黔东南州2020年中考数学试题及答案 25页

黔东南州 2020 年中考数学试题及答案 1．﹣2020的倒数是（ ） A．﹣2020 B．﹣ 1 2020 C．2020 D． 1 2020 2．下列运算正确的是（ ） A．（x+y）2＝x2+y2 B．x3+x4＝x7 C．x3•x2＝x6 D．（﹣3x）2＝9x2 3．实数 2 10 介于（ ） A．4和 5之间 B．5和 6之间 C．6和 7之间 D．7和 8之间 4．已知关于 x的一元二次方程 x2+5x﹣m＝0的一个根是 2，则另一个根是（ ） A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3 5．如图，将矩形 ABCD沿 AC折叠，使点 B落在点 B′处，B′C交 AD于点 E，若∠1 ＝25°，则∠2等于（ ） A．25° B．30° C．50° D．60° 6．桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示， 则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ） A．12个 B．8个 C．14个 D．13个 7．如图，⊙O的直径 CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为 M，OM：OD＝3： 5，则 AB的长为（ ） A．8 B．12 C．16 D．2 91 8．若菱形 ABCD的一条对角线长为 8，边 CD的长是方程 x2﹣10x+24＝0的一个根，则 该菱形 ABCD的周长为（ ） A．16 B．24 C．16或 24 D．48 9．如图，点 A是反比例函数 y 6 x  （x＞0）上的一点，过点 A作 AC⊥y轴，垂足为点 C，AC交反比例函数 y＝ 2 x 的图象于点B，点P是 x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图，正方形 ABCD的边长为 2，O为对角线的交点，点 E、F分别为 BC、AD的 中点．以 C为圆心，2为半径作圆弧»BD，再分别以 E、F为圆心，1为半径作圆弧BO、 »OD，则图中阴影部分的面积为（ ） A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π 11． 0cos60 = ______. 12．2020年以来，新冠肺炎橫行，全球经济遭受巨大损失，人民生命安全受到巨大威 胁．截止 6月份，全球确诊人数约 3200000人，其中 3200000用科学记数法表示为_____． 13．在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝_____． 14．不等式组 5 1 3( 1) 1 11 4 2 3 x x x x        „ 的解集为_____． 15．把直线 y＝2x﹣1向左平移 1个单位长度，再向上平移 2个单位长度，则平移后所 得直线的解析式为_____． 16．抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与 x轴的一个交点坐标为（﹣ 3，0），对称轴为 x＝﹣1，则当 y＜0时，x的取值范围是_____． 17．以▱ ABCD对角线的交点 O为原点，平行于 BC边的直线为 x轴，建立如图所示的 平面直角坐标系．若 A点坐标为（﹣2，1），则 C点坐标为_____． 18．某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺 序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是_____． 19．如图,AB是半圆 O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点 O 到 CD 的距离 OE=______. 20．如图，矩形 ABCD中，AB＝2，BC＝ 2 ，E为 CD的中点，连接 AE、BD交于点 P，过点 P作 PQ⊥BC于点 Q，则 PQ＝_____． 21．（1）计算：（ 1 2 ） ﹣2﹣| 2 ﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0； （2）先化简，再求值：（ 3 1a  ﹣a+1）÷ 2 2 4 2 1 a a a    ，其中 a从﹣1，2，3中取一个你 认为合适的数代入求值． 22．某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩 x分（x为整数）评定为 优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用 A、B、C、D 表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x ＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表． 等级 频数（人数） 频率 A a 20% B 16 40% C b m D 4 10% 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的 a ，b＝ ，m＝ ． （2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图． （3）若从 D等级的 4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方 法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 23．如图，AB是⊙O的直径，点 C是⊙O上一点（与点 A，B不重合），过点 C作直线 PQ，使得∠ACQ＝∠ABC． （1）求证：直线 PQ是⊙O的切线． （2）过点 A作 AD⊥PQ于点 D，交⊙O于点 E，若⊙O的半径为 2，sin∠DAC＝ 1 2 ， 求图中阴影部分的面积． 24．黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进 3件甲商品和 2件乙商品，需 60 元；购进 2件甲商品和 3件乙商品，需 65元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为 x（单位：元/件），在销售过程中发现：当 11≤x≤19时， 甲商品的日销售量 y（单位：件）与销售单价 x之间存在一次函数关系，x、y之间的部 分数值对应关系如表： 销售单价 x（元/件） 11 19 日销售量 y（件） 18 2 请写出当 11≤x≤19时，y与 x之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为 w元，当甲商品的销售单价 x（元/ 件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 25．