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- 2021-11-12 发布
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第十三讲
二次函数的图象与性质
考点一 二次函数的图象和性质
【
主干必备
】
一、二次函数的概念及其关系式
1.
二次函数的概念
:
形如
________________(a,b,c
是常
数
,a≠0)
的函数
.
y=ax
2
+bx+c
2.
二次函数的解析式
:
(1)
一般式
:______________________.
(2)
顶点式
:y=a(x-h)
2
+k(a≠0),
其顶点坐标是
____________.
y=ax
2
+bx+c(a≠0)
(h,k)
二、二次函数的图象与性质
函
数
二次函数
y=ax
2
+bx+c
(a,b,c
为常数
,a≠0)
图
象
a>0
a<0
函
数
二次函数
y=ax
2
+bx+c
(a,b,c
为常数
,a≠0)
性
质
抛物线开口向上
抛物线开口向下
对称轴是直线
x=____,
顶点是
________
当
x<-
时
,y
随
x
的增
大而
___________;
当
x>-
时
,y
随
x
的增大
而
___________
当
x<-
时
,y
随
x
的增
大而
___________;
当
x>-
时
,y
随
x
的增大
而
___________
减小
增大
增大
减小
函
数
二次函数
y=ax
2
+bx+c
(a,b,c
为常数
,a≠0)
性
质
抛物线有最低点
,
当
x=-
时
,y
有最小
值
,y
最小值
=
抛物线有最高点
,
当
x=-
时
,y
有最大值
,
y
最大值
=
【
核心突破
】
例
1(2018·
成都中考
)
关于二次函数
y=2x
2
+4x-1,
下列
说法正确的是
(
)
A.
图象与
y
轴的交点坐标为
(0,1)
B.
图象的对称轴在
y
轴的右侧
C.
当
x<0
时
,y
的值随
x
值的增大而减小
D.y
的最小值为
-3
D
【
明
·
技法
】
由二次函数解析式判断性质的方法
1.
由函数顶点式直接确定顶点坐标和对称轴
.
2.
根据开口方向和顶点坐标确定函数的增减性或函数
的最值
.
3.
根据
b
2
-4ac
的符号确定其与
x
轴的交点个数
.
【
题组过关
】
1.(2019·
自贡中考
)
一次函数
y=ax+b
与反比例函数
y=
的图象如图所示
,
则二次函数
y=ax
2
+bx+c
的大致图
象是 世纪金榜导学号
(
)
A
2.(2019·
兰州中考
)
已知点
A(1,y
1
),B(2,y
2
)
在抛物线
y=-(x+1)
2
+2
上
,
则下列结论正确的是
(
)
世纪金榜导学号
A.2>y
1
>y
2
B.2>y
2
>y
1
C.y
1
>y
2
>2 D.y
2
>y
1
>2
A
3.(2019·
安庆桐城市期末
)
二次函数
y=-x
2
+(8-m)x+12,
当
x>2
时
,y
随着
x
的增大而减小
;
当
x<2
时
,y
随着
x
的增大
而增大
,
则
m
的值为
(
)
A.-4
B.4
C.6
D.10
B
4.(2019·
上海静安区一模
)
抛物线
y=ax
2
+(a-1)(a≠0)
经过原点
,
那么该抛物线在对称轴左侧的部分是
______
______
的
.(
填“上升”或“下降”
)
下
降
考点二 二次函数图象的平移
【
核心突破
】
例
2(1)(2019·
济宁中考
)
将抛物线
y=x
2
-6x+5
向上平移
两个单位长度
,
再向右平移一个单位长度后
,
得到的抛
物线解析式是
(
)
A.y=(x-4)
2
-6
B.y=(x-1)
2
-3
C.y=(x-2)
2
-2 D.y=(x-4)
2
-2
D
(2)(2018·
绍兴中考
)
若抛物线
y=x
2
+ax+b
与
x
轴两个交
点间的距离为
2,
称此抛物线为定弦抛物线
,
已知某定弦
抛物线的对称轴为直线
x=1,
将此抛物线向左平移
2
个单
位
,
再向下平移
3
个单位
,
得到的抛物线过点
(
)
A.(-3,-6) B.(-3,0)
C.(-3,-5) D.(-3,-1)
B
【
明
·
技法
】
二次函数图象的平移变换
(1)
具体步骤
:
先利用配方法把二次函数化成
y=a(x-h)
2
+k
的形式
,
确定其顶点
(h,k),
然后作出二次函数
y=ax
2
的图象
,
将抛物线
y=ax
2
平移
,
使其顶点平移到
(h,k).
