人教版小学五年级上册数学总复习知识点+五年级下册数学第三单元知识点易错点汇总 22页

人教版小学五年级上册数学总复习 知识点+五年级下册数学第三单元知识点易错点汇总 人教版小学五年级上册数学总复习知识点 知识回顾 一、小数乘法和除法 1、 小数乘法的意义 小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。‎ 一个数乘小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……‎ 2、 小数乘法的计算法则 计算小数乘法，先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的末位起数出几位，点上小数点。‎ 3、 小数除法的意义 小数除法的意义与整数除法的意义相同，是已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。‎ 4、 除数是整数的小数除法计算法则 除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在被除数的末尾添0再继续除。‎ 5、 除数是小数的除法计算法则 除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按照除数是整数的小数除法进行计算。‎ 6、 循环小数的意义 一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。‎ 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数；小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。循环小数是无限小数。‎ 7、 循环节的意义 一个循环小数的小数部分中。依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。‎ 循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做循环小数。‎ 例1 用简便方法计算下列各题 ‎① ② ③ ④‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例2 明明和乐乐去文具店买笔芯，明明买4支黑色的和5支蓝色的，共付5元钱，乐乐买4支黑色的和6支蓝色的共付5.6元。每支黑色笔芯多少钱？‎ 例3 7.9468保留整数是 ，保留一位小数是 ，保留两位小数是 。‎ 知识回顾 二、整数、小数四则混合运算和应用题 1、 四则混合运算顺序 整数、小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序完全相同，整数四则混合运算的运算定律对小数同样适用。‎ 一个算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。‎ 2、 解答应用题的步骤 （1） 弄清题意，并找出已知条件和所求问题；‎ （2） 分析题里数量间的关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么；‎ （3） 确定每一步该怎样算，列出算式，算出得数；‎ （4） 进行检验，写出答案。‎ 例4 计算 ‎① ② ③‎ 例5 甲、乙两队学生从相距17千米的两地出发，相向而行，一个同学骑自行车以每刻钟3.5千米的速度在两地之间往返联络（停歇时间不计）。如果甲队学生每小时走4.5千米，乙队学生每小时走4千米，问两队学生相遇时，骑自行车的学生共走多少千米？‎ 知识回顾 三、多边形面积的计算 名称 图形 计算公式 平行四边形 面积=底高 三角形 面积=底高 梯形 面积=（上底下底）高 例4 如图，梯形的面积是63平方米，高是7米，已知上底比下底少4米，求下底的长度。‎ 例5 如图，长方形的面积是86平方米，宽为6米。BE长为6米，将弧AE平移到FC。求阴影部分的面积。‎ 知识回顾 四、简易方程 1、 方程的意义 含有未知数的等式，叫做方程。‎ 2、 方程和等式的关系 3、 方程的解和解方程的区别 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。‎ 求方程的解的过程叫做解方程。‎ 4、 列方程解应用题的一般步骤 （1） 弄清题意，找出未知数，并用表示。‎ （2） 找出应用题中数量之间的相等关系，列方程。‎ （3） 解方程。‎ （4） 检验，写出答案。‎ 5、 数量关系式 加数=和 - 另一个加数 减数=被减数 – 差 被减数= 差 + 减数 因数=积 另一个因数 除数=被除数 商 被除数=商 除数 例6 用含有字母的式子表示下面的数量关系 ‎（1）的7倍； （2）的5倍加上6； （3）5减的差除以3；‎ ‎（4）200减5个； （5）比7个多2的数。 ‎ ‎ ‎ 例9 要修一段公路，平均每天修米，修了6天，还剩下米。‎ （1） 用含有字母的式子表示这段公路有多少米；‎ （2） 根据这个式子，分别求等于50，等于200时，公路长多少米。‎ 例10 指出下列式子哪些是等式，哪些是方程 ‎① ② ③ ‎ ‎④ ⑤ ⑥‎ 例11 某个数与9的和的12倍等于156，求这个数是多少。‎ 例12 王晰买了2支钢笔和5支圆珠笔，共付17元。一支钢笔的价格是一支圆珠笔的40倍，求每支钢笔多少钱，每支圆珠笔多少钱？‎ 知识回顾 五、统计与可能性 1、 在我们生活中有很多事件是不确定的，如何求事件发生可能性的大小是本节知识的重点。‎ 2、 感受等可能事件发生的可能性，会用分数进行表示；会用数学语言描述获胜的可能性。‎ 3、 投掷硬币，每次正面、反面朝上的可能性是。‎ 4、 中位数和平均数的区别 中位数：把一组数据按照大小顺序排列后，最中间的数据就是中位数；‎ 平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。即平均数=总数总分数 例13 说出下列事件发生的可能性是多少？‎ 1、 盒子中有红、白、黄三种颜色的球各一个，只取一次，拿出红色球的可能性是多少？白色呢？黄色？‎ 2、 商场促销，将奖品放置于1到9号的箱子中，幸运顾客有一次猜奖机会，一位顾客猜中得奖的可能性是多少？‎ ‎3、盒子中有红色球5个，蓝色球12个，黄色球8个，只取一次，取出红色球的可能性大还是黄色球? ‎ 人教版五年级下册数学第三单元知识点易错点汇总 一、长方体和正方体的认识 ‎【知识点1】‎ ‎ 要素 立体图形 棱 面 顶点 数量 特征 数量 特征 数量 特征 长方体 ‎12‎ 互相平行的棱长度相等 ‎6‎ 相对的面完全相同 ‎8‎ 同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高 特殊长方体 ‎12‎ 垂直于正方形面的棱长度相等 ‎6‎ 两个面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形 ‎8‎ 正方体 ‎12‎ 所有的棱长度都相等 ‎6‎ 所有面都是正方形且完全相同 ‎8‎ 一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形！