小升初数学专项训练+典型例题分析-找规律篇（教师版） 11页

名校真题 测试卷 找规律篇 时间：15 分钟 满分 5 分 姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12 年清华附中考题） 如果将八个数 14，30，33，35，39，75，143，169 平均分成两组，使得这两组数的乘积相 等，那么分组的情况是什么？ 2 （13 年三帆中学考题） 观察 1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式， 找出规律， 然后填写 2001 2 ＋（ ）＝2002 2 3 （12 年西城实验考题） 一串分数：1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 8 1 2, , , , , , , , , , , , ..... , , ,......,3 3, 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 9 9 9 11 11 其中的第 2000 个分数 是 . 4 （12 年东城二中考题） 在 2、3 两数之间,第一次写上 5,第二次在 2、5 和 5、3 之间分别写上 7、8(如下所示),每 次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有 数之和是多少? 2……7……5……8……3 5 (04 年人大附中考题) 请你从 01、02、03、…、98、99 中选取一些数，使得对于任何由 0～9 当中的某些数字组 成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。 为了达到这些目的。 (1)请你说明：11 这个数必须选出来； (2)请你说明：37 和 73 这两个数当中至少要选出一个； (3)你能选出 55 个数满足要求吗？ 【附答案】 1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为 33、35、30、169 和 14、39、75、 143。 2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列 3、5、7、9、11……， 所以下面括号中填的数字为奇数列中的第 2001 个，即 4003。 3 【解】分母为 3 的有 2 个，分母为 4 个，分母为 7 的为 6 个，这样个数 2+4+6+8… 88=1980<2000，这样 2000 个分数的分母为 89，所以分数为 20/89。 4 【解】：第一次写后和增加 5，第二次写后的和增加 15，第三次写后和增加 45，第四 次写后和增加 135，第五次写后和增加 405，…… 它们的差依次为 5、15、45、135、405……为等比数列，公比为 3。 它们的和为 5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为 1820+2+3＝1825。 5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就 9 个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长 数的就是 1~9 某个单一的数比如 111…11…，只出现 11，因此 11 必选，同理要求前述 9 个 数必选。 (2)，比如这个数 3737…37…，同时出现且只出现 37 和 37，这就要求 37 和 73 必 须选出一个来。 (3)，同 37 的例子， 01 和 10 必选其一，02 和 20 必选其一，……09 和 90 必选其一，选出 9 个 12 和 21 必选其一，13 和 31 必选其一，……19 和 91 必选其一，选出 8 个。 23 和 32 必选其一，24 和 42 必选其一，……29 和 92 必选其一，选出 7 个。 ……… 89 和 98 必选其一，选出 1 个。 如果我们只选两个中的小数这样将会选出 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 个。再加上 11~99 这 9 个数就是 54 个。 小升初专项训练 找规律篇 一、小升初考试热点及命题方向 找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现。在 刚刚结束的 12 年小升初选拔考试中，人大附中，首师附中，十一学校，西城实验，三帆， 西外，东城二中和五中都涉及并考察了这一类题型。 二、2007 年考点预测 07 年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结 出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与 猜想的能力，希望同学们多加练习。 