2020年秋湘教版九年级数学上册第四单元、第五单元测试题及答案（各一套） 38页

湘教版九年级数学上册第四单元测试题 ‎（时间：90分钟 分值：120分）‎ 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是（ ）‎ A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1‎ ‎2．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知sinα•cosα=，45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα=（ ）‎ A． B．﹣ C． D．±‎ ‎4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（ ）‎ A．bcosB=c B．csinA=a C．atanA=b D．‎ ‎7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（ ）‎ A．b=atanB B．a=ccosB C． D．a=bcosA ‎8．如果∠A为锐角，且sinA=0.6，那么（ ）‎ A．0°＜A≤30° B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A≤90°‎ ‎9．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）‎ A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°‎ ‎10．下面四个数中，最大的是（ ）‎ A． B．sin88° C．tan46° D．‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎11．用“＞”或“＜”填空：sin50°×cos40°﹣ 0．（可用计算器计算）‎ ‎12．已知∠A为锐角，且，那么∠A的范围是 ．‎ ‎13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA= ．‎ ‎14．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．‎ ‎ ‎ ‎15．如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC= ‎ ‎ 米．（可以用根号表示）‎ ‎ ‎ ‎16．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 ．‎ ‎ ‎ ‎17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．‎ ‎ ‎ ‎18．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为 m（结果保留根号）．‎ ‎ ‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎19．在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=．‎ ‎20．计算：﹣2sin45°﹣32．‎ 温馨提示：你只需选择下列一种方式来解答本题．如果两种方式都做，我们将根据做得较好的一种来评分，但你有可能会浪费一部分时间！‎ 方式一：（用计算器计算）计算的结果是 ﹣9 ．‎ 按键顺序为：‎ 方式二：（不用计算器计算）‎ ‎21．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°‎ ‎22．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；‎ ‎（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；‎ ‎（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）‎ 若∠α=45°，则sinα = cosα；若∠α＜45°，则sinα ＜ cosα；若∠α＞45°，则sinα ＞ cosα；‎ ‎（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：‎ sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．‎ ‎ ‎ ‎23．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎24．如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：‎ ‎（1）BC的长；‎ ‎（2）sin∠ADC的值．‎ ‎ ‎ ‎25．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．‎ ‎（1）求BT的长（不考虑其他因素）．‎ ‎（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．‎ ‎（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）‎ ‎26．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎ ‎ 参考答案：‎ 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是（ ）‎ A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1‎ ‎【考点】计算器—三角函数．‎ ‎【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器．‎ ‎【解答】解：依次按键，显示的是sin30°的值，即0.5．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查特殊角三角函数值，需要同学们熟记有关特殊角的三角函数值．‎ ‎ ‎ ‎2．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】同角三角函数的关系．‎ ‎【分析】根据cosA=设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．‎ ‎【解答】解：∵cosA=知，设b=3x，则c=5x，根据a2+b2=c2得a=4x．‎ ‎∴tanA===．‎ 故选A．‎ ‎【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．‎ ‎ ‎ ‎3．已知sinα•cosα=，45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα=（ ）‎ A． B．﹣ C． D．±‎ ‎【考点】同角三角函数的关系．‎ ‎【分析】利用完全平方公式将原式转化为关于同角的三角函数的关系cos2α+sin2α=1来进行解答．‎ ‎【解答】解：∵45°＜α＜90°，‎ ‎∴cosα﹣sinα＜0‎ 又∵（cosα﹣sinα）2=cos2α+sin2α﹣2sinα•cosα=1﹣=，‎ ‎∴cosα﹣sinα=﹣=﹣．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题利用了同角的三角函数的关系cos2α+sin2α=1来进行变形，注意角的范围，cosα﹣sinα的结果是小于0的．‎ ‎ ‎ ‎4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】互余两角三角函数的关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．‎ ‎【解答】解：∵sinA=，‎ ‎∴设BC=5x，AB=13x，‎ 则AC==12x，‎ 故tan∠B==．‎ 故选：D．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．‎ ‎ ‎ ‎5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】互余两角三角函数的关系．‎ ‎【分析】根据三角函数定义解答．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，‎ 设BC=3x，则AB=5x，‎ ‎∴AC=4x．‎ ‎∴cosB==．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．