‎ 练习：‎ ‎（1）判断并改正：‎ ‎ 长方体的六个面一定是长方形； ( ) ‎ ‎ 正方体的六个面面积一定相等； ( ) ‎ ‎ 一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等； ( ) ‎ ‎ 相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( ) ‎ ‎ 一个长方体中，可能有4个面是正方形。（  ）‎ ‎ 正方体是特殊的长方体。（ ） ‎ ‎ 长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( )‎ ‎ 有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( ) ‎ ‎ 有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（ ）‎ ‎ 正方体的相邻三条棱的交点叫做顶点。（　 ）‎ ‎ 有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（　 ）‎ ‎ 长方体和正方体最多可以看到3个面。（ ）‎ ‎ 长方体的12条棱中，长、宽、高各有4条。（ 　）‎ ‎　正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（ 　）‎ ‎　长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。（　 ）‎ ‎ 一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（ ）‎ （2） 一个长方体最多有（ ）个面是正方形，最多有（ ）条棱长度相等。‎ （3） 一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（ ）形。‎ （4） 正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（    ），它的六个面都是相等的（   ）形。‎ （5） 把长方体放在桌面上，最多可以看到（ ）个面。最少可以看到（ ）个面。‎ ‎【知识点2】‎ 棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）×4 长+宽+高=棱长和÷4‎ ‎ 长方体棱长和=下面周长×2+高×4‎ ‎ 长方体棱长和=右面周长×2+长×4‎ ‎ 长方体棱长和=前面周长×2+宽×4‎ ‎ 正方体棱长和=棱长×12 棱长=棱长和÷12‎ 棱长和的变形：‎ 例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要‎10厘米彩带，一共需要多长的彩带？‎ ‎30㎝ ‎20cm ‎20cm ‎ 分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。‎ ‎ 前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度；‎ ‎ 上面和下面的彩带长度=长的长度。‎ ‎ 需要彩带的长度=高×4+长×2+打结部分长度 ‎ 20×4+30×2+10=‎‎150cm 练习： ‎ ‎（1）分别说出下面长方体长、宽、高。‎ ‎ ‎ ‎（2）看图2-6，并填空单位：厘米 这个长方体长(　)厘米，宽(　)厘米，高(　)厘米。由一个顶点引出的三条棱的长度和是(　　　 )厘米。棱长总和是(　　　 )厘米。上下两个面是(　　　 )形。‎ ‎（3）看图2-7并填空单位：厘米 这是一个(　　　 )体，正方体的棱长是(　　　 )厘米，棱长之和是(　　　 )厘米，每个面的面积是(　　　 )平方厘米。‎ （2） 有一个长方体的鱼缸，长‎50厘米，宽‎30厘米，高‎30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（ ）米的铝合金。‎ （3） 一个长方体的棱长总和是 ‎80厘米，其中长是 ‎10厘米，宽是 ‎7厘米，高是（　 ）厘米。‎ （4） 把两个棱长 ‎1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（　 ）厘米。‎ （5） 至少需要（   ）厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是‎18厘米，高‎3厘米的长方体框架。‎ ‎（6）一个长方体长 ‎12厘米宽 ‎8厘米高 ‎7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（　 ）。‎ ‎（7）一个长方体的礼堂如图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，每串彩灯长‎2m，一共需要多少串彩灯？‎ ‎30m ‎6m ‎50m （2） 一个长方体棱长和‎164cm，已知长方体的底面周长为 ‎72cm，长方体的高是多少cm？‎ （3） 一个长方体棱长和‎164cm，已知长方体的左面周长为 ‎40cm，长方体的长是多少cm？‎ （4） 一个长方体棱长和‎164cm，已知长方体的正面周长为‎56cm，长方体的宽是多少cm？‎ （5） 一只鱼缸，棱长和为‎280cm，其中，底面周长为‎50cm，右面周长为‎40cm，前面周长为‎50cm，鱼缸的长、宽、高各是多少？‎ ‎【知识点3】确定长方体中每个面的形状以及长、宽、高分别是多少。‎ 长方体一共有（ ）个面，（ ）面完全相同，如：前面和（ ）完全相同，（ ）和（ ）完全相同，（ ）和（ ）完全相同。‎ 根据习惯我们一般认为在一个平面中水平方向的为长，垂直方向的为高。根据这一习惯我们我们只需找到需要的面并根据习惯确定长和宽即可。‎ 上面 下面 左面 后面 右面 前面 例如：如图下列长方体的后面是（ ）形状，长是（ ）宽是（ ）；它的右面是（ ）形状，长是（ ）宽是（ ）；下面是（ ）形状，长是（ ）宽是（ ）。 ‎ 练习：‎ ‎ ‎ （1） 长方体展开后每个面都是什么形状？‎ 展开后哪俩个面是相对的面？面积相等吗？‎ 上下，左右、前后各个面的长和宽分别是原长方体的什么？‎ （2） 一个长方体的长是‎25厘米，宽是‎20厘米，高是‎18厘米，最大的面的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，它的面积是（ ）平方厘米；最小的面长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，它的面积是（ ）平方厘米。‎ ‎（3）一个长方体的长、宽、高分别是8、6、4米，它的前后的面的面积是（ ），左右的面的面积是（ ），上下的面的面积是（ ）。