三、典型例题解析 1 与周期相关的找规律问题 【例 1】、（★★） 7 n 化小数后，小数点后若干位数字和为 1992，求 n 为多少？ 【解】 7 n 化小数后，循环数字和都为 27，这样 1992÷27=73…21,所以 n=6。 【例 2】、（★★）有一数列 1、2、4、7、11、16、22、29……那么这个数列中第 2006 个数 除以 5 的余数为多少？ 【解】数列除以 5 的余数为 1、2、4、2、1、1、2、4、2、1…这样就使 5 个数一周期，所 以 2003÷5=400…3，所以余 4。 希望考入重点中学？ 奥数网是我们成就梦 想的地方！ 【例 3】、（★★★）某人连续打工 24 天，赚得 190 元(日工资 10 元，星期六做半天工，发 半工资，星期日休息，无工资).已知他打工是从 1 月下旬的某一天开始的，这个月的 1 号 恰好是星期日. 问：这人打工结束的那一天是 2 月几日? 【来源】 第五届“华杯赛”初赛第 16 题 【解】因为 3×7<24<4×7，所以 24 天中星期六和星期日的个数，都只能是 3 或 4.又，190 是 10 的整数倍。所以 24 天中的星期六的天数是偶数.再由 240-190=50(元)，便可知道，这 24 天中恰有 4 个星期六、3 个星期日.星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这人打工结 束的那一天必定是星期六.由此逆推回去，便可知道开始的那一天是星期四.因为 1 月 1 日 是星期日，所以 1 月 22 日也是星期日，从而 1 月下旬唯一的一个星期四是 1 月 26 日.从 1 月 26 日往后算，可知第 24 天是 2 月 18 日，这就是打工结束的日子. 2 图表中的找规律问题 【例 4】、（★★）图中，任意_--个连续的小圆圈内三个数的连乘积郡是 891，那么 B=_______. 【来源】第十届<小数报>数学竞赛初赛填空题第 5 题 【解】 根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是 891”，可知任意一个小圆圈 中的数和与它相隔 2 个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是，B=891÷(9×9)=11. 【例 5】（★★★）自然数如下表的规则排列：求：（1）上起第 10 行，左起第 13 列的数； （2）数 127 应排在上起第几行，左起第几列？ 【解】：本题考察学生“观察—归纳—猜想”的能力．此表排列特点：①第一列的每一个数都 是完全平方数，并且恰好等于所在行数的平方；②第一行第 n 个数是（n-1）2+1，②第 n 行 中，以第一个数至第 n 个数依次递减 1；④从第 2 列起该列中从第一个数至第 n 个数依次递 增 1． 由此（1）〔（13-1）2+1〕+9=154；（2）127=112+6=〔（12-1）2+1〕+5，即左起 12 列，上起 第 6 行位置． 3 较复杂的数列找规律 【例 6】、（★★★）设 1，3，9，27，81，243 是 6 个给定的数。从这六个数中每次或者取 1 个，或者取几个不同的数求和（每一个数只能取 1 次），可以得到一个新数，这样共得到 63 个新数。把它们从小到大一次排列起来是 1，3，4，9，10，12，…，第 60 个数是______。 【来源】1989 年小学数学奥林匹克初赛第 15 题 【解】最大的（即第 63 个数）是 1+3+9+27+81+243=364 第 60 个数（倒数第 4 个数）是 364－1－3＝360。 【例 7】、（★★★）在两位数 10，11，…，98，99 中，将每个被 7 除余 2 的数的个位与十 位之间添加-个小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少? 【来源】 第五届“华杯赛”初赛第 15 题 【解】原来的总和是 10+11+…+98+99= 2 90)9910(  =4905，被 7 除余 2 的两位数是 7×2+2=16，7×3+2=23，…，7×13 十 2=93. 共 12 个数.这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的 10 1 ，因此这-手续使总和减少 了 (16+23+…+93)×(1- 10 1 )= 2 12)9316(  × 10 9 =588.6 所以，经过改变之后，所有数的和是 4905—588.6=4316.4. 【例 8】、（★★★）小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出 100 个.