‎ ‎ ‎ ‎6．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（ ）‎ A．bcosB=c B．csinA=a C．atanA=b D．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．‎ ‎【分析】由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．‎ ‎【解答】解：∵a2+b2=c2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，‎ ‎∴sinA=，‎ 即csinA=a，‎ ‎∴B选项正确．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理．‎ ‎ ‎ ‎7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（ ）‎ A．b=atanB B．a=ccosB C． D．a=bcosA ‎【考点】锐角三角函数的定义．‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】根据三角函数的定义就可以解决．‎ ‎【解答】解：∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，‎ ‎∴A、tanB=，则b=atanB，故本选项正确，‎ B、cosB=，故本选项正确，‎ C、sinA=，故本选项正确，‎ D、cosA=，故本选项错误，‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，难度适中．‎ ‎ ‎ ‎8．如果∠A为锐角，且sinA=0.6，那么（ ）‎ A．0°＜A≤30° B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A≤90°‎ ‎【考点】锐角三角函数的增减性．‎ ‎【分析】由sin30°==0.5，sin45°=≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵sin30°==0.5，sin45°=≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，‎ ‎∴30°＜A＜45°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查了正弦函数的增减性与特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握sinα随α的增大而增大．‎ ‎ ‎ ‎9．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）‎ A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°‎ ‎【考点】锐角三角函数的增减性． ‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．‎ ‎【解答】解：∵α是锐角，‎ ‎∴cosα＞0，‎ ‎∵cosα＜，‎ ‎∴0＜cosα＜，‎ 又∵cos90°=0，cos45°=，‎ ‎∴45°＜α＜90°；‎ ‎∵α是锐角，‎ ‎∴tanα＞0，‎ ‎∵tanα＜，‎ ‎∴0＜tanα＜，‎ 又∵tan0°=0，tan60°=，‎ ‎0＜α＜60°；‎ 故45°＜α＜60°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．‎ ‎ ‎ ‎10．下面四个数中，最大的是（ ）‎ A． B．sin88° C．tan46° D．‎ ‎【考点】计算器—三角函数；无理数．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用计算器求出数值，再计算即可．‎ ‎【解答】解：A、﹣≈2.236﹣1.732≈0.504；‎ B、sin88°≈0.999；‎ C、tan46°≈1.036；‎ D、≈≈0.568．‎ 故tan46°最大，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力．‎ ‎ ‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎11．用“＞”或“＜”填空：sin50°×cos40°﹣ ＞ 0．（可用计算器计算）‎ ‎【考点】计算器—三角函数．‎ ‎【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，精确到千分位，再根据有理数的大小比较，可得答案．‎ ‎【解答】解：sin50°×cos40°﹣=0.766×0.766﹣=0.586﹣0.5=0.086＞0，‎ 故答案为：＞．‎ ‎【点评】本题考查了计算器，结合算器的用法，再取近似数．‎ ‎ ‎ ‎12．已知∠A为锐角，且，那么∠A的范围是 60°≤A＜90° ．‎ ‎【考点】锐角三角函数的增减性．‎ ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】首先明确cos60°=，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析．‎ ‎【解答】解：∵cos60°=，余弦函数值随角增大而减小，‎ ‎∴当cosA≤时，∠A≥60°．‎ 又∵∠A是锐角，‎ ‎∴60°≤∠A＜90°．‎ 故答案为：60°≤A＜90°．‎ ‎【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性．熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．‎ ‎ ‎ ‎13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA= ．‎ ‎【考点】同角三角函数的关系．‎ ‎【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．‎ ‎【解答】解：由sinA==知，可设a=3x，则c=5x，b=4x．‎ ‎∴tanA===．‎ ‎【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．‎ ‎ ‎ ‎14．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．‎ ‎ ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．‎ ‎【分析】首先连接AB，由勾股定理易求得OA2=12+32=10，AB2=12+32=10，OB2=22+42=20，然后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，继而可求得cos∠AOB的值．‎ ‎【解答】解：连接AB，‎ ‎∵OA2=12+32=10，AB2=12+32=10，OB2=22+42=20，‎ ‎∴OA2+AB2=OB2，OA=AB，‎ ‎∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB=90°，‎ ‎∴∠AOB=45°，‎ ‎∴cos∠AOB=cos45°=．‎ 故答案为：．‎ ‎ ‎ ‎【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎ ‎ ‎15．如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC= 米．（可以用根号表示）‎ ‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． ‎ ‎【专题】数形结合．‎ ‎【分析】由坡度易得AC与BC的比为1：5，设出相应未知数，利用勾股定理可得AC的长度．‎ ‎【解答】解：∵坡度i=1：5，‎ ‎∴AC与BC的比为1：5，‎ 设AC为x，则BC为5x，‎ ‎∴x2+（5x）2=262，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴x=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意义是解决本题的关键．‎ ‎ ‎ ‎16．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 4.8 ．