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- 2021-11-12 发布
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北京市西城区2011年初三一模试卷
数 学 2011. 5
考生须知
1.本试卷共5页,共五道大题,25道小题,满分120分。考试时间120分钟。
2.在试卷和答题纸上认真填写学校名称、班级和姓名。
3.试题答案一律填涂或书写在答题纸上,在试卷上作答无效。
4.在答题纸上,作图题用2B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束,请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回。
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1. -2的相反数为( ).
A.2 B.-2 C. D.-
2.上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会.据统计自2010年5月1日开幕至
5月31日,累计参观人数约为8 030 000人.将8 030 000用科学记数法表示应为 ( ) .
A .
B.
C.
D.
1
4
2
5
3
6
3.以方程组的解为坐标的点在( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4. 右图是正方体的展开图,原正方体相对两个面上的数字和最小是( ).
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
5.有四张形状、大小和质地完全相同的卡片,每张卡片的正面写有一个算式.将这四张卡片背面向上洗匀,从中随机抽取一张(不放回),接着再随机抽取一张.则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是( ).
A. B. C. D.
6.某射击小组有20人,教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图.则这组数据的众数和中位数分别是( ).
A.7,7 B. 8,7.5
C.7,7.5 D. 8,6
7.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=60°,∠B=30°,
若AD=CD=6,则AB的长等于( ).
A.9 B.12 C. D.18
8.如图,点A在半径为3的⊙O内,OA=,P为⊙O上一点,
当∠OPA取最大值时,PA的长等于( ).
A. B. C. D.
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9.分解因式:= .
10.如图,甲、乙两盏路灯相距20米. 一天晚上,当小明从
路灯甲走到距路灯乙底部4米处时,发现自己的身影顶部
正好接触到路灯乙的底部.已知小明的身高为1.6米,那么
路灯甲的高为 米.
11. 定义[]为函数的特征数,下面给出特征数为[,,] 的函数的一些结论:①当时,函数图象的顶点坐标是;②当时,函数在时,随的增大而减小;③无论m取何值,函数图象都经过同一个点. 其中所有的正确结论有 .(填写正确结论的序号)
12. 如图1,小正方形ABCD的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形,正方形的面积为 ;再把正方形的各边延长一倍得到正方形(如图2),如此进行下去,正方形的面积为 .(用含有n的式子表示,n为正整数)
图1 图2
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.计算: .
14.解不等式组 并判断是否为该不等式组的解.
15. 如图,在平面直角坐标系xOy中,一条直线l与x轴相交于点A,
与y轴相交于点,与正比例函数 y=mx(m≠0)的图象
相交于点.
(1)求直线l的解析式;(2)求△AOP的面积.
16. 如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF平分∠ABC,AF∥DC,
连接AC,CF. 求证:(1)AF=CF;(2)CA平分∠DCF.
17. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,求的值.
18.某中学就到校的方式问题对初三年级的所有学生进行了一次调查,并将调查结果制成了表格和扇形统计图,请你根据图表信息完成下列各题:
(1)补全下表:
初三学生人数
步行人数
骑车人数
乘公交车人数
其他方式人数
60
(2)在扇形统计图中,“步行”对应的圆心角
的度数为 °.
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.在2011年春运期间,我国南方发生大范围冻雨灾害,导致某地电路出现故障,该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米,
抢修车装载着所需材料先从供电局出发,15分钟后,电工乘吉普车从同一地点出发,结果他们同时到达抢修工地.已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍,求这两种车每小时分别行驶多少千米.
20.如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,为CD边上的点,=3.将纸片沿某条直线折叠,使点B落在点处,点A的对应点为,折痕分别与AD,BC边交于点M,N.
(1)求BN的长;(2)求四边形ABNM的面积.
21.如图,D是⊙O的直径CA延长线上一点,点 B在⊙O上,
且AB=AD=AO.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,
△BEF的面积为8,且cos∠BFA=,
求△ACF的面积.
22.我们约定,若一个三角形(记为△A1)是由另一个三角形(记为△A)通过一次平移,或绕其任一边的中点旋转180°得到的,则称△A1是由△A复制的.以下的操作中每一个三角形只可以复制一次,复制过程可以一直进行下去.如图1,由△A复制出△A1,又由△A1复制出△A2,再由△A2复制出△A3,形成了一个大三角形,记作△B.以下各题中的复制均是由△A开始的,通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形(指与△A全等的三角形)之间既无缝隙也无重叠.
(1)图1中标出的是一种可能的复制结果,小明发现△A∽△B,其相似比为_________.在图1的基础上继续复制下去得到△C,若△C的一条边上恰有11个小三角形(指有一条边在该边上的小三角形),则△C中含有______个小三角形;
(2)若△A是正三角形,你认为通过复制能形成的正多边形是________;
图图2
(3)请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形,在图2的方框内画出草图,并仿照图1作出标记.