肥皂泡吹出之后，经 过 1 分钟有-半破了，经过 2 分钟还有 20 1 没有破，经过 2 分半钟全部肥皂泡都破了·小明在 第 20 次吹出 100 个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有 个. 【来源】 1990 年小学数学奥林匹克决赛第 8 题 【解】小明在第 20 次吹出 100 个新的肥皂泡的时候，第 17 次之前(包括第 17 次)吹出的肥 皂泡全破了.此时没有破的肥皂泡共有 100+100× 20 1 +100× 2 1 =155(个). 4 与斐波那契数列相关的找规律 斐波那契数列非常 有意思 ！ 【引言】：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔 子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开 始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？ 现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下 一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对 小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。 第 1 个月到第 6 个月兔子的对数是： 1，2，3，5，8，13。 我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第 3 个数起，每一个数都是前面两 个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第 12 个数，就得： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。 显然，第 12 个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内 1 对兔子能繁殖成 233 对。 在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发 现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…… 叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。 【例 9】（★★）数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵 树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条 树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第 1 年它只有主干，第 2 年有两枝，问 15 年后这棵 树有多少分枝（假设没有任何死亡）？ 【解】 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584 绝对是一棵大树。 【例 10】（★★）有一堆火柴共 10 根，如果规定每次取 1～3 根，那么取完这堆火柴共有 多少种不同取法？ 【解】此题要注重思路，因为没办法直接考虑，这样我们发现这题同样用找规律的方法， 我们可以先看只有 1 根的情况开始： 1 根，有：1 种； 2 根，有 1、1，2，共两种； 3 根，可以有：1、1、1，1、2，2、1，3，共 4 种； 4 根，有：1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共 7=4+2+1 种； 5 根，有：1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2， 2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共 13=7+4+2 种； 6 根，得到 24=13+7+4 种； 即：n 根，所有的取法种数是它的前三种取法的和。 由此得到，10 根为 274 种。 [拓展]爬楼梯问题。 【例 11】（★★★）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则加，如 此进行直到得数为 1 操作停止。问经过 9 次操作变为 1 的数有多少个？ 【来源】 仁华考题 【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其次我们还得利用找规律来归纳 出计算方法。在复杂的或者步子比较多的计数中，找规律是一种非常常用的方法。 归纳总结上述规律，从第三项起，每一项都是前两项之和。 