‎ ‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形；菱形的性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和△ABE的面积，即可求得PE的最小值．‎ ‎【解答】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，‎ 因为AE⊥BC于E，‎ 所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=，‎ 于是，‎ 解得x=10，即AB=10．‎ 所以易求BE=8，AE=6，‎ 当EP⊥AB时，PE取得最小值．‎ 故由三角形面积公式有：AB•PE=BE•AE，‎ 求得PE的最小值为4.8．‎ 故答案为 4.8．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键．‎ ‎ ‎ ‎17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 14.1 cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．‎ ‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用．‎ ‎【分析】作BE⊥CD于E，根据等腰三角形的性质和∠CBD=40°，求出∠CBE的度数，根据余弦的定义求出BE的长．‎ ‎【解答】解：如图2，作BE⊥CD于E，‎ ‎∵BC=BD，∠CBD=40°，‎ ‎∴∠CBE=20°，‎ 在Rt△CBE中，cos∠CBE=，‎ ‎∴BE=BC•cos∠CBE ‎=15×0.940‎ ‎=14.1cm．‎ 故答案为：14.1．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的重要环节．‎ ‎ ‎ ‎18．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为 10 m（结果保留根号）．‎ ‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．‎ ‎【解答】解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，‎ ‎∴∠ABC=30°，‎ ‎∴AC=AB•tan30°=30×=10（米）．‎ ‎∴楼的高度AC为10米．‎ 故答案为：10．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎ ‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎19．在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】如图，过A作AD⊥BC于D，如果利用三角函数可以分别在△ABD和△ADC中可以得到sinsB，sinC的表达式，由此即可证明题目的结论．‎ ‎【解答】证明：过A作AD⊥BC于D，‎ 在Rt△ABD中，sinB=，‎ ‎∴AD=ABsinB，‎ 在Rt△ADC中，sinC=，‎ ‎∴AD=ACsinC，‎ ‎∴ABsinB=ACsinC，‎ 而AB=c，AC=b，‎ ‎∴csinB=bsinC，‎ ‎∴=．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．解题的关键是作辅助线把普通三角形转化为直角三角形解决问题．‎ ‎ ‎ ‎20．计算：﹣2sin45°﹣32．‎ 温馨提示：你只需选择下列一种方式来解答本题．如果两种方式都做，我们将根据做得较好的一种来评分，但你有可能会浪费一部分时间！‎ 方式一：（用计算器计算）计算的结果是 ﹣9 ．‎ 按键顺序为：‎ 方式二：（不用计算器计算）‎ ‎【考点】计算器—三角函数；特殊角的三角函数值．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】选择不用计算器计算，简便且节约时间．‎ ‎【解答】方式一：（用计算器计算）‎ 计算的结果是﹣9．‎ 按键顺序为：（以卡西欧计算器为例）‎ ‎ ‎ 方式二：（不用计算器计算）‎ 原式=﹣9‎ ‎=﹣9‎ ‎=﹣9．‎ ‎【点评】主要考查特殊三角函数值和二次根式的运算，比较容易．‎ ‎ ‎ ‎21．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】分别把tan30°=，sin60°=，sin45°=代入原式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°‎ ‎=‎ ‎=﹣．‎ 故答案为﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查的是特殊角的三角函数值的知识点，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．‎ ‎ ‎ ‎22．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；‎ ‎（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；‎ ‎（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）‎ 若∠α=45°，则sinα = cosα；若∠α＜45°，则sinα ＜ cosα；若∠α＞45°，则sinα ＞ cosα；‎ ‎（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：‎ sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．‎ ‎ ‎ ‎【考点】锐角三角函数的增减性．‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．‎ ‎（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．‎ ‎（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．‎ ‎（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．‎ ‎【解答】解：（1）在图（1）中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，‎ 显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．‎ ‎∵sin∠B1AC=，sin∠B2AC=，sin∠B3AC=，‎ 而＞＞．‎ ‎∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．‎ 在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C=90°，‎ cos∠B1AC=，cos∠B2AC=，cos∠B3AC=，‎ ‎∵AB3＞AB2＞AB1，‎ ‎∴＜＜．‎ 即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC．‎ ‎ ‎ ‎（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；‎ cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．‎ ‎ ‎ ‎（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．‎ ‎ ‎ ‎（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．‎ ‎【点评】理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法．‎ ‎ ‎ ‎23．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎【考点】同角三角函数的关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】首先由点P向x轴引垂线，结合锐角三角函数值和点P的横坐标，求得点P的纵坐标；‎ 再根据勾股定理求得构造的直角三角形的斜边，从而求得该角的正弦值．‎ ‎【解答】解：作PC⊥x轴于C．‎ ‎∵tanα=，OC=6‎ ‎∴PC=8．‎ 则OP=10．‎ 则sinα=．‎ ‎ ‎ ‎【点评】综合运用了点的坐标、勾股定理以及锐角三角函数的概念．