如图 1，△ABC和△DCE都是等边三角形． 探究发现 （1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若 B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求 BD的长． （3）若 B、C、E三点在一条直线上（如图 2），且△ABC和△DCE的边长分别为 1和 2，求△ACD的面积及 AD的长． 26．已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左边），与 y轴交于点 C（0，﹣3），顶点 D的坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的解析式． （2）在 y轴上找一点 E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点 E的坐标． （3）点 P是 x轴上的动点，点 Q是抛物线上的动点，是否存在点 P、Q，使得以点 P、 Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P、Q坐标； 若不存在，请说明理由． 参考答案 1．B 【解析】 【分析】 根据倒数的概念即可解答． 【详解】 解：根据倒数的概念可得，﹣2020的倒数是 1 2020  ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了倒数的概念，熟练掌握是解题的关键． 2．D 【解析】 【分析】 直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法则分别计算 得出答案． 【详解】 解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误； B、x3+x4，不是同类项，无法合并，故此选项错误； C、x3•x2＝x5，故此选项错误； D、（﹣3x）2＝9x2，正确． 故选：D． 【点睛】 此题主要考查整式的运算，熟练掌握各种整式运算法则是解题关键． 3．C 【解析】 【分析】 首先化简 2 10 ＝ 40 ，再估算 40 ，由此即可判定选项． 【详解】 解：∵2 10 ＝ 40 ，且 6＜ 40 ＜7， ∴6＜ 2 10 ＜7． 故选：C． 【点睛】 本题考查估算实数大小，方法就是用有理数来逼近，求该数的近似值，一般情况下要牢记 1 到 20 整数的平方，可以快速准确地进行估算. 4．A 【解析】 【分析】 根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】 解：设另一个根为 x，则 x+2＝﹣5， 解得 x＝﹣7． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题 关键． 5．C 【解析】 【分析】 由折叠的性质可得出∠ACB′的度数，由矩形的性质可得出 AD∥BC，再利用“两直线平行， 内错角相等”可求出∠2的度数． 【详解】 解：由折叠的性质可知：∠ACB′＝∠1＝25°． ∵四边形 ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠2＝∠1+∠ACB′＝25°+25°＝50°． 故选：C． 【点睛】 本题考查了矩形的折叠问题，解答关键是注意应用折叠前后图形的形状和大小不变，位置变 化，对应边和对应角相等的性质． 6．D 【解析】 【分析】 易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可． 【详解】 解：底层正方体最多有 9个正方体，第二层最多有 4个正方体，所以组成这个几何体的小正 方体的个数最多有 13个． 故选：D． 【点睛】 本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖，左视图拆 违章”找到所需正方体的个数． 7．C 【解析】 【分析】 连接 OA，先根据⊙O的直径 CD＝20，OM：OD＝3：5求出 OD及 OM的长，再根据勾股 定理可求出 AM的长，进而得出结论． 【详解】 连接 OA， ∵⊙O的直径 CD＝20，OM：OD＝3：5， ∴OD＝10，OM＝6， ∵AB⊥CD， ∴ 2 2 2 210 6 =8AM OA OM    ， ∴AB＝2AM＝16． 故选：C． 【点睛】 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心 距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为 r，弦长为 a，这条弦的弦心距为 d， 则有等式 2 2 2 2 ar d        成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 8．B 【解析】 【分析】 解方程得出 x＝4或 x＝6，分两种情况：①当 AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形； ②当 AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形 ABCD的周长． 【详解】 解：如图所示： ∵四边形 ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵x2﹣10x+24＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0， 解得：x＝4或 x＝6， 分两种情况： ①当 AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形； ②当 AB＝AD＝6时，6+6＞8， ∴菱形 ABCD的周长＝4AB＝24． 故选：B． 【点睛】 本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活 运用是解题的关键． 9．A 【解析】 【分析】 连接 OA、OB、PC．由于 AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数 k的 几何意义得到 S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用 S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算． 【详解】 解：如图， 连接 OA、OB、PC． ∵AC⊥y轴， ∴S△APC＝S△AOC＝ 1 2 ×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝ 1 2 ×|2|＝1， ∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2． 