2020年通用版小升初数学总复习解决问题 113页

应用 （一）整数和小数的应用 1 简单应用题 （1） 简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通 常叫做简单应用题。 （2） 解题步骤： a 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边 读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。 b 选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手， 逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并 标明正确的单位名称。 C 检验： 就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确， 是否符合 题意。如果发现错误，马上改正。 2 复合应用题 （1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通 常叫做复合应用题。 （2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。 求比两个数的和多（少）几个数的应用题。 比较两数差与倍数关系的应用题。 （3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。 已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）。 已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。 （4）解答连乘连除应用题。 （5）解答三步计算的应用题。 （6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量 关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。 d 答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。 ( 3 ) 解答加法应用题： a 求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。 b 求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。 (4 ) 解答减法应用题： a 求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。 -b 求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙 数比甲数少多少。 c 求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。 (5 ) 解答乘法应用题： a 求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。 b 求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数 是多少。 ( 6) 解答除法应用题： a 把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份 的，求每一份是多少。 b 求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。 C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的 几倍。 d 已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。 （7）常见的数量关系： 总价 = 单价 ×数量 路程 = 速度 ×时间 工作总量 =工作时间 ×工效 总产量 =单产量 ×数量 3 典型应用题 具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。 （1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。 算术平均数： 已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数， 求平均每份是多少。 数量关系 式：数量之和 ÷数量的个数 =算术平均数。 加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。 数量关系式 （部分平均数 ×权数）的总和 ÷（权数的和） =加权平均数。 差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数 相差之和的平均数。 数量关系式：（大数－小数） ÷2=小数应得数 最大数与各数之差的和 ÷总份数 =最大数应 给数 最大数与个数之差的和 ÷总份数 =最小数应得数。 例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米 的 速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。 分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为 “ 1 ”，则 汽车行驶的总路程为 “ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100 ，所用的时间为 ，汽车从乙地到 甲地速度为 60 千米 ，所用的时间是 ，汽车共行的时间为 + = , 汽车的平均速度 为 2 ÷ =75 （千米） （2） 归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变 化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。 根据求 “单一量 ”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。 根据球痴单一量之后， 解题采用乘法还是除法， 归一问题可以分为正归一问题， 反归一问题。 一次归一问题，用一步运算就能求出 “单一量 ”的归一问题。又称 “单归一。 ” 两次归一问题，用两步运算就能求出 “单一量 ”的归一问题。又称 “双归一。 ” 正归一问题：用等分除法求出 “单一量 ”之后，再用乘法计算结果的归一问题。 反归一问题：用等分除法求出 “单一量 ”之后，再用除法计算结果的归一问题。 解题关键： 从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量 （单一量） ，然后以它为标准， 根据题目的要求算出结果。 数量关系式：单一量 ×份数 =总数量（正归一） 总数量 ÷单一量 =份数（反归一） 例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多 少天？ 分析： 必须先求出平均每天织布多少米， 就是单一量。 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天） （3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数 量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。 特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和 反比例算法彼此相通。 数量关系式： 单位数量 ×单位个数 ÷另一个单位数量 = 另一个单位数量 单位数量 ×单位 个数 ÷另一个单位数量 = 另一个单位数量。 例 修一条水渠， 原计划每天修 800 米 ，6 天修完。 实际 4 天修完， 每天修了多少米？ 分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做 “归 总问题 ”。不同之处是 “归一 ”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一 量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米） （4） 和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做 和差问题。 解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个 数。 解题规律：（和＋差） ÷2 = 大数 大数－差 =小数 （和－差） ÷2=小数 和－小数 = 大数 例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这 时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？ 分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到现在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在调出 46 人之前 应该为 41+46=87 （人），甲班为 9 4 － 87=7 （人） （5）和倍问题： 已知两个数的和及它们之间的倍数 关系， 求两个数各是多少的应用题， 叫 做和倍问题。 解题关键： 找准标准数 （即 1 倍数） 一般说来， 题中说是 “谁 ”的几倍， 把谁就确定为标准数。 求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的 倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。 解题规律：和 ÷倍数和 =标准数 标准数 ×倍数 =另一个数 例 :汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小 汽车各有多少辆？ 分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。 列式为（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （辆）， 18 × 5+7=97 （辆） （6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。 解题规律：两个数的差 ÷（倍数－ 1 ）= 标准数 标准数 ×倍数 =另一个数。 例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果 甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？ 分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳 多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米） ⋯乙绳 剩下的长度， 17 × 3=51 （米） ⋯甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米） ⋯ 剪去的长度。 （7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。 解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们 之间的关系，再根据这类问题的规律解答。 解题关键及规律： 同时同地相背而行：路程 =速度和 ×时间。 同时相向而行：相遇时间 =速度和 ×时间 同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间 =路程速度差。 同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程 =速度差 ×时间。 例 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时 行 9 千米 ，甲几小时追上乙？ 分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这 是速度差。 已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程） ， 28 千米 里包含着几个 （ 16-9 ）千米， 也就是追击所需要的时间。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小时） （8）流水问题：一般是研究船在 “流水 ”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类 型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。 船速：船在静水中航行的速度。 水速：水流动的速度。 顺水速度：船顺流航行的速度。 逆水速度：船逆流航行的速度。 顺速 =船速＋水速 逆速 =船速－水速 解题关键： 因为顺流速度是船速与水速的和， 逆流速度是船速与水速的差， 所以流水问题当 作和差问题解答。 解题时要以水流为线索。 解题规律：船行速度 =（顺水速度 + 逆流速度） ÷2 流水速度 =（顺流速度 -逆流速度） ÷2 路程 =顺流速度 × 顺流航行所需时间 路程 =逆流速度 ×逆流航行所需时间 例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行， 回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米 。求甲乙两地相距多少千 米？ 分析： 此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间， 或者逆水速度和逆水的时间。 已知 顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不 知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的 所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小时） 28 × 5=140 （千米）。 （9） 还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用 题，我们叫做还原问题。 解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。 解题规律： 从最后结果 出发， 采用与原题中相反的运算 （逆运算） 方法， 逐步推导出原数。 根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。 解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。 例 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班， 二班调 6 人到一班， 一班调 2 人到四班， 则四个班的人数相等， 四个班原有学生多少人？ 分析：当四个班人数相等时，应为 168 ÷ 4 ，以四班为例，它调给三班 3 人，又从一班调 入 2 人，所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。 四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43 （人） 一班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人数列式为 168 ÷4-6+6=42 （人） 三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。 （10）植树问题：这类应用题是以 “植树 ”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种 数量关系的应用题，叫做植树问题。 解题关键： 解答植树问题首先要判断地形， 分清是否封闭图形， 从而确定是沿线段植树还是 沿周长植树，然后按基本公式进行计算。 解题规律：沿线段植树 棵树 =段数 +1 棵树 =总路程 ÷株距 +1 株距 =总路程 ÷（棵树 -1） 总路程 =株距 ×（棵树 -1） 沿周长植树 棵树 =总路程 ÷株距 株距 =总路程 ÷棵树 总路程 =株距 ×棵树 例 沿公路一旁埋电线杆 301 根， 每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装， 只埋 了 201 根。求改装后每相邻两根的间距。 分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为 50 ×（ 301-1 ） ÷（ 2 01-1 ） =75 （米） （11 ）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。 他的特点是把一定数量的物品，平 均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都 不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。 解题关键： 盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差， 再求两次 分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数， 进而再求得物品数。 解题规律：总差额 ÷每人差额 =人数 总差额的求法可以分为以下四种情况： 第一次多余，第二次不足，总差额 =多余 + 不足 第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额 =多余或不足 第一次多余，第二次也多余，总差额 =大多余 -小多余 第一次不足，第二次也不足， 总差额 = 大不足 -小不足 例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支， 如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？ 分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔多出 了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 个人多出 20 支，一个人分得 10 支。列式为（ 25-5 ）÷（ 1 2-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。 （12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为 “年龄问 题”。 解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不 断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种 “差不变 ”的问题， 解题时，要善于利用差不变的特点。 例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？ 分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子 年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲 的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年） （13）鸡兔问题：已知 “鸡兔 ”的总头数和总腿数。求 “鸡 ”和 “兔 ”各多少只的一类应用题。通 常称为 “鸡兔问题 ”又称鸡兔同笼问题 解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是 “鸡 ”或全是 “兔 ”，然 后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。 解题规律：（总腿数－鸡腿数 ×总头数） ÷一只鸡兔腿数的差 =兔子只数 兔子只数 =（总腿数 -2 ×总头数） ÷2 如果假设全是兔子，可以有下面的式子： 鸡的只数 =（ 4×总头数 -总腿数） ÷2 兔的头数 =总头数 -鸡的只数 例 鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只？ 兔子只数 （ 170-2 × 50 ） ÷2 =35 （只） 鸡的只数 50-35=15 （只） （二）分数和百分数的应用 1 分数加减法应用题： 分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、 数量关系和解题方法基本相同， 所不同 的只是在已知数或未知数中含有分数。 