‎ ‎【知识点4】折叠可以组合成正方体:‎ 经过折叠可以组合成长方体：‎ 练习：‎ 下列三个图形中，能拼成正方体的是（ 　）‎ ‎　　①   ②    ③‎ ‎【知识点5】长方体或正方体的切割组合对棱长的影响 ‎（1）切割 将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长和4条宽；（棱长增加的最长）‎ 将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条宽和4条高；（棱长增加的最短）‎ 将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4条棱。‎ （2） 组合 将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条宽；（棱长减少的最多）‎ 将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条高；‎ 将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条宽和4条高；（棱长减少的最少）‎ 将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8条棱；‎ 一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16条棱，四个组合减少24条棱，五个组合减少32条……（公式：8×（N—1））‎ 例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为‎140厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？‎ 分析：五个正方体棱长共有12×5=60条；‎ ‎ 将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32条，还剩60-32=28条；‎ ‎ 即这28条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：140÷28=‎5cm；‎ ‎ 所以一个正方体的棱长和为：5×12=‎60cm。‎ ‎【知识点6】小正方体拼大正方体的规律 由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要2×2×2=23=8个（也就是说每条棱上放2个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3个小正方体即3×3×3=33=27个，依次类推接下来是4×4×4=43=64个；5×5×5=53=125个……‎ ‎ 从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。这就要求我们能够熟记一些数的立方：‎ ‎23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 ‎ ‎73=343 83=512 93=729 103=1000 ‎ 小正方体拼大长方体的规律 规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由a×b×c个小正方体组成的。‎ 练习：‎ ‎（1）用棱长为‎1厘米的小正方体拼一个棱长为‎6厘米的大正方体需要（ ）个小正方体。‎ ‎（2）用棱长为‎3厘米的小正方体拼棱长为‎9厘米的大正方体需要（ ）个小正方体。‎ ‎ A、8个 B、27个 C、26个 D、64个 （2） 用棱长为‎2厘米的小正方体拼一个稍大一些的正方体至少需要（ ）个小正方体。‎ ‎ A、4个 B、8个 C、16个 D、27个 （3） 下列有一些数量的棱长为‎1厘米的小正方体，哪些数量可以拼成较大的正方体。（ ）‎ ‎ A、27个 B、4个 C、1个 D、8个 E、32个 F、125个 ‎ （4） 一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为3的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（ ）块这样的小正方体。‎ （5） 用（ ）个棱长为‎4cm的小正方体可以拼出一个长为‎16cm，宽和高均为‎8cm的长方体。‎ ‎（7）一个长方体的盒子里面长5分米，宽4分米，深3分米，放棱长为‎5厘米的正方体小木块共可以放（ 　）块。‎ ‎（8）两个棱长‎1厘米的正方体木块，拼成一个长方体，这具长方体表面积是（　　　 ）平方厘米。‎ 二、 长方体和正方体的表面积 ‎【知识点1】 ‎ 长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 =（a×b+a×c+b×c）×2‎ ‎ =（前面面积+上面面积+右面面积）×2‎ 正方体表面积=棱长×棱长×6=a×a×6=‎6a2‎ ‎ =任意一个面的面积×6‎ 前面面积=后面面积；左面面积=右面面积；上面面积=下面面积 ‎ 两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！‎ 表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！ ‎ 练习：‎ （1） 一个正方体的棱长总和是48分米，它的棱长是（ ），表面积是（ ）。‎ （2） 一个长方体长‎6厘米，宽‎4厘米，高‎3厘米。这个长方体上下两个面的面积各是（   ）平方厘米，前后两个面的面积各是（   ）平方厘米，左右两个面的面积各是（   ）平方厘米，表面积是（   ）平方厘米。‎ （3） 判断题：长方体的表面积一定比正方体的表面积大。 ( ) ‎ ‎ 如果一个长方体能锯成四个完全一样的正方体，那么长方体前面的面积是底面积的4倍．（     ）‎ （4） 把一个棱长为‎6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（     ）㎡。‎ （5） 长方体的长是‎6厘米，宽是‎4厘米，高是‎2厘米，它的棱长总和是 （       ）厘米，六个面中最大的面积是（       ）平方厘米，表面积是（       ）平方厘米。‎ （6） 用字母表示正方体（或长方体）的表面积＝（　　　 ）；用字母表示长方体的体积公式是（　　　 ）。‎ ‎（7）下面哪些问题跟长方体表面积有关。 （ ） ‎ ‎ A：在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？‎ ‎ B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？‎ C： 求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？‎ ‎（8）一个长方体的长是5分米，宽和高都是4分米，在这个长方体中，长度为4分米的棱有（ ）条，面积是20平方分米的面有（ ）个。‎ ‎（9）一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（ ）。‎ ‎（10）一个正方体的底面积是64平方厘米，它的表面积是（ ）。‎ ‎（11）一个正方体的底面周长是‎8厘米，它的表面积是（ ）。‎ ‎（12）一个长方体侧面积是360平方厘米，高是‎9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积。