小学数学精讲教案4_2_3 图形的分割与拼接 教师版 30页

本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼． 本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼 合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力． 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割． 反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考． 如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再 分多． 图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分 割图形． 如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的， 再拼多的． 如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推 理和必要的计算，确定剪拼的方法． 模块一、图形的分割 【例 1】 用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理 分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念， 丰富想象，提高观察能力． 这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两 块，根据这点给出如下分法(如右图)： ⑴ 做长方形的两条对角线，设交点为 ⑵ 过 点任作一条直线 ，直线 将长方形平均分割成两块． 可见用线段平分长方形的分法是无穷多的． 【答案】⑴ 做长方形的两条对角线，设交点为 ⑵ 过 点任作一条直线 ，直线 将长方形平均分割成两块． B A O 4-2-3.图形的分割与拼接 知识点拨 例题精讲 O O AB AB O O AB AB 用线段平分长方形的分法有无穷多种。 【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有 条． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求． 【答案】无数条 【例 2】 用直线把左图分成面积相等的两部分，在右图中画虚线给出了分法，其中正确的有________个。 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 14 题，4 分 【解析】 个，第 3 个不是平分（本题有歧义，第一个图是三部分） 【答案】2 个 【例 3】 在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心 O 和正方形水池的中心 A．过 O、A 画一条直线，这条 直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)． 【答案】 【例 4】 把任意一个三角形分成面积相等的 4 个小三角形，有许多种分法．请你画出 4 种不同的分法． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成 4 个等底等高的小三角形，它们的 面积必定相等．而要得到这 4 个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分 点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为 ，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做 1，那么 就可以视为把三角形的 面积直接分成 4 等份，即分成 4 个面积为 1 的小三角形；而 可以视为先把原三角形分成两等份， 再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形． 根 据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法． l l l l A O A O 2 4 1 4 2 2= × = × 1 4× 2 2× 【答案】方法不唯一 【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的 2 个小三角形，有许多种分法．请你画出 3 种不同的分法． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成 2 个等底等高的小三角形，它们的 面积必定相等．而要得到这 2 个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相 对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如图所示的三种分法． 【答案】 【例 5】 怎样把一个等边三角形分别分成 8 块和 9 块形状、大小都一样的三角形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】⑴分成 8 块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到 4 个大小、形状相同的三角形， 然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的图形． ⑵分成 9 块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合 条件的图形． 【答案】 【例 6】 下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】直角梯形的上底为 1，下底为 2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成 1 和 2， 边长 CB A B A C B A C CB A B A C B A C 2 3 1 D C BA AD 正好为 3，所以 边分成两段，找到 的三等分点 ，现在， ， ， ， 所以还要找到 的中点 ，连接 ，就把梯形 分成完全相同的两部分．如下图． 【答案】 【例 7】 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 先把图形分成 相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如下图． 【答案】 【例 8】 下图是一个 的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小 方格的完整． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】分成的两块每块有 (个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们 从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称 位置，标上相应的符号．