2 分数乘法应用题： 是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。 特征：已知单位 “1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。 解题关键：准确判断单位 “1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的 意义正确列式。 （一） 主要内容 求一个数比另一个数多（少）百分之几、纳税问题 学习目标 1、使学生在现实情境中，理解并掌握“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的基本思 考方法，并能正确解决相关的实际问题。 2、使学生在探索“求一个数比另一个数多（少）百分之几”方法的过程中，进一步加深对 百分数的理解，体会百分数与日常生活的密切联系，增强自主探索和合作交流的意识， 提高分析问题和解决问题的能力。 3、使学生初步认识纳税和税率，理解和掌握应纳税额的计算方法。 4、初步培养学生的纳税意识，继续感知数学就在身边，提高知识的应用能力。 5、培养和解决简单的实际问题的能力，体会生活中处处有数学。 考点分析 1、一个数比另一个数多 （少）百分之几 = 一个数比另一个数多 （少） 的量÷另一个数。 2、应该缴纳的税款叫做应纳税额， 应纳税额与各种收入的比率叫做税率， 应纳税额 = 收入 × 税率 典型例题 例 1、（解决“求一个数比另一个数多百分之几”的实际问题） 向阳客车厂原计划生产客车 5000 辆， 实际生产 5500 辆。 实际比计划多生产百分之几？ 分析与解： 要求“实际比计划多生产百分之几” ，就是求实际比计划多生产的辆数占计划产 量的百分之几，把原计划产量看作单位“ 1”。两者之间的关系可用线段图表示。 计划产量 5000 辆 实际比计划多的 实际产量 5500 辆 解答： 方法 1： 5500 – 5000 = 500 （辆） ⋯⋯ 实际比计划多生产 500 辆 500 ÷ 5000 = 0.1 = 10 ％ ⋯⋯ 实际比计划多生产百分之几 方法 2： 5500 ÷ 5000 = 110 ％ ⋯⋯ 实际产量相当于原计划的 110％ 110％ - 100 ％ = 10 ％ ⋯⋯ 实际比计划多生产百分之几 答： 实际比计划多生产 10％。 例 2、（解决“求一个数比另一个数少百分之几”的实际问题） 向阳客车厂原计划生产客车 5000 辆， 实际生产 5500 辆。 计划比实际少生产百分之几？ 分析与解： 要求“计划比实际少生产百分之几” ，就是求计划比实际少生产的辆数占实际产 量的百分之几，把实际产量看作单位“ 1”。两者之间的关系可用线段图表示。 计划产量 5000 辆 计划比实际少的 实际产量 5500 辆 解答： 方法 1： 5500 – 5000 = 500 （辆） ⋯⋯ 计划比实际少生产 500 辆 500 ÷ 5500 ≈ 9.1 ％ ⋯⋯ 计划比实际少生产百分之几 方法 2： 5500 ÷ 5500 ≈ 90.9 ％ ⋯⋯ 计划产量相当于实际的 90.9 ％ 100％ - 90.9 ％ ≈ 9.1 ％ ⋯⋯ 计划比实际少生产百分之几 答： 计划比实际少生产 9.1 ％。 点评： 想一想，在分数乘法应用题中的最基本的数量关系式： “单位 1 × 分率 = 分率对应 的量”，如果和百分数应用题结合起来，求一种量比另一种量多（少）百分之几，实 际上就是求分率。就用“多（少）的量 ÷ 单位 1”。 例 3、（难点突破） 一筐苹果比一筐梨重 20％，那么一筐梨就比一筐苹果轻 20％ 分析与解： 苹果比梨重 20％，表示苹果比梨重的部分占梨的 20％，把梨的质量看作单位 “1”； 而梨比苹果轻 20％则表示梨比苹果轻的部分占苹果的 20％，把苹果的质量看作 单位“ 1”，两个单位“ 1”不同，切忌将两个问题混为一谈。一筐苹果比一筐梨 重 20％，是把梨看作单位“ 1”，梨有 100 份，苹果就是 100 + 20 = 120 份；一 筐梨比一筐苹果轻百分之几 = 一筐梨比一筐苹果轻的部分 ÷ 苹果 = （120 - 100）÷ 120 ≈16.7 ％ 答： 一筐苹果比一筐梨重 20％，那么一筐梨就比一筐苹果轻 16.7 ％ 点评： 在求一个数比另一个数多 （少）百分之几的百分数应用题中， 关键还是要找准单位 “ 1” 的量。从结论可以得出“一个数比另一个数多百分之几，另一个数就比一个数少百分 之几。”这句话是错的。为什么呢？把两个百分之几比较一下，就可以得出这两个百分 之几对应的量是一个数比另一个数多的量或另一个数比一个数少的量，而这两种说法 是相同的，也就表示的是同一个量；而单位“ 1”一个是梨，一个是苹果，所以这两个 百分之几是不可能相等的。 例 4、（考点透视） 一种电子产品，原价每台 5000 元，现在降低到 3000 元。降价百分之几？ 分析与解： 降低到 3000 元，即现价为 3000 元，说明降低了 2000 元。求降价百分之几，就 是求降低的价格占原价的百分之几。 5000 – 3000 = 2000 （元） 2000 ÷ 5000 = 40 ％ 答： 降价 40﹪。 例 5、（考点透视） 一项工程，原计划 10 天完成，实际 8 天就完成了任务，实际每天比原计划多修百分之 几？ 分析与解： 根据 “原计划 10 天完成” ，可以得到： 原计划每天完成这项工程的 10 1 ；根据 “实 际 8 天完成” ，可以得到：实际每天完成这项工程的 8 1 。用“实际比原计划每天 多完成的量 ÷ 原计划每天完成的量” ，就可以求出实际每天多修百分之几。 （ 8 1 - 10 1 ） ÷ 10 1 = 25 ％ 答： 实际每天比原计划多修 25％。 点评： 找准解决问题的数量关系式是解答好这一题的关键， 题目中要求的是每天完成的任务 量，而不能用 10 和 8 去求，因为 10 和 8 是工作时间，在解答时容易发生错误。 例 6、（应纳税额的计算方法） 益民五金公司去年的营业总额为 400 万元。如果按营业额的 3％缴纳营业税，去年应缴 纳营业税多少万元？ 分析与解： 如果按营业额的 3％缴纳营业税，是把营业额看作单位“ 1”。 缴纳营业税占营 业额的 3％，即 400 万元的 3％。求一个数的百分之几是多少，也用乘法计算。计算时可将百分数 化成分数或小数来计算。 400×3％ = 400 × 100 3 = 12 （万元） 或 400×3％ = 400 × 0.03 = 12 （万元） 答： 去年应缴纳营业税 12 万元。 点评： 在现实社会中， 各种税率是不一样的。 应纳税额的计算从根本上讲是求一个数的百分 之几是多少。 例 7、（和应纳税额有关的简单实际问题） 王叔叔买了一辆价值 16000 元的摩托车。按规定，买摩托车要缴纳 10％的车辆购置税。 王叔叔买这辆摩托车一共要花多少钱？ 分析与解： 王叔叔买这辆摩托车所需的钱应包含购买价和 10％的车辆购置税两部分，而车 辆购置税是占摩托车购买价的 10％，可先算出要缴纳的车辆购置税。也可以这 样想：车辆购置税占购买价的 10％，把购买价看作单位“ 1”，王叔叔买这辆摩 托车所需的钱相当于购买价的（ 1 + 10 ％），即求 16000 元的 110％是多少，也 用乘法计算。 方法 1：16000 ×10％ + 16000 = 1600 + 16000 = 17600 （元） 方法 2：16000 ×（ 1 + 10 ％） = 16000 ×1.1 = 17600 （元） 答： 王叔叔买这辆摩托车一共要花 17600 元钱。 例 8、扬州某风景区 2007 年“十一”黄金周接待游客 9 万人次，门票收入达 270 万元。按门票的 5％缴纳营业税计算， “十一”黄金周期间应缴纳营业税 0.45 万元。 分析与解： 营业税是按门票的 5％缴纳，是占门票收入的 5％，而不是占游客人数的 5％ 答：“十一”黄金周期间应缴纳营业税 13.5 万元。 模拟试题 一、填空。 1、篮球个数是足球的 125％，篮球比足球多（ ）％，足球个数是篮球的（ ）％，足球 个数比篮球少（ ）％。 2、排球个数比篮球多 18％，排球个数相当于篮球的（ ）％。 3、足球个数比篮球少 20％。排球个数比篮球多 18％，（ ）球个数最多， （ ）球个数 最少。 4、果园里种了 60 棵果树，其中 36 棵是苹果树。苹果树占总棵数的（ ）％，其余的果树 占总棵数的（ ）％。 5、女生人数占全班的百分之几 = （ ）÷ （ ） 杨树的棵数比柏树多百分之几 = （ ）÷ （ ） 实际节约了百分之几 = （ ）÷ （ ） 比计划超产了百分之几 = （ ）÷ （ ） 6、20 的 40％是（ ），36 的 10％是（ ），50 千克的 60％是（ ）千克， 800 米的 25％是（ ）米。 7、进口价ａ元的一批货物， 税率和运费都是货物价值的 10％，这批货物的成本是 （ ） 元。 二、解决实际问题 1、白兔有 25 只，灰兔有 30 只。灰兔比白兔多百分之几？ 2、四美食盐厂上月计划生产食盐 450 吨，实际生产了 480 吨。实际比计划多生产了百 分之几？ 3、小明家八月份用电 80 千瓦时，小亮家比小明家节约 10 千瓦时，小亮家比小明家八月份 节约用电百分之几？ 4、某化肥厂 9 月份实际生产化肥 5000 吨，比计划超产 500 吨。比计划超产百分之几？ 5、蓝天帽业厂去年收入总额达 900 万元，按国家的税率规定，应缴纳 17％的增值税。 一共要缴纳多少万元的增值税？ 6、爸爸买了一辆价值 12 万元的家用轿车。按规定需缴纳 10％的车辆购置税。爸爸买 这辆车共需花多少钱？ （二） 主要内容： 应用百分数解决实际问题：利息、折扣问题 学习目标： 1、了解储蓄的含义。 2、理解本金、利率、利息的含义。 3、掌握利息的计算方法，会正确地计算存款利息。 4、进一步掌握折扣的有关知识及计算方法。 5、使学生进一步积累解决问题的经验，增强数学的应用意识。 考点分析 1、存入银行的钱叫做本金，取款时银行除还给本金外，另外付给的钱叫做利息，利息占本 金的百分率叫做利率。 2、利息 =本金×利率×时间。 3、几折就是十分之几，也就是百分之几十。 4、商品现价 = 商品原价 × 折数。 四、典型例题 例 1、（解决税前利息） 李明把 500 元钱按三年期整存整取存入银行，到期后应得利息 多少元？ 存期（整存整取） 年利率 一年 3.87 ％ 二年 4.50 ％ 三年 5.22 ％ 分析与解： 根据储蓄年利率表，三年定期年利率 5.22 ％。 税前应得利息 = 本金 × 利率 × 时间 500 × 5.22 ％ × 3 = 78.3 （元） 答： 到期后应得利息 78.3 元。 例 2、（解决税后利息） 根据国家税法规定， 个人在银行存款所得的利息要按 5％的税率缴纳利息税。 例 1 中纳税后李明实得利息多少元？ 分析与解： 从应得利息中扣除利息税剩下的就是实得利息。 税后实得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×（ 1 - 5 ％） 500 × 5.22 ％ × 3 = 78.3 （元） ⋯⋯ 应得利息 78.3 × 5 ％ = 3.915 （元） ⋯⋯ 利息税 78.3 – 3.915 = 74.385 ≈ 74.39 （元） ⋯⋯ 实得利息 或者 500 × 5.22 ％ × 3 × （1 - 5％） = 74.385 （元）≈ 74.39 （元） 答： 纳税后李明实得利息 74.39 元。 例 3、 方明将 1500 元存入银行，定期二年，年利率是 4.50 ％。两年后方明取款时要按 5％ 缴纳 利息税，到期后方明实得利息多少元？ 错误解答： 1500 × 4.50 ％ ×（ 1 - 5 ％） = 64.125 （元）≈ 64.13 （元） 分析原因： 税后实得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×（ 1 - 5 ％），这里漏乘了时间。 正确解答： 1500 × 2 × 4.50 ％ ×（ 1 - 5 ％） = 128.25 （元） 答： 到期后方明实得利息 128.25 元。 点评： 求利率根据实际情况有时要扣掉利息税，根据国家规定利息税的税率是 5％，所以利 息分税前利息和税后利息，在做题时要注意区分。但也有一些是不需要缴利息税的， 比如：国家建设债券、教育储蓄等。 例 4、（求折扣） 一本书现价 6.4 元，比原价便宜 1.6 元。这本书是打几折出售的？ 分析与解： 打了几折是求实际售价是原价的百分之几，只要用实际售价除以原价。 6.4 + 1.6 = 8 （元） 6.4 ÷ 8 = 80 ％ = 八折 答： 这本书是打八折出售的。 点评： 几折就是百分之几十，几几折就是百分之几十几，同一商品打的折数越低，售价也就 越低。在折数的题目中，打几折就是按原价的百分之几十出售，它并不代表增加或 减少的数额。 例 5、（已知折扣求原价） “国庆”商场促销，一套西服打八五折出售是 1020 元，这套西服原价多少元？ 分析与解： 打八五折出售，即实际售价相当于原价的 85％。已知原价的 85％是 1020 元， 要 求原价是多少，可以列方程解答。 原价 × 85 ％ = 实际售价 解： 设这套西服原价ｘ元。 ｘ × 85 ％ = 1020 ｘ = 1020 ÷ 85 ％ ｘ = 1200 检验： （1）用现价除以原价看是否打了八五折。 1020 ÷ 1200 = 0.85 = 85 ％ （2）看原价的 85％是不是 1020 元。 1200 × 85 ％ = 1020 （元） 经检验，答案符合题意。 答： 这套西服原价 1200 元。 例 6、一台液晶电视 6000 元，若打七五折出售，可降价 2000 元。 分析原因： 6000 元为原价，打七五折出售，要先算出实际售价再相减，或者先算出降价部 分占原价的 25％。 正确解答： 6000 - 6000 ×75％ = 1500 （元） 或 6000×（ 1 - 75 ％） = 1500 （元） 答： 可降价 1500 元。 例 7、（和应纳税额有关的简单实际问题） 一批电冰箱，原来每台售价 2000 元，现促销打九折出售，有一顾客购买时，要求再打 九折，如果能够成交，售价是多少元？ 分析与解： “促销打九折出售”就是按原价的百分之九十出售，用“原价× 90％”，“再打九 折”是在促销价的基础上打九折，要用促销价乘 90％。 2000× 90 ％ × 90 ％ = 1800 × 90 ％ = 1620 （元） 答： 如果能够成交，售价是 1620 元。 点评： 题目的关键是“再打九折”表示的意思是在促销价的基础上再打九折，单位“ 1”的 量是促销价，即原价打九折后的价钱，这是易错点，要多加注意。 例 8、（考点透视） 商店以 40 元的价钱卖出一件商品， 亏了 20％。这件商品原价多少元， 亏了多少元？ 分析与解： 以 40 元的价钱卖出，说明实际售价是 40 元；亏了 20％，即亏了原价的 20％， 因此实际售价相当于原价的（ 1 - 20 ％）。 解： 设这件商品原价ｘ元。 ｘ × （1 - 20 ％） = 40 ｘ × 80 ％ = 40 ｘ = 50 50 × 20 ％ = 10 （元） 答： 这件商品原价 50 元，亏了 10 元。 例 9、（考点透视） 某商店同时卖出两件商品，每件各得 30 元，其中一件盈利 20％，另一件亏本 20％。 这个商店卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本？具体是多少？ 分析与解： 盈利 20％，即售出价是成本价的（ 1 + 20％）；亏本 20％，即售出价是成本价的 （1 - 20 ％）。两件商品的售出价都是 30 元，可分别算出两件商品的成本价。 30 ÷（ 1 + 20 ％） = 25 （元） 30 ÷（ 1 - 20 ％） = 37.5 （元） 25 + 37.5 = 62.5 （元） 62.5 – 60 = 2.5 （元） 答： 这个商店卖出这两件商品总体上是亏本，亏本 2.5 元。 模拟试题 1、李叔叔于 2000 年 1 月 1 日在银行存了活期储蓄 1000 元， 如果每月的利率是 0.165 ％， 存款三个月时，可得到利息多少元 ?本金和利息一共多少元 ? 2、叔叔今年存入银行 10 万元，定期二年，年利率 4.50% ，二年后到期，扣除利息税 5% ， 得到的利息能买一台 6000 元的电脑吗？ 3、小华妈妈是一名光荣的中国共产党员，按党章规定，工资收入在 400-600 元的，每月党 费应缴纳工资总额的 0.5%，在 600-800 元的应缴纳 1%，在 800-1000 元的， 应缴纳 1.5%， 在 1000 以上的应缴纳 2%，小华妈妈的工资为 2400 元，她这一年应缴纳党费多少元？ 4、填空： 八折 =（ ）% 九五折 =（ ）% 40% =（ ）折 75% = （ ）折 5、只列式不计算。 ①买一件 T 恤衫，原价 80 元，如果打八折出售是多少元？ ②有一种型号的手机，原价 1000 元，现价 900 元，打几折出售？ ③老师在商店里花了 56 元钱买了一条牛仔裤，因为那儿的牛仔裤正在打七折销售。这条牛 仔裤原价多少元？ 6、算出折数。 ⑴在日常生活中打“折”现象随处可见。这儿有一家快餐店也在搞促销，你能算出这些美食 分别打几折吗？每人可任选一种计算一下。 ①食品原价 4 元，现价 3 元。 ②食品原价 5 元，现价 4 元。 ③食品原价 10 元，现价 7 元。 7、常熟新开了一家永乐生活电器，“十·一”节日期间，那里的商品降价幅度很大。有一 种款式的 MP3，原价 280 元，现在打三折出售。根据这个信息，你想计算什么？ ①现价多少元？ ②现价比原价便宜了多少元？ 改编：（ 1）有一种款式的 MP3 ，打三折出售是 84 元，原价多少元？ （ 2）有一种款式的 MP3 ，打三折出售比原价便宜了 196 元，原价多少元？ 8、一种矿泉水，零售每瓶卖 2 元，生产厂家为感谢广大顾客对产品的厚爱，特开展“买四 赠一”大酬宾活动，生产厂家的做法优惠了百分之几？ (注意解题策略的多样性。 ) 9、一辆自行车 200 元，在原价基础上打八折，小明有贵宾卡，还可以再打九折，小明买这 辆车花了多少钱？ 10、小红在书店买了两本打八折出售的书，共花了 12 元，小红买这两本书便宜了多少 钱。 （三） 主要内容 列方程解稍复杂的百分数实际问题 学习目标 1、引导学生在已学会的一些基本的百分数实际问题的基础上，引出列方程解一些稍复杂的 百分数实际问题的方法。 2、能根据题中的信息，熟练地找出基本的数量关系，培养学生的分析解题能力。 3、通过练习，沟通百分数和分数的联系，提高学生解决相关问题的能力。 考点分析 1、解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、 解题方法完全相同。 2、用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量，找出数量间的相等关系。根据求一 个数的百分之几是多少用乘法列方程求解，或者根据除法的意义，直接解答。 3、“已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数”的实际问题，可以根据数量间 的相等关系列方程求解；或者根据除法的意义，直接解答。 4、灵活运用本单元所学知识， 、解决稍复杂的百分数实际问题，沟通分数、百分数应用题之 间的联系。 典型例题 例 1、（列方程解答和倍问题） 一根绳子长 48 米，截成甲、乙两段，其中乙绳长度是甲绳的 60％。甲、乙两绳各长多 少米？ 分析与解： 乙绳长度是甲绳的 60％，把甲绳长度看作单位“ 1”。 ｘ米 甲绳 | （ ）米 | 48 米 乙绳 乙绳是甲绳的 60％ 等量关系式：甲绳长度 + 乙绳长度 = 总长度 解答： 设甲绳长ｘ米，则乙绳长 60％ｘ米。 ｘ + 60 ％ｘ = 48 1.6 ｘ = 48 ｘ = 30 60％ｘ = 30 × 60 ％ = 18 答： 甲绳长 30 米，则乙绳长 18 米。 检验： 30 + 18 = 48 （米），符合甲、乙两绳共长 48 米。 18 ÷ 30 = 60 ％，符合乙绳长度是甲绳的 60％。 例 2、（列方程解答差倍问题） 体育馆内排球的个数是篮球的 75％，篮球比排球多 6 个。篮球和排球各有多少个？ 分析与解： 排球的个数是篮球的 75％，是把篮球个数看作单位“ 1”。 ｘ个 篮球 | （）个 | 多 6 个 排球 排球的个数是篮球的 75％ 等量关系式：篮球 – 排球 = 6 个 解答： 设篮球有ｘ个，则排球有 75％ｘ个。 ｘ - 75 ％ｘ = 6 0.25 ｘ = 6 ｘ = 24 75％ｘ = 24 × 0.75 = 18 答： 篮球有 24 个，排球有 18 个。 你会自己检验吗？ 检验： 24 - 18 = 6 （个），符合篮球比排球多 6 个。 18 ÷ 24 = 75 ％，符合排球的个数是篮球的 75％。 点评： 在列方程解答和倍、差倍问题的题目时，要注意找准单位“ 1”的量，通常情况下设 单位“ 1”的量为ｘ，再用另一个量和单位“ 1”之间的关系，用含有ｘ的式子表示出 另一个量，最后根据它们的和或差列出方程。 例 3、六年级男生比女生少 40 人，六年级女生人数相当于男生人数的 140％，六年级男生有 多少人？ 错误解法： 设：女生有ｘ人，男生就有 140％ｘ人。 140％ｘ - ｘ = 40 0.4 ｘ = 40 ｘ = 100 140％ｘ = 100 × 1.4 = 140 分析与解： 根据 “六年级女生人数相当于男生人数的 140％”，可以把男生人数看作单位 “1” 的量，设男生人数为ｘ人，女生人数就是 140％ｘ人，再根据“六年级男生比女 生少 40 人”，可以得出数量关系式： “女生人数 – 男生人数 = 40 ”，根据此数 量关系式列出方程。 