‎ ‎【知识点2】长方体表面求法的变形：‎ ①　 贴商标类型：只求四周面积。‎ 例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？‎ ②　 游泳池类型：只求四周和底面。‎ 例如：一座游泳池，长宽高分别为‎10m，‎4m，‎1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？‎ ③　 抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。 ‎ 例如：一款抽纸盒，长宽高分别是‎20cm，‎12cm，‎5cm，上面有长‎14cm，宽‎3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？‎ ④　 占地面积问题：只求底面面积。‎ 例如：一个长方体蓄水池，长‎12m，宽‎8m，深‎3m，这个水池占地面积多少平方米？‎ 练习：‎ （1） 一盒饼干长‎20厘米，宽‎15厘米，高‎30厘米 ‎，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是‎4厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？‎ （1） 一种长方体硬纸盒，长‎10厘米，宽‎6厘米，高‎5厘米，有‎2平方米的硬纸板210张，可以做这样的硬纸盒多少个？（不计接口） ‎ （2） 一个通风管的横截面是边长是‎0.5米的正方形,长‎2.5米.如果用铁皮做这样的通风管50只,需要多少平方米的铁皮? ‎ （3） 一个房间的长‎6米，宽‎3.5米，高‎3米，门窗面积是‎8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥‎4千克，一共要水泥多少千克？ ‎ （4） 在一节长‎120厘米，宽和高都是‎10厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做12节这样的通风管呢？ ‎ （5） 做一个正方体无盖纸盒，棱长是‎21厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？‎ （6） 一个抽屉，长‎50厘米，宽‎30厘米，高‎10厘米，做这样的2个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？‎ ‎（8）长方体的长为‎12厘米，高为‎8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？‎ （1） 一只鱼缸，棱长和为‎280cm，其中，底面周长为‎50cm，右面周长为‎40cm，前面周长为‎50cm，这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？‎ ‎（10）一块长方形铁皮长‎60厘米，宽‎40厘米，如 图， 从四个角上剪去边长是‎10厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的表面积是多少平方厘米？‎ ‎（11）一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是（ ）个面.‎ ‎【知识点3】棱长变化对表面积的影响：‎ Ø 正方体 正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；‎ 正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；‎ 正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。‎ Ø 长方体 长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍； ‎ 长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍； ‎ 长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。‎ 长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大a×b×c倍。‎ 长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×b倍 。‎ 长方体的宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大b×c倍 。‎ 长方体的长扩大a倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×c倍 。‎ 练习：‎ ‎（1）大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（      ）倍。‎ ‎（2）正方体的棱长缩小5倍，它的体积就缩小（       ）倍．‎ ‎（3）一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就（ ）。‎ ‎（4）正方体的棱长扩大6倍，表面积扩大（       ）倍。‎ ‎（5）一个正方体的棱长为‎4厘米扩大为2倍后，其棱长和为（ ）厘米，表面积为（ ）平方厘米比原来扩大了（ ）。‎ ‎（6）一个长方体长扩大2倍，高扩大4倍，体积扩大（ ）倍。‎ ‎（7）大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（　　）；大正方体棱长之和是小正方体的（ ） ‎ ‎ A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 ‎ ‎（8）把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和（　 　 ）。 ‎ A.等于大正方体的表面积 B.等于大正方体表面积的2倍 C.等于大正方体表面积的3倍 ‎（9）判断：一个长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，这个长方体的表面积扩大24倍。（ ）‎ ‎ 正方体的棱长扩大1.2倍，它的棱长也扩大1.2倍，它的表面积就扩大14.4倍。（ ）‎ ‎ 有棱长为1厘米的正方体拼成较大的正方体，其表面积比原来一个正方体时扩大了4倍。（ ）‎ ‎ 棱长为16厘米的正方体，将棱长缩小2倍后，其棱长为4厘米，其表面积也缩小了4倍。（ ）‎ ‎【知识点4】‎ 1、 立体图形的切割：（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题）‎ 1、 长方体 沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。‎ 沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。‎ 而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。