故选：A． 【点睛】 本题考查了反比例函数的比例系数 k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个 点向 x轴和 y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 10．B 【解析】 【分析】 根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以 2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以 1为半径的半圆（扇形）的面积再减去 2个以边长为 1的正方形的面积减去以 1半径的四分 之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决． 【详解】 解：由题意可得， 阴影部分的面积是： 1 4 •π×22﹣ 21 1 2   ﹣2（1×1﹣ 1 4 •π×12）＝π﹣2， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式 计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规则图 形的面积和差进行计算． 11． 1 2 . 【解析】 【分析】 根据特殊角的三角函数值填空即可. 【详解】 由特殊角的三角函数值，能够确定 cos60 = 1 2 . 故答案是 1 2 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值. 12．3.2×106 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 10 na  的形式，其中1 10a  ，n为整数．确定 n的值时，要 看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝 对值 10时，n是正数；当原数的绝对值 1 时，n是负数． 【详解】 由科学记数法的定义得： 63200000 3.2 10  故答案为： 63.2 10 ． 【点睛】 本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题键． 13． ( )(2 2)x y y  【解析】 【分析】 先提公因式 x，再运用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】 解：xy2﹣4x ＝x(y2﹣4) ＝ ( )(2 2)x y y  . 故答案为： ( )(2 2)x y y  . 【点睛】 本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法和公式法对因式进行分解是解题的关键. 14．2＜x≤6 【解析】 【分析】 先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式 组的解集． 【详解】 解：解不等式 5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2， 解不等式 1 2 x﹣1≤4﹣ 1 3 x，得：x≤6， 则不等式组的解集为 2＜x≤6， 故答案为：2＜x≤6． 【点睛】 本题主要考查解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小，大小小大中间找，大大小小 找不到的原则是解答此题的关键． 15．y＝2x+3 【解析】 【分析】 直接利用一次函数的平移规律进而得出答案． 【详解】 解：把直线 y＝2x﹣1向左平移 1个单位长度，得到 y＝2（x+1）﹣1＝2x+1， 再向上平移 2个单位长度，得到 y＝2x+3． 故答案为：y＝2x+3． 【点睛】 本题考查了一次函数的平移，熟练掌握是解题的关键． 16．﹣3＜x＜1 【解析】 【分析】 根据抛物线与 x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与 x轴的另一个 交点，再根据抛物线的增减性可求当 y＜0时，x的取值范围． 【详解】 解：∵抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为 x＝﹣1， ∴抛物线与 x轴的另一个交点为（1，0）， 由图象可知，当 y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 17．（2，﹣1） 【解析】 【分析】 根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ ABCD对角线的交点 O为原点和点 A的坐标， 即可得到点 C的坐标． 【详解】 解：∵▱ ABCD对角线的交点 O为原点，A点坐标为（﹣2，1）， ∴点 C的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 【点睛】 此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示． 18． 1 6 【解析】 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好是甲、乙、 丙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】 解：画出树状图得： ∵共有 6种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有 1种结果， ∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为 1 6 ， 故答案为： 1 6 ． 【点睛】 本题考查了树状图法求概率问题，关键是根据题意正确画出树状图进而求解. 19． 2 【解析】 试题分析：∵∠CAB=30°，AC=AD，OA=OC，∴∠ACD=75°，∠ACO=30°，∴∠OCE=45°， ∵OE⊥CD，∴△OCE为等腰直角三角形， ∵OC=2，∴OE= 2 . 考点：(1)、圆的基本性质；(2)、勾股定理 20． 4 3 【解析】 【分析】 根据矩形的性质得到 AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得 到 DE＝ 1 2 CD＝ 1 2 AB，根据相似三角形的判定证明△ABP∽△EDP，再利用相识三角形的 性质和判定即可得到结论． 