正确解答： 设男生有ｘ人，女生就有 140％ｘ人。 140％ｘ - ｘ = 40 0.4 ｘ = 40 ｘ = 100 答： 男生有 100 人。 点评： 解错此题的原因是单位“ 1”的量找错了，要记住找单位“ 1”的量时候，首先要去找 分率（百分率） ，因为没有分率就没有单位“ 1”的量，就不能看到“比” ，而“比”后 面的那个量就是单位“ 1”的量。 例 4、（列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际 问题） 白兔有 36 只，比灰兔少 20％。灰兔有多少只？ 分析与解： 白兔比灰兔少 20％，把灰兔看作单位“ 1”。 ?只 灰兔 | 36 只 | 白兔 比灰兔少 20％ 等量关系式：灰兔的只数 – 白兔比灰兔少的只数 = 白兔的只数 解答： 设灰兔有ｘ只。 ｘ - 20 ％ｘ = 36 0.8 ｘ = 36 ｘ = 45 答： 灰兔有 45 只。 检验： 45 – 45 × 20 ％ = 36 或 （45 – 36 ）÷ 45 = 20 ％，符合题意。 例 5、（列方程解决“已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际 问题） 白兔有 48 只，比灰兔多 20％。灰兔有多少只？ 分析与解： 白兔比灰兔多 20％，把灰兔看作单位“ 1”。 ?只 灰兔 | 比灰兔多 20％ | 白兔 48 只 等量关系式：灰兔的只数 + 白兔比灰兔多的只数 = 白兔的只数 解答： 设灰兔有ｘ只。 ｘ + 20 ％ｘ = 48 1.2 ｘ = 48 ｘ = 40 答： 灰兔有 40 只。 检验： 40 + 40 × 20 ％ = 48 或 （48 – 40 ）÷ 40 = 20 ％，符合题意。 点评： 和前面例题一样， 都是去求单位 “1”的量。 在解题时同样要注意找准单位 “1”的量， 看问题求什么，确定用什么方法计算。 例 6、（难点突破） 某商品如果按现价 18 元出售， 则亏了 25％，原来成本是多少元？如果想盈利 25％，应 按多少元出售该商品？ 分析与解： 不管是亏 25％，还是盈利 25％，单位“ 1”都是这件商品的成本。所以要先求这 件商品的成本。 18 元亏 25％，说明 18 元比成本少 25％，即是成本的 （ 1 - 25％）。 盈利 25％，说明盈利的是原来成本的 25％，实际售价是原来成本的 （ 1 + 25％）。 解答： 设原来成本是ｘ元。 ｘ - 25 ％ｘ = 18 0.75 ｘ = 18 ｘ = 24 24 × （1 + 25 ％） = 30 （元） 答： 原来成本是 24 元，应按 30 元出售该商品。 点评： 通常情况下，商品的盈利和亏损都是以成本作单位“ 1”的 。解答这道题目的关键是 确定好单位“ 1”，这也是解百分数应用题时最重要的。 例 7、（考点透视） 水果批发部要运进一批水果，第一次运进总量的 22％，第二次运进 1.5 吨，两次共运 进这批水果的 62％，这批水果一共有多少吨？ 分析与解： 根据题意可以画出下面的线段图： 62％ 第一次 22％ 1.5 吨 “1” ? 吨 从图中可以看出：两次一共运的吨数 - 第一次运的吨数 = 1.5 吨，单位“ 1”的量是 这批水果的总吨数，设这批水果一共有ｘ吨，那么两次一共运了 62％ｘ吨，第一次运 进了 22％ｘ吨。 解： 设这批水果一共有ｘ吨。 62％ｘ - 22 ％ｘ = 1.5 40 ％ｘ = 1.5 ｘ = 3.75 答： 这批水果一共有 3.75 吨。 点评： 在解答稍复杂的百分数应用题时，要学会画线段图，它的好处是：使题目的条件变 得简洁，找数量关系式时更加容易、方便。画图的时候，要先找准单位“ 1”的量，用一根 线段表示出单位“ 1”的量之后，再去表示其他的量。 模拟试题 一、基本训练： 1、找出下列各题中的单位“ 1”。 ①男生人数占女生人数 60%。 ②男生人数比女生人数多 20%。 ③女生人数比男生人数少 25%。 ④加工一批零件，已完成了 80%。 ⑤今年的猪肉单价比去年上涨了 80%。 2、根据所给信息，说出数量间的相等关系 ①一条路，已修了全长的 60% ②一种彩电，现价比原价降低 10% ③松树的棵数比柏树多 1 3 3、看图列式。 用去 30% ? 只 灰兔 比灰兔多 25% 用去 ? 吨 还剩 28 吨 白兔 30 只 4、列式计算： （1）一个数的 75%比 30 的 25%多 1.5 ，求这个数。 （2）一个数的 25%比它的 75%少 30，求这个数。 二、解决问题： 1、对比练习 （1）某工厂六月份用煤 60 吨，六月份比五月份少用煤 25％，五月份用煤多少吨？ （2）某工厂六月份用煤 60 吨，五月份比六月份多用煤 25％，五月份用煤多少吨？ 2、一张课桌比一把椅子贵 10 元，如果椅子的单价是课桌单价的 60%，课桌和椅子的单价各 是多少元？ 3、果园里的梨树和苹果树共有 360 棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的 20%。苹果树 和梨树各有多少棵？ 4、一套桌椅的价格是 78 元，其中椅子的价格是桌子的 30%。桌子和椅子的价格各是多 少元？ 5、一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，两次共剪去 6 米，这条绳子 共长多少米？ 6、一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，第二次比第一次多剪了 1 米，这条绳子长多少米？ 7、根据问题列式。 平山茶场去年原计划种茶 20 公顷，实际种茶 25 公顷， ________? ①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？ ②计划种茶的公顷数是实际的百分之几？ ③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？ ④计划种茶的公顷数比实际少百分之几？ 8、根据算式填条件 果园里有苹果树 200 棵， ，梨树有多少棵？ ①200÷20% ②200×20% ③200÷（1+20%） ④200÷（1-20%） ⑤200×（1-20%） ⑥200×（1+20% ） （四） 主要内容 圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积 学习目标 1、使学生在观察、操作、交流等活动中感知和发现圆柱、圆锥的特征，知道圆柱和圆锥的 底面、侧面和高。 2、使学生理解圆柱侧面积和圆柱表面积的含义， 掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法。 3、使学生在活动中进一步积累认识立体图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思 考。 4、使学生进一步体验立体图形与生活的关系，感受立体图形的学习价值，提高学习数学的 兴趣和学好数学的信心。 考点分析 1、圆柱上、下两个面叫做圆柱的底面，它们是完全相同的两个圆。形成圆柱的面还有一个 曲面，叫做圆柱的侧面。 圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 2、圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆 锥的高。 3、把圆柱的侧面展开得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于 圆柱的高。 4、圆柱的侧面积 = 底面周长 × 高 5、圆柱的表面积 = 侧面积 + 底面积 × 2 典型例题 例 1、（圆柱和圆锥的特征） 圆柱和圆锥分别有什么特点？ 分析与解： 长方体和正方体的六个面都是平面图形（长方形或正方形） ，而圆柱和圆锥除了 底面是平面图形（圆）外，都有一个曲面。圆柱和圆锥的特征见下表。 圆 柱 圆 锥 底 面 两个底面完全相同， 都是圆 形。 一个底面，是圆形。 侧 面 曲面，沿高剪开，展开后是 长方形。 曲面， 沿顶点到底面圆周上的一条线 段剪开，展开后是扇形。 高 两个底面之间的距离， 有无 数条。 顶点到底面圆心的距离，只有一条。 例 2、求下面立体图形的底面周长和底面积。 半径 3 厘米 直径 10 米 分析与解： 根据圆的面积和周长计算公式计算圆柱和圆锥的底面周长和底面积。 圆柱：底面周长 3.14 × 3 × 2 = 18.84 （厘米） 底面积 3.14 × 3 2 = 28.26 （平方厘米） 圆锥：底面周长 3.14 × 10 = 31.4 （米） 底面积 3.14 ×（ 10÷ 2）2 = 78.5 （平方米） 点评： 圆柱和圆锥的底面都是圆， 在计算它们的周长和面积时只要按照圆的周长和面积计算 公式进行计算。 例 3、判断： 圆柱和圆锥都有无数条高。 错误解法： 正确 分析与解： 圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 正确解答： 错误 点评： 圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 两个底面之间有无数个对应的点， 圆柱有无 数条高。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 顶点和底面圆心都是唯一的点， 所以圆锥只有一条高。 例 4、（圆柱的侧面积） 体育一个圆柱，底面直径是 5 厘米，高是 12 厘米。求它的侧面 积。 分析与解： 高 底面周长 沿着圆柱侧面的一条高剪开， 将侧面展开， 就得到一个长方形。 这个长方形的长 等于圆柱底面的周长， 宽等于圆柱的高。 因此， 用圆柱的底面周长乘圆柱的高就 得到这个长方形的面积，即圆柱的侧面积。 解答： 3.14 × 5 × 12 = 188.4 （平方厘米） 答： 它的侧面积是 188.4 平方厘米。 点评： 圆柱的侧面是个曲面， 不能直接求出它的面积。 推导出侧面积的计算公式也用到了转 化的思想。把这个曲面沿高剪开，然后平展开来，就能得到一个长方形，这个长方形 的面积就是这个圆柱的侧面积。 例 5、（圆柱的表面积） 做一个圆柱形油桶，底面直径是 0.6 米，高是 1 米，至少需要多少平方米铁皮？（得数 保留整数） 分析与解： 求铁皮的面积，就是求圆柱形油桶的表面积，即两个底面积和一个侧面积的 和。 解答： 底面积： 3.14 ×（ 0.6 ÷2）2 = 0.2826 （平方米） 侧面积： 3.14 × 0.6 × 1 = 1.884 （平方米） 表面积： 0.2826 × 2 + 1.884 = 2.4492 （平方米）≈ 3 （平方米） 答： 至少需要铁皮 3 平方米。 点评： 这里不能用四舍五入法取近似值。 因为在实际生活中使用的材料要比计算得到的结果 多一些。因此这儿保留整数，十分位上虽然是 4，但也要向个位进 1。 例 6、（辨析） 一个无盖的圆柱铁皮水桶，底面直径是 30 厘米，高是 50 厘米。做这样一个 水桶，至少需用铁皮 6123 平方厘米。 分析与解： 题目中是做一个无盖的圆柱铁皮水桶， 只有一个底面。 在计算铁皮面积时只要用 圆柱的侧面积加上一个底面的面积。 解答： 底面积： 3.14 ×（ 30÷2）2 = 706.5 （平方厘米） 侧面积： 3.14 × 30 × 50 = 4710 （平方厘米） 表面积： 706.5 + 4710 = 5416.5 （平方厘米） 答： 做这样一个水桶，至少需用铁皮 5416.5 平方厘米。 例 7、（考点透视） 一个圆柱的侧面积展开是一个边长 15.7 厘米的正方形。这个圆柱的表面 积是多少平方厘米？ 分析与解： 圆柱的侧面积展开是一个正方形，即圆柱的高和底面周长都是 15.7 厘米。根据 圆柱的底面周长可以算出底面积。 解答： 底面半径： 15.7 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2.5 （厘米） 底面积： 3.14 × 2.5 2 = 19.625 （平方厘米） 侧面积： 15.7 × 15.7 = 246.49 （平方厘米） 表面积： 19.625 × 2 + 246.49 = 285.74 （平方厘米） 答： 这个圆柱的表面积是 285.74 平方厘米。 例 8、（考点透视） 一个圆柱形的游泳池，底面直径是 10 米，高是 4 米。在它的四周和底部 涂水泥，每千克水泥可涂 5 平方米，共需多少千克水泥？ 分析与解： 要求水泥的质量，先要求水泥的面积。在圆柱形的游泳池的四周和底部涂水泥， 涂水泥的面积是一个底面积加上侧面积。 解答： 侧面积： 3.14 × 10 × 4 = 125.6 （平方米） 底面积： 3.14 × （10 ÷ 2 ）2 = 78.5 （平方米） 涂水泥的面积： 125.6 + 78.5 = 204.1 （平方米） 水泥的质量： 204.1 ÷ 5 = 40.82 （千克） 答： 共需 40.82 千克水泥。 例 9、（考点透视） 把一个底面半径是 2 分米，长是 9 分米的圆柱形木头锯成长短不同的三 小段圆柱形木头，表面积增加了多少平方分米？ 分析与解： 锯圆柱形木头， 表面积增加的部分是若干个相同的底面积。 锯成三段， 要锯两次， 每锯一次增加两个面，锯了两次增加了四个面。 3.14 × 2 2 × 4 = 50.24 （平方分米） 答： 表面积增加了 50.24 平方分米。 点评： 这是一道在实际生活中应用的题目， 对于这一类题目， 它的规律就是每切一次就增加 两个面。 但切的方式不同， 增加的面也不同。 如果是沿着底面直径把圆柱切成相同的 两个部分，增加的面就是以底面直径和高为两邻边的长方形。 模拟试题 下面 ( )图形旋转会形成圆柱。 3、在下图中，以直线为轴旋转，可以得出圆锥的是（ ）。 4、求下列圆柱体的侧面积 （1）底面半径是 3 厘米，高是 4 厘米。 （2）底面直径是 4 厘米，高是 5 厘米。 （3）底面周长是 12.56 厘米，高是 4 厘米。 5、求下列圆柱体的表面积 （1）底面半径是 4 厘米，高是 6 厘米。 （2）底面直径是 6 厘米，高是 12 厘米。 （3）底面周长是 25.12 厘米，高是 8 厘米。 6、用铁皮制作一个圆柱形烟囱，要求底面直径是 3 分米，高是 15 分米，制作这个烟囱至少 需要铁皮多少平方分米？（接头处不计，得数保留整平方分米） 7、请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。 8、一个圆柱形蓄水池，底面周长是 25.12 米，高是 4 米，将这个蓄水池四周及底部抹上水 泥。如果每平方米要用水泥 20 千克，一共要用多少千克水泥？ 小学数学总复习专题讲解及训练（五） 模拟试题 一、圆柱体积 1、求下面各圆柱的体积。 （ 1）底面积 0.6 平方米，高 0.5 米 （ 2）底面半径是 3 厘米，高是 5 厘米。 （ 3）底面直径是 8 米，高是 10 米。 （ 4）底面周长是 25.12 分米，高是 2 分米。 2、有两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的 4/7 。第一个圆柱的体积是 24 立方厘米，第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多多少立方厘米？ 3、在直径 0.8 米的水管中， 水流速度是每秒 2 米，那么 1 分钟流过的水有多少立方米？ 4、牙膏出口处直径为 5 毫米，小红每次刷牙都挤出 1 厘米长的牙膏。这支牙膏可用 36 次。 该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为 6 毫米，小红还是按习惯每次挤出 1 厘 米长的牙膏。这样，这一支牙膏只能用多少次？ 5、一根圆柱形钢材，截下 1.5 米，量得它的横截面的直径是 4 厘米。如果每立方厘米钢重 7.8 克，截下的这段钢材重多少千克？（得数保留整千克数。 ） 6、把一个棱长 6 分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立 方分米？ 7、右图是一个圆柱体，如果把它的高截短 3 厘米，它的表面积减少 94.2 平方厘米。这个圆 柱体积减少多少立方厘米？ 二、圆锥体积 1、选择题。 （1）一个圆锥体的体积是 a 立方米，和它等底等高的圆柱体体积是 ( ) ① 3 1 a 立方米 ② 3a 立方米 ③ 9 立方米 （2）把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是 6 立方米，圆锥体体积是 ( )立方米 ① 6 立方米 ② 3 立方米 ③ 2 立方米 2、判断对错。 （1）圆柱的体积相当于圆锥体积的 3 倍 ⋯⋯⋯（ ） （2）一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比 是 2 ：1 ⋯⋯⋯（ ） （3）一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差 21 立方厘米，圆锥的体积是 7 立方厘米 ⋯⋯⋯（ ） 3、填空 （1）一个圆柱体积是 18 立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（ ）立方厘米。 （2）一个圆锥的体积是 18 立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（）立方厘米。 （3）一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积和是 144 立方厘米。圆柱的体积是（ ）立 方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 4、求下列圆锥体的体积。 （1）底面半径 4 厘米，高 6 厘米。 （2）底面直径 6 分米，高 8 厘米。 （3）底面周长 31.4 厘米，高 12 厘米。 5、一个圆锥形沙堆，高是 1.5 米，底面半径是 2 米，每立方米沙重 1.8 吨。这堆沙约重 多少吨？ 6、一个近似圆锥形的麦堆，底面周长 12.56 米，高 1.2 米，如果每立方米小麦重 750 千克， 这堆小麦重多少千克？ 7、一个长方体容器，长 5 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米，装满水后将水全部倒入一个高 6 厘 米的圆锥形的容器内刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 参考答案： 一、圆柱体积 1、求下面各圆柱的体积。 （ 1）底面积 0.6 平方米，高 0.5 米 0.6 × 0.5 = 0.3 （立方米） （ 2）底面半径是 3 厘米，高是 5 厘米。 3.14 ×3 2 × 5 = 141.3 （立方厘米） （ 3）底面直径是 8 米，高是 10 米。 3.14 ×（ 8÷2）2× 10 = 502.4 （立方米） （ 4）底面周长是 25.12 分米，高是 2 分米。 3.14 ×（ 25.12 ÷3.14 ÷2）2 × 2 = 100.48 （立方分米） 2、有两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的 4/7 。第一个圆柱的体积是 24 立方厘米，第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多多少立方厘米？ 底面积相等的两个圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的 4/7 ，第一个圆柱的体积 也就是是第二个圆柱的 4/7 。 24 ÷ 4/7 – 24 = 18 （立方厘米） 答：第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多 18 立方厘米。 3、在直径 0.8 米的水管中， 水流速度是每秒 2 米，那么 1 分钟流过的水有多少立方米？ 3.14 ×（ 0.8 ÷2）2 × 2 × 60 = 60.288 （立方米） 答：那么 1 分钟流过的水有 60.288 立方米。 4、牙膏出口处直径为 5 毫米，小红每次刷牙都挤出 1 厘米长的牙膏。这支牙膏可用 36 次。 该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为 6 毫米，小红还是按习惯每次挤出 1 厘 米长的牙膏。这样，这一支牙膏只能用多少次？ 牙膏体积： 1 厘米 = 10 毫米 3.14 ×（ 5÷2）2 × 10 × 36 = 7065 （立方毫米） 7065 ÷ [3.14 ×（ 6÷2）2 × 10] = 25 （次） 答：这样，这一支牙膏只能用 25 次。 5、一根圆柱形钢材，截下 1.5 米，量得它的横截面的直径是 4 厘米。如果每立方厘米钢重 7.8 克，截下的这段钢材重多少千克？（得数保留整千克数。 ） 1.5 米 = 150 厘米 3.14 ×（ 4÷ 2）2 × 150 × 7.8 = 14695.2 （克） = 14.6952 （千克）≈ 15（千克） 答：截下的这段钢材重 15 千克。 6、把一个棱长 6 分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立 方分米？ 