当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另 F E A B CD 1 2 1 2 F E A B CD 1 2 1 2 20 60 40 20 20 20 60 40 20 20 60 40 AD AD E CD AE= DE AB= BF EF= BC F EF ABCD 20 40× 3 4× 12 2 6÷ = 一种情况，具体如下图所示． 【答案】 【巩固】右图是一个 的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方 格的完整． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同．方格纸一共有 (个)小格，所以分 成的两块每块有 (个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染 色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进．(建议教师同时呈现六幅空的 格图，不同的变化在 不同的图上同时呈现)如下图： 【答案】 【例 9】 下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的 四部分． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等， 也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成 12 个小正方 形再分成四份，这样每份正好有 3 个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟” 形．答案如下图． 【答案】 4 4× 4 4 16× = 16 2 8÷ = 4 4× 【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两 部分．如果分三部分呢？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】从形状，面积两方面综合考虑，很容易就能得到答案．答案如右下图． 【答案】 【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成 4 个形状相同、面积相等的梯形吗？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个 梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个 梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合 成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如下图． 【答案】 【例 10】 将图中的图形分割成面积相等的三块． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】如下图所示． 【答案】 【例 11】 下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积 相等的图形，每个图形的面积应是 1 个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方 形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的 分法．也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右上图． 【答案】 【例 12】 如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的 对角线进行分割)． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状 相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有 6 个小正方形，2 个三角形， 要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有 3 个正方形、1 个三角形，这样很容易就可以解决 这个问题了；同样，对第二个图形，一共有 7 个正方形，2 个三角形，因为正方形的个数是奇数， 所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置 很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂 一些，一共有 6 个正方形，6 个三角形，分成的两块每一块都要有 3 个正方形、3 个三角形，因为最 上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原 则，就容易解决这个问题了，具体分法见下图． 【答案】 【例 13】 已知左下图是由同样大小的 5 个正方形组成的．试将图形分割成 4 块形状、大小都一样的图形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】已知图形是由同样大小的 5 个正方形组成的，要分成 4 块同样大小的图形，则每块图形是 个正方 形．由此想到，若把每个正方形都分成 4 等份，则分割成的每一块中应包含 5 份．再稍经试验，即 得下图的解(图内部的实线为分割线)． 【答案】 【巩固】把右图剪成形状、大小相等的 8 个小图形，怎么剪？作出分出的小图形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】总格数为 12，用总格数除以 8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格 数作图，如下图． 【答案】 【例 14】 (第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由 个边长为 厘米的小正方形组成 的．⑴ 请在原图中沿正方形的边线，把它划分为 个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描 粗．⑵ 分割后每个小图形的周长是 厘米．⑶ 分割后 个小图形的周长总和与原来大图形 的周长相差 厘米． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】填空第3题 5 4 15 1 5 5 【解析】⑴ 因为总共有 个小正方形，所以分成 个大小形状相同的图形后每个图形应该有 (个)小 正方形，如图． ⑵ 每个小图形的周长为 厘米． ⑶ 个小图形的周长和： (厘米)，原图形的周长： (厘米)，所以相差 (厘米)． 