人教版小学小升初总复习数学归类讲解及训练(全套含答案) 65页

小学数学总复习归类讲解及训练 （第一） 主要内容 求一个数比另一个数多（少）百分之几、纳税问题 学习目标 1、使学生在现实情境中，理解并掌握“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的基本思考方 法，并能正确解决相关的实际问题。 2、使学生在探索“求一个数比另一个数多（少）百分之几”方法的过程中，进一步加深对百分 数的理解，体会百分数与日常生活的密切联系，增强自主探索和合作交流的意识，提高分析 问题和解决问题的能力。 3、使学生初步认识纳税和税率，理解和掌握应纳税额的计算方法。 4、初步培养学生的纳税意识，继续感知数学就在身边，提高知识的应用能力。 5、培养和解决简单的实际问题的能力，体会生活中处处有数学。 考点分析 1、一个数比另一个数多（少）百分之几 = 一个数比另一个数多（少）的量÷另一个数。 2、应该缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入的比率叫做税率，应纳税额 = 收入 × 税率 典型例题 例 1、（解决“求一个数比另一个数多百分之几”的实际问题） 向阳客车厂原计划生产客车 5000 辆，实际生产 5500 辆。实际比计划多生产百分之几？ 分析与解： 要求“实际比计划多生产百分之几” ，就是求实际比计划多生产的辆数占计划产量的百分 之几，把原计划产量看作单位“ 1”。两者之间的关系可用线段图表示。 计划产量 5000 辆 实际比计划多的 实际产量 5500 辆 解答： 方法 1： 5500 – 5000 = 500 （辆） ⋯⋯ 实际比计划多生产 500 辆 500 ÷ 5000 = 0.1 = 10 ％ ⋯⋯ 实际比计划多生产百分之几 方法 2： 5500 ÷ 5000 = 110 ％ ⋯⋯ 实际产量相当于原计划的 110％ 110％ - 100 ％ = 10 ％ ⋯⋯ 实际比计划多生产百分之几 答： 实际比计划多生产 10％。 例 2、（解决“求一个数比另一个数少百分之几”的实际问题） 向阳客车厂原计划生产客车 5000 辆，实际生产 5500 辆。计划比实际少生产百分之几？ 分析与解： 要求“计划比实际少生产百分之几” ，就是求计划比实际少生产的辆数占实际产量的百分 之几，把实际产量看作单位“ 1”。两者之间的关系可用线段图表示。 计划产量 5000 辆 计划比实际少的 实际产量 5500 辆 解答： 方法 1： 5500 – 5000 = 500 （辆） ⋯⋯ 计划比实际少生产 500 辆 500 ÷ 5500 ≈ 9.1 ％ ⋯⋯ 计划比实际少生产百分之几 方法 2： 5500 ÷ 5500 ≈ 90.9 ％ ⋯⋯ 计划产量相当于实际的 90.9 ％ 100％ - 90.9 ％ ≈ 9.1 ％ ⋯⋯ 计划比实际少生产百分之几 答： 计划比实际少生产 9.1 ％。 点评： 想一想，在分数乘法应用题中的最基本的数量关系式： “单位 1 × 分率 = 分率对应的 量”，如果和百分数应用题结合起来，求一种量比另一种量多（少）百分之几，实际上就 是求分率。就用“多（少）的量 ÷ 单位 1”。 例 3、（难点突破） 一筐苹果比一筐梨重 20％，那么一筐梨就比一筐苹果轻 20％ 分析与解： 苹果比梨重 20％，表示苹果比梨重的部分占梨的 20％，把梨的质量看作单位“ 1”；而梨 比苹果轻 20％则表示梨比苹果轻的部分占苹果的 20％，把苹果的质量看作单位“ 1”，两 个单位“ 1”不同，切忌将两个问题混为一谈。一筐苹果比一筐梨重 20％，是把梨看作单 位“ 1”，梨有 100 份，苹果就是 100 + 20 = 120 份；一筐梨比一筐苹果轻百分之几 = 一 筐梨比一筐苹果轻的部分 ÷ 苹果 = （120 - 100 ）÷ 120 ≈16.7 ％ 答： 一筐苹果比一筐梨重 20％，那么一筐梨就比一筐苹果轻 16.7 ％ 点评： 在求一个数比另一个数多（少）百分之几的百分数应用题中，关键还是要找准单位“ 1” 的量。从结论可以得出 “一个数比另一个数多百分之几， 另一个数就比一个数少百分之几。 ” 这句话是错的。为什么呢？把两个百分之几比较一下，就可以得出这两个百分之几对应的 量是一个数比另一个数多的量或另一个数比一个数少的量，而这两种说法是相同的，也就 表示的是同一个量；而单位“ 1”一个是梨，一个是苹果，所以这两个百分之几是不可能 相等的。 例 4、（考点透视） 一种电子产品，原价每台 5000 元，现在降低到 3000 元。降价百分之几？ 分析与解： 降低到 3000 元，即现价为 3000 元，说明降低了 2000 元。求降价百分之几，就是求降低 的价格占原价的百分之几。 5000 – 3000 = 2000 （元） 2000 ÷ 5000 = 40 ％ 答： 降价 40﹪。 例 5、（考点透视） 一项工程，原计划 10 天完成，实际 8 天就完成了任务，实际每天比原计划多修百分之几？ 分析与解： 根据“原计划 10 天完成” ，可以得到：原计划每天完成这项工程的 10 1 ；根据“实际 8 天 完成” ，可以得到： 实际每天完成这项工程的 8 1 。用“实际比原计划每天多完成的量 ÷ 原 计划每天完成的量” ，就可以求出实际每天多修百分之几。 （ 8 1 - 10 1 ） ÷ 10 1 = 25 ％ 答： 实际每天比原计划多修 25％。 