3.14 ×（ 6÷2）2 × 6 = 169.56 （立方分米） 答：这个圆柱的体积是 169.56 立方分米。 7、右图是一个圆柱体，如果把它的高截短 3 厘米，它的表面积减少 94.2 平方厘米。这个圆 柱体积减少多少立方厘米？ 底面周长： 94.2 ÷3 = 31.4 厘米 3.14 ×（ 31.4 ÷3.14 ÷ 2）2 × 3 = 235.5 （立方厘米） 答：这个圆柱体积减少 235.5 立方厘米。 二、圆锥体积 1、选择题。 （1）一个圆锥体的体积是 a 立方米，和它等底等高的圆柱体体积是 ( ② ) ① 3 1 a 立方米 ② 3a 立方米 ③ 9 立方米 （2）把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是 6 立方米，圆锥体体积是 ( ③ )立方米 ① 6 立方米 ② 3 立方米 ③ 2 立方米 2、判断对错。 （1）圆柱的体积相当于圆锥体积的 3 倍 ⋯⋯⋯（ × ） （2）一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比 是 2 ：1 ⋯⋯⋯（ √ ） （3）一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差 21 立方厘米，圆锥的体积是 7 立方厘米 ⋯⋯⋯（ × ） 3、填空 （1）一个圆柱体积是 18 立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（ 6 ）立方厘米。 （2）一个圆锥的体积是 18 立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（ 54）立方厘米。 （3）一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积和是 144 立方厘米。 圆柱的体积是 （ 108 ） 立方厘米，圆锥的体积是（ 36 ）立方厘米。 4、求下列圆锥体的体积。 （1）底面半径 4 厘米，高 6 厘米。 3 1 ×3.14 ×4 2×6 = 100.48 （立方厘米） （2）底面直径 6 分米，高 8 厘米。 3 1 ×3.14 ×（ 60÷ 2）2×8 = 7536 （立方厘米） （3）底面周长 31.4 厘米，高 12 厘米。 3 1 ×3.14 ×（ 31.4 ÷ 3.14 ÷2）2× 12 = 314 （立方厘米） 5、一个圆锥形沙堆，高是 1.5 米，底面半径是 2 米，每立方米沙重 1.8 吨。这堆沙约重 多少吨？ 3 1 ×3.14 ×2 2×1.5 ×1.8 = 11.304 （吨） 答：这堆沙约重 11.304 吨。 6、一个近似圆锥形的麦堆，底面周长 12.56 米，高 1.2 米，如果每立方米小麦重 750 千克， 这堆小麦重多少千克？ 3 1 ×3.14 ×（ 12.56 ÷3.14 ÷2）2×1.2 ×750 = 3768 （千克） 答：这堆小麦重 3768 千克。 7、一个长方体容器，长 5 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米，装满水后将水全部倒入一个高 6 厘 米的圆锥形的容器内刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 5 × 4 × 3 = 60 （立方厘米） 60 × 3 ÷ 6 = 30 （平方厘米） 答：这个圆锥形容器的底面积是 30 平方厘米 小学数学总复习专题讲解及训练（六） 主要内容 比例的意义和基本性质 学习目标 1、使学生初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小， 初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。 2、使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义和作用， 认识比例的 “项” 、“内项” 和 “外 项” ；理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。 3、使学生在认识比例、应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，增 强用数和图形描述现实问题的意义和能力，丰富解决问题的策略，发展对数学的积极情 感。 考点分析 1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。 2、表示两个比相等的式子叫做比例。 3、组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例 的内项。 4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 5、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未 知项。求比例的未知项，叫做解比例。 典型例题 例 1、（把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了） A B C （1）长方形 A 的长是 1.5 厘米，宽是 1 厘米；长方形 B的长是 3 厘米，宽是 2 厘米。这两 个长方形的长有什么关系？宽呢？ （2）如果要把长方形 A按 1:2 的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少？ 分析与解： （ 1）长方形 B的长是长方形 A 的 2 倍，宽也是长方形 A的 2 倍。或者说长方形 B 和长方形 A 长的比是 2:1 ，宽的比也是 2:1 。 把长方形的每条边放大到原来的 2 倍， 放大后的长方形的长和宽与原来 长方形的比是 2:1 ，就是把长方形 A 的长和宽按 2:1 的比进行放大。 （2）把长方形 A按 1:2 的比缩小后为长方形 C，长、宽缩小为原来的 2 1 ，图 C的长是 0.75 厘米，图 C的宽是 0.5 厘米。 由此可见， 放大或缩小前后图形形状没有改变， 还是长方形， 只是大小变了。 例 2、（根据指定的比，将图形按要求放大或缩小） 先按 3:2 的比画出长方形 A 放大后的图形 B，再按 1:2 的比画出长方形 A缩小后的图形 C。（1）图 B的长、 宽各是几格？ （2）图 C呢？（ 3）观察这三幅图形，你有什么发现？ A B C 分析与解： （ 1）按 3:2 的比将长方形 A 放大，即将长方形 A 的长与宽分别扩大 1.5 倍， 那么 图 B的长为 6×1.5 = 9 格，宽为 4×1.5 = 6 格。 （2）按 1:2 的比将长方形 A缩 小，即将长方形 A 的长与宽分别缩小到原来的 2 1 ，那么图 C的长为 6÷2 = 3 格， 宽为 4÷2 = 2 格。 （3）从这三幅大小不同的图形上可以看出，放大或缩小后的 图形与原来的图形比较， 大小虽变了，但形状不变，而且各条边长度的变化都符 合指定的比。 点评： 按比例放大图形或缩小图形， 关键是要先根据比确定是放大还是缩小， 然后确定好每 条边的长度，画出图形就行了。 例 3、（将两个相等比写成一个等式） 图 B 是由图 A放大后得到的， 你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗？比较写出 的两个比，你有什么发现？ B A 3 厘米 6 厘米 4 厘米 8 厘米 分析与解： （1）图 A 中长与宽的比是 4:3 ；图 B 中长与宽的原始比是 8:6 ，而 8:6 化简后就 是 4:3 。 （2）这两个比化简后都是 4:3 ，比值相等， 说明这两个比可以写成一个等式。 即 4:3 = 8:6 或 3 4 = 6 8 ，都读作： 4 比 3 等于 8 比 6。 例 4、（认识比例） 下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。 （1） 5 ：6 和 15 ：18 （2） 0.2 ：0.1 和 3 ：1 （3） 2 1 ： 3 1 和 1.2 ：0.8 （4） 6 ：2 和 8 3 ： 8 1 分析与解： 分别求出每组中两个比的比值， 如果相等就能组成比例， 不相等就不能组成 比例。 （1） 因为 5 ：6 = 6 5 ，15 ：18 = 6 5 ，所以 5 ： 6 = 15 ：18。 （2） 因为 0.2 ：0.1 = 2 ， 3 ：1 = 3 ，所以 0.2 ：0.1 和 3 ：1 不能 组成比例。 （3） 因为 2 1 ： 3 1 = 2 3 ， 1.2 ：0.8 = 2 3 ，所以 2 1 ： 3 1 = 1.2 ：0.8 。 （4） 6 ：2 = 3 ， 8 3 ： 8 1 = 3 ，所以 6 ：2 = 8 3 ： 8 1 。 点评： 判断两个比能不能组成比例，可以像题目中的方法一样，求出两个比的比值，比值相 等就能组成比例，否则就不行。这样解题的依据是比例的意义。 例 5、（比例的各部分名称和比例的基本性质） 一台织布机 3 小时织布 3.6 米，4 小时织布 4.8 米。你能根据数量间的关系写出比例吗？ 分析与解： （1）这台织布机织布米数和织布时间的比相等。 3.6 ：3 = 4.8 ： 4 （2）这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。 3.6 ：4.8 = 3 ： 4 （3）这台织布机织布时间和织布米数的比相等。 3 ：3.6 = 4 ： 4.8 介绍“项” ：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的 两项叫做比例的内项。例如： 3.6 ：3 = 4.8 ：4 内项 外项 观察题中的三个比例，你有什么发现？ 3.6 ：3 = 4.8 ：4 3.6 ：4.8 = 3 ：4 3 ： 3.6 = 4 ：4.8 （1）3.6 和 4 可以同时做比例的外项，也可以同时做比例的内项。 （2）3.6 × 4 = 3 × 4.8 ，可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。 （3）如果把 3.6 ：3 = 4.8 ：4 改写成分数形式 3 6.3 = 4 8.4 ，等号两边的分子、分母 分别交叉相乘，结果也相等。 （4）如果用字母表示比例的四个项，即 a : b = c : d ， 那么这个规律可表示成 ad = bc 或 bc = ad 。 （5）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 例 6、（比例基本性质的应用） 根据 2 × 7 = 1.4 × 10 这个等式写出几个比例。 分析与解： 根据比例的基本性质， 可以得出 2 和 7、1.4 和 10 这两组数要么同时是比例的外 项，要么同时是比例的内项。 1.4 : 2 = 7 : 10 1.4 : 7 = 2 : 10 10 : 2 = 7 : 1.4 10 : 7 = 2 : 1.4 2 : 1.4 = 10 : 7 2 : 10 = 1.4 : 7 7 : 1.4 = 10 : 2 7 : 10 = 1.4 : 2 点评： 像这样的比例一共可以写 8 个。但它们不变的是 2 和 7 要么同时为内项， 要么同时为 外项，而 1.4 和 10 这一组数也一样。写的时候可以一组一组地写了。 例 7、（按比例放大的含义） 王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是 12.5 厘米，你有什么 发现？ 4 厘米 5 厘米 分析与解： 按比例放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放大， 放大前后的相关线 段的厘米数是可以组成比例的。 两张图片长的比与宽的比可以组成比例， 两张图 片中各自长、宽的比也可以组成比例。 12.5 : 5 = 宽 : 4 或 12.5 : 宽 = 5 : 4 例 8、（解比例） 上图中宽是多少厘米？ 分析与解： 在解比例时， 根据比例的基本性质把比例转化为积相等的式子， 然后再根据等式 的性质来解答。 解：设宽是ⅹ厘米。 12.5 : 5 = ⅹ : 4 5 ⅹ = 12.5 × 4 ┈┈ 根据比例的基本性质 5ⅹ = 50 ⅹ = 10 答： 放大后图片的宽是 10 厘米。 点评： 像上面这样求比例中的未知项，叫做解比例。 同学们，你会解答 5.12 = 4 5 这个比例吗？试试看吧！ 小学数学总复习专题讲解及训练（六） 模拟试题 1、一张长方形图片，长 12 厘米，宽 9 厘米。按 1 : 3 的比缩小后，新图片的长是（ ） 厘米，宽是（ ）厘米，这张图片（ ）不变，大小（ ）。 2、一块正方形的花手帕，边长 10 厘米，将其按（ ）的比放大后，边长变为 30 厘 米。 3、按 2 : 1 的比画出平行四边形放大后的图形， 按 1 : 3 的比画出长方形缩小后的图形。 4、应用比例的意义，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？ 6∶10 和 9∶15 20∶5 和 4∶1 5∶1 和 6∶2 5、在 2∶5、12∶0.2、310∶15 三个比中，与 5.6∶14 能组成比例的一个比是 ( )。 6、在比例里，两个（ ）的积和两个（ ）积相等。 7、如果 A×3=B×5，那么 A ∶B= ( ) ∶ ( )。 8、从 6、24、20、18 与 5 这五个数中选出四个数组成一个比例是： ( ) ∶ ( ) = ( ) ∶ ( )。 9、根据 3× 8 = 4×6 写成的比例是（ ）、（ ）或（ ）。 10、甲数的 25% 等于乙数的 75%，那么甲数与乙数的比是（ ）∶（ ）。 13、解比例 ⅹ∶ 3 = 7 8 ∶ 1 4 9 x = 4.5 0.8 1 6 ∶ 2 5 = 1 2 ∶x 3 4 ∶ x = 3 ∶12 3 8 ∶ x = 5 ％∶ 0.6 1.3 18 = x 3.6 14、在一个比例里，两个外项的积是 30，已知一个内项是 10，另一个内项是（ ）。 小学数学总复习专题讲解及训练（七） 主要内容 比例尺、面积变化、确定位置 学习目标 1、使学生在具体情境中理解比例尺的意义，能看懂线段比例尺。会求一幅图的比例尺，能 按给定的比例尺求相应的实际距离或图上距离，会把数值比例尺与线段比例尺进行转 化。 2、使学生在经历“猜想－验证”的过程中，自主发现平面图形按比例放大后面积的变 化规律。 3、在解决问题的过程中，进一步体会比例以及比例尺的应用价值，感知不同领域数学内容 的内在联系，增强用数和图形描述现实问题的意识和能力，丰富解决问题的策略。 4、使学生在具体情境中初步理解北偏东（西） 、南偏东（西）的含义，初步掌握用方向和距 离确定物体位置的方法，能根据给定方向和距离在平面图上确定物体的位置或描述简单 的行走路线。 5、使学生在用方向和距离确定物体位置的过程中，进一步培养观察能力、识图能力和有条 理的进行表达的能力。发展空间观念。 6、使学生积极参与观察、测量、画图、交流等活动，获得成功的体验，体会数学知识与生 活实际的联系，拓展知识视野，激发学习兴趣。 考点分析 1、图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 2、比例尺 = 实际距离 图上距离 ，比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。 3、把一个平面图形按照一定的倍数（ n）放大或缩小到原来的几分之一（ n 1 ）后，放大（或 缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是 n2:1 （或 1:n 2）。 4、知道 了物体的方向和距离，就能确定物体的位置。 5、根据物体的位置，结合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置。画的时候 先按方向画一条射线，在根据图上距离找出点所在的位置。 6、描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行走的方向与路程。 典型例题： 例 1、（认识比例尺） 王伯伯家有一块长方形的菜地，长 40 米，宽 30 米。把这块菜地按一定的比例缩小，画 在平面图上长 4 厘米， 宽 3 厘米。 你能分别写出菜地长、 宽的图上距离和实际距离的比 吗？ 分析与解： 图上距离和实际距离的单位不同， 先要统一成相同的单位， 写出比后再化简。 40 米 = 4000 厘米 3 厘米 = 0.03 米 4000 4 = 1000 1 30 03.0 = 3000 3 = 1000 1 图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 图上距离 : 实际距离 = 比例尺或 实际距离 图上距离 = 比例尺 图上距离和实际距离的比是 1:1000 ，这幅图的比例尺是 1:1000 ，也可写成 1000 1 ，仍 读作 1 比 1000。 点评： 求一幅地图的比例尺是一种比较简单的题目。 做的时候唯一要注意的就是末尾 0 的问 题：一是米、千米化成厘米的时候要在米、千米那个数的末尾加上 2、5 个 0；二是 在求比例尺的结果时要注意 0 的个数。多数一数、想一想，是不会有错的。 例 2、（对比例尺的理解及比例尺的两种表示方法） 比例尺 1:1000 表示图上距离是实际距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少倍？ 图上 1 厘米表示实际距离多少米？ 分析与解： 比例尺 1:1000 表示图上距离是实际距离的 1000 1 ，实际距离是图上距离的 1000 倍，图上 1 厘米的距离代表实际距离 1000 厘米，即 10 米。 像形如 1:1000 这样的比例尺叫做数值比例尺。比例尺 1:1000 还可以这样表 示 0 10 20 30 米 ，这是线段比例尺，它表示图上 1 厘米的距离代表 实际距离 10 米。 例 3、一个手表零件长 2 毫米，画在一幅图上长 4 厘米，这幅图的比例尺是多少？ 错误解法： 4 厘米 = 40 毫米 2 : 40 = 1 : 20 思路分析： 无论什么样的图纸， 比例尺始终是图上距离与实际距离的比， 根据比例尺的定义， 用“图上距离 : 实际距离 = 比例尺”去求。 正确解答： 4 厘米 = 40 毫米 40 : 2 = 20 : 1 点评： 比例尺通常情况下都应该写成前项是 1 的比。但比例尺的作用除了把实际距离缩小， 还可以把实际距离扩大，这样比例尺的前项就比后项大，这时后项通常化成 1。在解 答时，只要坚持好“图上距离 : 实际距离 = 比例尺” ，图上距离在前就可以了。 例 4、（根据比例尺求图上距离或实际距离） 在比例尺是 60000 1 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 2.5 厘米。两地的实际距离是多少 米？ 分析与解： 方法 1：比例尺是 60000 1 ，说明实际距离是图上距离的 60000 倍。 2.5 ×60000 = 150000 （厘米） 150000（厘米） = 1500 米 方法 2：比例尺是 60000 1 ，也就是图上 1 厘米的距离代表实际距离 60000 厘米，即 600 米。 2.5 ×600 = 1500 （米） 方法 3：根据 实际距离 图上距离 = 比例尺，可以用“图上距离 ÷ 比例尺”或“解比例”的方法 来求实际距离。 2.5 ÷ 60000 1 = 2.5 ×60000 = 150000 （厘米） = 1500 米 解： 设两地的实际距离是ⅹ厘米。 5.2 = 60000 1 1ⅹ = 2.5 × 60000 ⅹ = 150000 150000（厘米） = 1500 米 答： 两地的实际距离是 1500 厘米。 例 5、（平面图形按照一定的比放大后，面积扩大了比的平方倍） 下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们的长和宽， 算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。 分析与解： 量得小长方形的长是 2.5 厘米，宽是 1 厘米；大长方形的长是 7.5 厘米，宽是 3 厘米。大长方形与小长方形长的比是 7.5 : 2.5 = 3 : 1 ，宽的比是 3 : 1 。 小长方形的面积 大长方形的面积 = 15.2 35.7 = 5.2 5.7 × 1 3 = 9 : 1 = 3 2 : 1 答： 大长方形与小长方形面积的比是 9 : 1 。 例 6、（认识北偏东（西）若干度、南偏东（西）若干度等方向） 如图，一辆汽车向正北方向行驶，你能说出商场和书店分别在汽车的什么方向吗？ N 商场 北 45o 60o 书店 0 3 6 9 千米 汽车 分析与解： 从图上可以看出，以汽车为中心，书店在汽车的东北方向，商场在汽车的西 北方向。 怎样才能更准确地表示它们的位置呢？ 东北方向也叫做北偏东方向，书店在汽车的北偏东 60o方向。 西北方向也叫做北偏西方向，商场在汽车的北偏西 45o方向。 答： 书店在汽车的北偏东 60o方向，商场在汽车的北偏西 45o方向。 例 7、（知道了物体的方向和距离，才能确定物体的具体位置） 量出上图中书店到汽车的图上距离，根据比例尺算一算，书店在汽车北偏东 60o方向的 多少千米处？商场呢？ 