5 有趣的猫捉耗子规律 注：有一个很出名的游戏，猫捉耗子的游戏，一只猫让一群老鼠围成一圈报数，每次报单 数的吃掉，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？因此我们称之为猫捉耗子 的问题。 【例 12】、（★★★）50 只耗子排成一排，1 到 50 报号，奇数号的出列，剩下的偶数号再报 号，再奇数列出列…一直这样，问最后一只剩下的是原来的几号？ 【解】第一次剩下的是：2、4、6、8、10、12……50 都是 2 的倍数； 第二次剩下的是：4、8、12、16……48 都是 4=2 2 的倍数； 第三次剩下的是：8、16、24……都是 8=2 3 的倍数，……这样每次剩下的都是 2 n 的 倍数，现在要剩下一只，这样就是看 1～50 中 2 n 的最大数就是 32 号。 【拓展】123 自然数列一直写到 100，然后按数码编号，擦去奇数号，留下的数再编号，再 擦去奇数号……这样请问最后留下的 3 个数字是＿＿＿。 【解】360 【例 13】、（★★★）50 枚棋子围成圆圈，编上号码 1、2、3、4、……、50，每隔一枚棋子 取出一枚，要求最后留下的一枚棋子的号码是 42 号，那么该从几号棋子开始取呢？ 【来源】03 年圆明杯数学竞赛试题 【解】： 方法一：通过归纳我们知道，如果开始有 A 人，A＝2k+m(k 是保证 m 为自然数的最 大值)。那么从 1 号开始取，每个 1 个取 1 个，则最后剩下的为 2m 号。 现在有 50 枚棋子，如果从 1 号开始取，有 50＝25+18，所以最后剩下的为 18×2＝36 号。 现在剩下的是 42 号，所以开始取的为 1+(42－36)＝7 号。 方法二：找出规律，若开始从 2 号开始取，则若有 2 枚、4 枚、8 枚、16 枚、32 枚…则最后剩下的均为 1 号。 比如如果 9 枚，取掉 1 号后即剩下 8 枚剩下的将是 8 枚的首位，即 3 号， 而 50 枚先取 50－32＝18 枚后，剩 32 枚，取走了 2、4、6、8、…、36，则 37 为剩下的 32 枚重排列后的 1 号，38 为 2 号。故最后剩下的为 37 号，即若开始取 2 号，剩下 37 号，现 剩下的为 42 号，故开始从 7 号开始取的。 【例 14】、（★★★）把 1～1993 这 1993 个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上， 如图 12—1，从 1 开始沿顺时针方向，保留 1，擦去 2；保留 3，擦去 4；……（每隔一个数， 擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？ 【解】分析：如果依照题意进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难。我们先从简 单情况研究，归纳出解决问题的规律，再应用规律解题。如果是 2 个数 1、2，最后剩下 1； 如果是 3 个数 1、2、3，最后剩 3；如果是 4 个数 1、2、3、4，最后剩 1；如果是 5 个数 1、 2、3、4、5，最后剩的是 3；如果是 6 个数 1、2、3、4、5、6，最后剩的是 5；如果是 7 个 数 1、2、3、4、5、6、7，最后剩的是 7；如果是 8 个数 1～8，最后剩的是 1。 我们发现当数的个数是 2，4，8 时，最后剩的都是 1（操作的起始数）。这是为什么呢？以 8 个数为例，数一圈，擦掉 2，4，6，8，就相当于从 1 开始，还有 4 个数的情况，4 个数时， 从 1 开始，数一圈，又擦掉 2 个，还剩从 1 开始的两个数，擦掉 1 以外的数，最后剩 1。 这样，数的个数是 16，32，64，……，2n 时，最后剩的都是起始数 1。 当数的个数是 3 时，擦去 2，就剩 2 个数，最后应剩下一步的起始数 3；数的个数是 5 时， 擦去 2，剩 4 个数，最后也应剩下一步的起始数 3。 根据以上规律，如果有 18 个数，擦去 2、4，剩下 16 个数，再擦下去，最后还应剩下一步 的起始数 5。就是说，擦去若干个数后，当剩的数的个数是 2n 时，下一步起始数就是最后 剩下的数。 解：因为 1024=210，2048=211， 2110＜1993＜211， 1993-1024=969， 就是说，要剩 210 个数，需要擦去 969 个数，按题意，每两个数擦去一个数，当擦第 969 个 数时，最后擦的是： 969×2=1938 下一个起始数是 1939，那么最后剩的就应该是 1939。 练习 按照例 1 的操作规则 （1）如果是 1～900 这 900 个自然数，最后剩的是哪个数？ （2）如果是 1～1949 这 1949 个自然数，最后剩的是哪个数？ 说明：这道例题的解题思路是： 特 殊→ 一 般→ 特 殊 （简单情况） （一般规律） （较复杂情况） 一般规律： 把 1～n 这 n 个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从 1 开始，顺时针方向，隔 过 1，擦去 2，隔过 3，擦去 4，……（每隔一个数，擦去一个数）。