点评： 找准解决问题的数量关系式是解答好这一题的关键， 题目中要求的是每天完成的任务量， 而不能用 10 和 8 去求，因为 10 和 8 是工作时间，在解答时容易发生错误。 例 6、（应纳税额的计算方法） 益民五金公司去年的营业总额为 400 万元。如果按营业额的 3％缴纳营业税，去年应缴纳营业 税多少万元？ 分析与解： 如果按营业额的 3％缴纳营业税，是把营业额看作单位“ 1”。 缴纳营业税占营业额的 3％，即 400 万元的 3％。求一个数的百分之几是多少，也用乘法计算。计算时可将百分 数化成分数或小数来计算。 400×3％ = 400 × 100 3 = 12 （万元） 或 400×3％ = 400 × 0.03 = 12 （万元） 答： 去年应缴纳营业税 12 万元。 点评： 在现实社会中，各种税率是不一样的。应纳税额的计算从根本上讲是求一个数的百分之 几是多少。 例 7、（和应纳税额有关的简单实际问题） 王叔叔买了一辆价值 16000 元的摩托车。按规定，买摩托车要缴纳 10％的车辆购置税。王叔叔 买这辆摩托车一共要花多少钱？ 分析与解： 王叔叔买这辆摩托车所需的钱应包含购买价和 10％的车辆购置税两部分，而车辆购置税 是占摩托车购买价的 10％，可先算出要缴纳的车辆购置税。也可以这样想：车辆购置税 占购买价的 10％，把购买价看作单位“ 1”，王叔叔买这辆摩托车所需的钱相当于购买价 的（ 1 + 10 ％），即求 16000 元的 110％是多少，也用乘法计算。 方法 1：16000 ×10％ + 16000 = 1600 + 16000 = 17600 （元） 方法 2：16000 ×（ 1 + 10 ％） = 16000 ×1.1 = 17600 （元） 答： 王叔叔买这辆摩托车一共要花 17600 元钱。 例 8、扬州某风景区 2007 年“十一”黄金周接待游客 9 万人次，门票收入达 270 万元。按门票的 5％缴纳营业税计算， “十一”黄金周期间应缴纳营业税 0.45 万元。 分析与解： 营业税是按门票的 5％缴纳，是占门票收入的 5％，而不是占游客人数的 5％ 答：“十一”黄金周期间应缴纳营业税 13.5 万元。 模拟试题 一、填空。 1、篮球个数是足球的 125％，篮球比足球多（ ）％，足球个数是篮球的（ ）％，足球个数 比篮球少（ ）％。 2、排球个数比篮球多 18％，排球个数相当于篮球的（ ）％。 3、足球个数比篮球少 20％。排球个数比篮球多 18％，（ ）球个数最多， （ ）球个数最少。 4、果园里种了 60 棵果树，其中 36 棵是苹果树。苹果树占总棵数的（ ）％，其余的果树占总 棵数的（ ）％。 5、女生人数占全班的百分之几 = （ ）÷ （ ） 杨树的棵数比柏树多百分之几 = （ ）÷ （ ） 实际节约了百分之几 = （ ）÷ （ ） 比计划超产了百分之几 = （ ）÷ （ ） 6、20 的 40％是（ ），36 的 10％是（ ），50 千克的 60％是（ ）千克， 800 米的 25％ 是（ ）米。 7、进口价ａ元的一批货物，税率和运费都是货物价值的 10％，这批货物的成本是（ ）元。 二、解决实际问题 1、白兔有 25 只，灰兔有 30 只。灰兔比白兔多百分之几？ 2、四美食盐厂上月计划生产食盐 450 吨，实际生产了 480 吨。实际比计划多生产了百分之几？ 3、小明家八月份用电 80 千瓦时，小亮家比小明家节约 10 千瓦时，小亮家比小明家八月份节约 用电百分之几？ 4、某化肥厂 9 月份实际生产化肥 5000 吨，比计划超产 500 吨。比计划超产百分之几？ 5、蓝天帽业厂去年收入总额达 900 万元，按国家的税率规定，应缴纳 17％的增值税。一共要 缴纳多少万元的增值税？ 6、爸爸买了一辆价值 12 万元的家用轿车。按规定需缴纳 10％的车辆购置税。爸爸买这辆车共 需花多少钱？ （二） 主要内容： 应用百分数解决实际问题：利息、折扣问题 学习目标： 1、了解储蓄的含义。 2、理解本金、利率、利息的含义。 3、掌握利息的计算方法，会正确地计算存款利息。 4、进一步掌握折扣的有关知识及计算方法。 5、使学生进一步积累解决问题的经验，增强数学的应用意识。 考点分析 1、存入银行的钱叫做本金，取款时银行除还给本金外，另外付给的钱叫做利息，利息占本金的 百分率叫做利率。 2、利息 =本金×利率×时间。 3、几折就是十分之几，也就是百分之几十。 4、商品现价 = 商品原价 × 折数。 四、典型例题 例 1、（解决税前利息） 李明把 500 元钱按三年期整存整取存入银行，到期后应得利息多少元？ 存期（整存整取） 年利率 一年 3.87 ％ 二年 4.50 ％ 三年 5.22 ％ 分析与解： 根据储蓄年利率表，三年定期年利率 5.22 ％。 税前应得利息 = 本金 × 利率 × 时间 500 × 5.22 ％ × 3 = 78.3 （元） 答： 到期后应得利息 78.3 元。 例 2、（解决税后利息） 根据国家税法规定，个人在银行存款所得的利息要按 5％的税率缴纳利息税。例 1 中纳税 后李明实得利息多少元？ 分析与解： 从应得利息中扣除利息税剩下的就是实得利息。 税后实得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×（ 1 - 5 ％） 500 × 5.22 ％ × 3 = 78.3 （元） ⋯⋯ 应得利息 78.3 × 5 ％ = 3.915 （元） ⋯⋯ 利息税 78.3 – 3.915 = 74.385 ≈ 74.39 （元） ⋯⋯ 实得利息 或者 500 × 5.22 ％ × 3 × （1 - 5 ％） = 74.385 （元）≈ 74.39 （元） 答： 纳税后李明实得利息 74.39 元。 