版人教版六年级数学上册总复习 107页

总 复 习 人教版六年级上册期末复习 分数乘、除法 —— 意义与计算 说说下面乘法算式的意义： 分数乘法的意义 分数 × 整数 —— 表示 几 个 几分之几 的和是多少。 （或 几分之几 的 几倍 是多少。） 整数 分数 × 分数 —— 表示 一个数 的 几分之几 是多少。 说说下面除法算式的意义： 分数除法的意义 分数 ÷ 整数 整数 ÷ 分数 分数 ÷ 分数 表示已知两个因数的 积 和其中的一个 因数 ，求另一个因数是多少。 2 3 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。能约分的要先约分，再计算。 4 5 1 3 1 2 分数乘分数，分子乘分子做分子，分母乘分母做分母。能约分的要先约分，再计算。 计算下面的乘法算式： 分数除以整数（ 0 除外），等于分数乘这个整数的倒数。 一个数除以一个不等于 0 的分数，等于乘这个分数的倒数。 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 1 1 1 2 计算下面各题，能用简便算法的用简便算法。 1 1 小结： 乘法 交换律 ： a × b = b ×a 乘法 结合律 ： (a × b ) ×c = a× ( b×c) 乘法 分配律 ： (a +b) ×c = a c +b c 分数四则混合运算的运算顺序： 分数四则混合运算与整数四则混合运算的运算顺序相同。有括号的要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的；在没有括号的算式里，要先算乘、除法，再算加、减法；一个算式里只有乘、除法或者只有加、减法，要按照从左到右的顺序依次进行计算。 计算下面两题。 1 3 这个算式里含有几级运算？应该先算什么，再算什么？ “[ ]” 叫做中括号，一个算式中，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 这个算式里既有小括号，又有中括号，应该怎样计算？ 1 1 分数连除，先化除为乘，再一起约分。 在算式中，如果有小数，可把小数化成分数再计算。 计算下面各题。 分数计算并不难， 运算顺序 记心间。 运算定律 很有用，使用恰当变简单。 碰到加减忙 通分 ，分数乘法先 约分 ， 遇到除法想乘法， 得数最简 记心田。 解决问题并不难， 读懂题意 是关键， 数量关系 找准确，对应题中已知量， 综合分析齐上场，难题纷纷败下阵。 分数乘除法 一、快速找出“ 1” 的量： 1 ：女生人数是男生人数的 。 2 ：已完成的占总数的 。 3 ：剩下的比用去的多 。 4 ：我们班学习自觉的同学占全班人数的 。 90 人 ? 人 女生 男生： 看图快速说出数量关系 : ① 1 女生人数 × — = 男生人数 3 ② 弟弟： 哥哥： ？千克 24 千克 比弟弟重 4 1 弟弟的重量 ×(1+ )= 哥哥的重量 4 1 ③ 甲： 乙： 是甲的 倍 ? 米 44 米 4 3 甲的长度 × = 乙的长度 对比理解 1 、校园里有 桂花树 90 棵， 香樟树 是 桂花树 的 ， 香樟树 有多少棵？ 2 、校园里有 香樟树 30 棵， 香樟树 是 桂花树 的 ， 桂花树 有多少棵？ 90× 30÷ 三、对比理解 3 、校园里有 桂花树 90 棵， 香樟树 比 桂花树 少 ， 香樟树 有多少棵？ 90× （ 1- ） 4 、校园里有 香樟树 30 棵， 香樟树 比 桂花树 少 ， 桂花树 有多少棵？ 30÷ （ 1- ） 甲、乙、丙三个书架，乙书架有 180 本书，甲书架上的书是乙书架的 ，又是丙书架的 ，丙书架有多少本？ 1 2 180× — ÷ — = 3 3 1. 求一个数是另一个数的几分之几，用除法。 2. 求一个数的几分之几是多少，用乘法。 3. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数，可用除法也可以解方程。 