【详解】 解：∵四边形 ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°， ∵E为 CD的中点， ∴DE＝ 1 2 CD＝ 1 2 AB， ∴△ABP∽△EDP， ∴ AB DE ＝ PB PD ， ∴ 2 1 ＝ PB PD ， ∴ PB BD ＝ 2 3 ， ∵PQ⊥BC， ∴PQ∥CD， ∴△BPQ∽△DBC， ∴ PQ CD ＝ BP BD ＝ 2 3 ， ∵CD＝2， ∴PQ＝ 4 3 ， 故答案为： 4 3 ． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质的应用，运用矩形的性质和相似三角 形判定和性质证明△ABP∽△EDP得到 2 1 ＝ PB PD 是解题的关键． 21．（1）2+ 2 ；（2）﹣a﹣1，-4 【解析】 【分析】 （1）先算负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、然后再算加减法即可； （2）先运用分式的相关运算法则化简，最后确保分式有意义的前提下，选择一个 a的值代 入计算即可． 【详解】 解：（1）（ 1 2 ） ﹣2﹣| 2 ﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0 ＝4+ 2 ﹣3+2×1﹣1 ＝4+ 2 ﹣3+2﹣1 ＝2+ 2 ； （2）（ 3 1a  ﹣a+1）÷ 2 2 4 2 1 a a a    ＝ 3 ( 1)( 1) 1 a a a     × 2( 1) ( 2)( 2) a a a    ＝           22 2 1 1 2 2 a a a a a a         ＝﹣a﹣1， 要使原式有意义，只能 a＝3， 则当 a＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4． 【点睛】 本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值以及分式的化简求值，掌握实数的相关知 识以及分式四则运算的法则是解答本题的关键． 22．（1）8，12，30%；（2）40名，补图见解析；（3） 2 3 【解析】 【分析】 （1）根据题意列式计算即可得到结论； （2）用 D等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可． 【详解】 解：（1）a＝16÷40%×20%＝8，b＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，m＝1﹣20% ﹣40%﹣10%＝30%； 故答案为：8，12，30%； （2）本次调查共抽取了 4÷10%＝40名学生； 补全条形图如图所示； （3）将男生分别标记为 A，B，女生标记为 a，b， A B a b A （A，B） （A，a） （A，b） B （B，A） （B，a） （B，b） a （a，A） （a，B） （a，b） b （b，A） （b，B） （b，a） ∵共有 12种等可能的结果，恰为一男一女的有 8种， ∴抽得恰好为“一男一女”的概率为 8 12 ＝ 2 3 ． 【点睛】 此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．用到的知识点为： 概率=所求情况数与总情况数之比． 23．（1）见解析；（2） 2 3  ﹣ 3． 【解析】 【分析】 （1）连接 OC，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性质及 已知条件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切线的判定定理可得结论． （2）由 sin∠DAC＝ 1 2 ，可得∠DAC＝30°，从而可得∠ACD的 度数，进而判定△AEO 为等边三角形，则∠AOE的度数可得；利用 S 阴影＝S 扇形﹣S△AEO，可求得答案． 【详解】 解：（1）证明：如图，连接 OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠ACO． ∵∠ACQ＝∠ABC， ∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即 OC⊥PQ， ∴直线 PQ是⊙O的切线． （2）连接 OE， ∵sin∠DAC＝ 1 2 ，AD⊥PQ， ∴∠DAC＝30°，∠ACD＝∠ABC=60°． ∴∠BAC=30°， ∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°， 又∵OA＝OE， ∴△AEO为等边三角形， ∴∠AOE＝60°． ∴S 阴影＝S 扇形﹣S△AEO ＝S 扇形﹣ 1 2 OA•OE•sin60° ＝ 260 1 32 2 2 360 2 2       ＝ 2 3 3   ． ∴图中阴影部分的面积为 2 3  ﹣ 3． 【点睛】 本题考查了切线的判定和性质，求弓形的面积和扇形的面积，等腰三角形的性质，等边三角 形的判定和性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题． 24．（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是 10、15元/件；（2）y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．（3） 当甲商品的销售单价定为 15元/件时，日销售利润最大，最大利润是 50元． 【解析】 【分析】 （1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是 a、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即 可； （2）设 y与 x之间的函数关系式为 y＝k1x+b1，用待定系数法求解即可； （3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【详解】 解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是 a、b元/件，由题意得： 3 2 60 2 3 65 a b a b      ， 解得： 10 15 a b    ． ∴甲、乙两种商品的进货单价分别是 10、15元/件． （2）设 y与 x之间的函数关系式为 y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得： 1 1 1 1 11k b 18 19k b 2      ，解得： 1 1 2 40 k b     ． ∴y与 x之间的函数关系式为 y＝﹣2x+40（11≤x≤19）． （3）由题意得： w＝（﹣2x+40）（x﹣10） ＝﹣2x2+60x﹣400 ＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）． ∴当 x＝15时，w取得最大值 50． ∴当甲商品的销售单价定为 15元/件时，日销售利润最大，最大利润是 50元． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求 最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键． 25．（1）全等，理由见解析；（2）BD＝ 13；（3）△ACD的面积为 3 2 ，AD＝ 3． 【解析】 【分析】 （1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据 SAS可证明△ACE≌△BCD； （2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算 AE的长，可得 BD的长； （3）过点 A作 AF⊥CD于 F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数 可得 AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得 AD的长． 【详解】 解：（1）全等，理由是： ∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， CD CE BCD ACE BC AC       ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）； （2）如图 3，由（1）得：△BCD≌△ACE， ∴BD＝AE， ∵△DCE都是等边三角形， ∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2， ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°， 在 Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2， ∴ 2 2 9 4 13AE AD DE     ， ∴BD＝ 13； （3）如图 2，过点 A作 AF⊥CD于 F， ∵B、C、E三点在一条直线上， ∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°， ∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝60°， 在 Rt△ACF中，sin∠ACF＝ AF AC ， ∴AF＝AC×sin∠ACF＝ 3 31 2 2   ， ∴S△ACD＝ 1 1 3 32 2 2 2 2 CD AF      ， ∴CF＝AC×cos∠ACF＝1× 1 1 2 2  ，FD＝CD﹣CF＝ 1 32 2 2   ， 在 Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝ 2 23 3 3 2 2             ， ∴AD＝ 3． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，第（3） 小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 26．（1）yx2﹣2x﹣3；（2）满足条件的点 E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+ 10 ）、（0，﹣3﹣ 10 ）、（0，﹣ 4 3 ）；（3）存在，P（﹣1+2 2 ，0）、Q（1+2 2 ，4）或 P（﹣1﹣2 2 ， 0）、Q（1﹣2 2 ，4）． 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点 C坐标代入求解，即可得出结论； （2）先求出点 A，C坐标，设出点 E坐标，表示出 AE，CE，AC，再分三种情况建立方程 求解即可； （3）利用平移先确定出点 Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点 Q的横坐标，即可得出结 论． 【详解】 解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2﹣4， 将点 C（0，﹣3）代入抛物线 y＝a（x﹣1）2﹣4中，得 a﹣4＝﹣3， ∴a＝1， ∴抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3； （2）由（1）知，抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3， 令 y＝0，则 x2﹣2x﹣3＝0， ∴x＝﹣1或 x＝3， ∴B（3，0），A（﹣1，0）， 令 x＝0，则 y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴AC＝ 10 ， 设点 E（0，m），则 AE＝ 2 1m  ，CE＝|m+3|， ∵△ACE是等腰三角形， ∴①当 AC＝AE时， 10 ＝ 2 1m  ， ∴m＝3或 m＝﹣3（点 C的纵坐标，舍去）， ∴E（3，0）， ②当 AC＝CE时， 10 ＝|m+3|， ∴m＝﹣3± 10 ， ∴E（0，﹣3+ 10 ）或（0，﹣3﹣ 10 ）， ③当 AE＝CE时， 2 1m  ＝|m+3|， ∴m＝﹣ 4 3 ， ∴E（0，﹣ 4 3 ）， 即满足条件的点 E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+ 10 ）、（0，﹣3﹣ 10 ）、（0，﹣ 4 3 ）； （3）如图，存在，∵D（1，﹣4）， ∴将线段 BD向上平移 4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点 B的对应点落在 抛物线上，这样便存在点 Q，此时点 D的对应点就是点 P， ∴点 Q的纵坐标为 4， 设 Q（t，4）， 将点 Q的坐标代入抛物线 y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4， ∴t＝1+2 2或 t＝1﹣2 2， ∴Q（1+2 2，4）或（1﹣2 2，4）， 分别过点 D，Q作 x轴的垂线，垂足分别为 F，G， ∵抛物线 y＝x2﹣2x﹣3与 x轴的右边的交点 B的坐标为（3，0），且 D（1，﹣4）， ∴FB＝PG＝3﹣1＝2， ∴点 P的横坐标为（1+2 2）﹣2＝﹣1+2 2或（1﹣2 2）﹣2＝﹣1﹣2 2， 即 P（﹣1+2 2 ，0）、Q（1+2 2 ，4）或 P（﹣1﹣2 2 ，0）、Q（1﹣2 2 ，4）． 【点睛】 此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图 象和性质是解题关键．