【答案】⑴ ⑵ 周长为 厘米． ⑶ 厘米 【例 15】 下图是由 18 个小正方形组成的图形，请你把它分成 6 个完全相同的图形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】通过计算，18÷6=3，说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式： 与 ， 通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成 6 个 ，再由 6 结合染色法，如下图． 【答案】 【例 16】 如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的 23 个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大 小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】小学生数学报 【解析】分割的方法不唯一，如图所示． 【答案】 图1 图1 15 5 15 5 3÷ = 8 5 8 5 40× = 4 4 2 18× + = 40 18 22− = 8 22 【例 17】 如图，将一个正方形分割成互相不重叠的 21 个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画 图表示． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】小学生数学报 【解析】分割的方法不唯一，如右图所示． 【答案】 【例 18】 一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相 同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与 原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角 形的土地分成与它相等的四份，如下图所示． 【总结】本题若死守三角形面积等于底 高的一半，则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角形 各边中点，将原三角形分成面积相等的四部分，问题即可解决． 【答案】 【例 19】 将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○． × 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】图中一共有 18 个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有： (块)，而且分割 成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是 ，而且上面的部分是对称的，但是只有 5 块， 需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分． 【答案】 【例 20】 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的 4 块，使每一块内都含有“奥数读本”这四 个字中的一个，该怎么剪？ 　 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在他们中间 划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的 4 块，因为长方形是 的，所以分 割后的每一块都有 6 小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的 两部分，如下图所示． 答案不唯一． 【答案】答案不唯一 【例 21】 (2008 年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)请把下面的图形分成形状、大小都相同的 块，使每 一块里面都有“春蕾杯赛” 个字． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】如下图所示： O 奥 数 读 本 奥 数 读 本 读 本 数奥 本读 数奥 本读 数奥 春 春 蕾 杯 赛 春 春 蕾 蕾 蕾 杯 杯 杯 赛 赛 赛 第13题 18 3 6÷ = O 6 4× 4 4 答案不唯一． 【答案】答案不唯一 【例 22】 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和 大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】看到这道题目，我们想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由 4 个小正方形组 成，它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块，这就控制了搜索的范围．根据原题中各个字 的具体位置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图⑵与原题右下角 的正方形重叠， 其中“考”字出现了两次，不符合题意，因此，图⑵可以先排除掉． 现在，再固定某一角上的一个小 正方形，按其中的字来考虑．如固定右上角写有“考”的小正方形来分析，只有下列 4 种可能出现的 情况： 【答案】 【例 23】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学 而思奥数五个字． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开(图 1)，因此，首先要在它们之间划出切分 线．因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转 必 定与另一块重合．要是把切分线也绕中心点旋转 180°就可得到一些新的切分线(图 2)．这就为我们解 学 习 思 考 学 习 思考 学 习 思 考 考思 习 学 （5）（4）（3）（2）（1） 考 思 习 学 考思 学 习 学 考思 习 学 考思 习 学 习 思 考 考 思 习 学 考 思 习 学 考 思 习 学 学 习 思 考 考 思 习 学 考 思 习 学 考 思 习 学 学 而 思 奥 数 数 奥 思 而 学 2 2× 180° 决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示． → 图 1 图 2 【答案】 【例 24】 如下图所示的正方形是由 36 个小正方格组成的．如图那样放着 4 颗黑子，4 颗白子，现在要把它 切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转 、 、 之后，得到一些新的切分线， 同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是 ，即含有 9 个 小正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转 、 、 便得到其他三块，如下 图． 