小学六年级奥数教案：第30讲 抽屉原理（二） 4页

第 30 讲 抽屉原理（二） 一、知识要点 在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素 总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式： 元素总数=商×抽屉数+余数 如果余数不是 0，则最小数=商+1；如果余数正好是 0，则最小数=商。 二、精讲精练 【例题 1】幼儿园里有 120 个小朋友，各种玩具有 364 件。把这些玩具分给小朋友，是 否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具？ 把 120 个小朋友看做是 120 个抽屉，把玩具件数看做是元素。则 364=120×3+4，4＜ 120。根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把 m×x×k（x＞k≥1）个元素放到 x 个抽屉里， 那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里有 3+1=4 个元素， 即有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具。 练习 1： 1、一个幼儿园大班有 40 个小朋友，班里有各种玩具 125 件。把这些玩具分给小朋友， 是否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具？ 2、把 16 枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于 6 枝。这是为什么？ 3、把 25 个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有 7 个球？ 【例题 2】布袋里有 4 种不同颜色的球，每种都有 10 个。最少取出多少个球，才能保证 其中一定有 3 个球的颜色一样？ 把 4 种不同颜色看做 4 个抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第（2）条，要使 其中一个抽屉里至少有 3 个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个数的 2 倍多 1。 即 2×4+1=9（个）球。列算式为（3—1）×4+1=9（个） 练习 2： 1、布袋里有组都多的 5 种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定有 3 个颜 色一样的球？ 2、一个容器里放有 10 块红木块、10 块白木块、10 块蓝木块，它们的形状、大小都一样。 当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有 4 块颜色相同，应至少取 出多少块木块？ 3、一副扑克牌共 54 张，其中 1—13 点各有 4 张，还有两张王的扑克牌。至少要取出几 张牌，才能保证其中必有 4 张牌的点数相同？ 【例题 3】某班共有 46 名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、 书法和英语，每人可参加 1 个、2 个、3 个或 4 个兴趣小组。问班级中至少有几名学生参加的 项目完全相同？ 参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有 4 种类型，只参加两个小组 的有 6 个类型，只参加三个组的有 4 种类型，参加四个组的有 1 种类型。把 4+6+4+1=15（种） 类型看做 15 个抽屉，把 46 个学生放入这些抽屉，因为 46=3×15+1，所以班级中至少有 4 名 学生参加的项目完全相同。 练习 3： 1、某班有 37 个学生，他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作文》三 种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同？ 2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个 （可以不参加）。某班有 52 名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，问：在 31 个搬运者中 至少有几人搬运的球完全相同？ 【例题 4】从 1 至 30 中，3 的倍数有 30÷3=10 个，不是 3 的倍数的数有 30—10=20 个， 至少要取出 20+1=21 个不同的数才能保证其中一定有一个数是 3 的倍数。 练习 4： 1、在 1，2，3，……49，50 中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个 数能被 5 整除？ 2、从 1 至 120 中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是 4 的倍数？ 3、从 1 至 36 中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是 5 的倍数？ 【例题 5】将 400 张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不能超过 11 张，试证明： 找少有七名同学得到的卡片的张数相同。 这题需要灵活运用抽屉原理。将分得 1，2，3，……，11 张可片看做 11 个抽屉，把同学 人数看做元素，如果每个抽屉都有一个元素，则需 1+2+3+……+10+11=66（张）卡片。而 400 ÷66=6……4（张），即每个周体都有 6 个元素，还余下 4 张卡片没分掉。而这 4 张卡片无论 怎么分，都会使得某一个抽屉至少有 7 个元素，所以至少有 7 名同学得到的卡片的张数相同。 练习 5： 1、把 280 个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过 10 个。证明：无论怎样分，至少有 6 只猴子得到的桃一样多。 2、把 61 颗棋子放在若干个格子里，每个格子最多可以放 5 颗棋子。证明：至少有 5 个 格子中的棋子数目相同。 3、汽车 8 小时行了 310 千米，已知汽车第一小时行了 25 千米，最后一小时行了 45 千米。 证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了 80 千米。