中考数学全程复习方略专题复习突破篇四开放探索问题课件 56页

专题四 　 开放探索问题 1. 主要类型 : (1) 条件开放探索问题 (2) 结论开放探索问题 (3) 条件和结论双重探索问题 2. 规律方法 (1) 开放探索性问题是指试题的命题中缺少一定的条件或无明确的结论 , 需要经过推断 , 补充并加以证明的题型 , 既是中考的热点题型 , 也是中考命题中具有挑战性试题 . (2) 问题一般没有明确的条件或结论 , 没有固定的形式和方法 , 需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论、条件或方法 . 这类题主要考查学生分析问题、解决问题的能力和创新意识 . 3. 渗透的思想 : 数形结合、转化思想、分类讨论等 . 类型一　条件开放探索 【 考点解读 】 1. 考查范畴 : 条件开放探索问题包括补充条件型、探索条件型和条件变化型 . 2. 考查角度 : 已知题目的结论 , 但是缺少确定的条件 , 而满足结论的条件往往不是唯一的 . 【 典例探究 】 【 典例 1】 (2019· 周口二模 ) 如图 , 在 Rt△ABC 中 , ∠B=90°,AB=6,CD 平分∠ ACB 交 AB 于点 D, 点 O 在 AC 上 , 以 CO 为半径的圆经过点 D,AE 切☉ O 于点 E. (1) 求证 :AD=AE. (2) 填空 : ① 当∠ ACB=____________ 时 , 四边形 ADOE 是正方形 ;  ② 当 BC=____________ 时 , 四边形 ADCE 是菱形 .  【 思路点拨 】 (1) 由 CD 是角平分线得出∠ ACD=∠DCB, 根据 OC=OD 可知∠ ODC=∠OCD, 进而得出∠ ODC=∠DCB, 则 OD∥BC, 证出 AB 是圆的切线 , 利用切线长定理判断出 AE=AD. (2)① 当四边形 ADOE 是正方形时 , 利用正方形的性质解答即可 ; ② 当四边形 ADCE 是菱形时 , 利用菱形的性质解答即可 . 【 自主解答 】 略 【 规律方法 】 解决条件开放类问题的方法 从所给的结论出发 , 设想出合乎要求的一些条件 , 逐一列出 , 运用所学的定理 , 进行逻辑推理 , 从而找出满足结论的条件 . 【 题组过关 】 1. 如图 , 在△ ABC 中 , 点 D,E 分别在边 AC,AB 上 ,BD 与 CE 交于点 O, 给出下列三个条件 :①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;]③OB=OC. (1) 上述三个条件中 , 由哪两个条件可以判定△ ABC 是等腰三角形 ?( 用序号写出所有成立的情形 ) (2) 请选择 (1) 中的一种情形 , 写出证明过程 . 【 解析 】 (1)①②;①③. (2) 选①②证明如下 : 如图 , 在△ BOE 和△ COD 中 , ∵∠EBO =∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE=CD, ∴△BOE ≌△COD(AAS). ∴BO=CO.∴∠OBC=∠OCB. ∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB. 即∠ ABC=∠ACB.∴AB=AC. ∴△ABC 是等腰三角形 . 选①③证明如下 : 如图 , 在△ BOC 中 , ∵OB=OC,∴∠1=∠2. ∵∠EBO=∠DCO, ∴∠EBO+∠1=∠DCO+∠2. 即∠ ABC=∠ACB.∴AB=AC. ∴△ABC 是等腰三角形 . 2.(2019· 衡阳中考 ) 如图 , 在等边△ ABC 中 ,AB=6 cm, 动点 P 从点 A 出发以 1 cm/s 的速度沿 AB 匀速运动 . 动点 Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动 , 当点 P 到达点 B 时 , 点 P,Q 同时停止运动 . 