六年级下册数学试题-奥数：分数应用题之比例百分数（解析版）全国通用 9页

第十讲分数应用题之比例百分数教学目标比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用.这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有:1.比例式的恒等变形.2.各种条件下比例的转化,有目的的转化.3.比例与和差关系问题中数量关系的对应和运用.一个正方形的一边减少20％，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方形面积相等。原正方形的边长是多少米?想挑战吗？分析：要保证面积不变，一边减少20％，即是原来的，另一边要增加，所以原正方形边长为2÷=8(米).专题精讲Ⅰ比例的转化解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：1.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。2.目题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。 1.掌握转化为单位“l”的方法。如x是y的，则y是x的；X是y的，则x是x、y总数的；x比y多，则y比x少；x的等于y的，则x是y的，y是x的.2.应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。3.题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。【例1】已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的,那么甲的、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为多少？分析：甲的一半、乙的2倍、丙的这三个数的比为1：1：1，所以甲、乙、丙这三个数的比为（1÷）：（1÷2）：（1÷）也就是2：：即4：1：3，那么甲的、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为(4×)：（1×2）：（3×）也就是，即16：12：9.【例2】某俱乐部男、女会员的人数之比是3∶2，分为甲、乙、丙三组。已知甲、乙、丙三组的人数比是10∶8∶7，甲组中男、女会员的人数之比是3∶1，乙组中男、女会员的人数之比是5∶3。求丙组中男、女会员人数之比。分析：以总人数为1，则甲组男会员为，女会员为，乙组男会员为，女会员为；丙组男会员为，女会员为.所以，丙组中男、女会员人数之比为 [前铺]一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一段时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率（建设速度之比）之比3：1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.分析：（法一）甲工程队以3倍乙工程队建设速度，仅完成了40%的承包任务，而乙工程队完成了60%，所以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%×3=180%，所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的180%÷40%=450%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为450%：1=9：2.(法二)两个工程队完成的工程任务（修建公路长度）之比等于工作效率之比等于3：1，而他们分别完成了各自任务的40%和60%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为（3÷40）：（1÷60%）=9：2【例1】如下图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的，圆B的阴影部分占圆B面积的，圆C的阴影部分占圆C面积的.求圆A、圆B、圆C的面积之比.分析：设A与B的共同部分的面积为x，A与C的共同部分的面积为y，则根据题意有于是得到，这条式子可化简为B=15C，所以.最后得到A：B：C=20：15：1.【例2】A、B、C三项工程的工作量之比为1：2：3，由甲、乙、丙三队分别承担。三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少?分析：根据题意，如果把A工程的工作量看作1，则B工程的工作量就是2，C工程的工作量就是3。设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为X、Y、Z。经过K天，则2KX=2－KY……(1)3KY=3－KZ……(2)KZ=1－KX……(3)将(3)代入(2)，得(4)将(4)代入(1)，得，将代入(1)，得代入(3)，得甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是Ⅱ比例与和差关系问题 已知多个类别的元素数量比和数量和，求各个类别的数量的问题，也可称之为按比例分配问题.例如将X个物体按照a：b的比例分配给甲乙两个人，那么实际上甲乙两个人各自分配到的物体数量与X的比分别为a：（a+b）和b：（a+b），所以甲分配到，乙分配到.对于将物体分配到多个人的问题也可以将多个人分配的比例化为各自分配数与总数的比.【例1】有一个长方体，长和宽的比是2：1，宽与高的比是3：2.表面积为72cm2，求这个长方体的体积.分析：由条件长方体的长宽高的比为6：3：2，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为（6×3）：（6×2）：（3×2）=18：12：6=3：2：1，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为cm2，前面的面积为cm2，左面的面积为cm2，18×12×6=1296=362，所以36即是长宽高的乘积，所以这个长方体的体积为36cm2[前铺]有一个长方体，长与宽的比是2∶1，宽与高的比是3∶2。已知这个长方体的全部棱长之和是220cm，求这个长方体的体积。分析：由条件宽与高的比为3：2=1：2/3，所以这个长方体的长宽高的比为2：1：2/3即6：3：2，由于长方体的所有棱中，长、宽、高各有4条，所以长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，所以这个长方形的体积为30×15×10=4500立方厘米.【例2】6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分硬币摞在一起一样高。用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？分析：由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为6：5，壹分硬币和伍分硬币的数量比为4：3=6：4.5，所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为6：5：4.5即12：10：9，因此壹分硬币的数量为枚，贰分硬币的数量为，伍分硬币的数量为枚，这些硬币一共有48+40×2+36×5=308分.【例3】师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？ 分析：师傅与徒弟的工作效率之比是，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅比徒弟多加工零件个。[拓展]师徒二人加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟.完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和土地一共加工了多少零件？