图1
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题8分,第25题7分)
23.抛物线,a>0,c<0,.
(1)求证:;
(2)抛物线经过点,Q.
① 判断的符号;
② 若抛物线与x轴的两个交点分别为点A,点B(点A在点B左侧),请说明,.
24.如图1,平面直角坐标系xOy中,A,B.将△OAB绕点O顺时针旋转a角(0°<a<90°)得到△OCD(O,A,B的对应点分别为O,C,D),将△OAB沿轴负方向平移m个单位得到△EFG(m>0,O,A,B的对应点分别为E,F,G),a,m的值恰使点C,D,F落在同一反比例函数(k≠0)的图象上.
(1)∠AOB= °,a= °;
(2)求经过点A,B,F的抛物线的解析式;
(3)若(2)中抛物线的顶点为M,抛物线与直线EF的另一个交点为H,抛物线上
的点P满足以P,M,F,A为顶点的四边形的面积与四边形MFAH的面积相等
(点P不与点H重合),请直接写出满足条件的点P的个数,并求位于直线EF
上方的点P的坐标.
25.在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为CB,CA延长线上的点,BE与AD的交点为P.
(1)若BD=AC,AE=CD,在图1中画出符合题意的图形,并直接写出∠APE的度数;
(2)若,,求∠APE的度数.
北京市西城区2011年初三一模试卷
数学答案及评分标准 2011. 5
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
A
B
C
C
D
B
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9
10
11
12
①③
,
11题阅卷说明:全对得4分,仅填①或③得2分,其余情况均不得分.
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.解:原式 = ………………………………………………………4分
=. …………………………………………………………………………5分
①②
14.解:
由①得. ………………………………………………………………………1分
由②得x≤1.…………………………………………………………………………3分
∴ 原不等式组的解集是<x≤1. ………………………………………………4分
∵ ,
∴ 不是该不等式组的解.………………………………………………… 5分
图1
15.解:(1)如图1.
设直线的解析式为(k,b为常数且k≠0).
∵ 直线经过点,点,
∴ 解得
∴ 直线的解析式为. ……………………………………………2分
(2)∵ 直线的解析式为,
∴ 点A的坐标为.………………………………………………………3分
∵ 点P的坐标为,
∴ =.………………………………………5分
16. 证明:如图2.
图2
(1)∵ 平分,
∴ .………………1分
在△ABF与△CBF中,
∴ △ABF≌△CBF. ………………………………………………………2分
∴ .………………………………………………………………3分
(2)∵ ,
∴ .……………………………………………………… 4分
∵ ∥,
∴ .
∴ ,即平分. ………………………………5分
17. 解:由题意,.…………………………………………1分
∴ . ………………………………………………………………………2分
∴ 原式 ……………………………………………………3分
.…………………………………………………4分
∵ ,
∴ 原式.………………………………………………………………5分
18. 解:(1)
初三学生人数
步行人数
骑车人数
乘公交车人数
其它方式人数
300
99
132
9
………………………………………………………………………………4分
阅卷说明:每空1分.
(2)72.………………………………………………………………………………5分
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.解:设抢修车每小时行驶千米,则吉普车每小时行驶千米.
.………………………………………………………………………2分
解得. ………………………………………………………………………3分
经检验,是原方程的解,并且符合题意. ………………………………4分
∴ .
答:抢修车每小时行驶20千米,吉普车每小时行驶30千米.………………………5分
20.解:如图3.
(1)由题意,点A与点,点与点分别关于直线对称,
图3
∴,. ………………………………………………1分
设,则.
∵ 正方形,
∴ .
∴ .
∵ =3,
∴ .
解得.
∴ .……………………………………………………………………2分
(2)∵ 正方形,
∴ AD∥BC,.
∵ 点M,N分别在AD,BC边上,
∴ 四边形ABNM是直角梯形.
∵ ,,
∴ .
∴ ,.
∵ ,,
∴ .
∴ .
在Rt△中,∵,,,
∴ .
∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
在Rt△中,∵ ,,,
∴ .…………………………………………………………………4分
∴ .…………………5分
图4
21.(1)证明:连接BO.(如图4)
∵ AB=AD,
∴ ∠D=∠ABD.
∵ AB=AO,
∴ ∠ABO=∠AOB.
又∵ 在△OBD中,∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°,
∴ ∠OBD=90°.
∴ BD⊥BO.…………………………………………………………………1分
∵ 点B在⊙O上,
∴ BD是⊙O的切线 . ……………………………………………………2分
(2)解:∵ ∠C=∠E,∠CAF=∠EBF ,
∴ △ACF∽△BEF . ………………………………………………………3分
∵ AC是⊙O的直径,点B在⊙O上,
∴ ∠ABC=90°.