‎ ‎ ‎ ‎24．如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：‎ ‎（1）BC的长；‎ ‎（2）sin∠ADC的值．‎ ‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC=，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB=，求出BE的长即可；‎ ‎（2）根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．‎ ‎【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，‎ ‎∵cosC=，‎ ‎∴∠C=45°，‎ 在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，‎ ‎∴AE=CE=1，‎ 在Rt△ABE中，tanB=，即=，‎ ‎∴BE=3AE=3，‎ ‎∴BC=BE+CE=4；‎ ‎（2）∵AD是△ABC的中线，‎ ‎∴CD=BC=2，‎ ‎∴DE=CD﹣CE=1，‎ ‎∵AE⊥BC，DE=AE，‎ ‎∴∠ADC=45°，‎ ‎∴sin∠ADC=．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．‎ ‎ ‎ ‎25．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．‎ ‎（1）求BT的长（不考虑其他因素）．‎ ‎（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．‎ ‎（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）‎ ‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用． ‎ ‎【分析】（1）在直角△ACT中，根据三角函数的定义，若AT=3x，则CT=5x，在直角△‎ ABT中利用三角函数即可列方程求解；‎ ‎（2）求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程，加上刹车距离，然后与BT的长进行比较即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意及图知：∠ACT=31°，∠ABT=22°‎ ‎∵AT⊥MN ‎∴∠ATC=90°‎ 在Rt△ACT中，∠ACT=31°‎ ‎∴tan31°=‎ 可设AT=3x，则CT=5x 在Rt△ABT中，∠ABT=22°‎ ‎∴tan22°=‎ 即：‎ 解得：‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形，正确利用三角函数列出方程进行求解，正确理解方程思想是关键．‎ ‎ ‎ ‎26．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】需要拆除，理由为：根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠‎ BDC的度数为30，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，由AD+3与10比较即可得到结果．‎ ‎【解答】解：需要拆除，理由为：‎ ‎∵CB⊥AB，∠CAB=45°，‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC=10米，‎ 在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i=：3，即∠CDB=30°，‎ ‎∴DC=2BC=20米，BD==10米，‎ ‎∴AD=BD﹣AB=（10﹣10）米≈7.32米，‎ ‎∵3+7.32=10.32＞10，‎ ‎∴需要拆除．‎ ‎【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30度直角三角形的性质，坡角与坡度之间的关系，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．‎ ‎ ‎ 湘教版九年级数学上册第五单元测试题 ‎（时间：90分钟 分值：120分）‎ 一、选择题（共15小题）‎ ‎1．为调查某校2000名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况．随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱动画节目的学生约有（ ）‎ ‎ ‎ A．500名 B．600名 C．700名 D．800名 ‎2．生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的雀鸟有5只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为（ ）‎ A．1000只 B．10000只 C．5000只 D．50000只 ‎3．要反映我市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用（ ）‎ A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．频数分布统计图 ‎4．某校七年级共320名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中15名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有（ ）‎ A．50人 B．64人 C．90人 D．96人 ‎5．在一个有15万人的小镇，随机调查了3000人，其中有300人看中央电视台的早间新闻．据此，估计该镇看中央电视台早间新闻的约有（ ）‎ A．2.5万人 B．2万人 C．1.5万人 D．1万人 ‎6．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批次产品中的次品件数是（ ）‎ A．5 B．100 C．500 D．10000‎ ‎7．要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出100条鱼，发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼．假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为（ ）‎ A．5000条 B．2500条 C．1750条 D．1250条 ‎8．下列统计图能够显示数据变化趋势的是（ ）‎ A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图 ‎9．下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（ ）‎ A．扇形图 B．条形图 C．折线图 D．直方图 ‎10．从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性．下面叙述正确的是（ ）‎ A．样本容量越大，样本平均数就越大 B．样本容量越大，样本的方差就越大 C．样本容量越大，样本的极差就越大 D．样本容量越大，对总体的估计就越准确 ‎11．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个．‎ A．45 B．48 C．50 D．55‎ ‎12．青蛙是我们人类的朋友，为了了解某池塘里青蛙的数量，先从池塘里捕捞20只青蛙，作上标记后放回池塘，经过一段时间后，再从池塘中捕捞出40只青蛙，其中有标记的青蛙有4只，请你估计一下这个池塘里有多少只青蛙？（ ）‎ A．100只 B．150只 C．180只 D．200只 ‎13．有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：‎ 数据x ‎70＜x＜79‎ ‎80＜x＜89‎ ‎90＜x＜99‎ 个数 ‎800‎ ‎1300‎ ‎900‎ 平均数 ‎78.1‎ ‎85‎ ‎91.9‎ 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（ ）‎ A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97‎ ‎14．王大伯为了估计他家鱼塘里有多少条鱼，从鱼塘里捞出150条鱼，将它们作上标记，然后放回鱼塘．