. 世纪金榜导学号 (1) 求证 :DE=CE. (2) 若∠ CDE=35°, 求∠ A 的度数 . 略 考点二　线段的垂直平分线的性质与判定 【 主干必备 】 1. 定义 : 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 , 叫 做这条线段的垂直平分线 . 2. 性质 : 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离 ___________.  相等 3. 判定 : 与一条线段两个端点距离相等的点 , 在这条线 段的 _________________ 上 .  垂直平分线 【 微点警示 】 (1) 用定义判定线段垂直平分线的两个条件 : 一是垂直 , 二是平分 . (2) 用判定方法判定线段垂直平分线的必备 : 证明有两点在线段的垂直平分线上 , 才能“根据两点确定一条直线”得到线段的垂直平分线 . 【 核心突破 】 例 2(2019· 长沙中考 ) 如图 , 在 Rt△ABC 中 ,∠C=90°, ∠B=30°, 分别以点 A 和点 B 为圆心 , 大于 AB 的长为半 径作弧 , 两弧相交于 M,N 两点 , 作直线 MN, 交 BC 于点 D, 连 接 AD, 则∠ CAD 的度数是 ( 　 　 ) A.20° 　　　 B.30° 　　　 C.45° 　　　 D.60° B 【 明 · 技法 】 线段垂直平分线的应用特征 (1) 线段垂直平分线中的两组相等线段 . ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ; ② 被垂直平分的线段 , 被分为两条相等线段 . (2) 证题时 , 经常把垂直平分线上的点和线段的端点连接起来 , 利用垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等来证题 . 【 题组过关 】 1.(2019· 南充中考 ) 如图 , 在△ ABC 中 ,AB 的垂直平分线 交 AB 于点 D, 交 BC 于点 E, 若 BC=6,AC=5, 则△ ACE 的周长为 ( 　 　 ) A.8 B.11 C.16 D.17 B 2. 如图 , 已知线段 AB, 分别以 A,B 为圆心 , 大于 AB 为半 径作弧 , 连接弧的交点得到直线 l , 在直线 l 上取一点 C, 使得∠ CAB=25°, 延长 AC 至点 M, 则∠ BCM 的度数为 ___________.  50° 3.(2019· 淮安模拟 ) 如图 , 在△ ABC 中 , 边 AB,AC 的垂直平分线 ED,GF 分别交 AB,AC 于点 E,G, 交 BC 于点 D,F, 连接 AD,AF, 若∠ DAF=40°, 求∠ BAC 的度数 . 世纪金榜导学号 略 考点三　直角三角形的性质与判定 【 主干必备 】 性质 (1) 直角三角形的两个锐角 ___________  (2) 在直角三角形中 ,30° 角所对的直角边等 于斜边的 ___________  (3) 在直角三角形中 , 斜边上的中线等于斜边 的 ___________  互余 一半 一半 判定 (1) 定义法 : 有一个角是 ___________ 的三角形  (2) 两个内角 ___________ 的三角形  直角 互余 【 微点警示 】 (1) 一条边等于另一条边的一半且有 30° 角的三角形 : ① 直角三角形 ; ② 一条直角边等于斜边的一半 ,①② 缺一不可 . (2) 一条边上的中线等于这条边的一半的三角形 : 这个三角形一定是直角三角形 . 【 核心突破 】 例 3(1)(2018· 淄博中考 ) 如图 , 在 Rt△ABC 中 ,CM 平分 ∠ ACB 交 AB 于点 M, 过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N, 且 MN 平分 ∠ AMC, 若 AN=1, 则 BC 的长为 ( 　 　 ) A.4 B.6 C.4 D.8 B (2)(2018· 徐州中考 ) 如图 ,Rt△ABC 中 ,∠ABC=90°,D 为 AC 的中点 , 若∠ C=55°, 则∠ ABD=_________°.  35 【 明 · 技法 】 直角三角形性质的四个应用 1. 在一个题目中 , 若直角三角形较多 , 可考虑利用等面积的方法求线段的长度 . 2. 可利用直角三角形两锐角互余 , 根据同 ( 等 ) 角的余角相等证明两个锐角相等 . 3. 在直角三角形中 , 有 30° 锐角可考虑 30° 角所对直角边等于斜边的一半 . 4. 