青岛版五年级数学下册七包装盒——长方体和正方体 5页

七　包装盒——长方体和正方体 ‎　　一、长方体和正方体 ‎1.长方体的特征 ‎(1)两个面相交的线叫作棱,三条棱相交的点叫作顶点。‎ ‎(2)长方体有6个面,并且每个面都是长方形(特殊情况下有相对的两个面是正方形)。‎ ‎(3)长方体有12条棱,相对的4条棱的长度相等。‎ ‎(4)长方体有8个顶点。‎ ‎(5)从一个方向观察一个长方体,最多能同时看到3个面,这3个面相交于一个顶点,相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。‎ 长方体的棱长之和=长×4+宽×4+高×4=(长+宽+高)×4‎ ‎2.正方体的特征 ‎(1)正方体有6个面,它们是完全相同的正方形。‎ ‎(2)正方体有12条棱,所有棱的长度都相等。‎ ‎(3)正方体有8个顶点。‎ 公式: 正方体的棱长之和=棱长×12‎ 正方体的棱长=正方体的棱长之和÷12‎ 二、长方体和正方体的表面积 ‎1.长方体的表面积 长方体6个面的总面积,叫作它的表面积。‎ 长方体有6个面,且相对的两个面完全相同。从一个方向观察一个长方体,最多能同时看到3个面,只要计算出这三个面的面积,就能算出长方体的表面积。‎ 公式:‎ 长方体前、后每个面的面积=长×高 ‎ 长方体上、下每个面的面积=长×宽 ‎ 长方体的6个面中,相对的两个面完全相同。‎ 长方体的摆放方式不同,长、宽、高也不同。‎ 正方体是特殊的长方体。‎ 计算长方体某个面的面积时,注意根据相对的4条棱的长度相等,把长方体的长、宽、高对应到要计算的面上。对于看不到的面要利用“相对的两个面完全相同”转化到能看到的面上。‎ ‎ 简记长方体表面积公式:长、宽、高交叉相乘再相加,‎ ‎ 长方体左、右每个面的面积=宽×高 长方体的表面积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×2=(长×宽+宽×高+长×高)×2‎ ‎2.正方体的表面积 ‎(1)正方体6个面的总面积,叫作它的表面积。‎ ‎(2)正方体6个面是完全相同的正方形,只要计算出一个面的面积,乘6就可算出正方体的表面积。‎ 公式:‎ 正方体的表面积=棱长×棱长×6‎ ‎　　三、体积、容积单位及进率 ‎1.体积、体积单位间的进率 ‎(1)体积的意义:物体所占空间的大小叫作物体的体积。‎ ‎(2)体积单位:常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,用字母表示分别为cm3、 dm3、 m3 。‎ ‎①棱长为1厘米的正方体,体积是1立方厘米。‎ 如:一个手指尖的体积大约是1立方厘米,1粒花生米的体积大约是1立方厘米。‎ ‎②棱长为1分米的正方体,体积是1立方分米。‎ 如:一个粉笔盒的体积大约是1立方分米。‎ ‎③棱长为1米的正方体,体积是1立方米,如:装洗衣机的纸箱的体积大约是1立方米。‎ ‎(3)体积单位之间的进率。‎ 计量一个物体的体积,就要看这个物体含有多少个体积单位。‎ ‎1分米=10厘米,两个正方体的棱长相等,体积就相等。‎ ‎ 棱长是10厘米的正方体里有10×10×10=1000(个)‎ 最后加括号乘2。‎ ‎ ‎ 无论是计算长方体的表面积,还是计算正方体的表面积,都要根据实际情况进行计算,注意面的个数是几个。‎ ‎　　所有的物体都占有一定的空间。‎ ‎ 立方厘米、立方分米、立方米,都是计量物体体积的单位,在计量一个物体的体积是多少时,就是看被测量的物体包含多少个什么样的体积单位,从而知道物体的体积是多少。 ‎ 用棱长是1厘米的小正方体拼图形。用了几个小正方体,拼成的图形的体积就是几立方厘米。‎ 棱长为1厘米的正方体,棱长是10厘米的正方体,体积是1000立方厘米。‎ ‎1立方分米=1000立方厘米 用同样的方法可推出:‎ ‎1立方米=1000立方分米 ‎2. 