【答案】 【例 25】 如图，要求把正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带 一个○． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要求 的一块，然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转 、 、 就可以得到另外三块．又因 为这个正方形面积为 36 平方单位，所以分成的每一块的面积都是 9 平方单位．即每一块都由 9 个小 正方格组成．另外，由于两个正方形要切分成一样大小的四块，因此可将两个正方形重叠在一起考 虑．①将两个正方形重叠在一起，如下图所示，为便于区别，将其中一组的“○”改写成“×”．按 要求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并且每块都有一个“○”和“×”． O 学 而 思奥 数 数 奥 思 而 学 O 学 而 思奥 数 数 奥 思 而 学 90 180 270 36 4 9÷ = 90 180 270 90 180 270 ②图中有相同符号的“○”挨在一起的从中间把它们切开，在它们中间划上截线．并将这些截线绕中心 点旋转 、 、 得到另外三段截线．如下图．利用它们设想出划分线． ③设想分块从中心位置开始，逐步向外扩散，在里层方格中，先指定某一方格已分入到某小块中， 并作上记号(斜线阴影)，然后将它绕中心旋转 后得到另一方格分入到另一小块中，也作上记号 (横线阴影)，如图． 　　 对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个“○”和一个 “ ”．每一块都有 9 个方格组成，不能断开．下图是分解了的分块过程示意图． ④注意到斜线阴影部分已经有了一个“○”和一个“ ”．那么左下角包含“○”的方格就不能再分到斜线 阴影部分去了，而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分．于是左上角的方格就应该分给横线阴 影部分．空白部分是另外两块．　下就是最后分得的结果． 【答案】 【例 26】 （2004 年第 2 届走美杯 4 年级决赛第 8 题，10 分）将下页图所示图形拆成形状相同、面积相等的 三部分，使每个部分中含有一个 ，请将第一部分的六边形都标上 “1”，第二部分的六边形都 标上“2”。 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】 90 180 270 180 × × 【答案】 模块二、图形的拼接 【例 27】 用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形 的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图： 【答案】 【巩固】用 3 个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动．一共可以拼成如下图的几种形状： 【答案】 【巩固】用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、 一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个 平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准 备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示． 【答案】 【例 28】 下面哪些图形自身用 4 次就能拼成一个正方形？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】用 4 块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图(1)、图(2)、图(3)也能拼成一 个大正方形，拼法见下图． 【答案】图形（1）、（2）、（3）（4）、（5）可以 【例 29】 用下面的 3 个图形，拼成右边的大正方形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有 16 个，只能组成 的正方形，使用目标倒推法，在右边的大 正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了， 如下图： 【答案】 【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 ④ ③ ② ① 4 4× 【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有 16 个，只能组成 的正方形，目标倒推，在右边的大正方形 中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意 标号的位置，具体如下图所示： → → → 【答案】 【例 30】 有 6 个完全相同的 ，你能将它们拼成下面的形状吗？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】利用染色法以及图形的对称性，对称轴两侧都有三个小图形，按照下面的顺序标号即可完成． → → 【答案】 【例 31】 三种塑料板的型号如图： ( ) ( ) ( ) 已有 型板 30 块，要购买 、 两种型号板若干，拼成 正方形 10 个， 型板每块价格 5 元， 型板每块价格为 4 元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买 、 两种 板要花多少元？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】保良局亚洲区城市，小学数学邀请赛 【解析】要使花的钱尽可能的少，已有 30 个 型板最好能用上，而价格较贵的 型板尽可能少用，因为 型 与 型的面积都为 3，所以在拼成的 的正方形中，除了 型外，余下的面积应能被 3 整除．有 或 能被 3 整除知，只能用 4 块 型板或 1 块 型板，考虑尽可能多地使用 型板，有如下图 1、图 2 的拼法： 4 4× A B C A B C 5 5× B C B C A B A B 5 5× C 25 4 4 9− × = 25 4 1 21− × = C C A 图 1 图 2 图 1 的拼法要花 (元)，图 2 的拼法要花 (元)，因为只有 30 块 型板，所以 在 10 快 的正方形中，图 2 的拼法只能有 4 块，剩下 6 块用图 1 拼法，共需： (元) 【答案】 元 【例 32】 试用图 a 中的 8 个相等的直角三角形，拼成图 b 中的空心正八边形和图 c 中的空心正八角星． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与 直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个 直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三 角形组成空心正八角星． 