分析与解： 从图中量得书店和商场到汽车的图上距离分别是 1.2 厘米和 2.3 厘米，根据比例 尺，图上距离 1 厘米代表实际距离 3 千米，分别算出实际距离。 1.2 × 3 = 3.6 （千米）┄┄┄书店 2.3 × 3 = 6.9 （千米）┄┄┄商场 答： 书店在汽车北偏东 60o方向的 3.6 千米处，商场在汽车北偏西 45o方向的 6.9 千米 处。 点评： 只有在方向词的后面添上角的度数，才能准确描述物体所在的位置。确定方向时，一 定要先确定好南或北，再看是偏东还是偏西，如果图中没有画线，要先连线。算实 际距离就根据前面比例尺的相关知识去求。 例 8、（辨析） 书店在汽车的北偏东 60o方向，表示汽车也在书店的北偏东 60o方向。 分析与解： 书店在汽车的北偏东 60o方向，是以汽车为中心，由北向东旋转 60o；而以书店 为中心，汽车在书店的西南方向，即南偏西 60o方向。 书店在汽车的北偏东 60o方向，表示汽车在书店的南偏西 60o方向。 例 9、（根据给定的方向和距离，有序地确定物体的具体位置） 海面上有一座灯塔，灯塔北偏西 30o方向 30 千米处是凤凰岛。 N 北 W西 东 E 灯塔 0 10 20 30 千米 南 S 你能在图上指出凤凰岛大约在什么位置吗？ 分析与解： （1）先确定北偏西 30o的方向，画一条射线。 N 30o 灯塔 （2）再算出灯塔到凤凰岛的图上距离是多少厘米。 30 ÷ 10 = 3 （厘米） 凤凰岛 ● N 30o 灯塔 点评： 在表示凤凰岛的具体位置时， 先要画出表示方向的射线， 再确定灯塔到凤凰岛的图上 距离。 且在画表示方向的射线时， 应从表示灯塔的点开始画起， 并注意正确摆好量角 器。 例 10、（用方向和距离描述简单的行走路线） 下图是某市旅游 1 号车行驶的线路图，请根据线路图填空。 （1）旅游 1 号车从起点站出发，向（ ）行驶到达青水公园，再向（ ）偏（ ） （ ）的方向行（ ）千米到达抗战纪念碑。 （2）由绿博园向南偏 （ ）（ ）的方向行 （ ）千米到达购物中心， 再向北偏 （ ） （ ）的方向行（ ）千米到达人民公园。 分析与解： 先找准方向，再说出具体的路程。 （ 1）旅游 1 号车从起点站出发，向（ 东 ）行 驶到达青水公园，再向（ 北 ）偏（东） （40o）的方向行（ 1.8 ）千米到达抗战 纪念碑。 （2）由绿博园向南偏（东） （60o）的方向行（ 1.7）千米到达购物中心，再向北偏（ 东 ） （70o）的方向行（ 1.5）千米到达人民公园。 点评： 在进行描述的时候，一定要先说清楚方向再说路程。说方向的时候为了说清楚，通常 情况下不用东北、西北、东南、西南等说法，而用南偏东、南偏西、北偏东、北偏西 多少度的说法更为准确。 模拟试题 １、说出下面各比例尺表示的意思。 1∶40000 2、判断： ①小华在绘制学校操场平面图时，用 20 厘米的线段表示地面上 40 米的距离， 这幅图的比例尺为 1︰2。 ┈┈┈┈ （ ） ②某机器零件设计图纸所用的比例尺为 1︰1， 说明了该零件的实际长度与图上是一样的 ┈┈┈┈ （ ） ③一幅图的比例尺是 6︰ 1，这幅图所表示的实际距离大于图上距离。┈┈┈ （ ） 3、选择： ①如果某图纸所用的比例尺小于 1，那么这幅图所表示的图上距离（ ）实际距离。 A. 小于 B. 大于 C. 等于 ②学校操场长 100 米，宽 60 米，在练习本上画图，选用（ ）作比例尺较合适。 A.1 ︰20 B.1 ︰2000 C.1 ︰200 4、一幅地图的线段比例尺是 ，这幅图上 3 厘米表示实际距离多少千 米？ 5、 一种精密零件，画在图上是 12 厘米，而实际的长度是 3 毫米。求这幅图的比例尺。 6、英华小学有一块长 120 米、宽 80 米的长方形操场，画在比例尺为 1 ：4000 的平面图上， 长和宽各应画多少厘米？ 7、在比例尺为 1 ：200000 的一幅地图上， A 城和 B 城相距 5 厘米，两城实际相距多少千 米？ 8、 一幅地图的线段比例尺是： 0 40 80 120 160 千米，甲乙两城在 这幅地图上相距 18 厘米，两城间的实际距离是多少千米？丙丁两城相距 660 千米，在这幅 地图上两城之间的距离是多少厘米？ 9、在一幅比例尺为 1:500 的平面图上量得一间长方形教室的长是 3 厘米，宽是 2 厘米。 （1）求这间教室的图上面积与实际面积。 （2）写出图上面积和实际面积的比。并与比例尺进行比较。 10、下图是按 1︰50000 的比例尺绘出的方位图。说一说商店、公园、电影院的位置。 电影院 ●30o ● ● 40o 广场 公园 ● 商店 （1）公园在广场的东面（ ）千米处。 （2）电影院在广场的（ ）偏（ ）（ ）方向（ ）千米处。 （3）商店在广场的（ ）。 11、 小明家在百货商场的北偏西 40°方向 2500 米处，图书馆在农业银行东偏南 40°方向 1500 米处。下面是小明坐出租车从家去图书馆的路线图。已知出租车在 3 千米以内（含 3 千米）按起步价 9 元计算，以后每增加 1 千米车费就增加 2 元。请你按图中提供的信 息算一算，小明一共要花多少元出租车费？ 小学数学总复习专题讲解及训练（八） 主要内容 正比例和反比例 学习目标 1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相 关联的量是否成正比例或反比例。 2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格 纸上画出相应的直线， 能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。 3、使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感 受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。 4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成 积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。 考点分析 1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数 的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正 比例关系。 如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可 以用这样的式子来表示： x y = K （一定） 。 2、用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根据一 种量的值，估计另一种量相对应的值。 3、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数 的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。 如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的积，反比例关系可以 用这样的式子来表示：ｘｙ = K （一定） 。 4、两个变量的比值一定，这两个变量成正比例；两个变量的积一定，这两个变量成反比例； 没有上述两种关系，这两个变量不成比例。 典型例题 例 1、（正比例的意义） 一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系？ 时间 / 时 1 2 3 4 5 6 ⋯⋯ 路程 / 千米 120 240 360 480 600 720 ⋯⋯ 分析与解： （1）从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。 （2）从左往右看，时间扩大，路程也扩大；从右往左看，时间缩小，路程也缩小。所以它 们是两种相关联的量。 （3）路程和时间的比值始终不变， 1 120 = 120， 2 240 = 120， 3 360 = 120⋯⋯这个比值就 是火车的行驶速度。 通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：第一点路程和时 间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化；第二点路程和 对应的时间的比的比值 （也就是速度） 是一定的， 有这样的关系： 时间 路程 = 速度（一定） 。 具备了这两个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例关 系；行驶的路程和时间成正比例的量。 点评： 判断两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种 量变化， 另一种量是不是也随着变化； 满足了前面两个条件，再看它们的比值是否一 定。 不要省去任何一步。 如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们 的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示： x y = K （一定） 。 例 2、（判断是否成正比例） 练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？为什么？ 分析与解： 根据正比例的意义， 看两个变量的比值是否一定， 如果两个变量的比值一定，那 么这两个变量就成正比例，反之，则不成正比例。 买练习本的数量和总价是两种相关联的量， 它们与练习本的单价有下面的关 系： 数量 买练习本的总价 = 练习本的单价（一定） 所以练习本的数量和总价成正比例。 例 3、（正比例的图像） 磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。 时间 / 分 1 2 3 4 5 6 7 ⋯⋯ 路程 / 千米 7 14 21 28 35 42 49 ⋯⋯ （1）图中的点 A 表示时间为 1 分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为 7 千米。请你试着描出其 他各点。 （2）连接各点，它们在一条直线上吗？ （3）根据图像判断， 列车运行 2 分半钟时， 行驶的路程是多少千米？行驶 30 千米大约 需要几分钟？ 路程 / 千米 42 35 28 21 14 7 ●A 0 1 2 3 4 5 6 7 时间 / 分 分析与解： 根据提供的各组数据描出图像的许多个点， 再依次连成直线。 路程和时间相对应 的数的比值都是 7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条直线。对 照图像，可以根据时间的值估计出路程的值，也可以根据路程的值估计出时间 的值，估计时允许有一定的出入。 （1）描点、连线如图。 路程 / 千米 42 ● 35 ● 28 ● 21 ● 14 ● 7 ●A 0 1 2 3 4 5 6 7 时间 / 分 （2）在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。 （3）根据图像， 列车运行 2 分半钟时， 行驶的路程是 17.5 千米； 行驶 30 千米大约需要 4.3 分钟。 例 4、（辨析） 圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？ 分析与解： 圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。 可列表判断。 半径 /cm 1 2 3 4 5 6 ⋯⋯ 直径 /cm 2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 周长 /cm 6.28 12.56 18.84 25.12 31.4 37.68 ⋯⋯ 面积 /cm2 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 ⋯⋯ 圆的周长和直径的相对应的数的比值都是 3.14 ，所以圆的周长和直径成正比例。而圆 的面积和半径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。 圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。 例 5、（反比例的意义） 下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。 这两种量有什 么关系？ 每小时加工零件的个数 / 个 20 30 40 60 80 ⋯⋯ 加工的时间 / 时 12 8 6 4 3 ⋯⋯ 分析与解： （1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。 （2） 从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；从右往 左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。所以它们是两 种相关联的量。 （3）每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都 始终不变，如 20 × 12 = 240 ，30 × 8 = 240 ，40 × 6 = 240 ⋯⋯而这 个积就是这批零件的总个数。 通过观察和计算，我们发现：每小时加工零件的个数和加工的时 间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而 变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有这样的关系： 每小时加工零件的个数 × 加工的时间 = 零件的总个数（一定） 。 所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之间的 关系叫做反比例关系。 点评： 判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：一看它们是不是相关联的两种 量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它 们的乘积是否一定， 进行判断。 不要省去任何一步。 如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种 相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：ｘｙ = K （一定） 。 例 6、（判断是否成反比例） 总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？为什么？ 分析与解： 根据反比例的意义， 看两个变量的乘积是否一定， 如果两个变量的积一定， 那么 这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。 每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系： 每公顷的产量 × 公顷数 = 总产量（一定） 所以每公顷的产量和公顷数成反比例。 例 7、（辨析） 和一定，一个加数和另一个加数成反比例。 分析与解： 判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显，和一 定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。 和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。 点评： 有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一定， 也 不是比值一定，它们就不成比例。像这样的还有：人的跳高高度和身高； 减数一定，被减数和差等。 例 8、（综合题 1） （1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？为什么？ （2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？为什么？ 分析与解： 判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。 （1）因为长方形的长 × 宽 = 长方形的面积 （一定） ，所以长和宽成反比例。 （2）长方形的周长 = （长 +宽）× 2 ，长方形的周长一定，长 +宽的和一定，但不是积一 定，所以长和宽不成反比例。 例 9、（综合题 2） 分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。 （1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数； （2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数； （3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。 分析与解： 在大米的总千克数、 每天吃的千克数和天数这三种量中， 当某一种量一定时，另 外两种量可能成正比例关系， 也可能成反比例关系。 可以根据数量关系式来判断。 （1）因为每天吃的千克数 × 天数 = 大米的总千克数（一定） ，所以大米的总千克数一定 时，每天吃的千克数和天数成反比例。 （2）因为 天数 大米的总千克数 = 每天吃的千克数（一定） ，所以每天吃的千克数一定时，大 米的总千克数和天数成正比例。 （3）因为 每天吃的千克数 大米的总千克数 = 天数（一定） ，所以天数一定时，大米的总千克数和每天吃 的千克数成正比例。 小学数学总复习专题讲解及训练（八） 主要内容 正比例和反比例 学习目标 1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相 关联的量是否成正比例或反比例。 2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格 纸上画出相应的直线， 能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。 3、使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感 受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。 4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成 积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。 考点分析 1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数 的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正 比例关系。 如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可 以用这样的式子来表示： x y = K （一定） 。 2、用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根据一 种量的值，估计另一种量相对应的值。 3、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数 的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。 如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的积，反比例关系可以 用这样的式子来表示：ｘｙ = K （一定） 。 4、两个变量的比值一定，这两个变量成正比例；两个变量的积一定，这两个变量成反比例； 没有上述两种关系，这两个变量不成比例。 典型例题 例 1、（正比例的意义） 一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系？ 时间 / 时 1 2 3 4 5 6 ⋯⋯ 路程 / 千米 120 240 360 480 600 720 ⋯⋯ 分析与解： （1）从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。 （2）从左往右看，时间扩大，路程也扩大；从右往左看，时间缩小，路程也缩小。所以它 们是两种相关联的量。 （3）路程和时间的比值始终不变， 1 120 = 120， 2 240 = 120， 3 360 = 120⋯⋯这个比值就 是火车的行驶速度。 通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：第一点路程和时 间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化；第二点路程和 对应的时间的比的比值 （也就是速度） 是一定的， 有这样的关系： 时间 路程 = 速度（一定） 。 