2020小升初几何经典问题 共30题 附答案 12页

I CB A II BCAB 8cm 25cm2IIIABC 2144.5 2 1 1 1 4 3 cm     360 2 4.5(cm )π3π60 32260 60 60 A B 'B 3 cmB'B60 A3cm 1 30 道典型几何题解析 1．【加减法求面积】如图是一个直径为 的半圆，让这个半圆以 点为轴沿逆时针方 向旋转 ，此时 点移动到 点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为 ，圆周率按 计算)． 【解析】面积 圆心角为 的扇形面积 半圆 空白部分面积(也是半圆) 圆心角为 的扇形面积 ． 2．【割补法求面积】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为 ，圆周率按 3 计 算)： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 【解析】⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 3．【差不变】三角形 是直角三角形，阴影 的面积比阴影 的面积小 ， ，求 的长度． A B C D E )1( )2( E D C BA πACD ECA120ABCBBC   ABC 60ABABC   2 20 12 1201 A B CD EF ABCD ABCDFDCEAFEB ()    20 5 20 8 2 140 20 8 5－20 5 8 20 cm     6.25 12.53π25 2 8 2π8 BC cm2     22 25π25 8π182 ABC25cm2ABC 25cm2III 2 【解析】由于阴影 的面积比阴影 的面积小 ，根据差不变原理，直角三角形 面积减去半圆面积为 ，则直角三角形 面积为 ( )， 的长度为 ( )． 4．【等量代换】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面 积. 【解析】所求面积等于图中阴影部分的面积，为 (平方厘米)． 5．【等面积变形】如下图，长方形 和长方形 拼成了长方形 ，长方形 的长是 20，宽是 12，则它内部阴影部分的面积是多少? 【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为 ． 6．【面积与旋转】如图所示，直角三角形 的斜边 长为 10 厘米， ， 此时 长 5 厘米．以点 为中心，将 顺时针旋转 ，点 、 分别到达点 、 的位置．求 边扫过的图形即图中阴影部分的面积．( 取 3) 【解析】注意分割、平移、补齐． 如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置， 12 12 13 13 12 12 1313 A B C D O N M F E D CB AA B C D E F M N 50 50 2500 51 1 50   (101 1) 2 51 3 1   ABE 120  EBD 60 3 因为 ，那么 ， 则阴影部分为一圆环的 ． 7．【图形与平移】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它 地方铺白色的，如图所示．如果铺满这块地面共用 101 块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多 少块？ 图１ 图 2 【解析】我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过平移这种动态的 处理，移到两条边上(如图 2)．在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没 有变，此时白色瓷砖组成一个正方形．大正方形的边长上能放 (块)，白 色 瓷 砖 组 成的 正 方 形 的 边 长 上 能 放 ： (块 )， 所 以 白 色 瓷 砖 共 用 了： (块)． 8. 【化整为零】正方形 ABCD 与等腰直角三角形 BEF 放在一起（如图），M、N 点为正方 形的边的中点，阴影部分的面积是 14cm2，三角形 BEF 的面积是多少平方厘米？ 【解析】因为 M、N 是中点，故我们可以将该图形进行分割，所得图形如下 图形中的三角形面积都相等，阴影部分由 7 个三角形组成，且其面积为 14 平方厘米， 故一个三角形的面积为 2 平方厘米，那么三角形 BEF 的面积是 18 平方厘米。 9. 【割补法】如图所示的四边形的面积等于多少？ 【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积. 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换： ABH ADFABFADF ABFFG FEAB ADADFABFAF H G F E D C BA H G F E D C BA ABHAEFGABCD     (2.5 4 2 2.5) 2 292.5 2 51.2545 9 5 5 4 1.2554 45 99   (18 24) 2 84ADHEADHE BCGFADHEFH AC ADHEBCGF BCGFADHE A B C D E F G H ADHE24 AC18FHBCGF 12 12 144 12 OCDOAB 13OOAB 4 把三角形 绕顶点 逆时针旋转，使长为 的两条边重合，此时三角形 将旋转到三角形 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个 边长为 的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积. 