‎ Ø 正方体 无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为‎2a2不存在增加最多最少的问题。‎ 例如：两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？ ‎ 要求最省包装纸，即表面积最小，也就是表面积比原来单独包装时减少的表面积最多，根据规律应该选择第一种包装方式。‎ 练习：‎ ‎（1）把一个棱长为‎6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（      ）㎡。‎ ‎（2）用两个长‎4厘米、宽‎4厘米、高‎1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是（     ）平方厘米，最小是（      ）平方厘米。‎ ‎（3）把一根长‎80厘米，宽‎5厘米，高‎3厘米的长方体木料锯成长都是‎40厘米的两段，表面积比原来增加了（ ）平方厘米。 ‎ ‎（4）用两个长、宽、高分别是‎3厘米，‎2厘米，‎1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（     ）平方厘米。‎ ‎（5）棱长是a的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少（     ）。‎ ‎（6）一根长方体木料，长‎1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加（    ）平方分米．‎ ‎（7）一个长‎5厘米，宽‎4厘米，高‎3厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，表面积最多能增加多少平方厘米？‎ （8） 把一根长‎2米的方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加5.76平方分米，原来这根方木的底面积是多少平方分米？‎ （9） 一根‎1.8m长的木材，锯成三个完全相同的正方体后，表面积比原来增加多少平方厘米？‎ （10） 一个长方体长为1.5分米，宽为0.5分米，高位1分米，锯三刀之后之后可以锯成6个完全相同的正方体，每个正方体的表面积是多少？这时表面积之和比原来增加多少？‎ （11） 把一个长‎18厘米，宽‎12厘米，高‎6厘米的长方体木块截成两个表面积相等的长方体，表面积最小的长方体的表面积是多少？表面积最大的长方体的表面积是多少？‎ n 从一个长方体中切出一个最大的正方体问题 应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。‎ 分析：以最短的棱为正方体的棱长，即以高为2cm的棱为正方体的棱长，那么正方体的棱长和为：2×12=24cm。‎ 切去正方体后所剩部分的长为4-2=2cm，宽为3-2=1cm，高仍为2cm，因此所剩部分表面积为：（2×1+2×2+1×2）×2=16cm2。‎ 例如：在一个长是4厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是多少？剩余部分的表面积是多少？‎ ‎ ‎ n 立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题）‎ 1、 长方体 将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。‎ 将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。‎ 而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。‎ Ø 正方体 无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为‎2a2不存在增加最多最少的问题。‎ 练习：‎ ‎（1）把三个棱长是‎1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ），比原来3个正方体表面积之和减少了（ ）。‎ ‎（2）把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积是（ ），体积是（ ）。‎ ‎（3）用27个体积是1立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是（ ）‎ ‎（4）把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是‎350平方米。这个正方形的表面积是多少平方米？‎ （5） 一个长方体的长‎8厘米，宽‎6厘米，高‎5.5厘米。将两个这样的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少？体积是多少？‎ ‎（6）一种长方体积木，长‎3厘米，宽‎2.5厘米，高‎2厘米。将两块这样的长方体拼成一个新的长方体，表面积最小是多少？‎ （7） 用3个棱长5分米的正方体粘合成一个长方体，表面积减少多少平方分米？表面积是多少平方厘米？‎ （8） 有三个大小相等的正方体，将他们拼成长方体，表面积减少32平方厘米。求所拼长方体的表面积。‎ ‎（9）用两个同样的长、宽、高分别为‎4厘米、‎3厘米和‎2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？‎ ‎（10）用两个长‎6厘米，宽‎3厘米，高‎1厘米的长方体一起包装，至少需要包装纸多少？ ‎ ‎（11）用3个棱长4分米的正方体粘合成一个长方体，长方体的表面积比3个正方体的表面积少多少平方分米？表面积是多少平方厘米？‎ ‎（12）用两个同样的长、宽、高分别为‎4厘米、‎3厘米和‎2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？‎ ‎【知识点5】小正方体拼成的大正方体表面涂漆问题 大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相乘就是大正方体所含小正方体的总数；‎ 在顶点位置的小正方体露在外面的面有3个；‎ 在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有2个；‎ 在面上（不包含棱上）的小正方体露在外面得面有1个；‎ 用总数—3个面的—2个面的—1个面得=没有露在外面的小正方体的个数。‎ 例如：‎ 在该正方体表面涂上漆，有三个面涂上漆的小正方体有几个？‎ 有两个面图上漆的小正方体有几个？‎ 有一个面涂上漆的小正方体有几个？‎ 没有涂上漆的小正方体有几个？‎ 图中，长方体共有（ ）个小正方体；其中两个面露在外面的小正方体共有（ ）个；没有露在外面的小正方体共有（ ）个。‎ 图二中三个图一次有（ ）、（ ）、（ ）小正方体组成。第二个长方体中有三个面在外面得正方体有（ ）个，两个面在外面的正方体有（ ）个，一个面在外面的有（ ）个，没有露在外面的小正方体（ ）。