六年级下册数学试题-奥数：数论之分解质因数、完全平方数、约数倍数（解析版）全国通用 7页

第五讲数论之分解质因数、完全平方数、约数倍数教学目标数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视。本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.1、用1到9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数．那么，这些数的最大公约数是多少？分析：1＋2＋…＋9＝45，因而9是这些数的公约数，又因123456789和123456798这两个数只差9，这两个数的最大公约数是9．所以9是这些数的最大公约数．想挑战吗　？你还记得吗？【例1】将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。分析：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d那么从小到大的第2个就是dcba,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5;从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3所以这24个四位数中最大的一个是7543。【例2】一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？ 分析：5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。［点评］现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手专题精讲专题一：平方数【例1】志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的的学生人数有多少人？请写出最现实的答案.分析：五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为A，一二年级的学生人数为B，则153=（A+B）（A-B），而153=3×3×17，所以，（A+B）和（A-B）的可能值为153和1；17和9；51和3，有这三个答案得到的A和B的值分别为：77和76，13和4，27和24，显然前两组答案荒谬之极，所以A=27，B=24最为现实.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576人，三四年级的学生人数为676，学校的总人数为729+576+676=1981人.[拓展]能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？分析：设这两个完全平方数分别为A、B那么这两个完全平方数的差为54=（A+B）（A－B），由于（A+B）和（A－B）的奇偶性质相同，所以（A+B）（A－B）不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.【例2】三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数？分析：设这三个数分别为A2、B2、C2，那么有（A+B）（A-B）=80，（A+C）（A-C）=140，因为140=2×2×5×7，A+C，A-C，同奇同偶，所以有（A+C=14，A-C=10）或者（A+C=70，A-C=2），分别解得（A=12，C=2）和（A=36，C=34），对于后者无法将B解出，所以A只能等于12，C=2，继而求得B=8，所以这三个数分别为12、8、2.专题二：分解质因数 【例1】已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？分析：因为□△□△□△□△，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△。作质因数分解得，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有。注意到两位△□的十位数字和个位数字分别和另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21。即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132。【例2】已知3☆7×2□△4是891的倍数，其中☆、□、△各代表一个不同的数字，那么三位数☆□△代表的是多少？分析：，所以3☆7和2□△4中至少有一个是11的倍数。3☆7肯定不是11的倍数，所以2□△4是11的倍数。又显然2□△4不是297的倍数，所以9整除3☆7，也就是说9整除3＋☆＋7，那么☆=8。因为，所以9还要整除2□△4，说明2＋□＋△＋4是9的倍数，所以□＋△是3或12。又因为11整除2□△4，所以（□＋4）－（2＋△）是11的倍数，那么□－△是9或者△－□是2，解得△=7，□=5。所以所求三位数是857。专题三：约数倍数【例3】求120、216、1001、360这3个数的约数和约束和.(考验学生心算和对部分特殊数的分解能力)分析：120=2×2×2×3×5，所以约数有（3+1）×（1+1）×（1+1）=16个.约数和为（1+2+4+8）×（1+3）×（1+5）=360；216=2×2×2×3×3×3,所以约数的个数为（3+1）×（3+1）=16个.约数和为（1+2+4+8）×（1+3+9+27）=600；1001=7×11×13，所以约数的个数为（1+1）（1+1）（1+1）=8个.约数和为（1+7）×（1+11）×（1+13）=1344.360=2×2×2×3×3×5，所以360有(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个约数.约数的和是(1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5)=1170.【例4】已知A是一个有12个约数的合数，8A、10A有24个约数，12A有40个约数，求15A，有多少个约数？分析：设A=2a×3b×5c×d，d中不含有2、3、5因子，那么A的约数个数有（a+1）（b+1）（c+1）N=12……①，（其中N为d的约数个数）8A的约数个数为（a+4）（b+1）（c+1）N=24，与①比较得到（a+4）/(a+1)=3,于是a=2，10A的约数个数为（a+2）（b+1）（c+2）N=4（b+1）（c+2）N=24，与①比较（c+2）/（c+1）=3/2，于是c=1，12A的约数个数为（a+3）（b+2）（c+1）N=10（b+2）N=40，与①比较得到（b+2）/（b+1）=2，于是b=0，将a、b、c代入①得到N=2，15A的约数个数为（a+1）（b+2）（c+2）N=36.[前铺]已知偶数A不是4的整数倍，他的约数的个数为12，求4A的约数个数. 分析：将A分解，A=2B，其中B是奇数，它的约数的个数为（1+1）N=12，（其中N为B的约数个数），则4A的约数个数为（1+3）N=24.【例1】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？分析：最大公约数C，当然是D最小公倍数的约数，因此C是187的约数，187=11×17，C不等于1，只能是C=11或者C=17．如果C=11，那么D=187-11=176．A和B都是176的约数，A和B不能是11，只能是22，44，88，176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11，由此得出C不能是11．现在考虑C=17，那么D=187-17=170，A和B是170的约数，又要是17的倍数，有34，85，170三个数，其中只有34和85的最大公约数是17，因此，A和B分别是34和85，A+B=34+85=119．[拓展]已知，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，甲乙两数不是288和4中的数，那么甲乙两数的乘积为多少，和应该是.