具体平移方法如图所示
:
(2)
平移规律
:
在原有函数的基础上“左加右减”
.
【
题组过关
】
1.(2019·
绍兴中考
)
在平面直角坐标系中
,
抛物线
y=(x
+5)(x-3)
经变换后得到抛物线
y=(x+3)(x-5),
则这个变
换可以是
(
)
A.
向左平移
2
个单位
B.
向右平移
2
个单位
C.
向左平移
8
个单位
D.
向右平移
8
个单位
B
2.(2019·
台州温岭市期末
)
把抛物线
y=ax
2
+bx+c
的图
象先向左平移
2
个单位长度
,
再向下平移
3
个单位长度
,
所得的图象的解析式是
y=x
2
+5x+5,
则
a-b+c
的值为
(
)
A.2
B.4 C.8
D.14
A
3.(2019·
广东模拟
)
如图
,
点
A,B
的坐标分别为
(1,4)
和
(4,4),
抛物线
y=a(x-m)
2
+n
的顶点在线段
AB
上运动
,
与
x
轴交于
C,D
两点
(C
在
D
的左侧
),
点
C
的横坐标最小值为
-3,
则点
D
的横坐标最大值为
________.
8
4.(2019·
安徽模拟
)
如图
,
抛物线
y
1
=ax
2
-x+c
与
x
轴交
于点
A(-3,0)
和点
B,
并经过点
,
抛物线
y
1
的顶点
为
C.
将抛物线
y
1
平移后得到顶点为
B
且对称轴为直线
l
的抛物线
y
2
.
世纪金榜导学号
(1)
求抛物线
y
2
的表达式
.
(2)
在直线
l
上是否存在点
P,
使△
PBC
为等腰三角形
?
若存在
,
请求出所有点
P
的坐标
;
若不存在
,
请说明理由
.
【
解析
】
(1)
由于抛物线
y
1
=ax
2
-x+c
与
x
轴交于点
A(-3,0)
和点
B,
并经过点
,
∴
解得
∴抛物线
y
1
=
当
y
1
=0
时
, =0,
解得
x
1
=-3,x
2
=1,
∴B
点的坐标为
(1,0),
∵
将抛物线
y
1
平移后得到顶点为
B
且对称轴为直线
l
的
抛物线
y
2
.
∴
抛物线
y
2
的表达式为
:y
2
=- (x-1)
2
.
(2)
在直线
l
上存在点
P,
使△
PBC
是等腰三角形
,
由
y
1
=- x
2
-x+ =- (x+1)
2
+2
可知
C
点的坐标为
(-1,2),
根据勾股定理得
BC=
设
P
点的坐标为
(1,m),
分三种情况
:
①
当
PB=PC
时
,m
2
=2
2
+(m-2)
2
,
解得
m=2,
此时点
P
坐标为
(1,2);
②
当
PB=BC
时
,m
2
=(2 )
2
,
解得
m=±2 ,
此时点
P
坐标
为
(1,2 )
或
(1,-2 );
③
当
PC=BC
时
,2
2
+(m-2)
2
=(2 )
2
,
解得
m=4
或
m=0(
舍去
),
此时点
P
坐标为
(1,4);
综上
,△PBC
是等腰三角形时
,
点
P
的坐标为
(1,2)
或
(1,2 )
或
(1,-2 )
或
(1,4).
考点三 二次函数图象与系数的关系
【
核心突破
】
例
3(2019·
随州中考
)
如图所示
,
已知二次函数
y=ax
2
+
bx+c
的图象与
x
轴交于
A,B
两点
,
与
y
轴交于点
C,OA=OC,
对称轴为直线
x=1,
则下列结论
:①abc<0;②a+
=0;③ac+b+1=0;④2+c
是关于
x
的一元二次方程
ax
2
+
bx+c=0
的一个根
.