例 3、 方明将 1500 元存入银行，定期二年，年利率是 4.50 ％。两年后方明取款时要按 5％缴纳 利息税，到期后方明实得利息多少元？ 错误解答： 1500 × 4.50 ％ ×（ 1 - 5 ％） = 64.125 （元）≈ 64.13 （元） 分析原因： 税后实得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×（ 1 - 5 ％），这里漏乘了时间。 正确解答： 1500 × 2 × 4.50 ％ ×（ 1 - 5 ％） = 128.25 （元） 答： 到期后方明实得利息 128.25 元。 点评： 求利率根据实际情况有时要扣掉利息税，根据国家规定利息税的税率是 5％，所以利息 分税前利息和税后利息，在做题时要注意区分。但也有一些是不需要缴利息税的，比如： 国家建设债券、教育储蓄等。 例 4、（求折扣） 一本书现价 6.4 元，比原价便宜 1.6 元。这本书是打几折出售的？ 分析与解： 打了几折是求实际售价是原价的百分之几，只要用实际售价除以原价。 6.4 + 1.6 = 8 （元） 6.4 ÷ 8 = 80 ％ = 八折 答： 这本书是打八折出售的。 点评： 几折就是百分之几十，几几折就是百分之几十几，同一商品打的折数越低，售价也就越 低。在折数的题目中，打几折就是按原价的百分之几十出售，它并不代表增加或减少的 数额。 例 5、（已知折扣求原价） “国庆”商场促销，一套西服打八五折出售是 1020 元，这套西服原价多少元？ 分析与解： 打八五折出售，即实际售价相当于原价的 85％。已知原价的 85％是 1020 元，要求 原价是多少，可以列方程解答。 原价 × 85 ％ = 实际售价 解： 设这套西服原价ｘ元。 ｘ × 85 ％ = 1020 ｘ = 1020 ÷ 85 ％ ｘ = 1200 检验： （1）用现价除以原价看是否打了八五折。 1020 ÷ 1200 = 0.85 = 85 ％ （2）看原价的 85％是不是 1020 元。 1200 × 85 ％ = 1020 （元） 经检验，答案符合题意。 答： 这套西服原价 1200 元。 例 6、一台液晶电视 6000 元，若打七五折出售，可降价 2000 元。 分析原因： 6000 元为原价，打七五折出售，要先算出实际售价再相减，或者先算出降价部分占 原价的 25％。 正确解答： 6000 - 6000 ×75％ = 1500 （元） 或 6000×（ 1 - 75 ％） = 1500 （元） 答： 可降价 1500 元。 例 7、（和应纳税额有关的简单实际问题） 一批电冰箱，原来每台售价 2000 元，现促销打九折出售，有一顾客购买时，要求再打九折，如 果能够成交，售价是多少元？ 分析与解： “促销打九折出售”就是按原价的百分之九十出售，用“原价× 90％”，“再打九折” 是在促销价的基础上打九折，要用促销价乘 90％。 2000× 90 ％ × 90 ％ = 1800 × 90 ％ = 1620 （元） 答： 如果能够成交，售价是 1620 元。 点评： 题目的关键是“再打九折”表示的意思是在促销价的基础上再打九折，单位“ 1”的 量是促销价，即原价打九折后的价钱，这是易错点，要多加注意。 例 8、（考点透视） 商店以 40 元的价钱卖出一件商品，亏了 20％。这件商品原价多少元，亏了多少元？ 分析与解： 以 40 元的价钱卖出，说明实际售价是 40 元；亏了 20％，即亏了原价的 20％，因此 实际售价相当于原价的（ 1 - 20 ％）。 解： 设这件商品原价ｘ元。 ｘ × （1 - 20 ％） = 40 ｘ × 80 ％ = 40 ｘ = 50 50 × 20 ％ = 10 （元） 答： 这件商品原价 50 元，亏了 10 元。 例 9、（考点透视） 某商店同时卖出两件商品，每件各得 30 元，其中一件盈利 20％，另一件亏本 20％。这个商店 卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本？具体是多少？ 分析与解： 盈利 20％，即售出价是成本价的（ 1 + 20％）；亏本 20％，即售出价是成本价的（ 1 - 20％）。两件商品的售出价都是 30 元，可分别算出两件商品的成本价。 30 ÷（ 1 + 20 ％） = 25 （元） 30 ÷（ 1 - 20 ％） = 37.5 （元） 25 + 37.5 = 62.5 （元） 62.5 – 60 = 2.5 （元） 答： 这个商店卖出这两件商品总体上是亏本，亏本 2.5 元。 模拟试题 1、李叔叔于 2000 年 1 月 1 日在银行存了活期储蓄 1000 元，如果每月的利率是 0.165 ％，存款 三个月时，可得到利息多少元 ?本金和利息一共多少元 ? 2、叔叔今年存入银行 10 万元，定期二年，年利率 4.50% ，二年后到期，扣除利息税 5% ，得到的 利息能买一台 6000 元的电脑吗？ 3、小华妈妈是一名光荣的中国共产党员，按党章规定，工资收入在 400-600 元的，每月党费应缴纳 工资总额的 0.5%，在 600-800 元的应缴纳 1%，在 800-1000 元的，应缴纳 1.5%，在 1000 以上的 应缴纳 2%，小华妈妈的工资为 2400 元，她这一年应缴纳党费多少元？ 