因此，原来四边形的面积为 .(也可以用勾股定理) 10．【巧求周长】下图中的阴影部分 是正方形，线段 长 厘米，线段 长 厘米，则长方形 的周长是 厘米． 【解析】本题需要注意，长方形 的宽应等于正方形 的边长． 由于图中阴影部分 是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形 的 宽． 的和应为长方形 的长加上正方形 的边长，所以等于长方形 的长与宽之和．所以长方形 的周长为： 厘米． 11．【周长与面积】有 个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这 个小长方形拼成的 大长方形的面积是 平方厘米，求这个大长方形的周长． 【解析】从图上可以知道，小长方形的长的 倍等于宽的 倍，所以长是宽的 倍．每个小长方形的面积为 平方厘米，所以 宽 宽 ，所以宽为 厘米， 长为 厘米．大长方形的周长为 厘米． 12．【梯形蝴蝶】如图， 与 均为正方形，三角形 的面积为 6 平方厘 米，图中阴影部分的面积为 ． 【解析】如图，连接 ，比较 与 ，由于 ， ，即 与 的底与高分别相等，所以 与 的面积相等，那么阴影部分面积与 的面积相等，为 6 平方厘米． 13．【曲线开型面积】如右图，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成  a2 1 2         aaa 2 2 2 24 112 形角三圆半影阴   S S S4  a A B C D a A B C D π   1 19π422 4 1 π 5 一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ ( 取 3) 【解析】本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解． 如右上图，连接顶角上的 4 个圆心，可得到一个边长为 4 的正方形．可以看 出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣 图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还 剩下 4 个 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为 (平方厘米)． 14．【曲线型面积】如图，ABCD 是边长为 a 的正方形，以 AB、BC、CD、DA 分别为直 径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．( 取 3) 【解析】这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形， 不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影 部分的对称轴上作两条辅助线就明了了． 如图，这样阴影部分就划分成了 4 个半圆减去三角形，我们可以求得， 15．【表面积计算】中是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中 心位置挖去一个边长 1 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米？    S S S S SEFB DHG ABC ACD ABCD66 SSDHG ACD6SSEFB ABC6    S S S S SEAH FCG ABD BCD ABCD66 SSFCG BCD6   ADS S S SAH EAH EAD EAD ABD36 ABS S SEA EAD ABD ABD2       4 4 6 1 1 4 6 120 6 【解析】根据题意可知，挖去的 6 个边长 1 厘米的正方体相互之间是独立的，所以挖 去之后，原正方体的表面积相当于增加了六个小正方体的侧面积，所以现在它的表面 积为： 平方厘米． 16．【共高模型】如图，把四边形 ABCD 的各边都延长 2 倍，得到一个新四边形 EFGH 如果 ABCD 的面积是 5 平方厘米，则 EFGH 的面积是多少平方厘米? 【解析】如下图，连接 BD，ED，BG， 有 EAD、 ADB 同高，所以面积比为底的比，有 ． 同理 ． 类似的，还可得 ，有 =30 平方厘米． 连接 AC，AF，HC，还可得 ， ， 有 =30 平方厘米. 有四边形 EFGH 的面积为 EAH, FCG, EFB, DHG,ABCD 的面积和，即为 30+30+5=65(平方厘米.) 17．【等积变形】图中 ABCD 是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以 AD 为一边向外作 长方形 ADEF，其面积为 6.36 平方厘米。连接 BE 交 AD 于 P，再连接 PC。则图中阴影部 分的面积是( )平方厘米。 