最后剩下的数 x 是哪 个数？ 解： 设 2k≤n≤2k+1，k 是自然数。 x=（n-2k）×2+1 【拓展】：如果还是上面例题，但改为保留 1，擦去 2；保留 3，擦去 4；……（每隔一个 数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？ 【解】剩下的规律是剩下 2n 时，都是最后一号留下，所以答案是 1938。 【例 15】、（★★★）100 个小朋友围成一圈，并依次标号为 1 至 100 号。从第 1 号开始 1 至 2 报数，凡是报到 1 的小朋友退出圈子，这样循环进行到剩下一个小朋友为止。问这个 小朋友是多少号？ 【解】与上题不同 １００＝２ 6 ＋３６ ３６×２＝７２ 小结 本讲主要接触到以下几种典型题型： 1）与周期相关的找规律问题 参见例 1，2，3 2）图表中的找规律问题 参见例 4，5 3）较复杂的数列找规律 参见例 6，7，8 4）与斐波那契数列相关的找规律 参见例，9，10，11 5）有趣的猫捉耗子规律 参见例 12，13，14，15 【课外知识】 珍妮是个总爱低着头的小女孩，她一直觉得自己长得不够漂亮。有一天，她到饰物店 去买了只绿色蝴蝶结，店主不断赞美她戴上蝴蝶结挺漂亮，珍妮虽不信，但是挺高兴，不 由昂起了头，急于让大家看看，出门与人撞了一下都没在意。 珍妮走进教室，迎面碰上了她的老师，“珍妮，你昂起头来真美！”老师爱抚地拍拍她 的肩说。 那一天，她得到了许多人的赞美。她想一定是蝴蝶结的功劳，可往镜前一照，头上根 本就没有蝴蝶结，一定是出饰物店时与人一碰弄丢了。 自信原本就是一种美丽，而很多人却因为太在意外表而失去很多快乐。 温馨提示：无论是贫穷还是富有，无论是貌若天仙，还是相貌平平，只要你昂起头来， 快乐会使你变得可爱——人人都喜欢的那种可爱。 作业题 （注：作业题--例题类型对照表，供参考） 题 1—类型 3；题 2，3，4—类型 5；题 5，6，7—类型 2， １、（★）已知一串有规律的数：1，2/3，5/8，13/21，34/55，…。那么，在这串数中， 从左往右数，第 10 个数是________。 【解】找规律，前面分子分母和就是后一个数分子，分母等于分子和前一个分数分母的和， 这样第 10 个数就是 4181/6765。 ２、（★★★）在一个圆圈上，逆时针标上 1、2、3、…、19，从某个数起取走该数，然后 沿逆时针方向每隔一个数取走一个数，如果最后剩下数 1。求从哪个数起？ 【解】 先取走 15 ３. （★★★）把 1～1992 为 1992 个数，按逆时针方向排在一个圆圈上，从 1 开始逆时针 方向，保留 1，涂掉 2；保留 3，涂掉 4，……。（每隔一个数涂去一个数），求最后剩下 哪个数？ 【解】 （1992-1024）×2+1=1937 ４. （★★★）把 1～1987 这 1987 个数，均匀排成一个大圆圈。从 1 开始数，隔过 1，划 掉 2，3；隔过 4，划掉 5，6；……，（每隔一个数，划掉两个数）一直划下去，问最后剩 下哪个数？ 【解】 ５.（★★）如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从 A 跳到 B，每次可跳 1 步或 2 步； 小张从 C 跳到 D，每次可跳 1 步、2 步或 3 步。规定：谁跳到目标处的不同跳法最多，谁就 获胜。问获胜方的跳法比另一方多 种。 A C B D 【解】同例题可知 A 到 B 共 11 格，共 144 种跳法；C 到 D 共 9 格，共 149 种，所以多 5 种。 6、（★★）如下图，从 A 处穿过房间到达 B 处，如果要求只能从小号码房间走向大号码房间， 那么共有多少种不同的走法？ 【解】到 1 号房间有 1 种走法，到 2 号房间有 2 种方法，到 3 号房间有 3 种方法…所以到 8 号房间总共有 34 种房间。 7、（★★★）如数表： 第 1 行 1 2 3 … 14 15 第 2 行 30 29 28 … 17 16 第 3 行 31 32 33 … 44 45 …… … … … … … … 第 n 行 …………A……………… 第 n＋1 行 …………B……………… 第 n 行有一个数 A，它的下一行（第 n＋1 行）有一个数 B，且 A 和 B 在同 一竖列。如果 A+B＝391，那么 n=_______。 【来源】1995 年小学数学奥林匹克初赛 A 卷第 7 题、B 卷第 9 题 【解】相邻两行，同一列的两个数的和都等于第一列的两个数的和，而从第 1 行开始， 相邻两行第一列的两个数的和依次是 31，61，91，121，…。（*） 每项比前一项多 30，因此 391 是（*）中的第(391—31)÷30＋1＝13 个数，即 n ＝13.