4、填空： 八折 =（ ）% 九五折 =（ ）% 40% =（ ）折 75% = （ ）折 5、只列式不计算。 ①买一件 T 恤衫，原价 80 元，如果打八折出售是多少元？ ②有一种型号的手机，原价 1000 元，现价 900 元，打几折出售？ ③老师在商店里花了 56 元钱买了一条牛仔裤， 因为那儿的牛仔裤正在打七折销售。 这条牛仔裤 原价多少元？ 6、算出折数。 ⑴在日常生活中打“折”现象随处可见。这儿有一家快餐店也在搞促销，你能算出这些美食分 别打几折吗？每人可任选一种计算一下。 ①食品原价 4 元，现价 3 元。 ②食品原价 5 元，现价 4 元。 ③食品原价 10 元，现价 7 元。 7、常熟新开了一家永乐生活电器，“十·一”节日期间，那里的商品降价幅度很大。有一种款式的 MP3，原价 280 元，现在打三折出售。根据这个信息，你想计算什么？ ①现价多少元？ ②现价比原价便宜了多少元？ 改编：（ 1）有一种款式的 MP3，打三折出售是 84 元，原价多少元？ （ 2）有一种款式的 MP3，打三折出售比原价便宜了 196 元，原价多少元？ 8、一种矿泉水， 零售每瓶卖 2 元， 生产厂家为感谢广大顾客对产品的厚爱， 特开展 “买四赠一” 大酬宾活动，生产厂家的做法优惠了百分之几？ ( 注意解题策略的多样性。 ) 9、一辆自行车 200 元，在原价基础上打八折，小明有贵宾卡，还可以再打九折，小明买这辆车 花了多少钱？ 10、小红在书店买了两本打八折出售的书，共花了 12 元，小红买这两本书便宜了多少钱。 （三） 主要内容 列方程解稍复杂的百分数实际问题 学习目标 1、引导学生在已学会的一些基本的百分数实际问题的基础上， 引出列方程解一些稍复杂的百分 数实际问题的方法。 2、能根据题中的信息，熟练地找出基本的数量关系，培养学生的分析解题能力。 3、通过练习，沟通百分数和分数的联系，提高学生解决相关问题的能力。 考点分析 1、解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。 2、用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量，找出数量间的相等关系。根据求一个数 的百分之几是多少用乘法列方程求解，或者根据除法的意义，直接解答。 3、“已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数”的实际问题，可以根据数量间的 相等关系列方程求解；或者根据除法的意义，直接解答。 4、灵活运用本单元所学知识， 、解决稍复杂的百分数实际问题，沟通分数、百分数应用题之间 的联系。 典型例题 例 1、（列方程解答和倍问题） 一根绳子长 48 米，截成甲、乙两段，其中乙绳长度是甲绳的 60％。甲、乙两绳各长多少米？ 分析与解： 乙绳长度是甲绳的 60％，把甲绳长度看作单位“ 1”。 ｘ米 甲绳 | （ ）米 | 48 米 乙绳 乙绳是甲绳的 60％ 等量关系式：甲绳长度 + 乙绳长度 = 总长度 解答： 设甲绳长ｘ米，则乙绳长 60％ｘ米。 ｘ + 60 ％ｘ = 48 1.6 ｘ = 48 ｘ = 30 60％ｘ = 30 × 60 ％ = 18 答： 甲绳长 30 米，则乙绳长 18 米。 检验： 30 + 18 = 48 （米），符合甲、乙两绳共长 48 米。 18 ÷ 30 = 60 ％，符合乙绳长度是甲绳的 60％。 例 2、（列方程解答差倍问题） 体育馆内排球的个数是篮球的 75％，篮球比排球多 6 个。篮球和排球各有多少个？ 分析与解： 排球的个数是篮球的 75％，是把篮球个数看作单位“ 1”。 ｘ个 篮球 | （）个 | 多 6 个 排球 排球的个数是篮球的 75％ 等量关系式：篮球 – 排球 = 6 个 解答： 设篮球有ｘ个，则排球有 75％ｘ个。 ｘ - 75 ％ｘ = 6 0.25 ｘ = 6 ｘ = 24 75％ｘ = 24 × 0.75 = 18 答： 篮球有 24 个，排球有 18 个。 你会自己检验吗？ 检验： 24 - 18 = 6 （个），符合篮球比排球多 6 个。 18 ÷ 24 = 75 ％，符合排球的个数是篮球的 75％。 点评： 在列方程解答和倍、差倍问题的题目时，要注意找准单位“ 1”的量，通常情况下设单位 “1”的量为ｘ，再用另一个量和单位“ 1”之间的关系，用含有ｘ的式子表示出另一个量， 最后根据它们的和或差列出方程。 例 3、六年级男生比女生少 40 人，六年级女生人数相当于男生人数的 140％，六年级男生有多 少人？ 错误解法： 设：女生有ｘ人，男生就有 140％ｘ人。 140％ｘ - ｘ = 40 0.4 ｘ = 40 ｘ = 100 140％ｘ = 100 × 1.4 = 140 分析与解： 根据“六年级女生人数相当于男生人数的 140％”，可以把男生人数看作单位“ 1” 的量，设男生人数为ｘ人，女生人数就是 140％ｘ人，再根据“六年级男生比女生少 40 人”，可以得出数量关系式： “女生人数 – 男生人数 = 40 ”，根据此数量关系式 列出方程。 正确解答： 设男生有ｘ人，女生就有 140％ｘ人。 140％ｘ - ｘ = 40 0.4 ｘ = 40 ｘ = 100 答： 男生有 100 人。 