其中正确的有
(
)
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
B
【
明
·
技法
】
二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象与字母系数的关系
字母或
代数式
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
|a|
越大
开口越小
a<0
开口向下
字母或
代数式
字母的符号
图象的特征
b
b=0
对称轴为
y
轴
ab>0(b
与
a
同号
)
对称轴在
y
轴左侧
ab<0(b
与
a
异号
)
对称轴在
y
轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与
y
轴正半轴相交
c<0
与
y
轴负半轴相交
字母或
代数式
字母的符号
图象的特征
b
2
-4ac
b
2
-4ac=0
与
x
轴有唯一交点
(
顶点
)
b
2
-4ac>0
与
x
轴有两个不同交点
b
2
-4ac<0
与
x
轴没有交点
特殊
关系
当
x=1
时
,y=a+b+c
当
x=-1
时
,y=a-b+c
若
a+b+c>0,
即当
x=1
时
,y>0
若
a+b+c<0,
即当
x=1
时
,y<0
【
题组过关
】
1.(2019·
凉山州中考
)
二次函数
y=ax
2
+bx+c
的部分图
象如图所示
,
有以下结论
:①3a-b=0;②b
2
-4ac>0;③5a-
2b+c>0;④4b+3c>0,
其中错误结论的个数是
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
A
2.(2019·
汕头潮南区期末
)
如图
,
抛物线
y=ax
2
+bx+c
(a≠0)
的对称轴为直线
x=1,
与
x
轴的一个交点坐标为
(-1,0),
其部分图象如图所示
,
下列结论
:
①4ac0;③
当
x>0
时
,y
随
x
的增大而减小
;
④
当
y>0
时
,x
的取值范围是
-10;②2a
+b=0;③4a+2b+c<0;④
若 是抛物线上
两点
,
则
y
1
n
的解集是
_____
____________.
x
<-3
或
x>1
(2)(2018·
云南中考
)
已知二次函数
y=- x
2
+bx+c
的
图象经过
A(0,3),B(-4,- )
两点
.
①
求
b,c
的值
.
②
二次函数
y=- x
2
+bx+c
的图象与
x
轴是否有公共点
,
若有
,
求公共点的坐标
;
若没有
,
请说明情况
.
【
自主解答
】
①
把
A(0,3),B(-4,- )
分别代入
y=
- x
2
+bx+c,
得 解得
②
由①可得
,
该抛物线解析式为
:
Δ= >0,
所以二次函数
y=- x
2
+
bx+c
的图象与
x
轴有公共点
.∵- x
2
+ x+3=0
的解
为
:x
1
=-2,x
2
=8.
∴
公共点的坐标是
(-2,0)
或
(8,0).
【
明
·
技法
】
二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系
(1)
二次函数与一元二次方程的关系
①二次函数
y=ax
2
+bx+c(a≠0)
的图象与
x
轴有两个交点
,
则两个交点的横坐标是相应的一元二次方程
ax
2
+bx +c=0(a≠0)
的两个解
.
②
二次函数的图象与
x
轴交点的个数由相应的一元二次方程的根的判别式的符号确定
.
(2)
利用二次函数图象解不等式的方法
不等式
ax
2
+bx+c>0(
或
ax
2
+bx+c< 0 )
的解集就是二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象在
x
轴上
(
下
)
方的点所对应的
x
的取值范围
,
不等式如果带有等号
,
其解集也相应带有等号
.a>0
时
, y>0
取两边
,y<0
取中间
.
【
题组过关
】
1.(2019·
深圳罗湖区期末
)
二次函数
y=ax
2
+bx+c
的部
分图象如图所示
,
由图象可知方程
ax
2
+bx+c=0
的根是
世纪金榜导学号
(
)
A.x
1
=-1,x
2
=5
B.x
1
=-2,x
2
=4
C.x
1
=-1,x
2
=2 D.x
1
=-5,x
2
=5
A
2.(2019·
潍坊中考
)
抛物线
y=x
2
+bx+3
的对称轴为直线
x=1.
若关于
x
的一元二次方程
x
2
+bx+3-t=0(t
为实数
)
在
-10
时
,
自变量
x
的取值范围是
_____________.
-1