【答案】 模块三、图形的剪拼 【例 33】 试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法 有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等 的三角形．如图所示： B C C C C BA A A A A A B C A 图a 图b 图c 4 4 5 2 26× + × = 4 5 9+ = A 5 5× 9 4 26 6 192× + × = 192 【答案】 【例 34】 把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】因为大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，所以大正方形的边长不能等于两个小正方形的边 长和，而是等于小正方形的对角线的长，所以要沿着两个小正方形的对角线剪开再进行拼接，如右 图． 【答案】 【例 35】 将下图分成 4 个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】总共有 36 块小正方形，所以最后拼成的大正方形边长有 6 个单位，具体切拼方法如下： 【答案】 【例 36】 将下图分成两块，然后拼成一个正方形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】图形的面积等于 16 个小方格，如果以每个小方格的边长为 1，那么拼成的正方形的边长应该是 4．因 为图形是缺角长方形，长为 6，宽为 3，应将宽加 1，长减去 2 便可得一个正方形，所以分割成两块 后，右边的一块应向上平移 1(原来宽为 3，向上平移使宽为 4)，向左平移 2(原来长为 6，向左平移 使长为 4)．如右下图所示． 【答案】 【例 37】 将图 1 分成 4 个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形． 图 1 图 2 图 3 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】经过计数可以发现，图形是由 16 个完全一样的正方形组成，所以拼成的正方形每排都有 4 个这样的 小正方形，共有 4 排把大图形分成完全一样的 4 个图形，每个图形的面积都是小正方形的 4 倍．现 在来考虑形状．由于这个图形具有对称的特点，很容易想到先将它分成两个完全一样的图形，只要 沿大图形中间的那条竖线剪开即可，其中上面的一个是图 2，再想办法把已经分成的两个图形各分 成两个形状、大小都相同的图形即可．下面以上面的图为例，继续探讨分割的办法．如果把上图中 每个小正方形的边长看作 1 个单位，那么这个图形中的最长边有 4 个单位，其次为 3；显然，要把 它分成完全一样的两个图形，每个图形的最长边只能为 3，具体分法见图 3，用同样的方法，可以将 与上面的图形完全一样的下面的一个图形分成两个形状、大小都相同的图形，如下图． 【答案】 【例 38】 小龙的妈妈在街上卖边角布料的地摊上，买回了一块形状是等腰直角三角形的绸布，想用它来做 长方形的窗帘，为了不把布剪的太碎，裁剪的块数就要尽可能的少，请问小龙的妈妈应该怎样剪 拼呢？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】要使裁剪的块数少，就要充分利用等腰直角三角形的特点，还要尽可能多的让长方形的边与三角形 的边重合，假设拼好的长方形以 为长，现在要把△ 补到△ 的位置上，这就要求这两个 三角形完全一样，显然，只要取 、 分别为 、 的中点即可．所以首先连接 的中点 和 的中点 ，将△ 沿 剪开，再按顺时针方向旋转 180°即可．如下图所示． 【答案】 【例 39】 试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一：三角形与长方形的不同在于：角、边的个数不同，把三角形变为四边形，需要加一个角， 加一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三角形中做两条垂线，并且过三角 形两条边的中点，这样才能拼出一个长方形，如左下图． 方法二：因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三角形先分割、拼凑成平行四边形， 作三角形的中位线，旋转 180°即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右下图． 方法一： 方法二： 【答案】 方法一： 方法二： 【巩固】试将任意一个矩形分成两块，然后拼成一个三角形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一：考虑到矩形沿对角线可以分成两个相同的三角形，两个完全相同的三角形即可拼成一个 大的三角形，如左上图所示． 方法二：连接矩形一个角与一边中点的连线，将分割出的三角形沿中点处旋转 180°即可，如右上图 所示． GED A B C GED A B C BC ADE CGE D E AB AC AB D AC E ADE DE 方法一： 方法二： 【答案】 方法一： 方法二： 【巩固】试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】将例题逆推即可． 方法一： 方法二： 【答案】 方法一： 方法二： 【例 40】 把一个正方形分成 8 块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积 相等． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】连接正方形的对角线，把正方形分成了 4 个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它们分 成 4 个小等腰直角三角形和 4 个等腰梯形．(如图⑴所示)，出于分成正方形、长方形面积相等的要求 考虑：分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和长方形了(如图 ⑵、⑶所示)． ⑴ ⑵ ⑶ 【答案】 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 5 6 7 3 4 8 ⑴ ⑵ ⑶ 【例 41】 试将一个 的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】已知长方形格数 (个)，所以正方形的边长应为 6 个格，因此可以把长方形上半部分成 3 个 格、6 个格，下半部分成 6 个格、3 个格，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为 6 个格的正 方形，如右下图． 【答案】 【例 42】 有一块长 8 米、宽 3 米的长方形地毯，现在要把它移到长 6 米、宽 4 米的新房间里．