在直角三角形中 , 若有斜边中点 , 可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 【 题组过关 】 1. 某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示 . 其中 AB,CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线 ,∠ABC=150°, BC 的长是 8 m, 则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 是 ( 　 　 ) D A.4 m 　　 B.8 m 　　 C. m 　　 D.4 m 2. 如图 ,△ABC 中 ,AB=AC=13,BC=10,AD 平分∠ BAC 交 BC 于 点 D, 点 E 为 AC 的中点 , 连接 DE, 则△ CDE 的周长为 ( 　 　 ) A.16.5 B.18 C.23 D.26 B 3.(2019· 黄石中考 ) 如图 , 在△ ABC 中 ,∠B=50°,CD⊥ AB 于点 D,∠BCD 和∠ BDC 的平分线相交于点 E,F 为边 AC 的 中点 ,CD=CF, 则∠ ACD+∠CED= ( 　 　 ) 世纪金榜导学号 A.125° 　　　 B.145° 　　　 C.175° 　　　 D.190° C 考点四　勾股定理及其逆定理 【 主干必备 】 1. 勾股定理 : 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a,b, 斜边长为 c, 那么 ______________.  2. 勾股定理的逆定理 : 如果三角形的三边长 a,b,c 满足 ______________, 那么这个三角形是直角三角形 .  a 2 +b 2 =c 2 a 2 +b 2 =c 2 【 微点警示 】 (1) 勾股定理应用的前提 : 只能在同一个直角三角形中 , 才能运用该定理求边长 . (2) 勾股定理的几种变式 : 在 Rt△ABC 中 ,∠C=90°,∠A, ∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c, 则 a 2 =c 2 -b 2 =(c+b)(c-b), b 2 =c 2 -a 2 =(c+a)(c-a), . 【 核心突破 】 例 4 【 原型题 】 (2018· 黄冈中考 ) 如图 , 在 Rt△ABC 中 , ∠ACB=90°,CD 为 AB 边上的高 ,CE 为 AB 边上的中线 ,AD= 2,CE=5, 则 CD= ( 　 　 ) A.2 B.3 C.4 D.2 C 【 变形题 】 ( 变换结论 ) 如图 , 在 Rt△ABC 中 ,∠ACB=90°, CD 为 AB 边上的高 ,CE 为 AB 边上的中线 ,AD=2,CE=5, 则 BC=________.  例 5 【 原型题 】 (2018· 东营中考 ) 如图所示 , 圆柱的高 AB=3, 底面直径 BC=3, 现有一只蚂蚁想从 A 处沿圆柱表面 爬到对角 C 处捕食 , 则它爬行的最短距离是 ( 　 　 ) C 【 变形题 】 ( 变换条件 ) 没有上盖的圆柱盒高为 10 cm, 底面周长为 32 cm, 点 A 距离下底面 3 cm. 一只位于圆柱 盒外表面点 A 处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点 B 处捕 食 , 则它爬行的最短距离是 _________ cm.  20 例 6(2018· 杭州中考 ) 折叠矩形纸片 ABCD 时 , 发现可以 进行如下操作 :① 把△ ADE 翻折 , 点 A 落在 DC 边上的点 F 处 , 折痕为 DE, 点 E 在 AB 边上 ;② 把纸片展开并铺平 ;③ 把 △ CDG 翻折 , 点 C 落在线段 AE 上的点 H 处 , 折痕为 DG, 点 G 在 BC 边上 , 若 AB=AD+2,EH=1, 则 AD=__________.  【 思路点拨 】 设 AD=x, 则 AB=x+2, 利用折叠的性质得 DF= AD,EA=EF,∠DFE=∠A=90°, 则可判断四边形 AEFD 为正方形 , 所以 AE=AD=x, 再根据折叠的性质得 DH=DC=x+2, 则 AH=AE-HE=x-1, 然后根据勾股定理得到 x 2 +(x-1) 2 =(x+ 2) 2 , 再解方程求出 x 即可 . 【 明 · 技法 】 勾股定理常见的应用与技巧 1. 已知直角三角形的任意两个边长 , 可直接利用勾股定理求得第三条边长 . 2. 