分析：设甲乙两个数为4x，4y，（x和y都不等于1或72）则x，y两数互质，于是4x，4y的最小公倍数为4xy，所以xy=288/4=72，72=2332，由于x，y互质，所以2或3不可能在x，y的因子中都出现，所以x，y一个是8一个是9，所以两数的乘积等于4y×4x=4×4xy=1152，和为4x+4y=4（8+9）=68.【例2】从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？分析：边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得（2002,847）=77所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。辗转相除示例：2002÷847=2…308求2个数的最大公约数，就用大数除以小数847÷308=2…231用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止308÷231=1…77用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止231÷77=3最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数【例3】11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？分析：因为，则可知，在11个连续的两位数种，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98。又因为乘积的末4位都是0，就是说这连续的11个自然数应该“含有”4个5。连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75。综上所述，这11个数是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50。所以它们的平均数即为它们的中间项45。[前铺]1、2、3、4…2008这2008个数的最小公倍数等于多少个2与一个奇数的积？它们的乘积又等于多少个2与一个奇数的积？ 分析：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除2以外都是奇数质因数，可见我们只要找需要多少个2，所以只要看1～2008中2n谁最大，可见210=1024，所以为10个2。2008个数中被2整除的有1004个，被4整除的有502个，被8整除的有251个，16整除的有125个，被32整除的有62个，……31个，……15个，……7个，……3个，被1024整除的有1个，所有数的乘积有1004+502+251+125+62+31+15+7+3+1=2001.【例1】有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）分析：1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数由于上述十二个数的最小公倍数是60060因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。【例2】一个自然数减去它的各位数字之和得到的差值，称为“好数”。例如，根据757－(7＋5＋7)＝738是“好数”。在四位数20□○的方框中填入某个恰当的数字后，可以使得无论圆圈内填入0～9中的哪个数字，该四位数都不是“好数”，那么在方框中应填写数字__________。分析：注意到所有“好数”都是9的倍数，但9的倍数不一定都是好数。对应的“好数”是－2－x＝1998；对应的“好数”是－2－1－x＝2007；对应的“好数”是－2－2－x＝2016；………………对应的“好数”是－2－9－x＝2079；对应的“好数”是－2－1－x＝2097；即在20□○中“好数”只能是2007、2016、2025、2034、2043、2052、2061、2070、2079、2097。所以，如果在20□○的“□”内填入8，则不管“○”填入什么数都不能是“好数”。【例3】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？ 分析：在所有的质数中，从小到大第13个质数是41，因此在13种分解方法中，质数最大的那一组至少是。按题目要求分拆45有如下12种方法：。按题目要求分拆46有如下7种方法：。按题目要求分拆47有如下14种方法：。因此满足题意的最小自然数是47。专题展望zhanwang1wzhanwang欲知数论方法，请关注寒假班！练习五1.（例11）对于一个自然数，如果具有这样的性质就称为＂破坏数＂：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被＋１整除。那么有多少个不大于10的破坏数？分析：6个(1,3,4,5,7,9)。2.（例3）如图所示的加法算式中，△盖住的都是质数数字，□盖住的都是合数数字。要使两个加数的差尽可能小，那么较大的那个加数是多少？△□□△1＋△□△1□１０１０△□分析：74218(26821＋74218=101039)。3.（例6）已知A有12个约数，9A有24个约数，15A有36个约数，5A有多少个约数？分析：设A=3a5bB，有（a+1）（b+1）N=12个约数，（N为B的约数个数），于是9A有（a+3）（b+1）N=24个约数，所以a=1，15A有3（b+2）N=36个约数，由此求得c=0，N=6所以5A有（a+1）（b+2）N=4N=24个约数.4．（例7）A、B两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约数是36．已知A有12个约数，B有8个约数，那么A+B=______.。 分析：684．36=32×4，A、B至少含有两个3和一个4．因为A有12个约数，12=2×6=3×4，所以A可能是35×4、32×43或33×42，B有8个约数，8=2×4，所以B=33×4，于是A只能是32×43，故A+B=32×43+33×4=6845、（例12）把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数为1．那么最少要分几组?分析：本题是一道关于最大公约数的问题．我们知道两个数的最大公约数为1，即互质相当于它们的质因数分解式中没有相同的质因数．这就提示我们将题目所给的数字质因数分解．将题目中的数字质因数分解如下：26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=32×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．由于题目要求将这些数字分组，满足每组中任意两个数的最大公约数为1，而26、91、143均含质因数13，因此它们两两不在同一组，于是这些数至少应分为3组．我们这里推出一种分法：将26、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．成长故事打开另一扇心窗　　很久以前，在意大利的庞贝古城里，一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩。莉蒂雅自小双目失明，但她并不怨天怨地，也没有垂头丧气，反而热爱生活，对生活充满信心和希望。稍稍长大后，她像常人一样劳动，靠卖花自食其力。不久，维苏威火山爆发，庞贝城面临一次大的灾难，整座城市被笼罩在浓烟尘埃之中。浓密的火山灰，遮掩了太阳、月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，惊慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人们好像生活在人间的地狱中。莉蒂雅虽然看不见，但这些年来，她走街串巷在城里卖花，对城市的各条道路了如指掌。她就靠自己的触觉和听觉找到了生路，不但救了自己的家人，还救了许多市民。后来，莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂，并出现在很多的文学作品中。启迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的残疾反而成了她的财富。不要总以为自己是最倒霉的。其实，上苍很公平。有时候，命运向你关闭这一心窗的同时，又为你开启了另一心窗，同样可以享受人生的快乐