解题关键： 抓住含有分率的句子，确定题的类型，从而选择正确的方法。 总结：分数乘除法的解题思路 三、工程问题 ( 工作效率、工作时间、工作总量） 工作时间 × 工效 = 工作总量 工作总量 ÷ 工效 = 工作时间 工作总量 ÷ 工作时间 = 工效 工程问题： 工作总量不知道，用单位“ 1” 表示，然后用 来表示工效，再根据数量关系式：工作总量 ÷ 工效之和 = 工作的时间 1 、一项工程，甲队单独做 4 天完成，乙队单独做 6 天完成，丙队单独做 8 天完成。 （ 1 ）甲队每天完成工项工程的几分之几？乙队呢？丙队呢？ （ 2 ）甲、乙两队合做几天完成这项工程？ （ 3 ）甲、乙、丙三队合做几天完成这项工程？ （ 4 ）乙丙两队合做几天完成这项工程的一半？ 三、工程问题 ( 工作效率、工作时间、工作总量） 4 、打一篇稿件，甲单独打要 小时，乙单独打要 小时，如果甲乙两人合打，几小时可以打完这篇稿件？ 5 、一项工程，甲乙两队合做 6 天可以完成，甲队单独做 10 天完成，如果乙队单独做要几天完成？ 3 、一批货物，甲车单独运 12 天可以运完，乙车单独运 15 天可以运完，甲乙合运 2 天后，甲另有任务被调走，剩下的由乙车单独运，还要运几天可以运完？ 2 、修一长公路，甲队单独修 10 天完成，乙队单独修 15 天完成，甲队先修 2 天后，剩下的由甲乙两队合修，还要几天？ 分数乘、除法 —— 倒数与比 先计算，再观察，看看有什么规律。 乘积是 1 的两个数互为 倒数 。 = 3 8 8 3 = 7 15 15 7 = 5 1 5 = 12 12 1 × × × × 1 1 1 1 说出下列各数的倒数 。 的倒数是 ( ) 。 ⑴ 的倒数是 ( ) 。 ⑵ 的倒数是 ( ) 。 ⑷ 的倒数是 ( ) 。 ⑸ 的倒数是 ( ) 。 ⑶ 的倒数是 ( ) 。 ⑹ 先说出每组数的倒数，再说一说你发现了什么规律 ? ⑴ 真分数的倒数 一定大于 1 。 大于 1 的假分数的倒数 一定小于 1 。 不为 0 的整数 ，它的 倒数的分子 一定是 1 。 ⑵ ⑷ ⑶ 分子是 1 的分数，它的倒数 一定是整数 。 想一想： 0 ×( 任何数 ) ≠1 0 没有倒数 ，因为 0 作分母没有意义。 1 的倒数是多少？ 0 有倒数吗，为什么？ 两个数相除又叫做两个数的 比 。 15 10 ： 15 比 10 记作 10 15 ： 10 比 15 记作 42252 90 ： 42252 比 90 记作 15 ÷ 10 10 ÷ 15 42252 ÷ 90 两个数 相除 又叫做两个数的 比 可以写成： 可以写成： 可以写成： 15 : 10 10 : 15 42252 : 90 比 号 15 10 ： ＝ 15 10 ÷ ＝ 2 3 长和宽的比是 15 比 10 15÷10 前 项 后 项 比 值 被除数 除数 商 比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。 根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数的形式。例如： 15 : 10 也可以写成 ，仍读作：“ 15 比 10” 。 2︰5 0.5÷0.3 7 4 说出上面每个比的前项、后项，并求出比值。 你还记得 商不变的性质 吗？ 你还记得 分数的基本性质 吗？ 什么是比的基本性质？ 比的前项和后项同时 乘以或除以相同的数 （ 0 除外），比值不变。 利用商不变性质，我们可以进行除法的简算。 根据分数的基本性质，我们可以把分数约分成 最简分数。 4︰6 ＝ 2︰3 前项、后项同时除以 2 应用比的基本性质，我们可以把比化成 最简单的整数比 。 2 3 前、后项必须是整数，而且互质 . 32 : 16 =(32÷ 16 ) : ( 16÷ 16 ) =2 : 1 48 : 40 =(48÷ 8 ) : ( 40÷ 8 ) =6 : 5 怎样化解整数比？ 比的前、后项都除以它们的最大公因数 →最简比。 0.15 : 0.3 =(0.15× 100 ) : ( 0.3× 100 ) =15 : 30 怎样化解小数比？ 