五年级下册数学试题--奥数 最大公因数和最小公倍数（含答案）全国通用 7页

最大公因数和最小公倍数 一、走进来 传说三国时期，诸葛亮被刘备任命为军师的时候，关羽和张飞都很不服气。一天，二人将 诸葛亮请到点兵场，让他点兵，难为一下他。二人心想，这二千多士兵，看你何时能点完！ 可诸葛亮却神情自若，他命士兵 10 人一排列队，结果多出 9 人；他又命士兵 9 人一排列 队，结果多出 8 人；接着，又 8 人一排，多出 7 人；7 人一排，多出 6 个……3 人一排，多出 2 人；2 人一排，多出 1 人。 关羽和张飞正得意之时，诸葛亮羽扇轻摇，掐指一算，笑道：“二位将军的 2519 名士兵可 真是训练有素，真可谓是雄壮之师，威武之师啊！”二人大惊，从此对诸葛亮心服口服。 其实，关羽和张飞的士兵如果再加上一人就正好能被 2、3、4、5、6、7、8、9 整除，即 求出这几个数的最小公倍数即可。 同学们，你们也想成为诸葛孔明式的神机妙算吗？让我们一起走进这一章节的学习吧！ 最大公因数和最小公倍数问题在日常生活中有一定的应用，但它不同于一般应用题的解法。 理解和掌握此类问题的解法不仅有助于同学们熟练掌握有关最大公因数、最小公倍数的基础知 识，还可以使同学们的视野开阔，思维更加灵活。 二、一起做 【例 1】求 72 与 162 的最大公因数和最小公倍数，你能尝试用多种方法吗？ 提示：把 72 与 162 进行分解质因数，找出它们的最大公因数和最小公倍数，并研究它们之间的关系。 再试着用短除法的方法来求。 【例 2】甲、乙两个数的最大公因数是 6，最小公倍数是 90。如果甲数是 18，则乙数是多 少？ 提示：如果用短除法表示此题,算一算，你有什么发现？ 【例 3】甲、乙两数的最大公因数是 8，最小公倍数是 48，求这两个数分别是多少？ 提示：如果用短除法表示这道题。那么 8 a b × □ ×□ = 48 【例 4】把长 90 厘米，宽 42 厘米的长方形剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁片， 恰好无剩余，请问至少剪成多少块？ 提示：剪成正方形小块，那么小正方形的边长一定是长和宽的公因数；至少剪成多少块，说明边长尽 量大，即边长是长与宽的最大公因数。 【例 5】达达、慧慧和聪聪都定期到图书馆看书，达达每 6 天去一次，慧慧每 8 天去一次， 聪聪每 9 天去一次，如果他们今天刚好一起去了图书馆，至少再过多少天三人同时去？ 提示：所求的天数应是 6，8，9 的最小公倍数。 【例 6】一排电线杆共计 41 根，每相邻两根间相距都是 45 米，现在要改成 60 米，可以 有几根不需要移动？ 提示：你能求出这条路有多少长吗？哪些电线杆不需要移动呢？ 【例 7】一堆棋子大约有三百多枚，如果每 12 枚排成一行，剩下 11 枚；每 18 枚排成一 行，少 1 枚；每 15 枚一行，就有 7 行各多出 2 枚。这堆棋子有多少枚？ 提示：想一想诸葛亮点兵的方法，相信你没问题。 【例 8】小明家收藏了一些二分和五分的硬币，估计有五、六元钱。小明将这些硬币分成 钱数相等的两堆，他发现了一个奇妙的现象，第一堆二分和五分的硬币个数相等；第二堆二分 和五分的硬币钱数相等。你知道这些硬币一共有多少钱吗？ 提示：第一堆的硬币二分与五分张数相等，即第一堆的钱数是 7 的倍数；第二堆二分与五分的钱数相 等，即二分×个数=五分×个数，也就是第二堆钱数是 20 的倍数。又因为两堆钱数相等，表明总钱数应是 20 与 7 的公倍数，即 20×7=140 的倍数，可要注意，这堆钱一共 5、6 元呢？ 三、我能行 展现自已： 1、18、24 和 36 的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 2、8 和 12 的最小公倍数是最大公因数的( )倍。 3、数 a 与数 b 是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 4、若 a 是 b 的倍数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 5、三个质数的最小公倍数是 66，这三个质数是( ) ，( )和( )。 6、求下列各组数的最大公因数。 （1）1996 与 24 （2）36 与 308 （3）50 与 625 7、甲、乙两个数的最大公因数是 3，最小公倍数是 90。