点评： 解错此题的原因是单位“ 1”的量找错了，要记住找单位“ 1”的量时候，首先要去找分率 （百分率） ，因为没有分率就没有单位“ 1”的量，就不能看到“比” ，而“比”后面的那个 量就是单位“ 1”的量。 例 4、（列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际问题） 白兔有 36 只，比灰兔少 20％。灰兔有多少只？ 分析与解： 白兔比灰兔少 20％，把灰兔看作单位“ 1”。 ?只 灰兔 | 36 只 | 白兔 比灰兔少 20％ 等量关系式：灰兔的只数 – 白兔比灰兔少的只数 = 白兔的只数 解答： 设灰兔有ｘ只。 ｘ - 20 ％ｘ = 36 0.8 ｘ = 36 ｘ = 45 答： 灰兔有 45 只。 检验： 45 – 45 × 20 ％ = 36 或 （45 – 36 ）÷ 45 = 20 ％，符合题意。 例 5、（列方程解决“已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际问题） 白兔有 48 只，比灰兔多 20％。灰兔有多少只？ 分析与解： 白兔比灰兔多 20％，把灰兔看作单位“ 1”。 ?只 灰兔 | 比灰兔多 20％ | 白兔 48 只 等量关系式：灰兔的只数 + 白兔比灰兔多的只数 = 白兔的只数 解答： 设灰兔有ｘ只。 ｘ + 20 ％ｘ = 48 1.2 ｘ = 48 ｘ = 40 答： 灰兔有 40 只。 检验： 40 + 40 × 20 ％ = 48 或 （48 – 40 ）÷ 40 = 20 ％，符合题意。 点评： 和前面例题一样，都是去求单位“ 1”的量。在解题时同样要注意找准单位“ 1”的量，看 问题求什么，确定用什么方法计算。 例 6、（难点突破） 某商品如果按现价 18 元出售，则亏了 25％，原来成本是多少元？如果想盈利 25％，应按多少 元出售该商品？ 分析与解： 不管是亏 25％，还是盈利 25％，单位“ 1”都是这件商品的成本。所以要先求这件 商品的成本。 18 元亏 25％，说明 18 元比成本少 25％，即是成本的（ 1 - 25％）。盈 利 25％，说明盈利的是原来成本的 25％，实际售价是原来成本的（ 1 + 25 ％）。 解答： 设原来成本是ｘ元。 ｘ - 25 ％ｘ = 18 0.75 ｘ = 18 ｘ = 24 24 × （ 1 + 25 ％） = 30 （元） 答： 原来成本是 24 元，应按 30 元出售该商品。 点评： 通常情况下，商品的盈利和亏损都是以成本作单位“ 1”的 。解答这道题目的关键是确定 好单位“ 1”，这也是解百分数应用题时最重要的。 例 7、（考点透视） 水果批发部要运进一批水果，第一次运进总量的 22％，第二次运进 1.5 吨，两次共运进这批水 果的 62％，这批水果一共有多少吨？ 分析与解： 根据题意可以画出下面的线段图： 62％ 第一次 22％ 1.5 吨 “ 1”? 吨 从图中可以看出：两次一共运的吨数 - 第一次运的吨数 = 1.5 吨，单位“ 1”的量是这批水 果的总吨数，设这批水果一共有ｘ吨，那么两次一共运了 62％ｘ吨，第一次运进了 22％ｘ吨。 解： 设这批水果一共有ｘ吨。 62％ｘ - 22 ％ｘ = 1.5 40 ％ｘ = 1.5 ｘ = 3.75 答： 这批水果一共有 3.75 吨。 点评： 在解答稍复杂的百分数应用题时，要学会画线段图，它的好处是：使题目的条件变得简洁， 找数量关系式时更加容易、 方便。 画图的时候， 要先找准单位 “1”的量，用一根线段表示出单位 “ 1” 的量之后，再去表示其他的量。 模拟试题 一、基本训练： 1、找出下列各题中的单位“ 1”。 ①男生人数占女生人数 60%。 ②男生人数比女生人数多 20%。 ③女生人数比男生人数少 25%。 ④加工一批零件，已完成了 80%。 ⑤今年的猪肉单价比去年上涨了 80%。 2、根据所给信息，说出数量间的相等关系 ①一条路，已修了全长的 60% ②一种彩电，现价比原价降低 10% ③松树的棵数比柏树多 1 3 3、看图列式。 用去 30% ? 只 灰兔 比灰兔多 25% 用去 ? 吨 还剩 28 吨 白兔 30 只 4、列式计算： （1）一个数的 75%比 30 的 25%多 1.5 ，求这个数。 （2）一个数的 25%比它的 75%少 30，求这个数。 二、解决问题： 1、对比练习 （1）某工厂六月份用煤 60 吨，六月份比五月份少用煤 25％，五月份用煤多少吨？ （2）某工厂六月份用煤 60 吨，五月份比六月份多用煤 25％，五月份用煤多少吨？ 2、一张课桌比一把椅子贵 10 元，如果椅子的单价是课桌单价的 60%，课桌和椅子的单价各是 多少元？ 3、果园里的梨树和苹果树共有 360 棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的 20%。苹果树和梨 树各有多少棵？ 4、一套桌椅的价格是 78 元，其中椅子的价格是桌子的 30%。桌子和椅子的价格各是多少元？ 5、一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，两次共剪去 6 米，这条绳子共 长多少米？ 6、一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，第二次比第一次多剪了 1 米， 这条绳子长多少米？ 7、根据问题列式。 