经过一段时间后，再从中随机捕捞300条鱼，其中有标记的鱼有30条，请估计鱼塘里鱼的数量大约有（ ）‎ A．1500条 B．1600条 C．1700条 D．3000条 ‎15．某校随机抽取200名学生，对他们喜欢的图书类型进行问卷调查，统计结果如图．根据图中信息，估计该校2000名学生中喜欢文学类书籍的人数是（ ）‎ ‎ ‎ A．800 B．600 C．400 D．200‎ 二、填空题（共12小题）‎ ‎16．某学校为了解本校学生课外阅读的情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成统计表．已知该校全体学生人数为1200人，由此可以估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有 人． ‎ 每周课外阅读时间（小时）‎ ‎0～1‎ ‎1～2‎ ‎（不含1）‎ ‎2～3‎ ‎（不含2）‎ 超过3‎ 人 数 ‎7‎ ‎10‎ ‎14‎ ‎19‎ ‎17．某学校计划开设A，B，C，D四门校本课程供学生选修，规定每个学生必须并且只能选修其中一门，为了了解学生的选修意向，现随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图，已知该校学生人数为2000人，由此估计选修A课程的学生有 人．‎ ‎ ‎ ‎18．北京市2009﹣2014年轨道交通日均客运量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约 980 万人次，你的预估理由是 ．‎ ‎ ‎ ‎19．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是 ．‎ ‎ ‎ ‎20．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有 条鱼．‎ ‎21．某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解各门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，由此可以估计选修C课程的学生有 人．‎ ‎ ‎ ‎22．七（一）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理如下表（部分）：‎ 月均用水量x/m3‎ ‎0＜x≤5‎ ‎5＜x≤10‎ ‎10＜x≤15‎ ‎15＜x≤20‎ x＞20‎ 频数/户 ‎12‎ ‎20‎ ‎3‎ 频率 ‎0.12‎ ‎0.07‎ 若该小区有800户家庭，据此估计该小区月均用水量不超过10m3的家庭约有 560 户．‎ ‎23．如图，某校根据学生上学方式的一次抽样调查结果，绘制出一个未完成的扇形统计图，若该校共有学生700人，则据此估计步行的有 人．‎ ‎ ‎ ‎24．某校在九年级的一次模拟考试中，随机抽取40名学生的数学成绩进行分析，其中有10名学生的成绩达108分以上，据此估计该校九年级640名学生中这次模拟考数学成绩达108分以上的约有 名学生．‎ ‎25．某校九年级420名学生参加植树活动，随机调查了50名学生植树的数量，并根据数据绘制了如下条形统计图，请估计该校九年级学生此次植树活动约植树 棵．‎ ‎ ‎ ‎26．某校在一次期末考试中，随机抽取八年级30名学生的数学成绩进行分析，其中3名学生的数学成绩达108分以上，据此估计该校八年级630名学生中期末考试数学成绩达108分以上的学生约有 名．‎ ‎27．某校九年级有560名学生参加了市教育局举行的读书活动，现随机调查了70名学生读书的数量，根据所得数据绘制了如图的条形统计图，请估计该校九年级学生在此次读书活动中共读书 本．‎ ‎ ‎ 三、解答题（共2小题）‎ ‎28．在对全市初中生进行的体质健康测试中，青少年体质研究中心随机抽取的10名学生的坐位体前屈的成绩（单位：厘米）如下：‎ ‎11.2，10.5，11.4，10.2，11.4，11.4，11.2，9.5，12.0，10.2‎ ‎（1）通过计算，样本数据（10名学生的成绩）的平均数是10.9，中位数是 ，众数是 ；‎ ‎（2）一个学生的成绩是11.3厘米，你认为他的成绩如何？说明理由；‎ ‎（3）研究中心确定了一个标准成绩，等于或大于这个成绩的学生该项素质被评定为“优秀”等级，如果全市有一半左右的学生能够达到“优秀”等级，你认为标准成绩定为多少？说明理由．‎ ‎29．据省环保网发布的消息，吉首市空气质量评价连续两年居全省14个省辖市城市之最，下表是吉首市2014年5月份前10天的空气质量指数统计表 ‎ （一）2014年5月1日～10日空气质量指数（AQI）情况 日期 ‎1日 ‎2日 ‎3日 ‎4日 ‎5日 ‎6日 ‎7日 ‎8日 ‎9日 ‎10日 空气质量指数（AQI）‎ ‎28‎ ‎38‎ ‎94‎ ‎53‎ ‎63‎ ‎149‎ ‎53‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎35‎ ‎（二）空气质量污染指数标准（AQI）‎ 污染指数 ‎ ‎ 等级 ‎ ‎0～50‎ 优 ‎51～100‎ 良 ‎101～150‎ 轻微污染 ‎151～200‎ 轻度污染 ‎（1）请你计算这10天吉首市空气质量指数的平均数，并据此判断这10天吉首市空气质量平均情况属于哪个等级；（用科学计算器计算或笔算，结果保留整数）‎ ‎（2）按规定，当空气质量指数AQI≤100时，空气质量才算“达标”，请你根据表（一）和表（二）所提供的信息，估计今年（365天）吉首市空气质量“达标”的天数．（结果保留整数）‎ 参考答案：‎ 一、选择题（共15小题）‎ ‎1．为调查某校2000名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况．随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱动画节目的学生约有（ ）‎ ‎ ‎ A．500名 B．600名 C．700名 D．800名 ‎【考点】用样本估计总体；扇形统计图．‎ ‎【分析】根据扇形统计图求出该校喜爱动画节目的学生所占的百分比，再乘以总人数即可．‎ ‎【解答】解：根据扇形统计图可得：‎ 该校喜爱动画节目的学生占1﹣35%﹣5%﹣10%﹣20%=30%，‎ 则该校喜爱动画节目的学生约有2000×30%=600（名）；‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查了用样本估计总体，关键是根据扇形统计图求出该校喜爱动画节目的学生所占的百分比，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．‎ ‎ ‎ ‎2．生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的雀鸟有5只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为（ ）‎ A．1000只 B．10000只 C．5000只 D．50000只 ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【分析】由题意可知：重新捕获500只，其中带标记的有5只，可以知道，在样本中，有标记的占到 ．而在总体中，有标记的共有100只，根据比例即可解答．‎ ‎【解答】解：100÷=10000只．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．‎ ‎ ‎ ‎3．要反映我市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用（ ）‎ A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．频数分布统计图 ‎【考点】统计图的选择．‎ ‎【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．‎ ‎【解答】解：根据题意，要求直观反映我市一周内每天的最高气温的变化情况，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查统计图的选择，根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．‎ ‎ ‎ ‎4．某校七年级共320名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中15名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有（ ）‎ A．50人 B．64人 C．90人 D．