如果甲数是 15，则乙数是多少？ 8、甲数是 36，甲、乙两数的最小公倍数是 288，最大公因数是 4，则乙数是多少？ 9、两个数的最大公因数是 66，最小公倍数是 2310，这两个数的差是 132，这两个数分别 是多少？ 10、有三根钢管，分别长 200 厘米、240 厘米和 320 厘米。现在要把这三根钢管截成尽可 能长而且相等的小段，每段最长多少厘米？ 11、一个长方体，长、宽、高分别是 16 厘米、24 厘米和 40 厘米，现在把这个长方体分 割成大小一样的小正方体块，不许有剩余，每个小正方体块的体积最大可以是多少？一共割成 多少块？ 12、有 336 个苹果，252 个桔子，210 个梨，用这些水果，最多可以分成多少个同样的果 篮？在每个果篮里，苹果、桔子、梨各有多少个？ 13、甲、乙、丙三个同学，他们每隔不同的天数到图书馆去借一次书，甲 4 天去一次，乙 5 天去一次，丙 6 天去一次。某一个星期日，三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天三人 又在图书馆相会？那天是星期几？ 14、甲、乙、丙三人沿着一环形跑道跑步，甲跑一圈需要 1 分 12 秒，乙跑一圈需要 1 分 20 秒，丙跑一圈需要 1 分 30 秒。三人同时从起点出发后，最少经过多长时间又同时相遇于起 点？ 15、甲每秒跑 2 米，乙每秒跑 3 米，丙每秒跑 4 米，三人沿 300 米的环形跑道从同一地点 同时同方向跑步，经过多少秒三人又同时从出发点出发？ 16、一种长方体积木长 4 厘米，宽 2 厘米，高 1 厘米，小雨要用这种积木搭一个正方体， 至少需要这样的长方体多少块？ 17、为庆祝国庆节，世纪广场的周围共 1860 米，从头到尾插了一圈彩旗，原来每隔 4 米 插一面，现在要改为每隔 6 米插一面，问有多少面彩旗可以不用再重插？ 18、一所小学的教材不够，暂时每两人用一本语文课本，每三人用一本数学课本，每四人 用一本外语课本，全班共用了 91 本课本。求：全班共有多少人？ 19、为庆祝建校五周年，达慧学校思训部老师野餐，每两个人合用一个饭碗，每三个人合 用一个菜碗，每四个人合用一个汤碗，一共用了 78 个碗，思训部老师有多少人？ 20、一筐鸡蛋，2 个 2 个数多一个，3 个 3 个数多 2 个，4 个 4 个数少一个，5 个 5 个数也 少一个，这筐鸡蛋最少有多少个？ 21、“达慧杯”竞赛中，把 38 本书，41 枝钢笔，平均分给获得一等奖的学生，如果书多 出 2 本，钢笔少了 1 枝。那么获得一等奖的学生最多有多少人？ 挑战自我 1、爷爷现在的年龄是明明的 7 倍，过几年后是他的 6 倍，再过几年，分别是他的 5 倍，4 倍，3 倍，问爷爷现在的年龄是多少岁？ 2、某工厂加工一个机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时做 18 个；第 二道工序每个工人每小时做 12 个；第三道工序每个工人每小时做 24 个。各道工序上最少应安 排多少人才能使生产不出现积压或等待的情况？ 四、老师总结，我发现 1、常用的求最大公因数和最小公倍数的方法是列举法、分解质因数法和短除法。当遇到 两个数差距较大，那么可用求较大数除以较小数所得的余数与较小数的最大公因数。 2、在解决最大公因数和最小公倍数应用问题时，要注意分清哪些是求最大公因数的，哪 些是求最小公倍数的。 3、两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即：（a,b） ×[a,b]=a×b。 4、在同余学习中也要应用到最大公因数。 最大公因数和最小公倍数答案 1、6 72 2、6 3、1 ab 4、b a 5、2 3 11 6、（1）4 （2）4 （3）25 7、18 8、32 9、330 和 462 10、40 厘米 11、512 立方厘米 30 块 12、苹果：8 个 ；桔子：6 个 ； 梨：5 个 13、60 天；星期四 14、12 分 15、300 秒 16、8 块 17、155 面 18、84 人 19、72 人 20、59 个 21、6 人 挑战自我 1、分别是 2 年，5 年，10 年，20 年；爷爷现在 70 岁。 2、各道工序依次安排 4 人，6 人和 3 人。