∵ 在Rt△BFA中,∠ABF=90°,cos∠BFA=,
∴ .………………………………………………………4分
又∵ =8 ,
∴ =18 . ……………………………………………………………5分
22.解:(1)1∶2,121 .……………………………………………………………………2分
图5
(2)正三角形或正六边形.…………………………………………………………4分
(3)如图5. …………5分
阅卷说明:第(2)问全对得2分,仅填正三角形或正六边形得1分,其余情况均不得分;第(3)问其它符合题意的图形同样给分.
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.(1)证明:∵ ,
∴ . ………………………………………1分
∵ a>0,c<0,
∴ ,.
∴ . ……………………………………………………………2分
图6
(2)解:∵ 抛物线经过点P,点Q,
∴
① ∵ ,a>0,c<0,
∴ ,.
∴ <0.………3分
>0.………………………4分
∴ .…………………………………………………………………5分
② 由a>0知抛物线开口向上.
∵ ,,
∴ 点P和点Q分别位于x轴下方和x轴上方.
∵ 点A,B的坐标分别为A,B(点A在点B左侧),
∴ 由抛物线的示意图可知,对称轴右侧的点B的横坐标满足.(如图6所示)………………………………………
6分
∵ 抛物线的对称轴为直线,由抛物线的对称性可,由(1)知,
∴ .
∴ ,即.…………………………………… 7分
24.解:(1)∠AOB= 30 °,a= 60 °.…………………………………………………2分
(2)∵ A,B,△OAB绕点O顺时针旋转a角得到△OCD,(如图7)
∴ OA=OB=OC=OD=4.
由(1)得 .
∴ 点C与点A关于x轴对称,点C的坐标为.
∵ 点C,D,F落在同一反比例函数(k≠0)的图象上,
∴ .
∵ 点F是由点A沿轴负方向平移m个单位得到,
∴ ,,点F的坐标为.……………3分
∴ 点F与点A关于y轴对称,可设经过点A,B,F的抛物线的解析式为.
∴ 解得
∴ 所求抛物线的解析式为. …………………………………4分
(3)满足条件的点P的个数为 5 .………………………………………………5分
抛物线的顶点为.
∵ △EFG是由△OAB沿轴负方向平移m个单位得到,
∴ ,,∠FEG=∠AOB=30°.
∴ 点E的坐标为.
可得直线EF的解析式为.
∵ 点H的横坐标是方程的解,
整理,得.
解得 .
∴ 点H的坐标为.
由抛物线的对称性知符合题意的点的坐标为.……………6分
可知△AFM是等边三角形,∠MAF= 60°.
由A,M两点的坐标分别为A,,
可得直线AM的解析式为.
过点H作直线AM的平行线l,设其解析式为(b≠8).
将点H的坐标代入上式,得 .
解得,直线l的解析式为.
∵ 直线l与抛物线的交点的横坐标是方程 的解.
整理,得.解得.
∴ 点满足,四边形的面积与四边形MFAH的面积相等.(如图8)……………………………………………7分
点关于y轴的对称点也符合题意,其坐标为.………8分
综上所述,位于直线EF上方的点P的坐标分别为,
,.
图9
25.解:(1)如图9,∠APE= 45 °. ……………………2分
(2)解法一:如图10,将AE平移到DF,连接BF,EF.
……………………3分
则四边形AEFD是平行四边形.
∴ AD∥EF,AD=EF.
∵ ,,
∴ ,.
∴ .……………………………………………………4分
∵ ∠C=90°,
∴ .
∴ ∠C=∠BDF.
∴ △ACD∽△BDF.………………5分
∴ ,∠1=∠2.
图10
∴ .
∵ ∠1+∠3=90°,
∴ ∠2+∠3=90°.
∴ BF⊥AD .
∴ BF⊥EF.…………………………………………………………6分
∴ 在Rt△BEF中,.
∴ ∠APE=∠BEF =30°.…………………………………………7分
解法二:如图11,将CA平移到DF,连接AF,BF,EF.………………3分
则四边形ACDF是平行四边形.
∵ ∠C=90°,
∴ 四边形ACDF是矩形,∠AFD=∠CAF= 90°,∠1+∠2=90°.
图11
∵ 在Rt△AEF中,,
在Rt△BDF中,,
∴ .
∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°,即∠EFB =90°.
∴ ∠AFD=∠EFB. …………………4分
又∵ ,
∴ △ADF∽△EBF. ………………………………………………5分
∴ ∠4=∠5.…………………………………………………………6分
∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5,
∴ ∠APE=∠3=30°.………………………………………………7分