具备了这两个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例关 系；行驶的路程和时间成正比例的量。 点评： 判断两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种 量变化， 另一种量是不是也随着变化； 满足了前面两个条件，再看它们的比值是否一 定。 不要省去任何一步。 如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们 的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示： x y = K （一定） 。 例 2、（判断是否成正比例） 练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？为什么？ 分析与解： 根据正比例的意义， 看两个变量的比值是否一定， 如果两个变量的比值一定，那 么这两个变量就成正比例，反之，则不成正比例。 买练习本的数量和总价是两种相关联的量， 它们与练习本的单价有下面的关 系： 数量 买练习本的总价 = 练习本的单价（一定） 所以练习本的数量和总价成正比例。 例 3、（正比例的图像） 磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。 时间 / 分 1 2 3 4 5 6 7 ⋯⋯ 路程 / 千米 7 14 21 28 35 42 49 ⋯⋯ （1）图中的点 A 表示时间为 1 分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为 7 千米。请你试着描出其 他各点。 （2）连接各点，它们在一条直线上吗？ （3）根据图像判断， 列车运行 2 分半钟时， 行驶的路程是多少千米？行驶 30 千米大约 需要几分钟？ 路程 / 千米 42 35 28 21 14 7 ●A 0 1 2 3 4 5 6 7 时间 / 分 分析与解： 根据提供的各组数据描出图像的许多个点， 再依次连成直线。 路程和时间相对应 的数的比值都是 7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条直线。对 照图像，可以根据时间的值估计出路程的值，也可以根据路程的值估计出时间 的值，估计时允许有一定的出入。 （1）描点、连线如图。 路程 / 千米 42 ● 35 ● 28 ● 21 ● 14 ● 7 ●A 0 1 2 3 4 5 6 7 时间 / 分 （2）在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。 （3）根据图像， 列车运行 2 分半钟时， 行驶的路程是 17.5 千米； 行驶 30 千米大约需要 4.3 分钟。 例 4、（辨析） 圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？ 分析与解： 圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。 可列表判断。 半径 /cm 1 2 3 4 5 6 ⋯⋯ 直径 /cm 2 4 6 8 10 12 ⋯⋯ 周长 /cm 6.28 12.56 18.84 25.12 31.4 37.68 ⋯⋯ 面积 /cm2 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 ⋯⋯ 圆的周长和直径的相对应的数的比值都是 3.14 ，所以圆的周长和直径成正比例。而圆 的面积和半径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。 圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。 例 5、（反比例的意义） 下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。 这两种量有什 么关系？ 每小时加工零件的个数 / 个 20 30 40 60 80 ⋯⋯ 加工的时间 / 时 12 8 6 4 3 ⋯⋯ 分析与解： （1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。 （2） 从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；从右往 左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。所以它们是两 种相关联的量。 （3）每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都 始终不变，如 20 × 12 = 240 ，30 × 8 = 240 ，40 × 6 = 240 ⋯⋯而这 个积就是这批零件的总个数。 通过观察和计算，我们发现：每小时加工零件的个数和加工的时 间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而 变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有这样的关系： 每小时加工零件的个数 × 加工的时间 = 零件的总个数（一定） 。 所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之间的 关系叫做反比例关系。 点评： 判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：一看它们是不是相关联的两种 量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它 们的乘积是否一定， 进行判断。 不要省去任何一步。 如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种 相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：ｘｙ = K （一定） 。 例 6、（判断是否成反比例） 总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？为什么？ 分析与解： 根据反比例的意义， 看两个变量的乘积是否一定， 如果两个变量的积一定， 那么 这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。 每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系： 每公顷的产量 × 公顷数 = 总产量（一定） 所以每公顷的产量和公顷数成反比例。 例 7、（辨析） 和一定，一个加数和另一个加数成反比例。 分析与解： 判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显，和一 定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。 和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。 点评： 有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一定， 也 不是比值一定，它们就不成比例。像这样的还有：人的跳高高度和身高； 减数一定，被减数和差等。 例 8、（综合题 1） （1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？为什么？ （2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？为什么？ 分析与解： 判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。 （1）因为长方形的长 × 宽 = 长方形的面积 （一定） ，所以长和宽成反比例。 （2）长方形的周长 = （长 +宽）× 2 ，长方形的周长一定，长 +宽的和一定，但不是积一 定，所以长和宽不成反比例。 例 9、（综合题 2） 分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。 （1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数； （2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数； （3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。 分析与解： 在大米的总千克数、 每天吃的千克数和天数这三种量中， 当某一种量一定时，另 外两种量可能成正比例关系， 也可能成反比例关系。 可以根据数量关系式来判断。 （1）因为每天吃的千克数 × 天数 = 大米的总千克数（一定） ，所以大米的总千克数一定 时，每天吃的千克数和天数成反比例。 （2）因为 天数 大米的总千克数 = 每天吃的千克数（一定） ，所以每天吃的千克数一定时，大 米的总千克数和天数成正比例。 （3）因为 每天吃的千克数 大米的总千克数 = 天数（一定） ，所以天数一定时，大米的总千克数和每天吃 的千克数成正比例。 模拟试题 1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？ 表格 1 数量 / 本 1 3 6 8 10 20 ⋯⋯ 总价 / 元 4 12 24 32 40 80 ⋯⋯ 表格 2 单价 / 元 1.5 2 3 4 5 6 ⋯⋯ 总价 / 元 6 8 12 16 20 24 ⋯⋯ 表格 3 用 60 元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表： 单价 / 元 1.5 2 3 4 5 6 ⋯⋯ 数量 / 本 40 30 20 15 12 10 ⋯⋯ 2、用一批纸装订练习本，每本 25 页，可以装订 400 本。如果要装订 500 本，每本有 X 页。 题中 （ ）量一定， 关系式： （ ）○（ ）＝（ ）（一定） ，（ ）和（ ） 成（ ）比例。 3、一间会客室地面用边长 0.3 米的正方形地砖铺，需要 640 块。如果改用边长 0.4 米的正 方形地砖，需要 Y 块。 题中（ ）量一定，关系式： （ ）○（ ）＝（ ）（一定） ，（ ） 和（ ）成（ ）比例。 4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时， （ ）与（ ）成（ ）比例； 当高一定时， （ ）与（ ）成（ ）比例； 当侧面积一定时， （ ）与（ ）成（ ）比例。 5、在被除数、除数、商这三种量中， 当（ ）一定时， （ ）与（ ）成正比例； 当（ ）一定时， （ ）与（ ）成反比例； 6、当 a × b ＝ c（ a、b、c 为三种量，且均不为 0）。 ( )一定， （ ）与（ ）成（ ）比例； （ ）一定， （ ）与（ ）成（ ）比例； （ ）一定， （ ）与（ ）成（ ）比例； 7、判断。 （ 1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。 （ ） （ 2）、图上距离和实际距离成正比例。 （ ） （ 3）、X和 Y 表示两种变化的相关联的量，同时 5X－7Y＝0，X 和 Y 不成比例。 （ ） （ 4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ ） （ 5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。 （ ） （ 6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。 （ ） （ 7）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。 ( ) （ 8）在 400 米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。 ( ) （ 9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( ) （ 10）正方体的棱长和体积成正比例。 ( ) （ 11）被除数一定，除数和商成反比例。 ( ) （ 12）圆的周长和它的直径成正比例。 ( ) 8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。 （ 1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（ ）。 （ 2）、正方形的边长和周长（ ）。 （ 3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（ ）。 （ 4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（ ）。 （ 5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（ ）。 （ 6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（ ）。 9、思考：明明三岁时体重 12 千克，十一岁时体重 44 千克。于是小张就说： “明明的体重和 身高成正比例。 ”你认为小张的说法对吗？为什么？ 10、某造纸厂每小时造纸 1.5 吨， 2 小时、 3 小时┈┈各造纸多少吨？ （ 1）把下表填写完整。 造纸时间 / 时 1 2 3 4 ⋯⋯ 造纸吨数 / 吨 1.5 ⋯⋯ （ 2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。 吨数 / 吨 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间 / 时 （3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？ （4）根据图像判断， 5 小时造纸多少吨？ 参考答案： 1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？ 表格 1 数量 / 本 1 3 6 8 10 20 ⋯⋯ 总价 / 元 4 12 24 32 40 80 ⋯⋯ 1 4 = 4 ， 3 12 = 4 ， 6 24 = 4 ⋯⋯ 因为 数量 总价 = 单价（一定） ，所以单价一定时，总价和数量成正比例。 表格 2 单价 / 元 1.5 2 3 4 5 6 ⋯⋯ 总价 / 元 6 8 12 16 20 24 ⋯⋯ 5.1 6 = 4 ， 2 8 = 4 ， 3 12 = 4 ⋯⋯ 因为 单价 总价 = 数量（一定） ，所以数量一定时，总价和单价成正比例。 表格 3 用 60 元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表： 单价 / 元 1.5 2 3 4 5 6 ⋯⋯ 数量 / 本 40 30 20 15 12 10 ⋯⋯ 1.5 × 40 = 60 ，2 × 30 = 60 ，4 × 15 = 60 ⋯⋯ 因为单价 × 数量 = 总价（一定） ，所以总价一定时，单价和数量成反比例。 2、用一批纸装订练习本，每本 25 页，可以装订 400 本。如果要装订 500 本，每本有 X 页。 题中 （ 纸的总页数 ）量一定， 关系式： （ 每本页数 ） × （ 装订本数 ）＝（ 纸 的总页数 ）（一定） ，（ 每本页数 ）和（ 装订本数 ）成（ 反 ）比例。 3、一间会客室地面用边长 0.3 米的正方形地砖铺，需要 640 块。如果改用边长 0.4 米的正 方形地砖，需要 Y 块。 题中（ 会客室地面面积 ）量一定，关系式： （ 每块砖的面积 ）×（ 砖的块数 ） ＝（ 会客室地面面积 ）（一定） ，（ 每块砖的面积 ）和 （ 砖的块数 ）成（ 反 ） 比例。 4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时， （ 侧面积 ）与（ 高 ）成（正）比例； 当高一定时， （ 侧面积 ）与（ 底面周长 ）成（正）比例； 当侧面积一定时， （ 底面周长 ）与（ 高 ）成（ 反 ）比例。 5、在被除数、除数、商这三种量中， 当（ 除数 ）一定时， （ 被除数 ）与（ 商 ）成正比例； 当（ 被除数 ）一定时， （ 除数 ）与（ 商 ）成反比例； 6、当 a × b ＝ c（ a、b、c 为三种量，且均不为 0）。 ( c )一定， （ a ）与（ b ）成（ 反 ）比例； （ a ）一定， （ c ）与（ b ）成（ 正 ）比例； （ b ）一定， （ c ）与（ a ）成（ 正 ）比例； 7、判断。 （ 1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。 （ √ ） （ 2）、图上距离和实际距离成正比例。 （ × ） （ 3）、X 和 Y表示两种变化的相关联的量， 同时 5X－7Y＝0，X 和 Y不成比例。 （ × ） （ 4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ √ ） （ 5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。 （ √ ） （ 6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。 （ × ） （ 7）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。 ( √ ) （ 8）在 400 米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。 ( √ ) （ 9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( × ) （ 10）正方体的棱长和体积成正比例。 ( × ) （ 11）被除数一定，除数和商成反比例。 ( √ ) （ 12）圆的周长和它的直径成正比例。 ( √ ) 8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。 （ 1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（ 反比例 ）。 （ 2）、正方形的边长和周长（ 正比例 ）。 （ 3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（ 反比例 ）。 （ 4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（ 反比例 ）。 （ 5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（ 反比例 ）。 （ 6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（ 正比例 ）。 9、思考：明明三岁时体重 12 千克，十一岁时体重 44 千克。于是小张就说： “明明的体重和 身高成正比例。 ”你认为小张的说法对吗？为什么？ 答：小张的说法是错误的，体重和身高不是两种相关联的量，体重和身高不成比例。 10、某造纸厂每小时造纸 1.5 吨， 2 小时、 3 小时┈┈各造纸多少吨？ （ 1）把下表填写完整。 造纸时间 / 时 1 2 3 4 ⋯⋯ 造纸吨数 / 吨 1.5 3 4.5 6 ⋯⋯ ● ● （ 2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。 吨数 / 吨 6 ● 5 4 3 ● 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间 / 时 （3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？ 因为 造纸时间 造纸吨数 = 每小时造纸吨数 （一定） ，所以每小时造纸吨数一定时， 造纸吨数与 造纸时间成正比例。 （4）根据图像判断， 5 小时造纸多少吨？ 根据图像判断， 5 小时造纸 7.5 吨 小学数学总复习专题讲解及训练（九） 教学内容： 期中复习及考前模拟 复习要点： （一）数与代数 1、百分数的应用 百分数的应用是在六年级（上册）认识百分数的基础上编排的，是本册教材的 重点内容之一。要联系实际解决一些求一个数比另一个数多（或少）百分之几的问 题，解决较简单的有关纳税、利息、折扣的问题，解决已知一个数的百分之几是多 少，求这个数的问题。通过这些内容的教学，能让学生进一步理解百分数的意义， 学会在日常生活中应用百分数。 2、比例的有关知识 比例的知识有比例的意义、比例的基本性质和解比例。这些知识有助于理解图形的 放大与缩小，能用来解决有关比例尺的问题。 3、成正比例和成反比例的量 教学正比例和反比例，着重理解正比例的意义和反比例的意义，让学生在现实的情 境中作出相应的判断。根据《标准》的精神，教材适当加强了正比例关系图像的教 学，不再安排解答正比例或反比例的应用题。 （二）空间与图形 1、圆柱和圆锥 圆柱与圆锥是本册教材的又一个重点内容，包括圆柱和圆锥的形状特征，圆柱 的表面积及计算方法，圆柱和圆锥的体积及计算方法等知识。 