平山茶场去年原计划种茶 20 公顷，实际种茶 25 公顷， ________? ①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？ ②计划种茶的公顷数是实际的百分之几？ ③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？ ④计划种茶的公顷数比实际少百分之几？ 8、根据算式填条件 果园里有苹果树 200 棵， ，梨树有多少棵？ ① 200÷20% ② 200×20% ③ 200÷（1+20%） ④ 200÷（1-20%） ⑤ 200×（1-20%） ⑥ 200×（1+20%） （四） 主要内容 圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积 学习目标 1、使学生在观察、 操作、 交流等活动中感知和发现圆柱、 圆锥的特征， 知道圆柱和圆锥的底面、 侧面和高。 2、使学生理解圆柱侧面积和圆柱表面积的含义，掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法。 3、使学生在活动中进一步积累认识立体图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。 4、使学生进一步体验立体图形与生活的关系，感受立体图形的学习价值，提高学习数学的兴趣 和学好数学的信心。 考点分析 1、圆柱上、 下两个面叫做圆柱的底面， 它们是完全相同的两个圆。 形成圆柱的面还有一个曲面， 叫做圆柱的侧面。 圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 2、圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、把圆柱的侧面展开得到一个长方形， 这个长方形的长等于圆柱底面的周长， 宽等于圆柱的高。 4、圆柱的侧面积 = 底面周长 × 高 5、圆柱的表面积 = 侧面积 + 底面积 × 2 典型例题 例 1、（圆柱和圆锥的特征） 圆柱和圆锥分别有什么特点？ 分析与解： 长方体和正方体的六个面都是平面图形（长方形或正方形） ，而圆柱和圆锥除了底面 是平面图形（圆）外，都有一个曲面。圆柱和圆锥的特征见下表。 圆 柱 圆 锥 底 面 两个底面完全相同， 都是圆 形。 一个底面，是圆形。 侧 面 曲面，沿高剪开，展开后是 长方形。 曲面， 沿顶点到底面圆周上的一条线 段剪开，展开后是扇形。 高 两个底面之间的距离， 有无 数条。 顶点到底面圆心的距离，只有一条。 例 2、求下面立体图形的底面周长和底面积。 半径 3 厘米 直径 10 米 分析与解： 根据圆的面积和周长计算公式计算圆柱和圆锥的底面周长和底面积。 圆柱：底面周长 3.14 × 3 × 2 = 18.84 （厘米） 底面积 3.14 × 3 2 = 28.26 （平方厘米） 圆锥：底面周长 3.14 × 10 = 31.4 （米） 底面积 3.14 ×（ 10÷2）2 = 78.5 （平方米） 点评： 圆柱和圆锥的底面都是圆， 在计算它们的周长和面积时只要按照圆的周长和面积计算 公式进行计算。 例 3、判断： 圆柱和圆锥都有无数条高。 错误解法： 正确 分析与解： 圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 正确解答： 错误 点评： 圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。两个底面之间有无数个对应的点，圆柱有无数 条高。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。顶点和底面圆心都是唯一的点，所 以圆锥只有一条高。 例 4、（圆柱的侧面积） 体育一个圆柱，底面直径是 5 厘米，高是 12 厘米。求它的侧面积。 分析与解： 高 底面周长 沿着圆柱侧面的一条高剪开，将侧面展开，就得到一个长方形。这个长方形的长等于圆 柱底面的周长，宽等于圆柱的高。因此，用圆柱的底面周长乘圆柱的高就得到这个长方 形的面积，即圆柱的侧面积。 解答： 3.14 × 5 × 12 = 188.4 （平方厘米） 答： 它的侧面积是 188.4 平方厘米。 点评： 圆柱的侧面是个曲面，不能直接求出它的面积。推导出侧面积的计算公式也用到了转化 的思想。把这个曲面沿高剪开，然后平展开来，就能得到一个长方形，这个长方形的面 积就是这个圆柱的侧面积。 例 5、（圆柱的表面积） 做一个圆柱形油桶， 底面直径是 0.6 米，高是 1 米，至少需要多少平方米铁皮？ （得数保留整数） 分析与解： 求铁皮的面积，就是求圆柱形油桶的表面积，即两个底面积和一个侧面积的和。 解答： 底面积： 3.14 ×（ 0.6 ÷ 2）2 = 0.2826 （平方米） 侧面积： 3.14 × 0.6 × 1 = 1.884 （平方米） 表面积： 0.2826 × 2 + 1.884 = 2.4492 （平方米）≈ 3 （平方米） 答： 至少需要铁皮 3 平方米。 点评： 这里不能用四舍五入法取近似值。因为在实际生活中使用的材料要比计算得到的结果多 一些。因此这儿保留整数，十分位上虽然是 4，但也要向个位进 1。 例 6、（辨析） 一个无盖的圆柱铁皮水桶，底面直径是 30 厘米，高是 50 厘米。做这样一个水桶， 至少需用铁皮 6123 平方厘米。 