请找出一种剪 裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪裁 的块数尽可能地少，应怎样剪拼？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】地毯的面积为 平方米，新房间的面积为 平方米，两者虽然长、宽不相等，但面积 相等．通过对比不难发现：地毯的长比房间的长多 2 米，房间的宽比地毯的宽多 1 米，因此，我们 可以把地毯看做由 12 个 (平方米)的小长方形组成的大长方形，如左下图所示，要达到题目的要 求，只要使原地毯的长缩短一小格．即减少 2 米，使原地毯的宽增加一小格，即增加 1 米，我们可 以沿对角线的方向，把它剪成阶梯形的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如中间图，然后把 它们错位互相拼接在一起，即阴影部分先向上平行移动 1 米，再向右平行移动 2 米，即得右下图． 【答案】 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 5 6 7 3 4 8 4 9× 9 4 36× = 8 3 24× = 6 4 24× = 2 1× 【例 43】 如何把一个长 20 厘米、宽 12 厘米的长方形切成两块，拼成一个长 16 厘米、宽 15 厘米的新长方形． → 图 图 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】因为原长方形比新长方形的长多 4 厘米，新长方形比原长方形的宽多 3 厘米，因此我们把原长方形 分成 20 个长 4 厘米，宽 3 厘米的小长方形．因为新长方形的长为 16 厘米，所以原长方形的长应减 少一个小长方形，而新长方形的宽为 15 厘米，所以原长方形的宽应增加一个小长方形．可以沿对角 线的方向，把它切成 阶梯状的两块，并使他们的形状和大小完全相同，然后把它们相互错位交在 一起，即白色部分往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形． 具体操作中可按图 中的粗线把长方形分成两块，一移一错一对，便可得到如图 所示的长为 16 厘米，宽为 15 厘米的新长方形． 【答案】 【例 44】 长方形长 24 厘米，宽 15 厘米．把它剪成两块，使它们拼成一个长 20 厘米，宽 18 厘米的长方 形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】长方形面积 (平方厘米)，拼成的长方形面积 (平方厘米)，面积相等，只 是长、宽不等，但它们都可以分成 30 个 4×3 的小长方形，拼成的长方形的一半应有 15 个 的小 长方形，即 ．所以才有如下图的剪切方法． 4 3 4 3 4 3 3 4 43 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 4 43 4 3 4 3 4 3 4 4 4 4 3 4 3 3 4 3 3 24 15 3 3 3 3 20 18 3 4 4 3 4 4 4 d e k d e 24 15 360= × = 20 18 360= × = 4 3× 5 4 3 2 1 15+ + + + = 【答案】 【例 45】 长方形的长和宽各是 9 厘米和 4 厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个 正方形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】已知长方形面积 (平方厘米)，所以正方形的边长应为 6 厘米，因此可以把长方形上半部剪 下 6 厘米，下半部剪下 3 厘米，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为 6 厘米的正方形，如 右下图． 【答案】 【巩固】一块长方形的木板，长为 90 厘米，宽为 40 厘米，将它锯成 2 块，然后拼成一个正方形，你能做到 吗？ 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】因为 ， ，所求的正方形的边长为 60 厘米，可以如下图拼成： 【答案】 3 3 3 3 20 18 3 4 4 3 4 4 4 36 3 6 4 2 3 3 3 6 4 2 36 3 6 4 2 3 3 3 6 4 2 9 4 36× = 90 40 3600× = 3600 60 60= × 【例 46】 如下图长方形的长、宽分别为 120 厘米、90 厘米，正中央开有小长方形孔，长为 80 厘米，宽为 10 厘米，要拼成面积为 100 平方厘米的正方形．问如何切分，能使划分的块数最少． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】切分前面积为 (平方厘米)，应与拼成后的正方形面积相等．拼成后正方形的 边长 厘米．因为： ．假设上图切成两块如下左图，然后将右块向上平 移 10 厘米，再向左平移 20 厘米，就拼成了一个正方形，切分线不可能是直线，一定是折线段．切 分后的两块类似阶梯形，然后由两个阶梯互相啮合，组成一个正方形，如下右图． 【答案】 【例 47】 把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成为一个正方形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】不管分其中的哪一块，最后拼得正方形的面积与图中两块面积和相等，甲面积 (平方厘米)； 乙面积 (平方厘米)． 所以甲面积 乙面积 (平方厘米)，也就是最后拼得正方形的边长为 10 厘米．甲、乙 两图形各有一边是 10 厘米，可视为正方形的一条边，然后把乙剪成三块(如右下图所示)拼成的正方 形，即可． 10 2010 2010 2010 20 10 20 10 20 10 10 20 10 2010 2010 2010 20 10 20 10 20 10 10 20 120 90 80 10 10000× − × = 100x = 100 120 20 90 10= − = + 10 5 50= × = 10 7 7 2 4 70 20 50= × − − × = − =（ ） + 50 50 100= + = 【答案】 【例 48】 如下图两个正方形的边长分别是 和 ( )，将边长为 的正方形切成四块大小、形状都相同的 图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】拼成大正方形的面积应是 ，设边长 ，则有等式 ，又因为将边长为 的 正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线 为大正方形边长，如图 ⑴，一定有 ，而 ，则： ，所以 ， 由此可以确定 ，然后将 绕中心 旋转 到 位置，即可把正方形切成符合要求的 4 块．如图⑵与图⑶．这种分法同时确保图⑶的中间部分就是边长为 的小正方形．这是因为： ⑴中心四边形的角即边长为 的正方形的四个角，∠ ，∠ ，∠ ，∠ ，又因为各边长度相等．因 此中心四边形是正方形． ⑵中心正方形的边长 ． 