‎ 练习：‎ ‎ 挖去的小正方体在顶点位置，则大正方体的表面积不变，因为原来在顶点位置小正方体露在外面的面为3个，挖去后露出来的面也是3个，所以表面积不变。‎ ‎ 挖去的小正方体在棱的位置，则大正方体的表面积增加，因为原来在棱上的小正方体露在外面的面有2个，挖去后会露出4个面，所以表面积会增大。‎ ‎ 挖去的小正方体在面上，则大正方体的表面积也会增加，因为原来在面上的小正方体只有1个面露在外面，挖去后会露出5个面，所以表面积会增大。‎ 小正方体拼成的大正方体在取走一部分后表面积的变化 练习：‎ ‎（1）图一是由棱长是2厘米的小正方体拼成的立体图形，求这个立体图形的表面积。‎ ‎ ‎ ‎ 图一 图二 （2）图二用12个小正方体拼成的长方体中，如果拿掉带阴影部分的2个小正方体，它的表面比原来（ ）。‎ ‎【知识点7】单位换算 长度单位：mm、cm、dm、m 相邻两个单位进率为10‎ 面积单位：mm2、cm2、dm2、m2 相邻两个单位进率为100‎ 体积单位：mm3、cm3、dm3、m3 相邻两个单位进率为1000‎ 容积单位：ml、l 相邻两个单位进率为1000‎ 特别的：1ml=cm3 ‎1l=1dm3 1方=‎‎1m³‎ 不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。‎ 大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。‎ 高级单位 进率×高级单位的数 低级单位 低级单位的数÷进率 例如：手指尖约占了1立方厘米的空间，即它的体积约为1立方厘米。‎ ‎ 一个粉笔盒的体积约为1 dm³。‎ ‎ 建一游泳池，约要挖土6000方。‎ ‎ 1.36 dm³ =‎1360 cm³ ‎4.573m³‎ =4573 dm³‎ ‎ 一个烧杯约能装水500ml。‎ ‎ 520ml=‎0.52L ‎5.67L=5.67 dm³ =‎5670cm³‎ 练习：‎ ‎(1)3.2立方分米=（ ）立方厘米 500立方分米=（ ）立方米 ‎9立方米500立方分米=（ ）立方米=（ ）立方分米 ‎3.6升‎=（ ）毫升=（ ）立方厘米 ‎ ‎1700平方厘米=（ ）平方分米=（ ）平方米 ‎3升‎=（ ）毫升 2700毫升=（ ）升 ‎ ‎2.57升‎=（ ）毫升 640毫升=（ ）升 ‎2.8立方分米=(　　 )立方厘米   ‎0.8升=(　　 )毫升 ‎720立方分米=(　　　 )立方米  51000毫升= (     )升 ‎32立方厘米=(　　　 )立方分米      4.25立方米=(　　　 )立方分米=(　　　 )升 ‎2.7立方米=(　　 )升   1200毫升=(　　 )立方厘米  ‎ ‎1.24立方米=(　　 )升=(　　　 )毫升 ‎3.06升=（    ）升（    ）毫升 ‎40立方米＝（     ）立方分米 4立方分米5立方厘米＝（       ）立方分米 ‎30立方分米＝（      ）立方米 ‎0.85升＝（       ）毫升 ‎2100毫升＝（       ）立方厘米＝（       ）立方分米 ‎0.3升＝（       ）毫升＝（       ）立方厘米 例1 一个水池能装水‎400立方米，这是指（ ），占地‎2公顷指的是（ ）。‎ ‎ 一块橡皮擦的体积约是8( )。 一本书的封面约是2( )。‎ ‎ 运货集装箱的体积约是40( )。 一支钢笔长18( )。‎ ‎ 一台录音机的体积约是20( )。‎ 三、长方体和正方体的体积 ‎【知识点1】容积与体积基本概念 体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小。‎ 当容器壁厚度忽略不计时体积=容积；否则体积<容积。‎ 比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积。（容器壁忽略不计）‎ 体积计算方法：‎ 长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 长方体和正方体的体积=底面积×高=右面面积×长=前面面积×宽 体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等。‎ 体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等。‎ 体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大。‎ 练习：‎ （1） 判断：‎ ‎ 体积单位比面积单位大，面积单位比长度单位大． （       ）‎ ‎ 正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算．（      ）‎ ‎ 表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等．  （     ）‎ ‎ 长方体的体积就是长方体的容积．  （     ）‎ ‎（2）一个正方体的棱长和是12分米，它的体积是（       ）立方分米．‎ ‎（3）一个长方体的体积是30立方厘米，长是‎5厘米，高是‎3厘米，宽是（      ）厘米．‎ ‎（4）表面积是54平方厘米的正方体，它的体积是（       ）立方厘米．‎ ‎（5）一个长方体框架长‎8厘米，宽‎6厘米，高‎4厘米，做这个框架共要（       ）厘米铁丝，是求长方体（       ），在表面贴上塑料板，共 要（       ）塑料板是求（       ），在里面能盛（       ）升水是 求（       ），这个盒子有（       ）立方米是求（       ）．‎ ‎（6）长方体的长是‎6厘米，宽是‎4厘米，高是‎2厘米，它的棱长总和是 （       ）厘米，六个面中最大的面积是（       ）平方厘米，表面积是（       ）平方厘米，体积是（       ）立方厘米．‎ ‎（7）一个正方体棱长‎2厘米，体积是（　　　 ）立方厘米，如果这个正方体的棱长扩大2倍，它的体积是（　　　 ）立方厘米。‎ ‎（8）一个菜窖能容纳‎6立方米白菜，这个菜窖的（     ）是 ‎6立方米．‎ ‎（9）表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（      ）．‎ ‎ 　①正方体体积大　　②长方体体积大　　③相等 ‎（10）将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（         ）．‎ ‎　 　①体积相等，表面积不相等　　②体积和表面积都不相等．　　③表面积相等，体积不相等．‎ （11） 要制作140个棱长‎5厘米的正方体木块，至少需要木料多少立方分米？‎ ‎（12）某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？‎ （12） 长方体的长为‎12厘米，高为‎8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？‎ （13） 一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长‎3米，宽‎1.5米，深‎2米，每立方米沙子重‎1400千克，这个沙坑里共装沙子多少吨？