比的前、后项都扩大相同的倍数 →整数比→最简比。 =(15÷ 15 ) : (30÷ 15 ) =1 : 2 0.75︰2 ＝（ 0.75 ×100 ） ︰ （ 2 ×100 ） ＝ (75 ÷25 )︰(200 ÷25 ) ＝ 3︰8 ＝ 75︰200 怎样化解分数比？ 比的前、后项都乘它们分母的最小公倍数 →整数比→最简比。 归纳化简比的方法 : （ 1 ） 整数比 （ 2 ） 小数比 （ 3 ） 分数比 —— 比的前、后项都除以它们的最大公因数 →最简比。 —— 比的前、后项都扩大相同的倍数 →整数比→最简比。 —— 比的前、后项都乘它们分母的最小公倍数 →整数比→最简比。 比 最简单的整数比 比值 25 ∶100 ∶ 4.2∶1.4 求比值和化简比： 1∶4 3∶1 3 5∶3 化简比和求比值的区别 求比值 化简比 意义 方法 结果 比的前项除以 后项所得的商 把一个比化成最简单的整数比的过程 是一个比 是一个数 前项 ÷ 后项 前、后项同时乘或除以一个不为 0 的数 一个小数和一个分数组成的比，怎样化解？ 3 : （ ） = 24 （ ） : 8 = 0.5 4 后项 = 前项 ÷ 比值 前项 = 后项 × 比值 比值 = 前项 ÷ 后项 联 系 区别 除法 分数 比 前项 比号 后项 ( 不能为 0) 比值 一种关系 被除数 除号 除数 ( 不能为 0) 商 分子 分数线 分母 ( 不能为 0) 分数值 一种运算 一种数 比和除法、分数的联系和区别 　　 小强的身高 1 米，他爸爸的身高是 173 厘米，小强说他和他爸爸的身高比是 1 ︰ 173 ，对不对？如果不对，你认为是多少呢？ 100 ︰ 173 1 ︰ 1.73 10 ︰ 17.3 生产一批零件，甲单独做 6 小时完成，乙单独做 8 小时完成。 （ 1 ）、甲完成任务的时间与乙完成任务的时间 的最简比是 （ ） ︰ （ ） （ 2 ）、甲的工作效率与乙的工作效率的最简比 是 （ ） ︰ （ ） （ 3 ）、乙的工作效率与甲的工作效率的最简比 是 （ ） ︰ （ ） 3 4 3 4 4 3 判断： (1) 六年级小刚的跳远成绩是 2 米，三年级的小明的跳远成绩是 110 厘米，他们的成绩比是 2 ： 110 。 ( 　　　 ) (2)1500 米长跑，王成用 6 分，张静用 8 分钟，他俩的速度比是 6 ： 8 （ ） × × 200 ： 110 时间比是 速度比是 ( 8︰ 6) √ （ 3 ）大卡车的载重量是 5 吨，小卡车的载重量是 2 吨，大小卡车载重量的比是 。（ ） 2 5 （ 4 ）如果 A 是 B 的 3 倍，那么 A 与 B 的比是 1﹕3 。（ ） × 3︰1 （ 5 ） 既可以读作十五分之七，又可以读作七比十五。（ ） （ 6 ）把 1 克盐溶于 20 克水中，盐与盐水重量的比是 1 ： 20 。（ ） √ × 1︰21 在工农业生产和日常生活中，常常 需要把一个数量按照一定的比来分配。 这种分配的方法通常 叫做按比例分配 。 （ 1 ）把 空气 平均分成的份数： 21 ＋ 78 =99 （ 2 ）氧气的体积： （ 3 ）氮气的体积： 答：有氧气 140 立方米，有氮气 520 立方米。 （ 1 ） 混凝土 平均分成的份数： 2 ＋ 3 ＋ 5 =10 （ 2 ）水泥的重量： （ 3 ）沙子的重量： 答：需要水泥 4 吨，沙子 6 吨，石子 10 吨。 （ 4 ）石子的重量： 已知总数和各部分数的比，求各部分数。 按比例分配应用题的结构特征： 方法与步骤： 1 、根据比先求出总份数。 2 、求出各部分数占总数的几分之几。 3 、运用分数乘法列式计算，求出各部分数。 4 、答题并检验。 小 结 1 、红花和黄花共 70 朵，红花与黄花的比是 2:5 ，求红花与黄花各是多少朵？ 按比例分配： 3 、红花有 28 朵，红花与黄花的比是 4 ： 7 ，求黄花有多少朵？ 2 、红花比黄花多 20 朵，红花与黄花的比是 7 ： 3 ，求红花与黄花各是多少朵？ 