因此，中间部分是边长为 的正方形． ⑴ ⑵ ⑶ 【答案】 【例 49】 如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然 后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形． a b b a O HN M F E D C BA Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ O b ⅣⅢ Ⅱ Ⅰ O HN M F E D C BA Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ O b ⅣⅢ Ⅱ Ⅰ a b a b> a a a b b× + × c c c a a b b× = × + × a MN MN MN a a b b× = × + × MH a= NH b= 2AN CM BH a b= = = − ÷（ ） MN MN O 90 EF b a A B C D [ 2] 2a a b a b a a b b= − − ÷ − − ÷ = − − =（ ） （ ） （ ） b 【考点】图形的分割与拼接 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的 2 倍，设十字形面积是 5 个平方单位，长 方形的长为 长度单位，宽为 长度单位，那么有 ，即 ，由勾股定理可 知：所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是 3 和 1 的斜边．它恰是两个对角顶点的连 线．剪拼方法如右图所示，甲拼在甲′位置，乙拼在乙′位置，就可得符合题意的图形． 【总结】假若沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的 4 片是 4 个全等多边形，这时两条直线都经过 十字形的中心，并且互相垂直．剪开的这 4 个图形其中一个绕中心旋转 也和另一个重合．由此我 们便得到一个重要结论：对于一个正方形来讲，如果从中心沿 角的两边切开，得到整 个图形的 ，这个 的图形若绕中心旋转 一定和另外的 的图形重合．对于一个正三角形来讲， 如果从中心沿 角的两边切开，得到整个图形的 ，这个 的图形若绕中心旋转 一 定也和另外的 的图形重合．一般情况：对于一个正 边形，如果从它的中心沿 的角的两边剪 开，得到整个图形的 ，这个 的图形若绕中心旋转 角，一定也和另一个 图形重合． 【答案】 【例 50】 有 5 个长方形，它们的长和宽都是整数，且 5 个长和 5 个宽恰好是 1~10 这 10 个整数。现在用 5 个长方形拼成 1 个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为__________。 （A）169 （B）144 （C）121 （D）100 【考点】图形的分割与拼接 【难度】5 星 【题型】选择 【解析】 ，这 个数两两相乘再相加，和最小是 ，大于 的最小的 平方数是 。这 个数两两相乘再相加，和等于 的有 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ 乙 ’ 甲’ 乙 甲 乙 ’ 甲’ 乙 甲 x 2 x 25, 102 xx x= = 2 2 23 1x = + 90 360 4 90÷ =  1 4 1 4 90 1 4 360 3 120÷ =  1 3 1 3 120 1 3 n 360 n  1 n 1 n 360 n  1 n C 10 + + + + =1 10 2 9 3 8 4 7 5 6 110× × × × × 110 121 10 121 × + × + × + × + × =1 6 2 9 3 10 4 8 5 7 121 × + × + × + × + × =1 6 2 10 3 8 4 9 5 7 121 × + × + × + × + × =1 6 2 10 3 9 4 7 5 8 121 × + × + × + × + × =1 7 2 10 3 6 4 9 5 8 121 × + × + × + × + × =1 8 2 6 3 10 4 9 5 7 121 × + × + × + × + × =1 8 2 7 3 10 4 6 5 9 121 × + × + × + × + × =1 8 2 9 3 7 4 6 5 10 121 × + × + × + × + × =1 8 2 10 3 5 4 9 6 7 121 ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ 只有⑶和⑿可疑拼成正方形（见下图）： 【答案】 【例 51】 如图， 、 、 、 四个长方形的周长的和是 ，并且每个长方形都有一条边的长度已经给定， 分别是 ， ， ， 。中间的长方形的周长是 。 【考点】图形的分割与拼接 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】 、 、 、 四 个 长 方 形 的 周 长 可 以 围 成 两 个 大 长 方 形 的 周 长 ， 所 以 大 长 方 形 的 周 长 。而中间的长方形周长与大长方形周长差为 。所以 中间的长方形周长为 。 【答案】 【例 52】 现有一块 L 形的蛋糕如图所示，现在要求一刀把它切成 3 部分，因此只能按照如图的方式切，但 不能斜着切或横着切.要使得到的最小的那块面积尽可能大，那么最小的面积为 平方厘 米． 【考点】图形的分割与拼接 【难度】5 星 【题型】填空 【解析】如下图，显然不论怎么切，B 是最大的那块，为使 A 和 C 尽量大一些，切割线就要经过 L 形的拐点. 大致有如下 3 种切法.对于前两种，C 比 A 要小，所以要使 C 尽量大的话，就要使切线作顺时针方向 调 整 . 第 三 种 情 况 更 优 一 些 ， 当 A 与 C 面 积 相 等 时 ， 就 是 最 优 的 情 况 . 此 时 ，所以 ，C 的面积是 80 立方厘米. 1 × 91 × 6 2×8 3×6 4×7 5×10 5×8 2×10 4×7 3×9 4 3 2 1 D C B A 30厘米 20厘米 10厘米 10厘米 10厘米 × + × + × + × + × =1 9 2 7 3 6 4 10 5 8 121 × + × + × + × + × =1 9 2 7 3 8 4 6 5 10 121 × + × + × + × + × =1 9 2 7 3 10 4 5 6 8 121 × + × + × + × + × =1 9 2 8 3 6 4 7 5 10 121 × + × + × + × + × =1 10 2 5 3 9 4 8 6 7 121 × + × + × + × + × =1 10 2 8 3 7 4 5 6 9 121 C A B C D 100 1 2 3 4 A B C D 100 2 50= ÷ = 4 2 1 2 2 2 3 2 10 2 20× + × + × + × = × = 50 20 30− = 30 2 20 2 10 10 10 2× ÷ = × − × ÷x x 4=x 【答案】 平方厘米80