容积及容积单位之间的进率 ‎(1)容积的意义:容器所能容纳物体的体积,叫作它们的容积。‎ ‎(2)容积单位有升和毫升,分别用字母L和mL表示。计量物体的大小一般用体积单位,计量液体的体积常用容积单位。‎ ‎(3) 1立方分米=1升　1立方厘米=1毫升　1升=1000毫升 四、长方体和正方体的体积 ‎1.推导体积公式 ‎(1)计算一个物体的体积的大小,就要看这个物体含有“体积单位”的数量。把上图中的长方体和正方体切成以1立方厘米为体积单位的小正方体,‎ 高级单位化低级单位乘进率;低级单位化高级单位除以进率。‎ ‎ ‎ 在填合适的单位时,先看该物体装的是液体还是固体,液体用容积单位,固体用体积单位,再看该物体的大小,大则用升或立方米作单位,小则用毫升或立方厘米作单位。‎ 把物体切割成若干个体积单位的大小,最后看切割成多少个体积单位,就能知道物体的体积具体是多少。通过这种方式,可以探索出切割数量与长方体或正方体体积之间的规律。‎ 特别要理解的是若切割出2个体积单位,则物体的体积就是2(立方厘米、立方分米或立方米),若切割出17个,则物体的体积就是17(‎ 数出含有“体积单位”的数量就知道了它们的体积大小。‎ ‎(2)通过切割发现,长方体所含小正方体体积单位的个数,同它本身的长、宽、高有一定关系,每排小正方体的个数相当于长方体的长;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方体的高。所含体积单位的个数正好等于长方体长、宽、高的积。‎ ‎2.长方体、正方体的体积公式 长方体的体积=长×宽×高,用字母表示:V=abh。‎ 正方体的体积=棱长×棱长×棱长,用字母表示:V=a·a·a=a3。‎ ‎(1)也可以把a·a·a写作“a3”,读作“a的立方”,表示3个a相乘。正方体的体积公式一般写成:V=a3。‎ ‎(2)长方体和正方体底面的面积叫作它们的底面积。用S表示底面积,V表示体积,高用h表示,则:‎ 长方体(或正方体)的体积=底面积×高,用字母表示:V=Sh。‎ ‎3.长方体、正方体体积公式的变形 长方体的高=体积÷(长×宽),即h=V÷(a×b)‎ 长方体的宽=体积÷(长×高),即b=V÷(a×h)‎ 长方体的长=体积÷(宽×高),即a=V÷(b×h)‎ ‎　　4.长方体、正方体容器的容积计算 长方体或正方体容器的容积计算方法与体积的计算方法相同,但要从容器里面量长、宽、高。‎ ‎5.等体积变化问题 生活中经常遇到一些物体(固体或液体)的形状发生了变化。但在变化的过程中,体积是没有变化的。如图所示用枚数相等的硬币分别摞成下面的形状,体积不变。‎ 立方厘米、立方分米或立方米),以此类推。‎ 已知长方体(正方体)的长、宽、高(棱长),就可以直接运用长方体(正方体)的体积公式进行计算。‎ ‎ V=abh、V=a3、V=Sh这三个公式是相互联系的,前两个公式是第三个公式的基础。长方体体积公式中的长×宽就是长方体的底面积,正方体体积公式中的棱长×棱长是正方体的底面积,可以把另一条棱长看作高。因此第三个公式,包括了前两个公式。用这个公式既可以求长方体和正方体的体积,今后还可以用这个公式求其他柱体的体积。 ‎ ‎ 在解答形状变化问题时,要抓住体积不变这个关键点进行解答。‎ ‎　　五、测量不规则物体的体积 ‎ ‎1.用排水法可以测量不规则物体的体积,放入不规则物体(被完全淹没)后水面上升,上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。‎ ‎ 2.拿出放入水中的不规则物体(被完全淹没)水面下降,下降的那部分水的体积就是不规则物体的体积。‎ 用排水法测量不规则物体的体积,根据水的体积不变,而物体占用水的空间,则排开水的体积就等于物体占水的空间,即物体的体积。‎