每份数： 20÷ （ 7-3 ） = 5 （朵） 红花： 70× = 黄花： 70× = 红花： 5×7=35 （朵） 黄花： 5×3=15 （朵） 黄花： 28÷4×7=49 （朵） 圆的认识 O r d 圆的半径有无数条，圆的直径也有无数条。 圆的认识 圆的周长除以直径的商是一个固定的数。我们把它叫做 圆周率 ，用字母 π 表示。 π ＝ 3.141592653 π ≈ 3.14 圆的周长指的是什么？ r d C=πd C=2πr 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 一个女孩推着一个半径是 35㎝ 的车轮在地面上滚动 20 周，车轮所走的路程是多少米？ C=2πr =2×3.14×35× 20 =6.28×35×20 =219.8×20 =4396( 厘米 ) =43.96 （米） 将圆分成若干等分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 16 15 14 13 12 11 10 9 1 2 3 4 5 6 7 8 16 15 14 13 12 11 10 9 r C 2 将圆分成若干等分 分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 r C 2 r C 2 ＝ π r 因为 : 长方形面积 = 长 × 宽 所以 : 圆 的 面 积 = π r × r ＝ π r 2 圆的面积指的又是什么？ r 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 S=πr² 知道什么条件可以求圆的面积？ 知道半径： S=πr 2 知道直径： S=π （ d ÷ 2 ） 2 知道周长： S=π （ C ÷ π ÷ 2 ） 2 一头小牛被一条长 5 米的绳子拴在一根木桩上，它的最大活动范围是多少平方米？ S=πr 2 =3.14 ×5 2 =3.14 ×25 =78.5( 平方米 ) 这是什么图形？ 又如何求它的面积呢？ S=π(R²-r²) 一个圆形花坛，它的直径是 8 米，现在它的周围修筑一条宽是 1 米的环形小路。这条小路的面积是多少平方米？ S=π(R²-r²) r=8÷2=4( 米 ) R=4+1=5( 米 ) =3.14 × (5²-4²) =3.14 × 9 =28.26 （平方米） 周长 :C=πd+ 长 ×2 面积： S=π （ d÷2 ） 2 +ab 1 、计算运动场的周长和面积。 =3.14×30+43.5×2 =94.2+87 =181.2( 米 ) =3.14 × （ 30÷2 ） 2 +43.5×30 =3.14 × 225+1305 =706.5+1305 =2011.5( 平方米 ) 方内圆与方外圆多余部分的面积 多余面积： 4 － 3.14 ＝ 0.86 （ m ² ） 圆的面积： 3.14 ×1² ＝ 3.14 （ m ² ） 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com 正方形的面积： 2×2 ＝ 4 （ m ² ） 正方形的面积：（ 2×1÷2 ） ×2=2 （㎡） 圆的面积： 3.14 ×1² ＝ 3.14 （ m ² ） 多余面积： 3.14 － 2 ＝ 1.14 （ m ² ） 小结：圆外正方形与圆之间的面积差是 0.86r ² ，圆内正方形的正方形与圆之间的面积差是 1.14 r ² 。 图（ 1 ） 1 米 图（ 2 ） 2 米 1 米 1 、求阴影部分的面积。 什么是轴对称图形？下面两个图形是轴对称图形吗？ 百分数的意义 表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。 百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“ %” 来表示。 分数 表示两个数量之间的倍数关系，也可表示某个具体数量 百分数 只表示两个数量之间的倍数关系 小数 分数 先化成分母是 10 、 100 、 1000…… 的分数，再约分。 