设运动时间为 t(s), 过点 P 作 PE⊥AC 于 E, 连接 PQ 交 AC 边于 D. 以 CQ,CE 为边作平行四边形 CQFE. 世纪金榜导学号 (1) 当 t 为何值时 ,△BPQ 为直角三角形 ? (2) 是否存在某一时刻 t, 使点 F 在∠ ABC 的平分线上 ? 若存在 , 求出 t 的值 , 若不存在 , 请说明理由 . (3) 求 DE 的长 . (4) 取线段 BC 的中点 M, 连接 PM, 将△ BPM 沿直线 PM 翻折 , 得△ B′PM, 连接 AB′, 当 t 为何值时 ,AB′ 的值最小 ? 并 求出最小值 . 略 类型二　结论开放探索 【 考点解读 】 1. 考查范畴 : 结论开放型问题主要有两种 : 一是判断结论是否成立 , 二是判断猜想结论 . 2. 考查角度 : 设计例题 , 通过已知条件进行逻辑推理 , 判断结论是否成立或猜想结论 . 【 典例探究 】 典例 2(2019· 绍兴中考 ) 如图 1 是实验室中的一种摆动装置 ,BC 在地面上 , 支架 ABC 是底边为 BC 的等腰直角三角形 , 摆动臂 AD 可绕点 A 旋转 , 摆动臂 DM 可绕点 D 旋转 , AD=30,DM=10. (1) 在旋转过程中 , ① 当 A,D,M 三点在同一直线上时 , 求 AM 的长 . ② 当 A,D,M 三点为同一直角三角形的顶点时 , 求 AM 的长 . (2) 若摆动臂 AD 顺时针旋转 90°, 点 D 的位置由△ ABC 外的点 D 1 转到其内的点 D 2 处 , 连接 D 1 D 2 , 如图 2, 此时∠ AD 2 C=135°,CD 2 =60, 求 BD 2 的长 . 【 思路点拨 】 (1)① 分两种情形分别求解即可 . ② 显然∠ MAD 不能为直角 . 当∠ AMD 为直角时 , 根据 AM 2 =AD 2 -DM 2 , 计算即可 , 当∠ ADM 为直角时 , 根据 AM 2 =AD 2 +DM 2 , 计算即可 . (2) 连接 CD 1 . 首先利用勾股定理求出 CD 1 , 再利用全等三角形的性质证明 BD 2 =CD 1 即可 . 【 自主解答 】 略 【 规律方法 】 解答结论开放问题的方法 (1) 给出问题的条件 , 根据条件探索相应的结论 , 并且符合条件的结论往往呈现多样性 , 或者相应的结论的“存在性”需要进行推断 , 甚至探求条件在变化中的结论 . (2) 解答此类题要充分利用条件进行大胆而合理地猜想 , 发现规律 , 得出结论 , 主要考查发散性思维和对基本知识的应用能力 . 【 题组过关 】 1.(2019· 枣庄中考 ) 如图 , 在 Rt△ABC 中 ,∠ABC=90°, 以 AB 为直径作☉ O, 点 D 为☉ O 上一点 , 且 CD=CB, 连接 DO 并延长交 CB 的延长线于点 E. (1) 判断直线 CD 与☉ O 的位置关系 , 并说明理由 ; (2) 若 BE=2,DE=4, 求圆的半径及 AC 的长 . 【 解析 】 (1)CD 与 ☉ O 相切 , 理由如下 : 连接 OC. ∵CB=CD,CO=CO,OB=OD, ∴△OCB≌△OCD(SSS), ∴∠ODC=∠OBC=90°, ∴OD⊥DC,∴DC 是☉ O 的切线 . (2) 设☉ O 的半径为 r. 在 Rt△OBE 中 ,∵OE 2 =EB 2 +OB 2 , ∴(4-r) 2 =2 2 +r 2 ,∴r=1.5, ∵tan E= ∴ ,∴CD=BC=3, 在 Rt△ABC 中 ,AC= ∴ 圆的半径为 1.5,AC 的长为 . 2. 在一个不透明的口袋里装有四个分别标有 1,2,3,4 的小球 , 它们的形状、大小等完全相同 . 王明先从口袋里随机不放回地取出一个小球 , 记下数字为 x; 王红在剩下的三个小球中随机取出一个小球 , 记下数字 y. 