96人 ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【分析】随机抽取的50名学生的成绩是一个样本，可以用这个样本的优秀率去估计总体的优秀率，从而求得该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数．‎ ‎【解答】解：随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有15名学生成绩达到优秀，‎ ‎∴样本优秀率为：15÷50=30%，‎ 又∵某校七年级共320名学生参加数学测试，‎ ‎∴该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为：320×30%=96人．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了用样本估计总体，这是统计的基本思想．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．‎ ‎ ‎ ‎5．在一个有15万人的小镇，随机调查了3000人，其中有300人看中央电视台的早间新闻．据此，估计该镇看中央电视台早间新闻的约有（ ）‎ A．2.5万人 B．2万人 C．1.5万人 D．1万人 ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】求得调查样本的看早间新闻的百分比，然后乘以该镇总人数即可．‎ ‎【解答】解：该镇看中央电视台早间新闻的约有15×=1.5万，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中观看的百分比，难度不大．‎ ‎ ‎ ‎6．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批次产品中的次品件数是（ ）‎ A．5 B．100 C．500 D．10000‎ ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【分析】先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件10000件，直接相乘得出答案即可．‎ ‎【解答】解：∵随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，‎ ‎∴次品所占的百分比是：，‎ ‎∴这一批次产品中的次品件数是：10000×=500（件），‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键．‎ ‎ ‎ ‎7．要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出100条鱼，发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼．假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为（ ）‎ A．5000条 B．2500条 C．1750条 D．1250条 ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【分析】首先求出有记号的2条鱼在100条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．‎ ‎【解答】解：由题意可得：50÷=2500（条）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了统计中用样本估计总体，表示出带记号的鱼所占比例是解题关键．‎ ‎ ‎ ‎8．下列统计图能够显示数据变化趋势的是（ ）‎ A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图 ‎【考点】统计图的选择．‎ ‎【分析】根据统计图的特点，要显示数据的变化趋势，选择折线统计图．‎ ‎【解答】解：易于显示数据的变化趋势和变化规律的统计图是折线统计图．‎ 故选C．‎ ‎【点评】考查了统计图的选择，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比；折线统计图表示的是事物的变化情况；而条形统计图和直方图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．‎ ‎ ‎ ‎9．下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（ ）‎ A．扇形图 B．条形图 C．折线图 D．直方图 ‎【考点】统计图的选择．‎ ‎【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．‎ ‎【解答】解：在进行数据描述时，要显示部分在总体中所占的百分比，应采用扇形统计图；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查统计图的选择，解决本题的关键是明确：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；‎ 折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频率分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频率分布情况，易于显示各组之间频率的差别．‎ ‎ ‎ ‎10．从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性．下面叙述正确的是（ ）‎ A．样本容量越大，样本平均数就越大 B．样本容量越大，样本的方差就越大 C．样本容量越大，样本的极差就越大 D．样本容量越大，对总体的估计就越准确 ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】用样本频率估计总体分布的过程中，估计的是否准确与总体的数量无关，只与样本容量在总体中所占的比例有关，对于同一个总体，样本容量越大，估计的越准确．‎ ‎【解答】解：∵用样本频率估计总体分布的过程中，‎ 估计的是否准确与总体的数量无关，‎ 只与样本容量在总体中所占的比例有关，‎ ‎∴样本容量越大，估计的越准确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了抽样和样本估计总体的实际应用，注意在一个总体中抽取一定的样本估计总体，估计的是否准确，只与样本在总体中所占的比例有关．‎ ‎ ‎ ‎11．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个．‎ A．45 B．48 C．50 D．55‎ ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【分析】小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：9；即可计算出红球数．‎ ‎【解答】解：∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，‎ ‎∴白球与红球的数量之比为1：9，‎ ‎∵白球有5个，‎ ‎∴红球有9×5=45（个），‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．‎ ‎ ‎ ‎12．青蛙是我们人类的朋友，为了了解某池塘里青蛙的数量，先从池塘里捕捞20只青蛙，作上标记后放回池塘，经过一段时间后，再从池塘中捕捞出40只青蛙，其中有标记的青蛙有4只，请你估计一下这个池塘里有多少只青蛙？（ ）‎ A．100只 B．150只 C．180只 D．200只 ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【分析】从池塘中捕捞出40只青蛙，其中有标记的青蛙有4只，即在样本中有标记的所占比例为，而在整体中有标记的共有20只，根据所占比例即可解答．‎ ‎【解答】解：∵从池塘中捕捞出40只青蛙，其中有标记的青蛙有4只，‎ ‎∴在样本中有标记的所占比例为，‎ ‎∴池塘里青蛙的总数为20÷=200．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了用样本去估计总体，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．‎ ‎ ‎ ‎13．