分子 ÷ 分母。 百分数 小数点向右移动两位，后面添上 “ % ” 。 去掉 “ % ” ，小数点向左移动两位。 先把百分数改写成分母是 100 的分数，能约分的要约成最简分数。 先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。 小结： 把 、 、 化成百分数。 4 3 6 1 5 3 1 4 3 = 0.75 = 75% 6 1 ≈ 0.167 = 16.7% 5 3 1 = 1.6 = 160 % 发芽率 ＝ 发芽种子数 试验种子总数 ×100% 发芽率是求发芽种子数占试验种子总数的百分之几。 某县种子推广站，用 300 粒玉米种子作发芽试验，结果发芽的种子有 288 粒。求发芽率。 发芽率＝ 发芽种子数 试验种子总数 ×100% ＝ 0.96×100% ＝ 96% 发芽率＝ ×100% 288 300 C 种一批树，活了 100 棵，死了 1 棵，求成活率的正确算式是（ ）。 A ： 100 － 1 100 ×100% B ： 100 － 1 100 ＋ 1 ×100% C ： 100 100 ＋ 1 ×100% 一个盐场用 160 吨海水制出 4800 千克盐。这种海水的含盐率是多少？ 注意审题： 4800 千克 =4.8 吨 含盐率 = ×100 ％ = ×100 ％ =3 ％ 六年级有学生 160 人，已达到 《 国家体育锻炼标准 》 （儿童组）的有 120 人，占六年级学生人数的百分之几？ 单位“ 1” 达标人数 ÷ 总人数 120 ÷160 ＝ 0.75 ＝ 75% 答：占六年级学生人数的 75% 。 ① 稻谷的出米率是 85% ，是指（ ） 的千克数占（ ）的千克数的百 分之八十五。 ② 甲数是乙数的 ， 乙数是甲数的（ ） % 。 4 5 ③ 20÷ （ ）＝ ＝（ ） ︰24 ＝（ ） % 4 8 注意审题： 米 50 稻谷 125 40 12 B A ：第一段长 B ：第二段长 C ：第三段长 一根钢管截成 2 段，第一段长 米，第二段占全长的 60% ，这两段钢管比较（ ）。 3 5 学校要举行运动会，要求同学们做 25 面红旗， 30 面黄旗，则红旗比黄旗少 （ ）面，黄旗比红旗多（ ） % 。 5 20 小飞家原来每月用水约 10 吨，更换了节水龙头后每月用水约 9 吨，则每月用水比原来节约了百分之几？ （ 10-9 ） ÷10×100 ％ =1÷10×100 ％ =1÷10×100 ％ =10 ％ 在浓度为 15% 、重量为 200 克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为 10% 的糖水？ 糖的重量： 200×15 ％ =30 （千克） 解：设加入 x 克水。 30 ÷ （ 200+x)=10 ％ 200+x=30 ÷ 10 ％ 200+x=300 x=100 广缘超市庆元旦进行促销活动，原价 3500 元的海尔液晶电视，现在打九折销售，现在买一台海尔液晶电视比原来便宜了多少元？ 3500-3500×90 ％ =3500-3150 =350 （元） 3500× （ 1-90 ％） =3500×10 ％ =350 （元） 位置 一、巩固练习 1. （ 1 ）学校在小明家北偏 方向上，距离是 m 。 （ 2 ）书店在小明家 偏 方向上，距离是 m 。 （ 3 ）邮局在小明家 偏 方向上，距离是 m 。 （ 4 ）游泳馆在小明家 偏 方向上，距离是 m 。 东 25 ° 400 东 南 30 ° 200 西 南 40 ° 600 西 北 40 ° 600 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com 二、巩固练习 问题 1. 台风生成后，先是怎样 移动的？ 2. 然后台风改变了方向， 又是怎样移动的？ 3. 最后台风是怎样移动， 到达了哪里？ 4. 你能照样子完整的说一 说台风移动的路线吗？ 1. 