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- 2021-11-12 发布
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提分微课
(二)
关于角平分线的联想
第四单元 三角形
当题中出现角平分线或易得到角平分线
(
有对称或等腰三角形
)
时
,
首先考虑利用角平分线定理求解
.
若另有平行或垂直等条件
,
则可考虑构造等腰三角形或对称图形求解
.
类型一 角平分线
+
边的垂线 双垂直
如图
W2-1,
遇到角平分线上的点到角的一边的垂线时
,
一般过该点作另一边的垂线
,
构造双垂直求解
.
构造
图
W
2
-1
1
.
如图
W2-2,Rt△
ABC
中
,
∠
C
=90°,
∠
ABC
的平分线
BD
交
AC
于点
D
,
若
CD
=3,
则点
D
到
AB
的距离
DE
是
(
)
A
.
5 B
.
4 C
.
3 D
.
2
图
W
2
-
2
C
2
.
如图
W2-3,
在
△
ABC
中
,
AB
=10,
AC
=8,
∠
BAC
=45°,
AD
是∠
BAC
的平分线
,
DE
⊥
AB
于点
E
,
则
DE
的长是
.
图
W2-3
3
.
如图
W2-4,
在平面直角坐标系中
,
矩形
OABC
的顶点
A
在
x
轴的正半轴上
,
顶点
C
在
y
轴的正半轴上
,
OA
=12,
OC
=9,
连接
AC.
(1)
填空
:
点
B
的坐标为
;
AC
的长度为
.
(2)
若
CD
平分∠
ACO
,
交
x
轴于点
D
,
求直线
CD
的函数表达式
.
图
W2-4
解
:(1)(12,9);15
图
W2-4
3
.
如图
W2-4,
在平面直角坐标系中
,
矩形
OABC
的顶点
A
在
x
轴的正半轴上
,
顶点
C
在
y
轴的正半轴上
,
OA
=12,
OC
=9,
连接
AC.
(2)
若
CD
平分∠
ACO
,
交
x
轴于点
D
,
求直线
CD
的函数表达式
.
类型二 角平分线
+
角平分线的垂线 等腰三角形
构造
图
W2-5
如图
W2-5,
当题目中有垂直于角平分线的线段
PA
时
,
通过延长
AP
交
ON
于点
B
,
构造等腰三角形
AOB
求解
.
4
.
如图
W2-6,
在
△
ABC
中
,
∠
C
=90°,
AC
=
BC
,
AD
平分∠
BAC
,
BD
⊥
AD
,
若
BD
=2,
则
AE
=
.
图
W2-6
[
答案
]
4
[
解析
]
延长
BD
,
AC
交于点
F
,
∵
AD
平分∠
BAC
,
AD
⊥
BD
,
∴∠
ABF
=
∠
AFB
,
BD
=
FD
,
BF
=2
BD.
∵
AD
⊥
BD
,
∠
ACB
=90°,
∠
AEC
=
∠
BED
,
∴∠
EAC
=
∠
FBC.
又∵
AC
=
BC
,
∴
△
ACE
≌△
BCF
,
∴
AE
=
BF
=2
BD
=4
.
5
.
如图
W2-7,△
ABC
中
,
∠
BAC
=90°,
S
△
ABC
=10,
AD
平分∠
BAC
,
交
BC
于点
D
,
BE
⊥
AD
交
AD
延长线于点
E
,
连接
CE
,
则
△
ACE
的面积为
.
图
W2-7
[
答案
] 5
图
W2-8
类型三 见角平分线作对称 全等三角形
构造
图
W2-9
如图
W2-9,
若
P
是∠
MON
平分线上一点
,
点
A
是边
OM
上任意一点
,
可考虑在边
ON
上截取
OB
=
OA
,
连接
PB
,
构造
△
OPB
≌△
OPA
,
进而将一些线段和角进行等量代换
,
这是常用的解题技巧之一
.
证明
:
∵四边形
ABCD
是菱形
,
∴
BC
=
CD
,
CA
平分∠
BCD.
∴∠
BCE
=
∠
DCE.
∵
CE
=
CE
,
∴
△
BCE
≌△
DCE.
∴∠
CBE
=
∠
CDE.
又∵
AB
∥
DC
,
∴∠
APD
=
∠
CDE.
∴∠
APD
=
∠
CBE.
7
.
如图
W2-10,
在菱形
ABCD
中
,
P
是
AB
上的一个动点且不与
A
,
B
重合
,
连接
DP
交对角线
AC
于
E
,
连接
BE.
求证
:
∠
APD
=
∠
CBE.
图
W2-10
8
.