‎ （14） 有一块面积为36平方分米的铁皮，将其制作成可以容纳最多物体的形状，其棱长是多少？可以容纳多少立方分米的物体？‎ ‎（15）一个长方形的底面是一个周长为16分米的正方形，它的表面积是96平方分米，这个长方体的体积是多少？‎ 1、 用一根12分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的体积是（ ）立方分米。 ‎ 2、 一个长方体，其中三个面的面积分别是15平方厘米，20平方厘米，12平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？‎ ‎【知识点2】体积大小的比较 对于液体可以直接比较体积的大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下。‎ 对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还需要比较物体的长宽高于容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器。‎ 例如：有一个长为8分米，高位5分米，体积为240平方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为7.4分米，高位4分米，宽为6.5分米，是否可以放入该容器？‎ 分析：单纯计算容器和陶瓷的体积我们可以发现：陶瓷体积<硬纸盒体积。但这并不意味着瓷器就可以装进盒子。‎ ‎ 我们还需要观察陶瓷长宽高于容器长宽高的大小。‎ ‎ 通过计算硬纸盒的长=8分米 宽=240÷（8×5）=6分米 高=5分米 ‎ 陶瓷的长=7.4分米 宽=6.5分米 高=4分米 ‎ 由此可以发现陶瓷的宽比盒子的宽大，所以即使在体积小于盒子的前提下，仍然是装不进去的。‎ 练习：‎ （1） 有一个长方形玻璃鱼缸长为5分米，宽为3分米，高为3分米里面装有2.5分米高的水，现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？‎ （2） 有一个长方体的硬纸盒，长为11分米，宽为15分米，高为6分米，现将一个长为12分米，宽为10分米，高为5分米长方体的礼品放入该盒子中，是否可以装的进去？‎ ‎【知识点3】‎ u 切割组合对体积的影响 将一个长方体或正方体任意的切割，切开后各部分的体积之和都等于原来长方体的体积。‎ 将几个长方体或正方体随机的组合，组合起来后的立体图形的体积都等于原来各部分的体积之和。‎ 也即切割和组合不会改变原来各部分的体积，只是各部分体积的相加。‎ 例如：将一块体积为30立方米的石头，切割成相同大小的石块刚好可以切出10块，每块石头的体积是多少？‎ 分析：根据切出的每块石头大小相同，可以知道每块石头的体积是相等的，而大石头的体积30立方米，一共贴出10块，所以每块石头的体积为：30÷10=3（立方米）‎ 练习：‎ （1） 将棱长为5厘米的20块小正方体拼成一个长方体，其体积最大是多少？表面积最大是多少？‎ u 根据切割组合对表面的影响来确定体积的变化 例如：把一个正方体木块截成两个相同的长方体后，表面积增加了32平方分米，原来正方体的表面积是（96）平方分米，体积是（64）立方分米。‎ 分析：根据正方体无论怎么切其都将增加两个完全相同的正方形面，而且每个面的大小都等于原来正方体一个面的面积。因此，正方体一个面的面积为32÷2=16（平方分米），原来正方体的表面积为16×6=96（平方分米），‎ 根据原来正方体一个面的面积=棱长×棱长=棱长的平方=16，可知4的平方=16所以原来正方体的棱长为4分米，所以，原来正方体的体积为4×4×4=64（立方分米）‎ 练习：‎ （1） 一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来的长方体的体积是多少立方厘米？‎ （2） 一个长方体，把它的高增加3厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来增加了１２０平方厘米，求原来的体积是多少？‎ ‎（3）一个长方体，把它的高减少５厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来减少了２００平方厘米，求原来的体积是多少？‎ ‎（4）一个长方体正好可以分成三个完全一样的正方体，如果切割下一个正方体，剩下的表面积比原来少了８０平方厘米，求原来长方体的表面积是多少？‎ （5） 一个棱长为１分米的正方体木块切割成棱长是１厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？‎ （6） 把一个棱长为１米的正方体木块切割成棱长是１分米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？‎ （7） 把一个棱长为１米的正方体木块切割成棱长是１厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？‎ （8） 一个长方体木箱，从里面量长0.6米，宽0.4米，高0.2米，这个长方体木箱内能装（ ）个棱长2分米的正方体物体。‎ （9） 一个长40厘米的长方体，它的横截面是正方形，如果长增加5厘米，表面积就增加80平方厘米，原长方体的体积是多少？‎ ‎【知识点4】砌墙类问题 例如：养殖场需要砌一堵长为30米，宽为24厘米，高位2.5米得墙，需要用长为30厘米，宽为15厘米，厚为5厘米的砖大约多少块？‎ 分析：首先我们需要将墙的体积算出=3000厘米×24厘米×250厘米=18000000平方厘米 ‎ 其次我们需要将每块砖的体积算出=30厘米×15厘米×5厘米=2250立方厘米 ‎ 我们只需要计算这堵墙的体积相当于每块砖体积的多少倍即为所需要砖的数量=18000000÷2250=8000（块）‎ 练习：‎ （1） 一块长1.2米,宽6分米,厚3分米的长方体木块,可以截出多少块棱长为3分米的正方体？‎ （2） 一段围墙长为15米，宽为38厘米，高为2.2米，砌这样的墙每平米大约需要385块砖，修这段围墙一共需要多少块砖？‎ （3） 一块钢材体积为2.7立方米，现在将其融化后重新铸成长为1米，底面积为225平方厘米的钢锭，一共可以铸多少块？‎ ‎【知识点5】填土抬高地面类问题 例如：‎ 如图，已知A部分面积为25平方米，B部分面积为36平方米，A处比B处高2米，如果将A处推到与B处同样高，B处大约可以被抬高多少米？A处大约下降多少米？‎ 分析：要使A、B两处地面高度相等，就相当于将A处部分体积分摊至AB两处，但分摊前后A部分体积并没有改变只是占地面积由原来A处面积变为AB两处的面积。‎ A部分体积=25×2=50立方米；分摊到AB两处后体积不变仍为50平方米=AB处面积和×B处抬高的高度，因此50=（25+36）×H解得H≈0.82米，‎ 所以B处可以被抬高大约0.82米，A处大约下降2－0.82=1.18米。‎ ‎ A ‎ B 练习：‎ （1） 一支修路队用90立方米的石子铺一段路，路宽为10米，铺3厘米厚，可以铺多长？