234 40 194               1 3 (2 2 1 ) (3 2 1 ) (3 2 1 ) 3 9 14 14 402 2 2 2 2 2 2 2 2       (1 2 3 5 ) 6 39 6 2342 2 2 2 5321 cm221 35% 60cm21 2 50% 15% 35%15% 50% 红 黄 绿 红 cm21 215% 影阴 △△△△△△        S S S S S S SEPD PDC EPD PDB EDA ADEF226.36 3.1811 △△ SSEAD EBD △△ SSPDC PDB F E D CB A P F E D CB A P 7 【解析】如图,连接 AE，BD。因为 AD∥BC，则： ,又 AB∥ED，则： ,所以， （平方厘米） 18．【一半模型】一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 ，黄色三角形面积是 ．问：长方形的面积是多少平方厘米？ 【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的 宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的 ，而绿色三角形面积 占长方形面积的 ，所以黄色三角形面积占长方形面积的 ． 已知黄色三角形面积是 ，所以长方形面积等于 （ ）． 19．【表面积计算】如图，棱长分别为 厘米、 厘米、 厘米、 厘米的四个正方体紧贴 在一起，则所得到的多面体的表面积是多少平方厘米？ 【解析】(法 1)四个正方体的表面积之和为： (平方厘米)， 重叠部分的面积为： (平方厘米)， 所以，所得到的多面体的表面积为： (平方厘米)． FGCxBFGDBFFC A B C D EF G x y yx A B C D EF G DGFEC DE2ABCD 836 13.538 4 8 1 1 3 ABCD4 1 8 1ABCD ADGAEF AHHADH A B C D E F G )H( A B C D E F G H ADHGFEABCD    (9 7 7) 2 46    38 34 25 2 194 5 252 5 3 3422   5 3 2 382 2 2 8 (法 2)三视图法．从前后面观察到的面积为 平方厘米,从左右 两个面观察到的面积为 平方厘米，从上下能观察到的面积为 平方厘米． 表面积为 (平方厘米)． 20．【表面积计算】用棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表 面积是多少平方厘米? 【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9、7、7 块正方形组成． 该图形的表面积等于 个小正方形的面积，所以该图形表面积 为 46 平方厘米． 21．【取特殊点】长方形 的面积为 36， 、 、 为各边中点， 为 边上任 意一点，问阴影部分面积是多少？ 【解析】特殊点法．由于 为 边上任意一点，找 的特殊点，把 点与 点重合 （如左上图），那么阴影部分的面积就是 与 的面积之和，而这两个三角形 的面积分别为长方形 面积的 和 ，所以阴影部分面积为长方形 面积的 ，为 ． 22．【共高模型】如图，长方形 的面积是 2 平方厘米， ， 是 的中 点．阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【解析】如下图，连接 ， 、 的面积相等，设为 平方厘米; 、    60 5 10 20 25 ABEF  20 10 2 60   10 10 5 20BCE DECBEFBF 5 10E D CB A F 5 10E D CB A F ABEFCED DEFABCDCFBD 192 81 19 9 53影阴9 ）12（ 2 4S = = S = - - - =1 C49 ）16（ 216S = =7 B ）16（ 216S = =819 A 4 3 10 9 4 3 9 16    yy3 3 120.252 5 5y 0.25x 0.25 x2 0.5x2 ② ①     xy xy 31 0.53 3 3S =x+ y=l1 1 1 BDE  S x yBCD 2 2 1 y3 1DEFyDFC 9 的面积相等，设为 平方厘米，那么 的面积为 平方厘米． ， ．所以有 ．比较②、①式，② 式左边比①式左边多 ，②式右边比①式右边大 0.5，有 ，即 , ．而阴影部分面积为 平方厘米． 23．【周长与面积】如图，大长方形的面积是小于 200 的整数，内部有三个边长为整数的 正方形 A、B、C，正方形 B 的边长是长方形长的 7/16，正方形 C 的边长是长方形宽的 1/4，那么剩余黑色区域的面积是多少？ 【解析】如图，长方形长的 =宽的 ，可求出长与宽的比，再根据面积小于 200 确定面 积大小，从长方形面积中减去 A、B、C 就是阴影部分面积。长× =宽× ，长：宽=4:3 面积＜200 的整数，所以长=16，宽=12，面积=192 ， 。 24．【梯形蝴蝶】如图所示， 、 将长方形 分成 4 块， 的面积是 5 平 方厘米， 的面积是 10 平方厘米．问：四边形 的面积是多少平方厘米？ 【解析】连接 ，根据梯形模型，可知三角形 的面积和三角形 的面积相等， 即其面积也是 10 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 的面积为 (平 方厘米)，所以长方形的面积为 (平方厘米)．四边形 的面积为 (平方厘米)． 2.5 32.8 8 4.1 109.9 77.1 32.8 21.98 5 109.9      21.98π37π4π 22  3.14π77.1 10 25．