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  • 2021-12-10 发布

五年级下册数学奥数试题-- 余数和同余 通用版(含答案)

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余数和同余 一、走进来: 在中国数学史上,广泛流传着一个“韩信点兵”的故事: 韩信是汉高祖刘邦手下的大将,他英勇善战,智谋超群,为汉朝的建立立下了卓绝的功 劳。据说韩信的数学水平也非常高超,他在点兵的时候,为了不让敌人知道自己部队的实力, 先令士兵从 1 至 3 报数,然后从 1 至 5 报数,最后令士兵从 1 至 7 报数,分别记下每次最后 一个士兵所报之数。这样,他很快就算出了自己部队士兵的总人数,而敌人始终无法弄清他的 部队究竟有多少名士兵。这个故事中所说的韩信点兵的计算方法, 最早提出并记叙这个数学 问题的,是南北朝时期的数学著作《孙子算经》。算经中载有此题之算法,后来的数学家把这 种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵: “三人同行七十稀,五树梅花廿一枝。 七子团圆正半月,除百零五便得知。” 这道题就是利用余数的性质来求解。这一章我们来共同探讨这样的问题。 二、一起做: 【例 1】2100 除以一个两位数得到的余数是 56,求这个两位数。 提示:如何使 2100 能被这个两位数整除? 【例 2】用一个自然数分别去除 69、90、125,所得的余数都是 6,求这个自然数。 提示:把“有余数”转化成“没有余数”,就能解决了。 【例 3】60,90 和 125 分别除以某个自然数时,余数相同,这个自然数最大是多少? 提示: 余数相同,可以通过“不同的两数相减”的方式去掉余数,进而求解。 【例 4】有一个整数,用它去除 91、119、155 得到的三个余数之和是 20,求这个数。 提示:先根据已知条件,确定这个数的大致范围。然后通过“三个数的和减去余数的和”去掉余数,再 分解质因数来求解。 【例 5】一个数除以 3 余 2,除以 5 余 3,除以 7 余 2,求满足条件的最小自然数。 提示:写出除以 3 余 2 的数,从中找出除以 5 余 3 的最小自然数,再写出满足前两个条件的数,从中找 出除以 7 余 2 的最小数。 【例 6】求 71427×1379×5781 的积除以 7 的余数。 提示:你可以利用这三个数分别除以 7 的余数,去研究 71427×1379×5781 除以 7 的余数。 三、我能行 展示自己 1、( )÷12 =20……( )当余数是( )时,被除数最大。被除数最大是( )。 2、( )÷a = 10……21,被除数最小是( )。 3、5127 除以一个两位数,余数是 71,这个两位数是( ) 4、被除数、除数、商和余数之和是 903,已知除数是 35,余数是 2,求这个被除数。 5、用一个自然数分别去除 54、61、75 时,结果余数都是 5。这个自然数是多少? 6、59、97、135 分别除以同一个自然数, 所得余数都是 2。这个自然数是多少? 7、59、97、135 分别除以同一个自然数, 所得余数相同,这个自然数是多少? 8、3511、3903 和 4589 分别除以同一个自然数,所得余数相同,这个数最大是多少? 9、一个自然数,除 1773、1888、1957、2003,得到相同的余数,求这个自然数最大是多 少? 10、用一个整数分别去除 345 和 543 所得余数相同,且商差 9,求这个数。 11、有一个整数,用它去除 70、110、160 得到的三个余数之和是 50,求这个数。 12、有一个整数用它分别去除 155、235、323 所得余数和是 98。求这个整数是多少? 13、一个数除以 3 余 1,除以 5 余 3,除以 7 余 5,求满足条件的最小自然数。 14、一个数除以 6 余 2,除以 5 余 2,除以 9 余 2,求满足条件的最小自然数。 15、一个数除以 3 余 2,除以 5 余 3,除以 7 余 4,求满足条件的最小自然数。 16、今天是星期六,再过(789×63×24912×4359+564)天是星期( )。 超越自我 1、在 10000 以内,除以 3 余 2,除以 7 余 3,除以 11 余 4 的数中最小的数是多少?如果你也 能求出最大的数,那你一定是个聪明而勤劳的学生,试着求一下吧。 2、有一列数,第一个数是 5,第二个数是 12,从第 3 个数起每个数恰好是前两个数的和, 求第 1998 个数除以 3 的余数是多少? 3、888… 8 乘以 666 … 6 的积,除以 7 的余数是几? 50 个 50 个 四、老师总结,我发现: 在整数除法中,若不能整除时,就会产生余数。将有余数的除法转化成没有余数,是解决 此类问题的主要思想。 注意下列一些性质: 1、 被除数=除数×商+余数 2、 余数小于除数。 3、 用一个数分别去除两个数的余数相同,那么两个数的差能被这个自然数整除。 4、 一个数去除几个数的和或积的余数,等于这几个数分别除以这个数的余数的和或积。 5、 被除数增加(或减少)除数的若干倍,除数不变,则余数不变。 6、 被除数扩大(或缩小)若干倍,除数不变,那么余数也扩大(或缩小)同样的倍数。 余数和同余 答案 1、11 251 2、241 3、79 4、842 5、 7 6、 19 7、 2 ,19 ,38 8、98 9、 23 10、22 11、29 12、 41 13、103 14、92 15、53 16、星期三 挑战自我 1、 9992 2、 0 3、 5 4、 星期四

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