分析与解： 题目中是做一个无盖的圆柱铁皮水桶，只有一个底面。在计算铁皮面积时只要用圆 柱的侧面积加上一个底面的面积。 解答： 底面积： 3.14 ×（ 30÷2）2 = 706.5 （平方厘米） 侧面积： 3.14 × 30 × 50 = 4710 （平方厘米） 表面积： 706.5 + 4710 = 5416.5 （平方厘米） 答： 做这样一个水桶，至少需用铁皮 5416.5 平方厘米。 例 7、（考点透视） 一个圆柱的侧面积展开是一个边长 15.7 厘米的正方形。这个圆柱的表面积 是多少平方厘米？ 分析与解： 圆柱的侧面积展开是一个正方形，即圆柱的高和底面周长都是 15.7 厘米。根据圆柱 的底面周长可以算出底面积。 解答： 底面半径： 15.7 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2.5 （厘米） 底面积： 3.14 × 2.5 2 = 19.625 （平方厘米） 侧面积： 15.7 × 15.7 = 246.49 （平方厘米） 表面积： 19.625 × 2 + 246.49 = 285.74 （平方厘米） 答： 这个圆柱的表面积是 285.74 平方厘米。 例 8、（考点透视） 一个圆柱形的游泳池，底面直径是 10 米，高是 4 米。在它的四周和底部涂 水泥，每千克水泥可涂 5 平方米，共需多少千克水泥？ 分析与解： 要求水泥的质量，先要求水泥的面积。在圆柱形的游泳池的四周和底部涂水泥，涂 水泥的面积是一个底面积加上侧面积。 解答： 侧面积： 3.14 × 10 × 4 = 125.6 （平方米） 底面积： 3.14 × （10 ÷ 2 ）2 = 78.5 （平方米） 涂水泥的面积： 125.6 + 78.5 = 204.1 （平方米） 水泥的质量： 204.1 ÷ 5 = 40.82 （千克） 答： 共需 40.82 千克水泥。 例 9、（考点透视） 把一个底面半径是 2 分米，长是 9 分米的圆柱形木头锯成长短不同的三小段 圆柱形木头，表面积增加了多少平方分米？ 分析与解： 锯圆柱形木头，表面积增加的部分是若干个相同的底面积。锯成三段，要锯两次， 每锯一次增加两个面，锯了两次增加了四个面。 3.14 × 2 2 × 4 = 50.24 （平方分米） 答： 表面积增加了 50.24 平方分米。 点评： 这是一道在实际生活中应用的题目，对于这一类题目，它的规律就是每切一次就增加两个 面。但切的方式不同，增加的面也不同。如果是沿着底面直径把圆柱切成相同的两个部分， 增加的面就是以底面直径和高为两邻边的长方形。 模拟试题 下面 ( )图形旋转会形成圆柱。 3、在下图中，以直线为轴旋转，可以得出圆锥的是（ ）。 4、求下列圆柱体的侧面积 （1）底面半径是 3 厘米，高是 4 厘米。 （2）底面直径是 4 厘米，高是 5 厘米。 （3）底面周长是 12.56 厘米，高是 4 厘米。 5、求下列圆柱体的表面积 （1）底面半径是 4 厘米，高是 6 厘米。 （2）底面直径是 6 厘米，高是 12 厘米。 （3）底面周长是 25.12 厘米，高是 8 厘米。 6、用铁皮制作一个圆柱形烟囱，要求底面直径是 3 分米，高是 15 分米，制作这个烟囱至少需要铁 皮多少平方分米？（接头处不计，得数保留整平方分米） 7、请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。 8、一个圆柱形蓄水池，底面周长是 25.12 米，高是 4 米，将这个蓄水池四周及底部抹上水泥。如果 每平方米要用水泥 20 千克，一共要用多少千克水泥？ 参考答案： (一 ) 一、填空。 1、篮球个数是足球的 125％，篮球比足球多（ 25 ）％，足球个数是篮球的（ 80 ）％，足球个数 比篮球少（ 20 ）％。 2、排球个数比篮球多 18％，排球个数相当于篮球的（ 118 ）％。 3、足球个数比篮球少 20％。排球个数比篮球多 18％，（ 排 ）球个数最多， （ 足 ）球个数最少。 4、果园里种了 60 棵果树，其中 36 棵是苹果树。苹果树占总棵数的（ 60 ）％，其余的果树占总棵 数的（ 40 ）％。 5、女生人数占全班的百分之几 = （ 女生人数 ）÷ （ 全班人数 ） 杨树的棵数比柏树多百分之几 =（ 杨树比柏树多的棵数 ）÷ （ 柏树棵数 ） 实际节约了百分之几 = （ 节约的数量 ）÷ （ 计划数量 ） 比计划超产了百分之几 = （ 超产产量 ）÷ （ 计划产量 ） 6、20 的 40％是（ 8 ），36 的 10％是（ 3.6 ），50 千克的 60％是（ 30 ）千克， 800 米的 25％是（ 200 ）米。 7、进口价ａ元的一批货物，税率和运费都是货物价值的 10％，这批货物的成本是（ 1.2ａ ）元。 二、解决实际问题 1、白兔有 25 只，灰兔有 30 只。灰兔比白兔多百分之几？ （30 - 25）÷ 25 = 20 ％ 2、四美食盐厂上月计划生产食盐 450 吨，实际生产了 480 吨。实际比计划多生产了百分之几？ （480 - 450）÷ 450 ≈ 6.7％ 3、小明家八月份用电 80 千瓦时，小亮家比小明家节约 10 千瓦时，小亮家比小明家八月份节约用电 百分之几？ 10 ÷ 80 = 12.5 ％ 4、某化肥厂 9 月份实际生产化肥 5000 吨，比计划超产 500 吨。比计划超产百分之几？ 500 ÷ （5000 – 500） ≈ 11.1％ 5、蓝天帽业厂去年收入总额达 900 万元，按国家的税率规定，应缴纳 17％的增值税。