有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：‎ 数据x ‎70＜x＜79‎ ‎80＜x＜89‎ ‎90＜x＜99‎ 个数 ‎800‎ ‎1300‎ ‎900‎ 平均数 ‎78.1‎ ‎85‎ ‎91.9‎ 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（ ）‎ A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97‎ ‎【考点】用样本估计总体；加权平均数．‎ ‎【分析】先计算这3000个数的平均数，即样本的平均数，再利用样本的平均数去估计总体平均数，即可解答．‎ ‎【解答】解：这3000个数的平均数为：=85.23，‎ 于是用样本的平均数去估计总体平均数，‎ 这这4万个数据的平均数约为85.23，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了用样本估计总体，解决本题的关键是求出样本的平均数．‎ ‎ ‎ ‎14．王大伯为了估计他家鱼塘里有多少条鱼，从鱼塘里捞出150条鱼，将它们作上标记，然后放回鱼塘．经过一段时间后，再从中随机捕捞300条鱼，其中有标记的鱼有30条，请估计鱼塘里鱼的数量大约有（ ）‎ A．1500条 B．1600条 C．1700条 D．3000条 ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【分析】300条鱼里有30条作标记的，则作标记的所占的比例是30÷300=10%，即所占比例为10%．而有标记的共有150条，据此比例即可解答．‎ ‎【解答】解：150÷（30÷300）=1500（条），‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，得出作标记的所占的比例是解答此题的关键．‎ ‎ ‎ ‎15．某校随机抽取200名学生，对他们喜欢的图书类型进行问卷调查，统计结果如图．根据图中信息，估计该校2000名学生中喜欢文学类书籍的人数是（ ）‎ ‎ ‎ A．800 B．600 C．400 D．200‎ ‎【考点】用样本估计总体；扇形统计图．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用扇形统计图得到样本中喜欢文学类书籍的人数的百分比为40%，用它表示该校2000名学生中喜欢文学类书籍的人数的百分比，从而可估算出全校喜欢文学类书籍的人数．‎ ‎【解答】解：2000×40%=800（人）．‎ 估计该校2000名学生中喜欢文学类书籍的人数为800人．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了用样本估计总体：用样本估计总体是统计的基本思想．用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．‎ ‎ ‎ 二、填空题（共12小题）‎ ‎16．某学校为了解本校学生课外阅读的情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成统计表．已知该校全体学生人数为1200人，由此可以估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有 240 人． ‎ 每周课外阅读时间（小时）‎ ‎0～1‎ ‎1～2‎ ‎（不含1）‎ ‎2～3‎ ‎（不含2）‎ 超过3‎ 人 数 ‎7‎ ‎10‎ ‎14‎ ‎19‎ ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【分析】先求出每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生所占的百分比，再乘以全校的人数，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：根据题意得：‎ ‎1200×=240（人），‎ 答：估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有240人；‎ 故答案为：240．‎ ‎【点评】本题考查从统计表中获取信息的能力，及统计中用样本估计总体的思想．‎ ‎ ‎ ‎17．某学校计划开设A，B，C，D四门校本课程供学生选修，规定每个学生必须并且只能选修其中一门，为了了解学生的选修意向，现随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图，已知该校学生人数为2000人，由此估计选修A课程的学生有 800 人．‎ ‎ ‎ ‎【考点】用样本估计总体；条形统计图．‎ ‎【分析】根据样本的数据，可得样本中选修A课程的学生所占的比例，利用样本估计总体，用总人数乘以选修A课程的学生所占的比例，可得答案．‎ ‎【解答】解：选修A课程的学生所占的比例：=，‎ 选修A课程的学生有：2000×=800（人），‎ 故答案为：800．‎ ‎【点评】本题考查了用样本估计总体，先求出样本所占的比例，估计总体中所占的比例．也考查了条形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．‎ ‎ ‎ ‎18．北京市2009﹣2014年轨道交通日均客运量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约 980 万人次，你的预估理由是 因为2012﹣2013年发生数据突变，故参照2013﹣2014增长进行估算． ．‎ ‎ ‎ ‎【考点】用样本估计总体；折线统计图．‎ ‎【分析】根据统计图进行用样本估计总体来预估即可．‎ ‎【解答】解：参考答案①：1038，按每年平均增长人数近似相等进行估算；‎ 参考答案②：980，因为2012﹣2013年发生数据突变，故参照2013﹣2014增长进行估算．（因为题目问法比较灵活，只要理由合理均可给分，估计学生答出980至1140之间均可给分）‎ ‎【点评】此题考查用样本估计总体，关键是根据统计图分析其上升规律．‎ ‎ ‎ ‎19．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是 520 ．‎ ‎ ‎ ‎【考点】用样本估计总体；条形统计图．‎ ‎【专题】图表型．‎ ‎【分析】用所有学生数乘以课外阅读时间不少于7小时的人数所占的百分比即可．‎ ‎【解答】解：该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是1300×=520人，‎ 故答案为：520．‎ ‎【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中不少于7小时的人数所占的百分比．‎ ‎ ‎ ‎20．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有 1200 条鱼．‎ ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【分析】先打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，求出有标记的鱼占的百分比，再根据共有30条鱼做上标记，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，‎ ‎∴有标记的鱼占×100%=2.5%，‎ ‎∵共有30条鱼做上标记，‎ ‎∴鱼塘中估计有30÷2.5%=1200（条）．‎ 故答案为：1200．‎ ‎【点评】此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．‎ ‎ ‎ ‎21．某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解各门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，由此可以估计选修C课程的学生有 240 人．‎ ‎ ‎ ‎【考点】用样本估计总体；条形统计图．‎ ‎【专题】图表型．‎ ‎【分析】根据样本的数据，可得样本C占样本的比例，根据样本的比例，可C占总体的比例，根据总人数乘以C占得比例，可得答案．‎ ‎【解答】解：C占样本的比例，‎ C占总体的比例是，‎ 选修C课程的学生有1200×=240（人），‎ 故答案为：240．‎ ‎【点评】本题考查了用样本估计总体，先求出样本所占的比例，估计总体中所占的比例．‎ ‎ ‎ ‎22．七（一）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理如下表（部分）：‎ 月均用水量x/m3‎ ‎0＜x≤5‎ ‎5＜x≤10‎ ‎10＜x≤15‎ ‎15＜x≤20‎ x＞20‎ 频数/户 ‎12‎ ‎20‎ ‎3‎ 频率 ‎0.12‎ ‎0.07‎ 若该小区有800户家庭，据此估计该小区月均用水量不超过10m3的家庭约有 560 户．