分析：师傅与徒弟的工作效率之比是，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅和徒弟一共加工了个零件（涉及到数量差和数量比的题在以下题目中详细讲述）.已知两个类别中元素的数量比和数量差，求各个类别的数量的问题，所涉及的主要数量关系有：对于两个类别A、B，元素的数量比为a：b（这里a＞b），数量差为X，那么A的元素数量为，B的元素数量为，所以解题的关键是求出（a-b）与a或b的比值.【例1】乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？　分析：甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是　　[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4．8＝5∶6．　　相遇时，甲、乙分别走了全程的5/9和4/9．设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的4/9，所以乙行驶了全长的，所以乙一共行了全长的，所以A、B全长为450千米.[拓展]甲火车4分行进的路程等于乙火车5分行进的路程．乙火车上午8：00从B站开往A站，开出若干分后，甲火车从A站出发开往B站．上午9：00两列火车相遇，相遇的地点离A，B两站的距离的比是15∶16．甲火车从A站发车的时间是几点几分？分析：从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5∶4＝15∶12，而相遇点距A，B两站的距离的比是15∶16，说明甲出发前乙火车所走的路程等于乙火车1个小时所走路成的（16-12）÷16=1/4，也就是说乙比甲先走了一个小时中的四分之一．所以甲火车从A站发车的时间是8点15分.【例2】 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5∶6，小客车与小轿车之比是4∶11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天这三种车辆通过的数量。分析：大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能将5∶6中的6与4∶11中的4统一成[4，6]=12，就可以得到大客车∶小客车∶小轿车的连比。由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到大客车∶小客车∶小轿车=10∶12∶33。以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组。因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多10×33-30×10=30（元），所以这天通过的车辆共有210÷30=7（组）。这天通过大客车=10×7=70（辆），小客车=12×7=84（辆），小轿车=33×7=231（辆）。[前铺]育红小学四年级学生比三年级学生多25％，五年级学生比四年级学生少10％，六年级学生比五年级学生多10％。如果六年级学生比三年级学生多38人，那么三至六年级共有多少名学生?分析：设三年级学生数为单位“1”，则四年级学生数占三年级的125%，五年级学生数占三年级的125%×（1-10%）=112.5%，六年级学生数占三年级的112.5%×（1+10%）=123.75%，所以三年级学生数的23.75%为38人，那么三年级有38÷23.75%=160人，三至六年级一共有160×（1+125%+112.5%+123.75%）=738人。【例1】一把小刀售价3元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2∶5；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8∶13。小明原来有多少钱？分析：由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的，小明的钱相当于小明、小强买刀后钱数和的，所以小明、小强的钱数的比值为8：15，而小明买刀后小明、小强的钱数之比为2：5=6：15，所以小明买刀前后的钱数之比为8：6=4：3，所以小刀的售价等于小强原来钱数的，所以小明的钱数为元.[拓展]一班和二班的人数之比是8∶7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4∶5。求原来两班的人数。分析：原来一班的人数为两班总人数的，调班后一班的人数是两班人数的，调班前后一班人数的比值为：=6：5，所以一班原来的人数为8÷（6-5）×6=48人，二班的人数为48÷8×7=42人.专题展望zhanwang1wzhanwang 比例与百分数作为处理多组数据的数量关系的数学工具，在人们生活工作学习研究中经常用到，也是小升初的重要考点.欲知比例问题的其他应用，请关注寒假班！练习十1.学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的。这三个年级各有多少名学生学生？分析：将六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的，看作一个单位，那么六年级学生人数等于2个单位，五年级学生等于2.5个单位，四年级学生等于学生，所以六年级、五年级、四年级学生人数的比为，所以六年级学生人数为=180人，五年级学生人数为人，四年级学生人数为人.2.乙两只蚂蚁同时从A点出发，沿长方形的边爬去，结果在距B点2厘米的C点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1．2倍，求这个长方形的周长。分析：两只蚂蚁在距B点2厘米的C点相遇，说明乙比甲一共多走了2×2=4(厘米)。又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的1．2倍，相同时间内乙蚂蚁爬的距离应是甲蚂蚁的1．2倍。所以甲爬的长度是4÷(1．2-1)=20(厘米)，乙爬的长度是20+4=24(厘米)，长方形的周长为20+24=44(厘米)。3.参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3：2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?分析： 假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有720+80=800人，三个年级的人数比为(四：五：六)3：2：3，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加植树的人数。六年级：人；五年级：人；四年级：人。1.已知a:b=c:d,那么下面的等式中那些没有错误？（1），（2），（3），（4）.分析：原式是，两边同时加2就能得到（1），所以（1）没有错误.原式分子分母交换得到，1同时剪去两边就能得到，所以（2）没有错.原式两边同时乘以，得到，两边+1得到，倒一倒变成，所以（3）没有错.原式两边加1得到，倒一倒，两边乘以2得到，用1减两边得到.所以（4）也没有错误.2.今年，小明的年龄等于小强、小志年龄和的80%，小强、小志的年龄比是2：3，而5年前小明的年龄等于小强、小志的年龄和，求今年小志的年龄.分析：5年前小明的年龄等于小强、小志的年龄和，那么现在小明的年龄等于小强、小志的年龄和减5，而小明的年龄也是小强、小志年龄和的80%，所以小强、小志的年龄和为5÷（1-80%）=25，小志的年龄等于年.成长故事 打开思路      一位著名的诗人最近思路打不开，怎么也冲不出思想的牢笼，于是想到外面寻找灵感。这一天，他到乡间野外散步，阳光下，忽然远远看见一块牌子掩映在树林里，上书四个大字特别醒目“阳光不锈”，诗人当场呆住，心想，这是多么有寓意的词语，绝对不是一般人能够想到的。于是，他非常想拜访一下书写这个精辟之极的词语的高人。等他走近这块牌子，发现被树丛挡住的那部分牌子写着“钢制品厂”。