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  • 2022-02-10 发布

小学六年级奥数教案:第30讲 抽屉原理(二)

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第 30 讲 抽屉原理(二) 一、知识要点 在抽屉原理的第(2)条原则中,抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加,当元素 总数达到抽屉数的若干倍后,可用抽屉数除元素总数,写成下面的等式: 元素总数=商×抽屉数+余数 如果余数不是 0,则最小数=商+1;如果余数正好是 0,则最小数=商。 二、精讲精练 【例题 1】幼儿园里有 120 个小朋友,各种玩具有 364 件。把这些玩具分给小朋友,是 否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具? 把 120 个小朋友看做是 120 个抽屉,把玩具件数看做是元素。则 364=120×3+4,4< 120。根据抽屉原理的第(2)条规则:如果把 m×x×k(x>k≥1)个元素放到 x 个抽屉里, 那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里有 3+1=4 个元素, 即有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具。 练习 1: 1、一个幼儿园大班有 40 个小朋友,班里有各种玩具 125 件。把这些玩具分给小朋友, 是否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具? 2、把 16 枝铅笔放入三个笔盒里,至少有一个笔盒里的笔不少于 6 枝。这是为什么? 3、把 25 个球最多放在几个盒子里,才能至少有一个盒子里有 7 个球? 【例题 2】布袋里有 4 种不同颜色的球,每种都有 10 个。最少取出多少个球,才能保证 其中一定有 3 个球的颜色一样? 把 4 种不同颜色看做 4 个抽屉,把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第(2)条,要使 其中一个抽屉里至少有 3 个颜色一样的球,那么取出的球的个数应比抽屉个数的 2 倍多 1。 即 2×4+1=9(个)球。列算式为(3—1)×4+1=9(个) 练习 2: 1、布袋里有组都多的 5 种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定有 3 个颜 色一样的球? 2、一个容器里放有 10 块红木块、10 块白木块、10 块蓝木块,它们的形状、大小都一样。 当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时,为确保取出的木块中至少有 4 块颜色相同,应至少取 出多少块木块? 3、一副扑克牌共 54 张,其中 1—13 点各有 4 张,还有两张王的扑克牌。至少要取出几 张牌,才能保证其中必有 4 张牌的点数相同? 【例题 3】某班共有 46 名学生,他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、 书法和英语,每人可参加 1 个、2 个、3 个或 4 个兴趣小组。问班级中至少有几名学生参加的 项目完全相同? 参加课外兴趣小组的学生共分四种情况,只参加一个组的有 4 种类型,只参加两个小组 的有 6 个类型,只参加三个组的有 4 种类型,参加四个组的有 1 种类型。把 4+6+4+1=15(种) 类型看做 15 个抽屉,把 46 个学生放入这些抽屉,因为 46=3×15+1,所以班级中至少有 4 名 学生参加的项目完全相同。 练习 3: 1、某班有 37 个学生,他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作文》三 种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同? 2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班,每个学生最多可以参加两个 (可以不参加)。某班有 52 名同学,问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同? 3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球,每人任意搬运两个,问:在 31 个搬运者中 至少有几人搬运的球完全相同? 【例题 4】从 1 至 30 中,3 的倍数有 30÷3=10 个,不是 3 的倍数的数有 30—10=20 个, 至少要取出 20+1=21 个不同的数才能保证其中一定有一个数是 3 的倍数。 练习 4: 1、在 1,2,3,……49,50 中,至少要取出多少个不同的数,才能保证其中一定有一个 数能被 5 整除? 2、从 1 至 120 中,至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是 4 的倍数? 3、从 1 至 36 中,最多可以取出几个数,使得这些数中没有两数的差是 5 的倍数? 【例题 5】将 400 张卡片分给若干名同学,每人都能分到,但都不能超过 11 张,试证明: 找少有七名同学得到的卡片的张数相同。 这题需要灵活运用抽屉原理。将分得 1,2,3,……,11 张可片看做 11 个抽屉,把同学 人数看做元素,如果每个抽屉都有一个元素,则需 1+2+3+……+10+11=66(张)卡片。而 400 ÷66=6……4(张),即每个周体都有 6 个元素,还余下 4 张卡片没分掉。而这 4 张卡片无论 怎么分,都会使得某一个抽屉至少有 7 个元素,所以至少有 7 名同学得到的卡片的张数相同。 练习 5: 1、把 280 个桃分给若干只猴子,每只猴子不超过 10 个。证明:无论怎样分,至少有 6 只猴子得到的桃一样多。 2、把 61 颗棋子放在若干个格子里,每个格子最多可以放 5 颗棋子。证明:至少有 5 个 格子中的棋子数目相同。 3、汽车 8 小时行了 310 千米,已知汽车第一小时行了 25 千米,最后一小时行了 45 千米。 证明:一定存在连续的两小时,在这两小时内汽车至少行了 80 千米。

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