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- 2021-11-12 发布
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1
第一讲 走进追问求根公式
形如 02 cbxax ( 0a )的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次
方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式
a
acbbx 2
42
2,1
内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它回答了一元
二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题,直接求解
可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问
题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】
【例 1】满足 1)1( 22 nnn 的整数 n 有 个。
思路点拨:从指数运算律、±1 的特征人手,将问题转化为解方程。
【例 2】设 1x 、 2x 是二次方程 032 xx 的两个根,那么 194 2
2
3
1 xx 的值等于( )
A、一 4 B、8 C、6 D、0
思路点拨:求出 、 的值再代入计算,则计算繁难,解题的关键是利用根的定义及变形,使多项式
降次,如 1
2
1 3 xx , 2
2
2 3 xx 。
【例 3】 解关于 x 的方程 02)1( 2 aaxxa 。
思路点拨:因不知晓原方程的类型,故需分 01a 及 01a 两种情况讨论。
【例4】 设方程 04122 xx ,求满足该方程的所有根之和。
思路点拨:通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。
【例 5】 已知实数 a 、 b 、 c 、 d 互不相等,且 xaddccbba 1111 , 试求 x 的值。
思路点拨:运用连等式,通过迭代把 、 、 用 的代数式表示,由解方程求得 的值。
注:一元二次方程常见的变形形式有:
(1)把方程 ( )直接作零值多项式代换;
(2)把方程 ( )变形为 cbxax 2 ,代换后降次;
(3)把方程 ( )变形为 cbxax 2 或 bxcax 2 ,代换后使之转化关系或整体
地消去 x 。
解合字母系数方程 时,在未指明方程类型时,应分 0a 及 0a 两种情况讨论;解绝
对值方程需脱去绝对值符号,并用到绝对值一些性质,如 222 xxx 。
2
走进追问求根公式学历训练
1 、 已知 a 、 b 是 实 数 , 且 0262 ba , 那 么 关 于 x 的 方 程 1)2( 22 axbxa 的根
为 。
2、已知 0232 xx ,那么代数式
1
1)1( 23
x
xx 的值是 。
3、若 142 yxyx , 282 xxyy ,则 yx 的值为 。
4、若两个方程 02 baxx 和 02 abxx 只有一个公共根,则( )
A、 ba B、 0ba C、 1ba D、 1ba
5、当分式
43
1
2 xx
有意义时, x 的取值范围是( )
A、 1x B、 4x C、 41 x D、 1x 且 4x
6、方程 011)1( xxxx 的实根的个数是( ) A、0 B、1 C、2 D、3
7、解下列关于 的方程:
(1) 03)12()1( 2 mxmxm ; (2) 012 xx ; (3) xxx 26542 。
8、已知 0222 xx ,求代数式 )1)(3()3)(3()1( 2 xxxxx 的值。
9、是否存在某个实数 m,使得方程 022 mxx 和 022 mxx 有且只有一个公共的实根?如果存在,
求出这个实数 m 及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由。注: 解公共根问题的基本策略是:
当方程的根有简单形式表示时,利用公共根相等求解,当方程的根不便于求出时,可设出公共根,设而
不求,通过消去二次项寻找解题突破口。
10、若 0152 xx ,则
1
5392 2
2
x
xx = 。
11、已知 m 、 n 是有理数,方程 02 nmxx 有一个根是 25 ,则 nm 的值为 。
3
12、已知 a 是方程 020002 xx 的一个正根。则代数式
a
20001
20001
20003
的值为 。
13、对于方程 mxx 222 ,如果方程实根的个数恰为 3 个,则 m 值等于( )
A、1 B、2 C、 3 D、2.5
14、自然数 n 满足 16162472 )22()22( 2 nn nnnn ,这样的 n 的个数是( )
A、2 B、1 C、3 D、4
15、已知 a 、 b 都是负实数,且
0
111
baba
,那么
a
b 的值是( )
A、
2
15 B、
2
51 C、
2
51 D、
2
51
16、已知 3819 x ,求
158
231826
2
234
xx
xxxx 的值。
17、已知 m、n 是一元二次方程 0720012 xx 的两个根,求 )82002)(62000( 22 nmmm 的值。
18、在一个面积为 l 的正方形中构造一个如下的小正方形:将正方形的各边 等分,然后将每个顶点和
它相对顶点最近的分点连结起来,如图所示,若小正方形面积为
3281
1 ,求 的值。
19、已知方程 0132 xx 的两根 、 也是方程 024 qpxx 的根,求 p 、 q 的值。
20、如图,锐角△ABC 中,PQRS 是△ABC 的内接矩形,且 S△ABC= S 矩形 PQRS,其中 为不小于 3 的自
然数.求证:
AB
BS 需为无理数。
4
5
参考答案
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