世纪金榜导学号 (1) 计算由 x,y 确定的点 (x,y) 在函数 y=-x+6 图象上的概率 . (2) 王明、王红约定做一个游戏 , 其规则是 : 若 x,y 满足 xy>6, 则王明胜 ; 若 x,y 满足 xy<6, 则王红胜 . 这个游戏规则公平吗 ? 说明理由 ; 若不公平 , 怎样修改游戏规则才对双方公平 ? 略 类型三　条件和结论双重探索 【 考点解读 】 1. 考查范畴 : 综合开放探索问题往往需要对条件和结论进行双重探索 . 2. 考查角度 : 通过设置条件不完整、结论不确定的问题 , 考查逻辑推理能力和探究能力 . 【 典例探究 】 典例 3 如图 ,E,F 是平行四边形 ABCD 对角线 BD 上的两点 , 给出下列三个条件 : ①BE=DF,②AF=CE, ③∠AEB=∠CFD. (1) 请你从中选择一个适当的条件 _________________ _____( 填序号 ), 使四边形 AECF 是平行四边形 , 并加以证 明 ;  ① （或③，答案不 唯一） (2) 任选一个条件能使四边形 AECF 成为平行四边形的 概率是 _____.  【 思路点拨 】 (1) 选①作条件 , 连接 AC, 交 BD 于点 O, 首先 根据平行四边形的性质可得 AO=CO,BO=DO, 再加上条件 BE=DF, 可得 EO=FO, 进而可证出四边形 AECF 是平行四边 形 ; 选③作条件 , 连接 AC, 交 BD 于点 O, 首先证明△ ABE≌ △CDF 可得 BE=DF, 再根据平行四边形的性质可得 AO=CO,BO=DO, 再加上条件 BE=DF, 可得 EO=FO, 进而可证出四边形 AECF 是平行四边形 . (2) 根据概率公式 : 随机事件 A 的概率 P(A)= 事件 A 可能出现的结果数 ÷ 所有可能出现的结果数 . 【 规律方法 】 条件和结论的双重探索型问题解决方法 (1) 只给出若干个论断 , 题目条件和结论都不确定 , 要求根据给出的论断组合成一个真命题 , 不同的组合方式会产生不同的真命题 , 具有条件、结论的双开放性 , 由于可能组合成假命题 , 因此要掌握常用的几何证明方法和基本性质、定理 . (2) 对于一些条件不完整 , 结论不确定的数学问题 , 要依据题目的要求 , 通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去编制符合要求的结论 . 【 题组过关 】 1. 观察函数图象 , 并根据所获得的信息回答问题 : (1) 折线 OAB 表示某个实际问题的函数图象 , 请你编写一道符合图象意义的应用题 . (2) 根据你所给出的应用题 , 分别指出 x 轴 ,y 轴所表示的意义 , 并写出 A,B 两点的坐标 . (3) 求出图象 AB 的函数解析式 , 并注明自变量 x 的取值范围 . 【 解析 】 答案不唯一 . (1) 水塔上面的蓄水池深 8 米 , 往里蓄满水用 5 分钟 , 接着打开底部的排水管放完全部的水用去了 10 分钟 . (2)x 轴表示时间 ( 分 ),y 轴表示蓄水池的深度 ( 米 ). A(5,8),B(15,0). (3) 设图象 AB 的函数解析式为 y=kx+b. 把 A(5,8),B(15,0) 代入上式 , 得 解得 所以图象 AB 的函数解析式为 y= x+12(5≤x≤15). 2. 如图 , 在等腰直角三角形 ABC 中 ,∠ACB=90°, AC=BC=4,D 是 AB 的中点 ,E,F 分别是 AC,BC 上的点 ( 点 E 不与端点 A,C 重合 ), 且 AE=CF, 连接 EF 并取 EF 的中点 O, 连接 DO 并延长至点 G, 使 GO=OD, 连接 DE,DF,GE,GF. 世纪金榜导学号 (1) 判断四边形 EDFG 的形状并进行证明 . (2) 当点 E 在什么位置时 , 四边形 EDFG 的面积最小 ? 并求四边形 EDFG 面积的最小值 . 略