2、图形的放大或缩小 图形的放大和缩小是小学数学新增加的教学内容，让学生初步了解图形可以按 一定的比例发生大小变换。 这个内容安排在第三单元里， 结合比例的知识进行教学。 3、确定位置等内容 确定位置也是新增的教学内容，在初步认识方向的基础上，用“北偏东几度” “南偏西几度”的形式量化描述物体所在的具体方向，还要联系比例尺的知识，用 “距离多少”的形式描述物体所在的位置。 知识点梳理 （一）数与代数 1、百分数的应用 （1）求一个数比另一个数多（少）百分之几的实际问题 ①要点：一个数比另一个数多（少）百分之几 = 一个数比另一个数多（少）的量÷另一个 数 ②例题： 六年级男生有 180 人，女生有 160 人，男生比女生多百分之几？女生比男生少百分 只几？ 男生比女生多的人数 ÷ 女生人数 = 百分之几 （180 - 160）÷ 160 = 12.5％ 女生比男生少的人数 ÷ 男生人数 = 百分之几 （ 180 - 160）÷ 180 ≈ 11.1％ （2）纳税问题 ①要点：应该缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入的比率叫做税率， 应纳税额 = 收入 × 税率 ②例题：张强编写的书在出版后得到稿费 1400 元，稿费收入扣除 800 元后按 14%的税率缴 纳个人所得税，张强应该缴纳个人所得税多少元？ （1400 - 800）× 14% = 84（元） （3）利息问题 ①要点：存入银行的钱叫做本金，取款时银行除还给本金外，另外付给的钱叫做利息，利息 占本金的百分率叫做利率。税前应得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ②例题：叔叔今年存入银行 10 万元，定期二年，年利率 4.50% ，二年后到期，扣除利息税 5% ，得到的利息能买一台 6000 元的电脑吗？ 100000 × 4.5% × 2 × （1 - 5%） = 8550（元） 8550 元 > 6000 元 得到的利息能买一台 6000 元的电脑 （4）有关折扣问题 ①要点： 几折就是十分之几， 也就是百分之几十。 商品现价 = 商品原价 × 折数。 ②例题：一种衣服原价每件 50 元，现在打九折出售，每件售价多少元？ 九折就是 90%，50×90%=50×0.9=45(元 ) 例题：一种衣服现在打九折出售，现在售价是 45 元，每件的原价是多少元？ 九折”就是 90%，ⅹ× 90% = 45 ⅹ=50 （5）列方程解稍复杂的百分数实际问题 ①要点： 解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、 解题方法完全相同； 解答“已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数”的实际问题，可以 根据数量间的相等关系列方程求解；或者根据除法的意义，直接解答。 ②例题：果园里的梨树和苹果树共有 360 棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的 20%。苹 果树和梨树各有多少棵？ 解：设梨树有ｘ棵，苹果树有 20%ｘ棵 ｘ + 20％ｘ = 360 ｘ = 300 20％ｘ = 300 × 20％ = 60 答：梨树有 300 棵，苹果树有 60 棵。 例题：某工厂六月份用煤 60 吨，六月份比五月份少用煤 25％，五月份用煤多少 吨？ 解：设五月份用煤ｘ吨 ｘ - 25％ｘ = 60 ｘ = 80 答：五月份用煤 80 吨。 2、比例的有关知识 （1）比例的意义 ①要点：表示两个比相等的式子叫做比例。 ②例题：应用比例的意义判断 6.4 : 4 和 9.6 : 6 能否组成比例？ 因为： 6.4 : 4 = 6.4 ÷ 4 = 1.6 9.6 : 6 = 9.6 ÷ 6 = 1.6 所以： 6.4 : 4 = 9.6 : 6 （2）比例的基本性质 ①要点：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做 比例的内项； 在比例里， 两个外项的积等于两个内项的积。 这叫做比例的基本性质。 ②例题： 3 ：8 = 18 ：48 3 × 48 = 8 × 18 内项 外项 例题：运用比例的基本性质判断 3． 6 ：1．8 和 0．5 ：0．25 能否组成比例？ 因为 3.6 × 0.25 = 0.9 1.8 × 0.5 = 0.9 所以 3 ．6 ： 1．8 = 0 ．5 ： 0．25 例题：从 12 的因数中任意选出 4 个数，再组成 8 个比例式。 因为： 12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4 所以从 12 的因数中任意选出两组 4 个数并运用比例的基本性质可以组成 8 个不同的比例。 2 × 6 = 3 × 4 （2）︰（ 3）= （4）︰（ 6） （3）︰（ 2）= （6）︰（ 4） （2）︰（ 3）= （4）︰（ 6） （3）︰（ 2）= （6）︰（ 4） （6）︰（ 4）= （3）︰（ 2） （4）︰（ 6）= （2）︰（ 3） （6）︰（ 4）= （3）︰（ 2） （4）︰（ 6）= （2）︰（ 3） （3）解比例 ①要点： 根据比例的基本性质， 如果已知比例中的任意三项， 就可以求出这个比例中的另一 个未知项。求比例的未知项，叫做解比例。 ②例题： 3 : 8 = ⅹ : 40 x 9 = 8.0 5.4 8 ⅹ = 3 × 40 4.5 ⅹ = 9 × 0.8 8ⅹ = 120 4.5 ⅹ = 7.2 ⅹ = 15 ⅹ = 1.6 (4) 比例尺 ①要点：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 比例尺 = 实际距离 图上距离 ，比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。 ②例题：在一幅某乡农作物布局图上， 20 厘米表示实际距离 16 千米。求这幅图的比例 尺。 16 千米 = 1600000 厘米 1600000 20 = 80000 1 例题：说出下面比例尺表示的意思。 这是线段比例尺，它表示图上 1 厘米的距离代表实际距离 200 千米。 例题：在一幅比例尺是 1：500000 的地图上，量得甲、乙两城的距离是 12.5 厘米。甲、乙 两城实际相距多少千米？ 方法 1、12.5 ×500000 = 6250000 （厘米） = 62.5 （千米） 方法 2、2.5 ×5 = 62.5 （千米） 方法 3、12.5 ÷ 500000 1 = 12.5 ×500000 = 6250000 （厘米） = 62.5 千米 解：设甲、乙两城实际相距ⅹ厘米。 5.12 = 500000 1 1ⅹ = 12.5 × 500000 ⅹ = 6250000 6250000（厘米） = 62.5 千米 （5）面积变化 ①要点：把一个平面图形按照一定的倍数（ n）放大或缩小到原来的几分之一（ n 1 ）后，放 大（或缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是 n2:1 （或 1:n 2）。 ②例题： 下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。 分别量出它们的长和 宽，算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。 量得小长方形的长是 2.5 厘米，宽是 1 厘米；大长方形的长是 7.5 厘米， 宽是 3 厘米。大长方形与小长方形长的比是 7.5 : 2.5 = 3 : 1 ，宽的比是 3 : 1 。 小长方形的面积 大长方形的面积 = 15.2 35.7 = 5.2 5.7 × 1 3 = 9 : 1 = 3 2 : 1 大长方形与小长方形面积的比是 9 : 1 。 3、成正比例和成反比例的量 （1）正比例的意义和图像 ①要点：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两 个数的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关 系叫做正比例关系。 如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量， 用ｋ表示它们的比值， 正比例 关系可以用这样的式子来表示： x y = K （一定）用“描点法”可以得到正 比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根据一种量的值，估 计另一种量相对应的值。 ②例题：仔细观察下表，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？ 表格 1 数量 /本 1 3 6 8 10 20 ⋯⋯ 总价 /元 4 12 24 32 40 80 ⋯⋯ 1 4 = 4 ， 3 12 = 4 ， 6 24 = 4 ⋯⋯ 因为 数量 总价 = 单价（一定） ，所以单价一定时，总价和数量成正比例。 例题：在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当（ ）一定时， （ ）与（ ）成正比例； 当（ ）一定时， （ ）与（ ）成正比例。 例题：某造纸厂每小时造纸 1.5 吨， 2 小时、 3 小时┈┈各造纸多少吨？ 造纸时间 /时 1 2 3 4 ⋯⋯ 造纸吨数 /吨 1.5 ⋯⋯ 根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连 起来。 吨数 / 吨 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间 / 时 造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？ 因为 造纸时间 造纸吨数 = 每小时造纸吨数 （一定） ，所以每小时造纸吨数一定时， 造纸吨 数与造纸时间成正比例。 根据图像判断， 5 小时造纸多少吨？ 根据图像判断， 5 小时造纸 7.5 吨 （2）反比例的意义 ①要点：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两 个数的乘积一定， 这两种量就叫做成反比例的量， 它们之间的关系叫做反比例关系。 如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量， 用ｋ表示它们的积， 反比例 关系可以用这样的式子来表示：ｘｙ = K （一定） 。 ②例题：仔细观察下表，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？用 60 元 钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表： 单价 /元 1.5 2 3 4 5 6 ⋯⋯ 数量 /本 40 30 20 15 12 10 ⋯⋯ 1.5 × 40 = 60 ，2 × 30 = 60 ， 4 × 15 = 60 ⋯⋯ 因为单价 × 数量 = 总价（一定） ，所以总价一定时，单价和数量成反比例。 例题：在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中当（ ）一定时， （ ）与（ ）成反比 例。 （二）空间与图形 1、圆柱和圆锥 （1）圆柱和圆锥的特征 圆柱 圆锥 底面 两个底面完全相同，都 是圆形。 一个底面，是圆形。 侧面 曲面，沿高剪开，展开 后是长方形。 曲面， 沿顶点到底面圆周上的一 条线段剪开，展开后是扇形。 高 两个底面之间的距离， 有无数条。 顶点到底面圆心的距离， 只有一 条。 （2）圆柱的表面积和体积 ①要点：圆柱的侧面积 = 底面周长 × 高 圆柱的表面积 = 侧面积 + 底面积 × 2 圆柱所占空间的大小是圆柱的体积， 圆柱的体积 （容积） = 底面积 × 高， 用含有字母的式子表示是： V = sh 或者 V = лr2h 。 ②例题：用铁皮制作一个圆柱形烟囱，要求底面直径是 3 分米，高是 15 分米，制作这个烟 囱至少需要铁皮多少平方分米？（接头处不计，得数保留整平方分米） 侧面积： 3.14 × 3 × 15 = 141.3 （平方分米）≈ 142 （平方分米） 例题： 一个圆柱形蓄水池， 底面周长是 25.12 米，高是 4 米，将这个蓄水池四周及底部 抹 上水泥。如果每平方米要用水泥 20 千克，一共要用多少千克水泥？ 底面积： 25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 4 （米） 3.14 × 4 2 = 50.24 （平方米） 侧面积： 25.12 × 4 = 100.48 （平方米） 表面积： 50.24 + 100.48 = 150.72 （平方米） 水泥质量： 150.72 × 20 = 3014.4 千克 例题： 在直径 0.8 米的水管中， 水流速度是每秒 2 米，那么 1 分钟流过的水有多少立方米？ 3.14 ×（ 0.8 ÷2）2 × 2 × 60 = 60.288 （立方米） （3）圆锥的体积 ①要点： 圆锥所占空间的大小是圆锥的体积， 圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的三分 之一。即 V = 3 1 sh 或者 V = 3 1 л r 2h 。 ②例题：一个圆锥体的体积是 a 立方米，和它等底等高的圆柱体体积是 ( ) 例题： 把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体， 圆柱体体积是 6 立方米，圆锥体体积是 ( ) 立方米 例题：一个圆锥形沙堆，高是 1.5 米，底面半径是 2 米，每立方米沙重 1.8 吨。这堆沙约重 多少吨？ 3 1 ×3.14 ×2 2×1.5 ×1.8 = 11.304 （吨） 2、图形的放大或缩小 ①要点：把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。 ②例题： 一张长方形图片， 长 12 厘米，宽 9 厘米。按 1 : 3 的比缩小后， 新图片的长是 （ ） 厘米，宽是（ ）厘米，这张图片（ ）不变，大小（ ）。 一张长方形图片，长 12 厘米，宽 9 厘米。按 1 : 3 的比缩小后，新图片的长是 （ 4 ）厘米，宽是（ 3 ）厘米，这张图片（ 形状 ）不变，大小（ 变 了 ）。 例题：一块正方形的花手帕，边长 10 厘米，将其按（ ）的比放大后，边长变为 30 厘米。 一块正方形的花手帕，边长 10 厘米，将其按（ 3 : 1 ）的比放大后，边长变 为 30 厘米。 例题：按 2 : 1 的比画出平行四边形放大后的图形，按 1 : 3 的比画出长方形缩小后 的图形。 3、确定位置等内容 ①要点：知道了物体的方向和距离，就能确定物体的位置。 根据物体的位置，结合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置。 画的时候先按方向画一条射线，在根据图上距离找出点所在的位置。 描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行走的方向与路程。 ②例题：下图是按 1︰50000 的比例尺绘出的方位图。说一说商店、公园、电影院的位 置。 电影院 ●30o ● ● 40o 广场 公园 ● 商店 公园在广场的东面（ 0.75 ）千米处。 量得公园到广场的图上距离是 1.5 厘米， 1.5 × 50000 = 75000 厘米 = 0.75 千米 电影院在广场的（ 北 ）偏（ 东 ）（ 60 o ）方向（ 0.75 ）千米处。 商店在广场的（ 南偏西 50 o方向 1.5 千米处 ）。量得商店到广场的图上距离是 3 厘米 例题：下图是某市旅游 1 号车行驶的线路图，请根据线路图填空。 旅游 1 号车从起点站出发， 向 （ ）行驶到达青水公园， 再向 （ ）偏（ ） （ ）的方向行（ ）千米到达抗战纪念碑。 由绿博园向南偏（ ）（ ）的方向行（ ）千米到达购物中心，再向 北偏（ ）（ ）的方向行（ ）千米到达人民公园。 旅游 1 号车从起点站出发，向（ 东 ）行驶到达青水公园， 再向（ 北 ）偏（东） （40o）的方向行（ 1.8 ）千米到达抗战纪念碑。 由绿博园向南偏（东） （60o）的方向行（ 1.7）千米到达购物中心，再向北偏 （ 东 ）（70o）的方向行（ 1.5）千米到达人民公园。 模拟试题 一、填空。 1、( )÷15=0.8=( )%=( )成 2、篮球个数是足球的 125％，篮球比足球多（ ）％。 3、一个圆锥的体积是 76 立方厘米，底面积是 19 平方厘米。这个圆锥的高是（ ）厘米。 4、如果 3a=4b，那么 a : b = ( )：（ ） 。 5、 一个直角三角形中，两个锐角度数的比是 3 : 2 ,这两个锐角分别是（ ）度、（ ）度。 6、 12 的 约 数 中 可 以 选 出 4 个 数 组 成 一 个 比 例 ， 请 你 写 出 比 值 不 同 的 两 组 ： （ ）、（ ）。 7、 一个比例里，两个外项正好互为倒数，其中一个内项是 2.5，另一个内项是（ ）。 8、一个圆柱的底面半径为 2 厘米，侧面展开后正好是一个正方形，圆柱的体积是（ ） 立方厘米。 9、一个长为 6 厘米，宽为 4 厘米的长方形，以长为轴旋转一周，将会得到一个底面直径是 （ ）厘米，高为（ ）厘米的（ ）体，它的体积是（ ）立方厘米。 10、 如左图所示， 把一个高为 10 厘米的圆柱切成若干等分， 拼成 一个近似的长方体。如果这个长方体的底面积是 50 平方厘 米，那么圆柱体积是 ( ) 立方厘米 二、选择。 1、圆的面积和它的半径 . A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成比例 2、下列说法正确的有 。 A、表示两个比相等的式子叫做比例。 B 、互质的两个数没有公约数。 C、分子一定，分数值和分母成反比例。 D、圆锥的体积等于圆柱体积的 3 1 。 3、圆柱的底面半径扩大 2 倍，高不变。它的底面积扩大 倍，侧面积扩 大 倍，体积扩大 倍。 A 2 、 B 4 、 C 8 、 D 16 4. 六（ 2）班人数的 40％是女生，六（ 3）班人数的 45％是女生，两班女生人数相等。那么 六（ 2）班的人数 _____六（ 3）班人数。 A. 小于 B. 等于 C . 大于 D ．都不是 5．把一团圆柱体橡皮泥揉成一个与它等底的圆锥体，高将 _______ A. 扩大 3 倍 B. 缩小 3 倍 C. 扩大 6 倍 D. 缩小 6 倍 三、计算。 1、用递等式计算。 （12 分） 0.16 ＋4÷（ 8 3 － 4 1 ） 1.7 ＋3.98 ＋5 10 3 4.8 × 3.9 ＋6.1 ×4 5 4 2、解方程。 (6 分) 2X＋3× 0.9=24.7 0.3 ：x=17 ：51 X 2.3 =0.5 四、画一画。 （5 分） 学校的操场长 150 米，宽 60 米，请你根据比例尺在下面的空白处画出操场的平面图。 （并请你标明比例尺及长宽的厘米数） （1：3000） 宜陵农业银行 （定期）储蓄存单 帐号×××××× 币种人民币 金额（大写）五千元 小写￥ 5000 元 存入期 存期 年利率 起息日 到期日 2005年3月 20 日 3 年 5．22% 2003年 4月1 日 2008年3 月20日 五、解决实际问题（ 25 分） 1、下面是张大爷的一张存单，如果到期要交 5%的利息税，他的存款到期时实际可得多少元 利息？ 2、一个圆柱形的无盖水桶， 底面半径 4 分米，高 6 分米， 至少需要用多少平方分米的铁皮？ （用进一法取近似值，得数保留整数） ；如果用来装水，可以装多少千克水？（每升水重 1 千克） 3、一条公路已经修了它的 5 2 ，再修 300 米，就修好这条公路的一半。 这条公路长多少米？ 4．有一个近似的圆锥形砂堆重 3.6 吨，测得高是 1.2 米，如果每吨砂的体积是 0.6 立方米。 这堆砂的底面积是多少平方米？ 5、用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如下图） ，打结处正好是底面圆心，打 结用去绳长 25 厘米。 （１）、扎这个盒子至少用去塑料绳多少厘米？ （２）、在它的整个侧面贴上商标和说明，这部分的面积至少多少平方厘米？ 小学数学总复习专题讲解及训练（十） 主要内容 解决问题的策略 学习目标 1、让学生在直观的情境中想到转化，并应用图形的平移和旋转知识进行图形的等积，等周 长的变形。 2、在解决实际问题过程中体会转化的含义和应用的手段，感受转化在解决这个问题时 的价值。 3、进一步积累解决问题的经验 , 增强解决问题的“转化”意识 , 提高学好数学的信心。 考点分析 转化能把新颖的问题变成已经认识、已能解决的问题，从而创造性地利用已有的知识， 经验。 典型例题 例 1、（运用转化的策略巧算周长） 求下面图形的周长。 （单位：厘米） 分析与解： 求这个图形的周长， 就是求围成这个图形的所有线段的长度和。 图中有的线段的 长度不知道，可以将其中的 4 条线段进行平移（如下图） ，平移之后形成一个长 方形， 长方形的周长和原来图形的周长是相等的。 因此求原来图形周长的问题就 转化成了求下图这个长方形的周长。 