【面积与重叠】奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6 厘米，外圆直 径为 8 厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知 五个圆环盖住的面积是 平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．( ) 【解析】⑴每个圆环的面积为： (平方厘米)； ⑵五个圆环的面积和为： (平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为： (平方厘米)； ⑷每个阴影的面积为： (平方厘米)． 26．【圆柱体表面积】如图是一个半径为 4 厘米，高为 4 厘米的圆柱体，在它的中间依次 向下挖半径分别为 3 厘米、2 厘米、1 厘米，高分别为 2 厘米、1 厘米、0.5 厘米 的圆柱体，则最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？ 【解析】圆柱挖掉 3 个小圆柱，表面积会增 3 个圆柱的侧面积，底面积总和不变。 总表面积为：2×3π×2+2×2π×1+2×1π×0.5=12π+4π+1π=17π 27．【等积变形】输液 100 毫升，每分钟输 毫升．如图，请你观察第 12 分钟时图中的 数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？    30 30 60 30 10 30 20, , ,1 2 4.5 13 9 3 13.5 9 △ABC△     S ABC 1 2 9 18 30 △ S AEO 1CO A B CD E O 3 1 2 1 1 29 5.45.13 A B CD E O △ABC4 △ABCOADBEEC AE2BD DC3   100 50 150 2.5 12 302.5 11 【解析】100 毫升的吊瓶在正放时，液体在 100 毫升线下方，上方是空的，容积是多 少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来． 由于每分钟输 毫升，12 分钟已输液 (毫升)，因此开始输液时 液面应与 50 毫升的格线平齐，上面空的部分是 50 毫升的容积．所以整个吊瓶的容积 是 (毫升)． 28．【表面积变化】如图，有一个边长为 20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、 面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方 体的边长是多少厘米？ 【解析】大立方体的表面积是 20 20 6 2400 平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后， 外面少了 3 个面，但里面又多出 3 个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了 2 个面， 但里面多出 4 个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了 1 个面，但里面多出 5 个 面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了 6 个面，可以计算出每个面的 面积：(2454 2400) 6 9 平方厘米，说明小正方体的棱长是 3 厘米． 29．【燕尾模型】如图，已知 ， ， 与 相交于点 ,则 被分成的 部分面积各占 面积的几分之几？ 【解析】连接 ,设 份，则其他部分的面积如图所示，所以 份，所以四部分按从小到大各占 面积的 30．【格点与面积】如图(a)，有 21 个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三 角形都是等边三角形．计算三角形 ABC 的面积．     S 1 2 3 4 10S FBC 4 S ACD 2 S AEB 3     S 1 2 3 4 10S FBC 4S AEB 3S ACD 2 A B CDF E C B A )d()c( Ⅰ Ⅱ Ⅲ R G H Ⅲ Ⅱ Ⅰ ' ' ' )a( )b( A B C E F D C B A 12 【解析】方法一：如图(b)所示，在 ABC 内连接相邻的三个点成 DEF，再连接 DC、 EA、FB 后是 ABC 可看成是由 DEF 分别延长 FD、DE、EF 边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变 换不难得到 ， ， ，所以 (面积单位)． 方法二：如图(c)所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位 置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出 ABC 的面积为 10． 方法三：如图(d)所示：作辅助线可知：平行四边形 ARBE 中有 6 个小正三角形， 而 ABE 的面积是平行四边形 ARBE 面积的一半，即 ，平行四边形 ADCH 中有 4 个小正三角形，而 ADC 的面积是平行四边形 ADCH 面积的一半， 即 ．平行四边形 FBGC 中有 8 个小正三角形，而 FBC 的面积是平行四 边形 FBGC 的一半，即： ．所以 (面积单位)．