如图
W2-11,
在
△
ABC
中
,
∠
C
=2
∠
B
,
AD
平分∠
BAC
,
求证
:
AB
=
AC
+
CD.
图
W2-11
类型四 角平分线
+
平行线 等腰三角形
当题中同时出现角平分线和平行线时
,
注意找等腰三角形
.
一般地
,
角平分线、平行线、等腰三角形中任意两个条件存在
,
可得第三个条件
.
如图
W2-12,
OP
平分∠
MON
,
PQ
∥
ON
,
则
△
OPQ
为等腰三角形
.
图
W2-12
构造
9
.
如图
W2-13,
AB
∥
CD
,
AD
平分∠
BAC
,
且∠
C
=80°,
则∠
D
的度数为
(
)
A
.
50° B
.
60°
C
.
70° D
.
100°
图
W2-13
A
10
.
在
△
ABC
中
,
D
,
E
分别是边
AC
,
AB
的中点
,
连接
BD.
若
BD
平分∠
ABC
,
则下列结论错误的是
(
)
A
.BC
=2
BE
B
.
∠
A
=
∠
EDA
C
.BC
=2
AD
D
.BD
⊥
AC
C
11
.
如图
W2-14,
AC
是正方形
ABCD
的对角线
,
∠
DCA
的平分线交
BA
的延长线于点
E
,
若
AB
=3,
则
AE
=
.
图
W2-14
12
.
在▱
ABCD
中
,
AE
平分∠
BAD
交边
BC
于点
E
,
DF
平分∠
ADC
交边
BC
于点
F
,
若
AD
=11,
EF
=5,
则
AB
=
.
[
答案
]8
或
3
[
解析
]
①如图①
,
在▱
ABCD
中
,
∵
BC
∥
AD
,
∴∠
ADF
=
∠
CFD.
∵
DF
平分∠
ADC
交
BC
于点
F
,
∴∠
ADF
=
∠
CDF
,
∴∠
CFD
=
∠
CDF
,
∴
CF
=
CD.
同理可证
AB
=
BE.
∴
AB
=
BE
=
CF
=
CD.
∵
EF
=5,
BC
=
AD
=11,
∴
BC
=
BE
+
CF
-
EF
=2
AB
-
EF
=2
AB
-5=11,
∴
AB
=8
.
②如图②
,
在▱
ABCD
中
,
同①可得
AB
=
BE
=
CF
=
CD
,
∵
EF
=5,
∴
BC
=
BE
+
CF
+
EF
=2
AB
+
EF
=2
AB
+5=11,
∴
AB
=3
.
故答案为
8
或
3
.
①
②
13
.
如图
W2-15,
在
△
ABC
中
,
AD
平分∠
BAC
,
BD
⊥
AD
,
过
D
作
DE
∥
AC
,
交
AB
于
E
,
若
AB
=5,
则
DE
=
.
图
W2-15
14
.
如图
W2-16,
在
△
ABC
中
,
CD
平分∠
ACB
交
AB
于
D
,
DE
∥
AC
交
BC
于点
E
,
DF
∥
BC
交
AC
于点
F.
求证
:
四边形
DECF
是菱形
.
图
W2-16
证明
:
如图
,
∵
DE
∥
AC
,
DF
∥
BC
,
∴四边形
DECF
为平行四边形
,
∠
2=
∠
3
.
又∵
CD
平分∠
ACB
交
AB
于点
D
,
∴∠
1=
∠
2,
∴∠
1=
∠
3,
∴
DE
=
EC
,
∴四边形
DECF
为菱形
.
15
.
如图
W2-17,
在
△
ABC
中
,
AB>AC
,
E
为
BC
边的中点
,
AD
为∠
BAC
的平分线
,
过
E
作
AD
的平行线
,
交
AB
于
F
,
交
CA
的延长线于点
G.
求证
:
BF
=
AC
+
AF.
图
W2-17
类型五 角平分线
+
角平分线 三角形内心
图
W2-18
构造
16
.
如图
W2-19
所示
,△
ABC
的三边
AB
,
BC
,
CA
的长分别是
20,30,40,
三条角平分线将
△
ABC
分为三个三角形
,
则
S
△
OAB
∶
S
△
OBC
∶
S
△
OAC
=
.
图
W2-19
2
∶
3
∶
4
17
.
如图
W2-20
所示
,
已知
△
ABC
的周长是
18 cm,
BO
,
CO
分别平分∠
ABC
和∠
ACB
,
OD
⊥
BC
于点
D
,
若
△
ABC
的面积为
45 cm
2
,
则
OD
=
;
若∠
BOC
=110°,
则∠
A
=
°
.
图
W2-20
5 cm
40
图
W2-21
[
答案
]C