描述路线 小结： 台风生成以后，先是沿着正西方移动了 km , 然后改变方向，向西 偏北 ° 方向移动了 km , 到达 A 市。接着，台风又改变方向， 向 偏 30° 方向移动了 km 到达 B 市 …… 540 30 600 北 西 200 想一想：用数对怎么表示物体的位置？ 用数对表示物体的位置，要先确定列数，再确定行数。 竖排叫做列，横排叫做行。 4,2 5,4 6,5 6,3 6,0 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 动物园示意图 ● ● ● ● ● 大象馆 猴山 熊猫馆 大门 海洋馆 ⑴ 我用（ 3 ， 0 ）表示大门的位置，你能表示其他场馆所在位置吗？ （ 1 ， 4 ） 大象馆 猴山 熊猫馆 （ 2 ， 2 ） （ 3 ， 5 ） 海洋馆 （ 6 ， 4 ） ⑵ 在图上标出下面场馆的位置。 飞禽馆（ 1 ， 1 ） 猩猩馆（ 0 ， 3 ） 狮虎山（ 4 ， 3 ） ● ● ● 飞禽馆 猩猩馆 狮虎山 例题 2 ⑵ 描出下列各点并依次连成封闭图形，看看是什么图形。 A （ 5 ， 9 ） B （ 2 ， 1 ） C （ 9 ， 6 ） D （ 1 ， 6 ） E （ 8 ， 1 ） B C D E ● ● ● ● 统计 扇形统计图是用整个圆表示 ( ), 用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占 ( ) 的 ( ) 。 总量 总量 百分比 某小学对全体学生进行了体重调查，体重正常的学生有 319 人。下图是调查结果统计图。 1 、这个小学一共有多少人？ 2 、体重偏胖、偏瘦的各有多少人？ 319÷55 ％ =580 （人） 偏胖： 580×35 ％ =203 （人） 偏胖： 580×10 ％ =58 （人） 及格 25% （ ）人 良 40% 优 30% 不及格 2 人 右图是六（ 4 ）班体育成绩统计图 , 你能算出及格的人数吗？ 总人数： 2÷ （ 1-40 ％ -30 ％ -25 ％） =2 ÷ 5 ％ =40 （人） 及格人数： 40×25 ％ =10 （人） 10 名称 优点 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com 条形统计图 折线统计图 扇形统计图 能清楚地看出数量的多少 不仅可以反映数量的多少，还能看出 数量增减变化趋势 能清楚地反映出各部分与整体的关系 总结：各类统计图的优点 数 学 广 角 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＝（ ） 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9 ＋ 11 ＋ 13 ＝（ ） 1. 你能利用规律直接写一写吗？ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9 ＋ 11 ＋ 13 ＋ 15 ＋ 17 ＝ 9 2 我发现，从 1 开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。 7 2 4 2 数与形 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 5 ＋ 3 ＋ 1 ＝（ ） 2. 请根据上面的结论算一算。 25 可以看成两部分： 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＝ 4 2 5 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 3 2 4 2 ＋ 3 2 ＝ 25 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9 ＋ 11 ＋ 13 ＋ 11 ＋ 9 ＋ 7 ＋ 5 ＋ 3 ＋ 1 ＝（ ） 85 2 2 原式＝ 7 ＋ 6 ＝ 85