五年级下册数学奥数试题-- 余数和同余 通用版（含答案） 6页

余数和同余 一、走进来： 在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事： 韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功 劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了不让敌人知道自己部队的实力， 先令士兵从 1 至 3 报数，然后从 1 至 5 报数，最后令士兵从 1 至 7 报数，分别记下每次最后 一个士兵所报之数。这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人始终无法弄清他的 部队究竟有多少名士兵。这个故事中所说的韩信点兵的计算方法， 最早提出并记叙这个数学 问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》。算经中载有此题之算法，后来的数学家把这 种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。 七子团圆正半月，除百零五便得知。” 这道题就是利用余数的性质来求解。这一章我们来共同探讨这样的问题。 二、一起做： 【例 1】2100 除以一个两位数得到的余数是 56，求这个两位数。 提示：如何使 2100 能被这个两位数整除？ 【例 2】用一个自然数分别去除 69、90、125，所得的余数都是 6，求这个自然数。 提示：把“有余数”转化成“没有余数”，就能解决了。 【例 3】60,90 和 125 分别除以某个自然数时，余数相同，这个自然数最大是多少？ 提示： 余数相同，可以通过“不同的两数相减”的方式去掉余数，进而求解。 【例 4】有一个整数，用它去除 91、119、155 得到的三个余数之和是 20，求这个数。 提示：先根据已知条件，确定这个数的大致范围。然后通过“三个数的和减去余数的和”去掉余数，再 分解质因数来求解。 【例 5】一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求满足条件的最小自然数。 提示：写出除以 3 余 2 的数，从中找出除以 5 余 3 的最小自然数，再写出满足前两个条件的数，从中找 出除以 7 余 2 的最小数。 【例 6】求 71427×1379×5781 的积除以 7 的余数。 提示：你可以利用这三个数分别除以 7 的余数，去研究 71427×1379×5781 除以 7 的余数。 三、我能行 展示自己 1、（ ）÷12 =20……（ ）当余数是（ ）时，被除数最大。被除数最大是（ ）。 2、（ ）÷a = 10……21，被除数最小是（ ）。 3、5127 除以一个两位数，余数是 71，这个两位数是（ ） 4、被除数、除数、商和余数之和是 903，已知除数是 35，余数是 2，求这个被除数。 5、用一个自然数分别去除 54、61、75 时，结果余数都是 5。这个自然数是多少？ 6、59、97、135 分别除以同一个自然数， 所得余数都是 2。这个自然数是多少？ 7、59、97、135 分别除以同一个自然数， 所得余数相同，这个自然数是多少？ 8、3511、3903 和 4589 分别除以同一个自然数，所得余数相同，这个数最大是多少？ 9、一个自然数，除 1773、1888、1957、2003，得到相同的余数，求这个自然数最大是多 少？ 10、用一个整数分别去除 345 和 543 所得余数相同，且商差 9，求这个数。 11、有一个整数，用它去除 70、110、160 得到的三个余数之和是 50，求这个数。 12、有一个整数用它分别去除 155、235、323 所得余数和是 98。求这个整数是多少？ 13、一个数除以 3 余 1，除以 5 余 3，除以 7 余 5，求满足条件的最小自然数。 14、一个数除以 6 余 2，除以 5 余 2，除以 9 余 2，求满足条件的最小自然数。 15、一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求满足条件的最小自然数。 16、今天是星期六，再过（789×63×24912×4359+564）天是星期（ ）。 超越自我 1、在 10000 以内，除以 3 余 2，除以 7 余 3，除以 11 余 4 的数中最小的数是多少？如果你也 能求出最大的数，那你一定是个聪明而勤劳的学生，试着求一下吧。 2、有一列数，第一个数是 5，第二个数是 12，从第 3 个数起每个数恰好是前两个数的和， 求第 1998 个数除以 3 的余数是多少？ 3、888… 8 乘以 666 … 6 的积，除以 7 的余数是几？ 50 个 50 个 四、老师总结，我发现： 在整数除法中，若不能整除时，就会产生余数。将有余数的除法转化成没有余数，是解决 此类问题的主要思想。 注意下列一些性质： 1、 被除数=除数×商+余数 2、 余数小于除数。 3、 用一个数分别去除两个数的余数相同，那么两个数的差能被这个自然数整除。 4、 一个数去除几个数的和或积的余数，等于这几个数分别除以这个数的余数的和或积。 5、 被除数增加（或减少）除数的若干倍，除数不变，则余数不变。 6、 被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么余数也扩大（或缩小）同样的倍数。 余数和同余 答案 1、11 251 2、241 3、79 4、842 5、 7 6、 19 7、 2 ，19 ，38 8、98 9、 23 10、22 11、29 12、 41 13、103 14、92 15、53 16、星期三 挑战自我 1、 9992 2、 0 3、 5 4、 星期四