‎ ‎【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表．‎ ‎【专题】图表型．‎ ‎【分析】根据=总数之间的关系求出5＜x≤10的频数，再用整体×样本的百分比即可得出答案．‎ ‎【解答】解：根据题意得：=100（户），‎ ‎15＜x≤20的频数是0.07×100=7（户），‎ ‎5＜x≤10的频数是：100﹣12﹣20﹣7﹣3=58（户），‎ 则该小区月均用水量不超过10m3的家庭约有×800=560（户）；‎ 故答案为：560．‎ ‎【点评】此题考查了用样本估计总体和频数、频率、总数之间的关系，掌握=总数，样本估计整体=整体×样本的百分比是本题的关键．‎ ‎ ‎ ‎23．如图，某校根据学生上学方式的一次抽样调查结果，绘制出一个未完成的扇形统计图，若该校共有学生700人，则据此估计步行的有 280 人．‎ ‎ ‎ ‎【考点】用样本估计总体；扇形统计图．‎ ‎【专题】图表型．‎ ‎【分析】先求出步行的学生所占的百分比，再用学生总数乘以步行学生所占的百分比即可估计全校步行上学的学生人数．‎ ‎【解答】解：∵骑车的学生所占的百分比是×100%=35%，‎ ‎∴步行的学生所占的百分比是1﹣10%﹣15%﹣35%=40%，‎ ‎∴若该校共有学生700人，则据此估计步行的有700×40%=280（人）．‎ 故答案为：280．‎ ‎【点评】本题考查了扇形统计图及用样本估计总数的知识，解题的关键是从统计图中得出步行上学学生所占的百分比．‎ ‎ ‎ ‎24．某校在九年级的一次模拟考试中，随机抽取40名学生的数学成绩进行分析，其中有10名学生的成绩达108分以上，据此估计该校九年级640名学生中这次模拟考数学成绩达108分以上的约有 160 名学生．‎ ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【分析】先求出随机抽取的40名学生中成绩达到108分以上的所占的百分比，再乘以640，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵随机抽取40名学生的数学成绩进行分析，有10名学生的成绩达108分以上，‎ ‎∴九年级640名学生中这次模拟考数学成绩达108分以上的约有640×=160（名）；‎ 故答案为：160．‎ ‎【点评】此题考查了用样本估计总体，用到的知识点是总体平均数约等于样本平均数．‎ ‎ ‎ ‎25．某校九年级420名学生参加植树活动，随机调查了50名学生植树的数量，并根据数据绘制了如下条形统计图，请估计该校九年级学生此次植树活动约植树 1680 棵．‎ ‎ ‎ ‎【考点】用样本估计总体；条形统计图；加权平均数．‎ ‎【分析】首先计算50名学生的平均植树量，然后用样本的平均数估计总体的平均数即可；‎ ‎【解答】解：九年级共植树420×=1680棵，‎ 故答案为：1680．‎ ‎【点评】本题考查了用样本估计总体、条形统计图及加权平均数的知识，解题的关键是能从条形统计图中读懂有关信息并求得人均植树量．‎ ‎ ‎ ‎26．某校在一次期末考试中，随机抽取八年级30名学生的数学成绩进行分析，其中3名学生的数学成绩达108分以上，据此估计该校八年级630名学生中期末考试数学成绩达108分以上的学生约有 63 名．‎ ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【分析】先求出随机抽取的30名学生中成绩达到108分以上的所占的百分比，再乘以630，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵随机抽取30名学生的数学成绩进行分析，有3名学生的成绩达108分以上，‎ ‎∴八年级630名学生中期末考试数学成绩达108分以上的学生约有630×=63（名）；‎ 故答案为：63．‎ ‎【点评】此题考查了用样本估计总体，用到的知识点是总体平均数约等于样本平均数．‎ ‎ ‎ ‎27．某校九年级有560名学生参加了市教育局举行的读书活动，现随机调查了70名学生读书的数量，根据所得数据绘制了如图的条形统计图，请估计该校九年级学生在此次读书活动中共读书 2040 本．‎ ‎ ‎ ‎【考点】用样本估计总体；条形统计图．‎ ‎【专题】图表型．‎ ‎【分析】利用条形统计图得出70名同学一共借书的本数，进而得出该校九年级学生在此次读书活动中共读书本数．‎ ‎【解答】解：由题意得出：70名同学一共借书：2×5+30×3+20×4+5×15=255（本），‎ 故该校九年级学生在此次读书活动中共读书：×255=2040（本）．‎ 故答案为：2040．‎ ‎【点评】此题主要考查了用样本估计总体以及条形统计图等知识，得出70名同学一共借书的本数是解题关键．‎ ‎ ‎ 三、解答题（共2小题）‎ ‎28．在对全市初中生进行的体质健康测试中，青少年体质研究中心随机抽取的10名学生的坐位体前屈的成绩（单位：厘米）如下：‎ ‎11.2，10.5，11.4，10.2，11.4，11.4，11.2，9.5，12.0，10.2‎ ‎（1）通过计算，样本数据（10名学生的成绩）的平均数是10.9，中位数是 11.2 ，众数是 11.4 ；‎ ‎（2）一个学生的成绩是11.3厘米，你认为他的成绩如何？说明理由；‎ ‎（3）研究中心确定了一个标准成绩，等于或大于这个成绩的学生该项素质被评定为“优秀”等级，如果全市有一半左右的学生能够达到“优秀”等级，你认为标准成绩定为多少？说明理由．‎ ‎【考点】用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．‎ ‎【分析】（1）利用中位数、众数的定义进行解答即可；‎ ‎（2）将其成绩与中位数比较即可得到答案；‎ ‎（3）用中位数作为一个标准即可衡量是否有一半学生达到优秀等级．‎ ‎【解答】解：（1）中位数是11.2，众数是11.4．‎ ‎ ‎ ‎（2）方法1：根据（1）中得到的样本数据的结论，可以估计，在这次坐位体前屈的成绩测试中，全市大约有一半学生的成绩大于11.2厘米，有一半学生的成绩小于11.2厘米，这位学生的成绩是11.3厘米，大于中位数11.2厘米，可以推测他的成绩比一半以上学生的成绩好．‎ 方法2：根据（1）中得到的样本数据的结论，可以估计，在这次坐位体前屈的成绩测试中，全市学生的平均成绩是10.9厘米，这位学生的成绩是11.3厘米，大于平均成绩10.9厘米，可以推测他的成绩比全市学生的平均成绩好．‎ ‎ ‎ ‎（3）如果全市有一半左右的学生评定为“优秀”等级，标准成绩应定为11.2厘米（中位数）．因为从样本情况看，成绩在11.2厘米以上（含11.2厘米）的学生占总人数的一半左右．可以估计，如果标准成绩定为11.2厘米，全市将有一半左右的学生能够评定为“优秀”等级．‎ ‎【点评】本题考查了加权平均数、中位数及众数的定义，属于统计中的基本题型，需重点掌握．‎ ‎ ‎ ‎29．据省环保网发布的消息，吉首市空气质量评价连续两年居全省14个省辖市城市之最，下表是吉首市2014年5月份前10天的空气质量指数统计表 ‎ （一）2014年5月1日～10日空气质量指数（AQI）情况 日期 ‎1日 ‎2日 ‎3日 ‎4日 ‎5日 ‎6日 ‎7日 ‎8日 ‎9日 ‎10日 空气质量指数（AQI）‎ ‎28‎ ‎38‎ ‎94‎ ‎53‎ ‎63‎ ‎149‎ ‎53‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎35‎ ‎（二）空气质量污染指数标准（AQI）‎ 污染指数 ‎ ‎ 等级 ‎ ‎0～50‎ 优 ‎51～100‎ 良 ‎101～150‎ 轻微污染 ‎151～200‎ 轻度污染 ‎（1）请你计算这10天吉首市空气质量指数的平均数，并据此判断这10天吉首市空气质量平均情况属于哪个等级；（用科学计算器计算或笔算，结果保留整数）‎ ‎（2）按规定，当空气质量指数AQI≤100时，空气质量才算“达标”，请你根据表（一）和表（二）所提供的信息，估计今年（365天）吉首市空气质量“达标”的天数．（结果保留整数）‎ ‎【考点】用样本估计总体；统计表；算术平均数．‎ ‎【专题】图表型．‎ ‎【分析】（1）求出这10天的空气质量平均平均数，再根据空气质量污染指数标准找出等级即可；‎ ‎（2）找出这10天空气质量“达标”的天数，求出占的比列，再乘以365即可．‎ ‎【解答】解：（1）=68.7≈69，‎ ‎69在51～100之间，所以吉首市空气质量平均情况属于良；‎ ‎ ‎ ‎（2）∵这10天空气质量“达标”的天数为9天，今年（365天）吉首市空气质量“达标”的天数为=328.5≈329（天），‎ 答：估计今年（365天）吉首市空气质量“达标”的天数为329天．‎ ‎【点评】本题考查从统计表中获取信息的能力，及统计中用样本估计总体的思想．‎