‎ （2） 一个棱长是20分米的正方体玻璃容器装满水，然后把水倒入一个长25分米，宽16分米的长方体水箱内，求这时水深多少分米？‎ ‎（3）把一个棱长6分米的正方体钢锭熔铸成一个长方体钢锭，这个长方体长9分米，宽4分米，求这个长方体钢锭高多少分米？‎ ‎【知识点6】‎ Ø 不规则物体体积计算方法 不规则物体的体积由于无法确定其长、宽、高因此无法直接使用体积计算公式来计算其体积。一般不规则物体体积的测定方法采用排水法，也就是将物体放入盛满水的容器中，其排开水的体积就等于该物体的体积。‎ 例如：一个长方体的水槽长18厘米，宽12厘米，高10厘米，里面水深6厘米，将一个不规则的土豆放入后，水面上升到8厘米处，这个土豆的体积是多少？‎ 分析：根据物体排开水的体积等于物体的体积，可知在放入土豆前后水面高度分别为6厘米和8厘米，可见土豆排开水的高度为2厘米，因此土豆的体积就等于这部分水的体积=18×12×（8－6）=432平方厘米。‎ 练习：‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ 水面高度为1.5厘米，底面积为30平方分米 水面高度为5厘米 水面高度为6.5厘米 求每颗大球的体积是多少？每颗小球的体积是多少？‎ (2) 每粒玻璃球的体积是多少立方厘米？‎ ‎ ‎ ‎ 80立方厘米 160立方厘米 Ø 液面上升或下降类问题 练习：‎ （1） 一个长方体鱼缸，长８０厘米，宽６０厘米，深４０厘米，把一块长３０厘米，宽２４厘米，高１６厘米的铁块浸入在水中，水面将上升多少厘米?‎ （2） 在一个长６０厘米，宽５４厘米，深４５厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长１２厘米，宽１８厘米，高１５厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面将下降多少厘米？‎ （1） 一个长方体鱼缸，长８０厘米，宽６０厘米，深４０厘米，把一块长３０厘米，宽２４厘米，铁块浸入在水中，水面上升９厘米,求铁块的高。‎ （2） 在一个长６０厘米，宽５４厘米，深４５厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长１２厘米，宽１８厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面下降５厘米，求铁块的高。‎ （3） 一个长方体鱼缸，长８０厘米，宽６０厘米，深４０厘米，把一块底面边长为２０厘米，高为１２０厘米的铁块直立在水中，水面上升多少厘米？‎ （4） 一个长方体玻璃容器，从里面量长2分米，宽1.5分米，高1.8分米，里面盛了一半水，现在将体积为0.6立方分米的玻璃球全部浸入水中，这时水面高度多少分米？‎ ‎【知识点7】展开图形拼长方体或正方体 例如：用一张长60厘米，宽40厘米的长方形铁皮，做成一个无盖长方体盒子，做成盒子的容积是多少？‎ 思路一：从四个角上分别剪去一个边长为１０厘米的正方形后，观察思考做成的长方体长是（　　　　），宽是（　　　），高是多少？求出它的容积。‎ 思路二：从左边剪下两个边长为１０厘米的正方形，然后把这两个正方形焊接到右边，做成一个无盖的长方体，观察思考做成的长方体长是（　　　　），宽是（　　　），高是多少？求出它的容积。‎ 思路三：从这个长方体上先剪下一个连长为４０厘米的正方形做底面，然后把剩下的长方体平均分成四个长方形做前后左右面这样做成一个无盖长方体，观察思考做成的长方体长是（　　　　），宽是（　　　），高是多少？求出它的容积。‎ ‎【知识点9】棱长变化对体积的影响 Ø 正方体 正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；‎ 正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；‎ 正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。‎ Ø 长方体 长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍； ‎ 长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍； ‎ 长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。‎ 长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大a×b×c倍。‎ 长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×b倍 。‎ 长方体的宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大b×‎ c倍 。‎ 长方体的长扩大a倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×c倍 。‎ 练习：‎ ‎（1）正方体棱长扩大2倍，表面积扩大（ ）倍，体积扩大（ ）倍 ‎（2）长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，体积扩大（ ）倍。 5、一个棱长1米的大正方体能分成（ ）个棱长是1厘米的小正方体，如果把这些小正方体排成一排能排（ ）米。‎ ‎（3）一个表面积为36平方厘米的正方体木块，切成两个长方体，表面积增加了（ ）平方厘米。‎ ‎（4）一个正方体棱长缩小2倍，表面积缩小（ ）倍，体积缩小（ ）倍。‎ ‎（5）长方体的长、宽、高各缩小为原来的一半，它的体积会缩小为原来的（ ）倍。‎ ‎（6）长方体的长扩大为原来的2倍，宽不变，高缩小为原来的一半，体积（ ）。‎ ‎（7）一个长方体的底面积为14立方分米，如果它的高增加5分米，体积增加（ ）。‎ ‎（8）一个长方体的长是a米，宽是b米，高是h米，如果把它的高增加2米，新的长方体的体积比原来长方体的体积增加（ ）立方米。‎ 四、容积与体积的异同 ‎【知识点1】容积和体积的差异 相同点 不同点 容积 计算公式相同 V=sh V=abh 从容器内部测量 容积指容器内部体积 计量单位通常为L、ml 体积 从容器外部测量 体积指容器外部体积，或所容纳物体的体积 计量单位通常为m、dm、cm、mm 练习：‎ ‎（1）一个长方体鱼缸从外面量长宽高分别为5分米、2.5分米、3分米，，从里面量长宽高分别为4.9分米、2.4分米、2.9分米，这个鱼缸的容积是（ ），体积是（ ），如果鱼缸中装满水，水的体积是（ ）。‎ ‎（2）一个仓库能容纳150立方米的大米，这个仓库的（ ），是150立方米。‎ ‎【知识点2】也就是说容积≤体积 容积和体积的大小关系 一般情况下视为容积等于体积，其前提条件是容器壁厚度忽略不计。‎ 在考虑容器壁厚度的情况下，容积是比体积小的。‎ 练习：‎ （1） 一个长方体水箱，从外面量长5分2米，宽1.5米，高1米，水箱厚度为5厘米，将水箱内装满水，水的体积是多少？水箱的容积是多少？‎ ‎（2）一个长方体的水池，从里面量长是7.5米，比高长2.1米，宽比高多1.4米，若水池里的水面距水池底0.82米，水池里蓄了多少升水？‎