立体图形表面的最短路径问题 , 可将立体图形展开 , 构造直角三角形后利用勾股定理求解 . 3. 折叠问题中求解线段长度问题 , 常常将某些条件汇集到一个直角三角形中 , 再根据勾股定理列方程求解 . 【 题组过关 】 1.(2019· 洛阳洛龙区期中 ) 由线段 a,b,c 组成的三角形 不是直角三角形的是 ( 　 　 ) A.a 2 -b 2 =c 2 D D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 2.( 传统数学文化题 ) 我国汉代数学家赵爽为了证明勾 股定理 , 创制了一幅弦图 , 后人称其为“赵爽弦图” , “ 赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正 方形构成的大正方形 , 如图 , 若其中 AE=5,BE=12, 则 EF 的长是 ________. 世纪金榜导学号  3.(2019· 宿迁中考 ) 如图 ,∠MAN=60°, 若△ ABC 的顶点 B 在射线 AM 上 , 且 AB=2, 点 C 在射线 AN 上运动 , 当△ ABC 是 锐角三角形时 ,BC 的取值范围是 ______________.  4.(2019· 巴中中考 ) 如图 , 等腰直角三角板如图放置 . 直角顶点 C 在直线 m 上 , 分别过点 A,B 作 AE⊥ 直线 m 于点 E,BD⊥ 直线 m 于点 D. 世纪金榜导学号 (1) 求证 :EC=BD. (2) 若设△ AEC 三边分别为 a,b,c, 利用此图证明勾股定理 . 【 解析 】 (1)∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠BCD=90°. ∵∠ACE+∠CAE=90°,∴∠CAE=∠BCD. 在△ AEC 与△ CDB 中 , ∴△CAE≌△BCD(AAS). ∴EC=BD. (2) 略 考点五　命题与定理 【 主干必备 】 1. 真假命题 : 如果题设成立 , 结论 _______________ 的命 题叫真命题 ; 如果题设成立 , 不能保证结论 ____________ 的命题叫假命题 .  一定成立 一定成立 2. 互逆命题 : 如果两个命题的 ___________ 和 ___________ 正好相反 , 我们把这样的两个命题叫做互逆命题 , 如果 把其中一个叫做原命题 , 那么另一个叫做它的 ________ ______.  题设 结论 逆命 题 3. 互逆定理 : 若一个定理的逆命题是正确的 , 那么它就 是这个定理的逆定理 , 称这两个定理为 ___________ 定 理 .  互逆 【 微点警示 】 (1) 命题与定理的关系 : 定理隶属于命题 , 是真命题中的一种 . (2) 命题与定理的互逆 : 所有命题都有逆命题 , 但并不是所有定理都有逆定理 , 只有原命题正确并且其逆命题也正确的才是互逆定理 . 【 核心突破 】 例 7(2019· 衡阳中考 ) 下列命题是假命题的是 ( 　 　 ) A.n 边形 (n≥3) 的外角和是 360° B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C. 相等的角是对顶角 D. 矩形的对角线互相平分且相等 C 【 明 · 技法 】 判断命题真假的方法 只有对一件事情作出判断的语句才是命题 , 其中正确的命题是真命题 , 错误的命题是假命题 . 对于命题的真假 ( 正误 ) 判断问题 , 一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可 , 有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假 . 【 题组过关 】 1. 下列命题是假命题的是 ( 　 　 ) A. 平行四边形既是轴对称图形 , 又是中心对称图形 B. 同角 ( 或等角 ) 的余角相等 C. 角平分线上的点到角两边的距离相等 D. 正方形的对角线相等 , 且互相垂直平分 A 2.( 易错警示题 ) 有以下几个命题 :① 等边三角形的三个 内角相等 ;② 等腰三角形的两个底角相等 ;③ 若 a 是有理 数 ,b 是无理数 , 则 a+b 是无理数 ;④ 若 a=b, 则 a 2 -b 2 =0. 以 上命题中有逆定理的个数是 ( 　 　 ) 世纪金榜导学号 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 B 3.(2019· 泰州中考 ) 命题“三角形的三个内角中至少 有两个锐角”是 _____________( 填“真命题”或“假命 题” ).  真命题