解答：（ 20 + 7 +3 ）× 2 = 60 （厘米） 点评： 通过相等面积的代换转化， 把一些不规则的图形转化为规则的、 容易判断的图形， 这就是转化的优点，在解答时要灵活运用。 例 2、（将复杂的图形转化成简单的图形后计算面积） 如图 1 是一块长方形草地，长方形的长是 16 米，宽是 10 米。中间有两条道路，一条是 长方形，一条是平行四边形。草地部分的面积有多大？ 图 1 图 2 分析与解： 求草地部分的面积， 可以用大长方形的面积减去两条道路的面积， 但要考虑两条 道路的重叠部分，因此计算比较复杂。可以将图 1 转化成图 2，两条道路转化 到了长方形草地的边上，很明显，图 2 草地部分（阴影部分）的面积和图 1 相 等，现在求草地的面积转化成了求长方形的面积，计算比较简单。 解答：（ 16 - 2 ）× （ 10 - 2 ） = 112 （平方米） 答： 草地部分的面积是 112 平方米。 例 3、（辨析） 下面图形的周长可以转化成长 15 厘米、宽 9 厘米的长方形来计算， 即周长是（ 15 + 9 ）× 2 = 48 （厘米）。 分析与解： 如下图，将长 2 厘米的线段移到上面，转化成了一个长方形，但还多两条 3 厘米 的线段。 正确解答： （15 + 9 ）× 2 + 3 × 2 = 54 （厘米） 例 4、（已知两个量之间的分率关系与它们的和，求这两个量） 学校图书馆购进的科技书的册数是故事书的 7 3 ，购进的科技书和故事书一共 1500 册。 购进科技书多少册？ 分析与解： 这类有关分数的实际问题可以用方程来解答。 需要注意的是根据 “购进的科技书 的册数是故事书的 7 3 ”故事书是单位“ 1”的量，要设故事书有ｘ册，而不能直 接设科技书有ｘ册。 解答： 方法 1：设故事书有 x 册，科技书有 7 3 ｘ册。 X + 7 3 x = 1500 7 10 x = 1500 x = 1050 7 3 x = 7 3 × 1050 = 450 答： 购进科技书 450 册。 很显然，上面解答过程比较复杂。可以这样想：把总数看作单位“ 1”，根据“购进 的科技书的册数是故事书的 7 3 ”，可以把故事书看成 7 份，科技书有这样的 3 份，一共 有 10 份，科技书占总数的 10 3 ；可以看出科技书和故事书的比是 3 :7 ，根据按比例分 配问题的解法，可以知道科技书占总数的 10 3 。 方法 2：3÷（ 3 + 7 ）= 10 3 1500 × 10 3 = 450 （册） 答： 购进科技书 450 册。 例 5、（辨析） 红花的朵数比蓝花多 7 2 ，蓝花的朵数就比红花少 7 2 。 蓝花： 红花： 分析与解： 如图，根据“红花的朵数比蓝花多 7 2 ”，蓝花是单位“ 1”的量，平均分成 7 份， 红花有这样的 9 份。反过来，把红花看作单位“ 1”，红花平均分成了 9 份，蓝花 相当于这样的 7 份，蓝花的朵数比红花少 9 2 。 正确解答： 红花的朵数比蓝花多 7 2 ，蓝花的朵数就比红花少 9 2 。 例 6、（综合题） 小明读一本书，已读的页数是未读页数的 2 3 。他再读 30 页，这时已读的 页数是未读页数的 3 7 。这本书共多少页？ 分析与解： 本题中已读的页数和未读的页数均发生了变化， 不变的量是一本书的总页数， 即 已 读的页数和未读页数的和没有变，把这本书的总页数看作单位“ 1”。“已读的页数是未读页 数的 2 3 ”，可以转化为“已读的页数是这本书总页数的 5 3 ”；再读 30 页后“已读的页数是 未读页数的 3 7 ”，可以转化为“已读的页数是这本书总页数的 10 7 ”。 解答： 3 ÷ （ 3 + 2 ） = 5 3 7 ÷ （ 7 + 3 ） = 10 7 30 ÷ （ 10 7 - 5 3 ）= 300 （页） 答： 这本书共 300 页。 例 7、（综合题） 六（ 1）班原来女生占全班人数的 9 4 ，新学期转出了 4 名女生，这时女生 占全班人数的 5 2 。六（ 1）班现在有女生多少人？ 分析与解： 本题中女生人数和全班人数均发生了变化， 不变的量是男生的人数， 因此把男生 的人数看作单位“ 1”。“女生占全班人数的 9 4 ”，可以转化为“女生人数是男生人 数的 5 4 ”；转出若干名女生后， “女生占全班人数的 5 2 ”，可以转化为“女生人数 是男生人数的 3 2 ”。 解答： 4 ÷ （9 - 4 ）= 5 4 2 ÷ （ 5 - 2 ） = 3 2 4 ÷ （ 5 4 - 3 2 ）= 30 （人）┈┈ 男生人数 30 × 3 2 = 20 （人） ┈┈ 现有女生人数 答： 现在有女生 20 人。 点评： 分率的转化过程通常要借助于份数，可以先分析出单位“ 1”的份数，再根据关系分 析出另外的量的份数，再结合具体的条件进行分率的转化。 模拟试题 1、计算下面图形的周长。 （单位：厘米） 图 1 图 2 2、有一块长方形菜地，长 16 米，宽 8 米。菜地中间留了两条 2 米宽的路，把菜地平均分成 4 块，每块地的面积是多少平方米？（单位：米） 3、填空。 （1）六年级女生人数是男生人数的 3 2 ，那么男生人数是女生人数的 ______，女生人数是全 班人数的 _____。 （2）白兔的只数比黑兔少 6 1 ，白兔的只数是黑兔的 ____，黑兔的只数是白兔的 ____，黑兔 的只数比白兔多 ____，黑兔的只数占兔子总数的 ____。 （3）一杯果汁，已经喝了 5 2 ，喝掉的是剩下的 ____，剩下的是喝掉的 _____。 4、白兔和黑兔共有 40 只，黑兔的只数是白兔的 5 3 ，黑兔有多少只？ 5、小明看一本故事书， 已经看了全书的 7 3 ，还有 48 页没有看。 小明已经看了多少页？ 6、修一条长 30 千米的路，已经修的占剩下的 3 2 ，已经修了多少千米？ 7、山羊有 120 只，比绵羊少 6 1 ，绵羊有多少只？ 8、六年级（ 1）班的男生占全班人数的 5 2 ，女生有 18 人。男生有多少人？ 9、有 3 堆围棋子，每堆 60 枚。第一堆的黑子和第二堆的白子同样多，第三堆有 3 1 白子。这 三堆棋子一共有白子多少枚？ 参考答案 1、计算下面图形的周长。 （单位：厘米） 图 1 图 2 将图 1 转化为长 12 宽 20 厘米的长方形 周长： （20 +12）× 2 = 64 厘米 将图 2 长 2 厘米的线段移到下面，转化成了一个长方形，但还多两条 3 厘米的线段。 周长： （15 + 9 ） × 2 + 3 × 2 = 54 （厘米） 2、有一块长方形菜地，长 16 米，宽 8 米。菜地中间留了两条 2 米宽的路，把菜地平均分成 4 块，每块地的面积是多少平方米？（单位：米） （16 - 2 ）× （8 - 2 ）÷ 4 = 21 （平方米） 3、填空。 （1）六年级女生人数是男生人数的 3 2 ，那么男生人数是女生人数的 )2( )3( ，女生人数是全班 人数的 )5( )2( 。 （2）白兔的只数比黑兔少 6 1 ，白兔的只数是黑兔的 )6( )5( ，黑兔的只数是白兔的，黑兔的只 数比白兔多 )5( )1( ，黑兔的只数占兔子总数的 )11( )6( 。 （3）一杯果汁，已经喝了 5 2 ，喝掉的是剩下的 )3( )2( ，剩下的是喝掉的 )2( )3( 。 4、白兔和黑兔共有 40 只，黑兔的只数是白兔的 5 3 ，黑兔有多少只？ 黑兔的只数是白兔的 5 3 转化为黑兔的只数是兔子总只数的 8 3 40 × 8 3 = 15 （只） 5、小明看一本故事书， 已经看了全书的 7 3 ，还有 48 页没有看。 小明已经看了多少页？ 已经看了全书的 7 3 转化为已经看了的页数是还没有看的 4 3 48 × 4 3 = 36 （页） 6、修一条长 30 千米的路，已经修的占剩下的 3 2 ，已经修了多少千米？ 已经修的占剩下的 3 2 转化为已经修的占全长的 5 2 30 × 5 2 = 12 （千米） 7、山羊有 120 只，比绵羊少 6 1 ，绵羊有多少只？ 比绵羊少 6 1 转化为山羊是绵羊的 6 5 120 ÷ 6 5 = 144 （只） 8、六年级（ 1）班的男生占全班人数的 5 2 ，女生有 18 人。男生有多少人？ 男生占全班人数的 5 2 转化为男生占女生人数的 3 2 18 × 3 2 = 12 （人） 9、有 3 堆围棋子，每堆 60 枚。第一堆的黑子和第二堆的白子同样多，第三堆有 3 1 白子。这 三堆棋子一共有白子多少枚？ 第一堆的黑子和第二堆的白子同样多转化为第一堆全是白子第二堆全是黑子 60 + 60 × 3 1 = 80 （枚） )5( )6( 小学数学总复习专题讲解及训练（十一） 主要内容 统计 学习目标 1、 使学生结合实例认识扇形统计图， 能联系对百分数意义的理解， 对扇形统计图提供的信 息进行简单的分析， 提出或解决简单的实际问题， 初步体会扇形统计图描述数据的特点。 2、 使学生通过具体的实例，初步理解众数的含义，会求一组简单数据的众数， ，并能根 据具体的问题，选择适当的统计量表示一组数据的特征，体会不同统计量的特点。 3、 使学生结合具体实例初步理解中位数的意义， 会求一组简单数据的中位数。 能根据具体 问题选择合适的统计量表示一组数据的整体特征。 三、考点分析 1、扇形统计图可以清楚地表示出各部分数量同总数量之间的关系。 2、在一组数据中，出现的最多的数，叫做这组数据的众数。 3、一组数据的中位数，是指这组数据按大小顺序依次排列，处于最中间的那个数；如果正 中间有两个数，中位数就是这两个数的平均数。 4、如果一组数据的众数出现的次数很多，这时的众数具有代表性；如果一组数据里有极端 数据，这时的中位数具有代表性。 典型例题 例 1、（理解扇形统计图表示数据的方式，对扇形统计图进行简单的分析） 看统计图回答问题。 小明家 5 月份支出情况统计图： （1）图中的这个圆表示什么什么？被分成了几部分？每一部分都是什么形状？ （2）从图上看，哪项支出最多？哪项支出最少？ （3）你还能获得哪些信息？ 分析与解： 扇形统计图用一个圆表示总数量， 用不同的扇形表示各部分量占总数量的百分比。 根据统计图，我们可以对数据进行简单的分析。 解答：（1）图中的这个圆看作单位“ 1”，表示小明家 5 月份支出情况。被分成了 6 个扇形， 分别表示服装、食品、赡养老人、水电气、文化、其他这 6 项的支出情况。 （2）从图上扇形的大小可以直观地看出，食品支出最多，其他支出最少。当然也可以根据 各项支出占总支出的百分数来比较。 （3）可以看出各项支出占总支出的百分数， 如食品支出占总支出的 36﹪，文化支出占总 支 出的 20﹪┈┈┈ 点评： 扇形统计图通过各个扇形的大小，反映各个部分的多少。图的直观形象，容易引发比 较、估计和判断。当然所有量的扇形合起来是一个圆，总数量的分率是 100﹪。 例 2、（根据扇形统计图进行有关的计算） 如果小明家 5 月份总支出是 1600 元，根据例 1 的统计图，填写下表。 支出总类 食 品 服 装 赡养老人 水电气 文 化 其 他 金额 /元 分析与解： 图中的这个圆表示总支出， 看作单位 “1”，可以根据每项支出占总支出的百分数， 求出每项支出多少元。 解答： 食品： 1600 × 36 ﹪ = 576 （元） 服装： 1600 × 10 ﹪ = 160 （元） 赡养老人： 1600 × 16 ﹪ = 256 （元） 水电气： 1600 × 10 ﹪ = 160 （元） 文化： 1600 × 20 ﹪ = 320 （元） 其他： 1600 × 8 ﹪ = 128 （元） 支出总类 食 品 服 装 赡养老人 水电气 文 化 其 他 金额 /元 576 160 256 160 320 128 例 3、（辨析） 要表示各部分与总数的关系，就选用条形统计图。 分析与解： 条形统计图用长短不同的直条表示出不同的数量， 可以很容易地看出各种数量的 多少。但要反映各部分与总数的关系，应选用扇形统计图。 正确解答： 要表示各部分与总数的关系，就选用扇形统计图。 例 4、（理解众数的意义，并求一组数据的众数） 江阳电子配件厂第一车间有 12 名工人， 5 月份每人的日均生产零件个数是： 42、 51、46、44、48、50、51、56、 44、48、48、43。找出这组日产量的众数。 分析与解： 一组数据的众数是这组数据中出现次数最多的数。 在求众数的时候， 只要数一数 每个数出现的次数，出现次数最多的就是众数。 解答： 48 出现的次数最多，因此 48 是这组数据的众数。 点评： 求众数的方法就是在一组数据中寻找出现次数最多的数 例 5、（根据统计表来求众数） 某商店销售各种领口尺寸衬衫的情况如下表。 领口尺寸 /厘米 38 39 40 41 42 数量 /件 13 19 34 15 9 你认为商店应多进哪种衬衣？ 分析与解： 应多进哪种衬衫，这种衬衫的尺寸就应该是众数。 从统计表上看，销售的每一件 衬衫作为一个数据， 每种尺寸的衬衫售出的件数， 可以看作相应数据的个数。如 领口 38 厘米的衬衫售出 13 件，表示 38 这个数出现了 13 次。 解答： 领口 40 厘米的衬衫售出 34 件，表示 40 这个数在一组数据中出现了 34 次， 40 是这 组数据的众数。所以应多进领口尺寸 40 厘米的衬衫。 例 6、（比较平均数和众数在表示一组数据特征时哪个更合适） 下面是某超市工作人员的月工资。 （单位：元） 3000、2000、900、800、750、650、600、 600、600、600、500 请分别求出这组数据的平均数和众数， 再比较哪个数据更能代表这组数据的特征。 分析与解： 平均数反映一组数据的平均值， 而众数是一组数据中出现次数最多的数。 它们都 能表示一组数据的特征，但由于一组数据中数据的不同，它们在反映一组数据 特征的时候代表性不同。 解答： 求平均数： （3000 + 2000 + 900 + 800 + 750 + 650 + 600 + 600 + 600 + 600 + 500 ） ÷ 11 = 1000 求众数： 600 出现了 4 次，所以 600 是这组数据的众数。 平均数是 1000，但是大多数人的工资没有那么高，主要是前两个人的工资比其他人高 得多， 所以平均数不能反映这组数据的真实情况。 而众数 600 更能代表这组数据的特征。 例 7、（辨析） 一组数据的众数只有一个。 分析与解： 一组数据的众数可以是一个， 也可以是两个或两个以上。 如在 1.71 、1.75 、1.73 、 1.75 、1.72 、1.71 、1.75 、1.71 这组数据中， 1.71 和 1.75 都出现了 3 次，所以 1.71 和 1.75 都是这组数据的众数。而在 1、2、3、5、7 这组数据中，每个数都 出现了一次，这组数据没有众数。 解答： 一组数据的众数可能是一个，也可能不止一个，也可能没有众数。 例 8、（理解中位数的意义，会求一组数据的中位数） 下面是 9 位同学的体重。 （单位：千克） 35、42、30、29、52、 44、39、36、 33 这组数据的中位数是多少？ 分析与解： 求一组数据的中位数，首先将这组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列， 如果这组数据的个数是奇数，找出中间的数就是中位数。 解答： 将 9 位同学体重的数据按从小到大排列如下： 29、30、 33、35、36、39、42、44、52 正中间的一个数是 36，所以 36 是这组数据的中位数。 例 9、（一组数据的个数是偶数时，中位数就是中间两个数的平均数） 下面是 8 位同学的身高。 （单位：厘米） 142、138、145、130、 150、145、139、143 这组数据的中位数是多少？ 分析与解： 本组有 8 个数据， 先将这组数据按大小顺序排列， 然后取中间两个数的平均数就 是中位数。 解答： 将 8 位同学身高的数据按从小到大排列如下： 130、138、139、142、143、 145、145、150 正中间的有两个数，是 142、143。 （142 + 143 ）÷ 2 = 142.5 这组数据的中位数是 142.5 。 例 10、（辨析） 中位数就是一组数据正中间的数。 分析与解： 要求一组数据的中位数，先要把这组数据按从小到大（或从大到小）排列，然后 再找中位数。 将一组数据从小到大（或从大到小）排列，如果数据有奇数个，正中间的数 就是中位数；如果数据有偶数个，正中间两个的平均数是中位数。 例 11、（综合题） 李玲同学前几次的数学成绩分别是： 96 分、 98 分、 95 分、 93 分。但最近 一次的数学成绩是 45 分，原因是考试时她患感冒， 正在发烧。 请你用一个合理的统 计量来评价李玲的数学学习水平。 分析与解： 李玲的数学成绩这组数据的中位数是 95，平均数是 85.4 ，很明显中位数更能代 表李玲的数学学习水平， 因为她考了一个 45 分，对平均数的影响很大， 使平均 数比中位数低了很多。 解答： 用中位数能代表李玲的数学学习水平。 例 12、（综合题） 某公司的 33 名职工的月工资收入统计如下。 职务 董事长 副董 事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 / 元 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500 （1）求该公司职工月工资的平均数、中位数和众数。 （2）你认为用哪个数据更能代表这个公司员工的工资水平？结合此问题谈谈你的看法。 分析与解： 先求出这组数据的平均数、中位数和众数，然后再进行分析。 解答： （1）平均数是 2091，中位数是 1500，众数是 1500。 （2）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平。因为公司中少数人的 工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均 数不能反映这个公司员工的工资水平。 小学数学总复习专题讲解及训练（十一） 模拟试题 1、下面是百花山公园占地分布情况统计图 （1）（ ）占地面积最大， （ ）占地面积最小。 （2）山丘占百花山公园的（ ）﹪。 （3）百花山公园占地 1200 公顷，请填写下表。 占地类型 湖面 山丘 路面 其他 占地面积 /公顷 2、下面是小青家 10 月份支出及储蓄情况统计图。 （1）小青家 10 月份的伙食费共花了 800 元，小青家的支出及储蓄总共多少元？ （2）请根据扇形统计图，把下表填写完整。 项目 伙食费 购物 水电费 储蓄 其他 费用 /元 800 百分比 40﹪ 15﹪ 3、填空。 （1）在 40、 16、46、20、40、50、40 这组数据中，众数是（ ），中位数是（ ），平 均数是（ ）。 （2）在 52、60、48、55、71、60、60、58 这组数据中，众数是（ ），中位数是（ ），平均数是（ ）。 （3）下表是某校随机抽查的 20 名八年级男生的身高统计表。 身高 /厘米 150 155 160 163 165 168 人 数 1 3 4 4 5 3 在这组数据中，众数是（ ），中位数是（ ），（ ）数更能代表这 20 名男 生的身高情况。 4、某鞋店上周销售各种尺码男式皮鞋的情况如下表。 尺码 /cm 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27 数量 /双 4 15 34 48 29 18 5 讨论： 假如你是这家鞋店的经理你最关心什么 （哪种尺码销售最多） ？假如让你去进货， 你有什么想法？ 5、这是六（ 3）班同学的左眼视力情况统计： 5.0 4.9 5.3 5.2 4.7 5.2 4.8 5.1 5.3 5.2 4.8 5.0 4.5 5.1 4.9 5.1 4.7 5.0 4.8 5.1 5.0 4.8 4.9 5.1 4.9 5.1 4.6 5.1 4.7 5.1 5.0 5.1 5.1 4.9 5.0 5.1 5.2 5.1 4.6 5.0 （ 1）根据上面的数据完成下面的统计表 左眼视力 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人 数 （ 2）这组数据中的众数、中位数各是多少？（ ）数更能代表这个班学生左眼视力的 情况。 6、下面是从昆山人才市场获得的甲乙两家公司的员工招聘信息，胡老师有一位亲戚今年正 好大学毕业，他应该去哪家公司应聘呢？ 甲公司： 员 工 总经理 副总经理 部门经理 普通职员 人 数 1 2 5 22 月工资 /元 5000 4000 3000 2000 乙公司 员 工 总经理 副总经理 部门经理 普通职员 人 数 1 2 5 22 月工资 /元 6000 5500 4000 1800 7 、出示：下面是四年级一班 10 个女生一分钟跳绳成绩记录单 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 / 下 106 99 104 120 107 112 33 102 97 100 这组数据的中位数是多少？ 8、出示：下面是第一小组 9 位同学家庭的住房面积。（单位：平方米） 86 84 50 92 87 80 93 43 88 这组数据的平均数和中位数各是多少？ 9、出示：一次时装模特大奖赛上，一个模特刚刚表演完，主持人说：下面请评委亮分，“ 6 分， 8.5 分， 8.4 分， 8.9 分， 8.8 分， 8.3 分， 8.5 分， 8.7 分， 8.4 分， 8.5 分。去掉 一个最高分，再去掉一个最低分。该选手的最后得分是 --------- （1）如果不去掉一个最高分和一个最低分，这位选手平均分是（ ） （2）如果去掉一个最高分和一个最低分，这位选手平均分是（ ） （3）在 10 个原始得分中，中位数是（ ） （4）两种算分的方式哪一种算出的得分更能代表这位选手的水平？