一共要缴纳 多少万元的增值税？ 900 × 17％ = 153（万元） 6、爸爸买了一辆价值 12 万元的家用轿车。按规定需缴纳 10％的车辆购置税。爸爸买这辆车共需花 多少钱？ 方法 1：12 ×10％ + 12 = 1.2 + 12 = 13.2 （万元） 方法 2：12 ×（ 1 + 10％） = 12 ×1.1 = 13.2（万元） 参考答案（二） ： 1、李叔叔于 2000 年 1 月 1 日在银行存了活期储蓄 1000 元，如果每月的利率是 0.165％，存款三个 月时，可得到利息多少元 ?本金和利息一共多少元 ? 税后利息： 1000 × 0.165％ × 3 ×（ 1 - 5％） = 4.7025（元）≈ 4.70（元） 本金和利息： 1000 + 4.70 = 1004.70 （元） 2、叔叔今年存入银行 10 万元，定期二年，年利率 4.50% ，二年后到期，扣除利息税 5% ，得到的 利息能买一台 6000 元的电脑吗？ 税后利息： 100000 × 4.50％ × 2 ×（ 1 - 5％） = 8550（元） 8550 > 6000 答：得到的利息能买一台 6000 元的电脑。 3、小华妈妈是一名光荣的中国共产党员，按党章规定，工资收入在 400-600 元的，每月党费应缴纳 工资总额的 0.5%，在 600-800 元的应缴纳 1%，在 800-1000 元的，应缴纳 1.5%，在 1000 以上的 应缴纳 2%，小华妈妈的工资为 2400 元，她这一年应缴纳党费多少元？ 2400 × 2％ × 12 = 576（元） 4、填空： 八折 =（ 80 ） % 九五折 =（ 95 ）% 40% =（ 四 ）折 75% = （ 七五 ）折 5、只列式不计算。 ①买一件 T 恤衫，原价 80 元，如果打八折出售是多少元？ 80 × 80％ ②有一种型号的手机，原价 1000 元，现价 900 元，打几折出售？ 900 ÷ 1000 ③老师在商店里花了 56 元钱买了一条牛仔裤，因为那儿的牛仔裤正在打七折销售。这条牛仔裤 原价多少元？ 56 ÷ 70％ 6、算出折数。 ⑴在日常生活中打“折”现象随处可见。这儿有一家快餐店也在搞促销，你能算出这些美食分别 打几折吗？每人可任选一种计算一下。 ①食品原价 4 元，现价 3 元。 3 ÷ 4 = 0.75 = 75 ％ = 七五折 ②食品原价 5 元，现价 4 元。 4 ÷ 5 = 0.8 = 80％ = 八折 ③食品原价 10 元，现价 7 元。 7 ÷ 10 = 0.7 = 70％ = 七折 7、常熟新开了一家永乐生活电器， “十 ?一”节日期间，那里的商品降价幅度很大。有一种款式的 MP3，原价 280 元，现在打三折出售。根据这个信息，你想计算什么？ ①现价多少元？ 三折 = 30％ 280 × 30％ = 84（元） ②现价比原价便宜了多少元？ 280 – 84 = 196（元） 改编： （1）有一种款式的 MP3，打三折出售是 84 元，原价多少元？ 84 ÷ 30％ = 280（元） （2）有一种款式的 MP3，打三折出售比原价便宜了 196 元，原价多少元？ 196 ÷ （ 1 - 30％） = 280（元） 8、一种矿泉水，零售每瓶卖 2 元，生产厂家为感谢广大顾客对产品的厚爱，特开展“买四赠一”大 酬宾活动，生产厂家的做法优惠了百分之几？ (注意解题策略的多样性。 ) 4 ÷ （4 + 1） = 0.8 = 80 ％ 1 - 80％ = 20％ 9、一辆自行车 200 元，在原价基础上打八折，小明有贵宾卡，还可以再打九折，小明买这辆车花了 多少钱？ 200 × 80％ × 90％ = 144（元） 10、小红在书店买了两本打八折出售的书，共花了 12 元，小红买这两本书便宜了多少钱。 12 ÷ 2 ÷ 80％ = 7.5（元） 7.5 × 2 – 12 = 3（元） 或 12 ÷ 80％ – 12 = 3（元） 参考答案（三） ： 一、基本训练： 1、找出下列各题中的单位“ 1”。 ①男生人数占女生人数 60%。 把女生人数看作单位“ 1” ②男生人数比女生人数多 20%。 把女生人数看作单位“ 1” ③女生人数比男生人数少 25%。 把男生人数看作单位“ 1” ④加工一批零件，已完成了 80%。 把一批零件看作单位“ 1” ⑤今年的猪肉单价比去年上涨了 80%。把去年的猪肉单价看作单位“ 1” 2、根据所给信息，说出数量间的相等关系 ①一条路，已修了全长的 60% 全长 × 60% = 已修 ②一种彩电，现价比原价降低 10% 原价 × 10% = 降价 原价 ×（ 1- 10% ）= 现价 ③松树的棵数比柏树多 1 3 柏树 × 1 3 = 松树比柏树多的棵数 柏树 ×（ 1+1 3 ）= 松树 3、看图列式。 用去 30% ? 只 灰兔 比灰兔多 25% 用去 ? 吨 还剩 28 吨 白兔 28 ÷（ 1 - 30% ）× 30% = 12 （吨） 30 只 ｘ + 25 ％ｘ = 30 ｘ = 24 4、列式计算： （ 1）一个数的 75%比 30 的 25%多 1.5 ，求这个数。 75％ｘ – 30 × 25% = 1.5 ｘ = 12 （ 2）一个数的 25%比它的 75%少 30，求这个数。 75％ｘ – 25%ｘ = 30 ｘ = 60 二、解决问题： 1、对比练习 （ 1）某工厂六月份用煤 60 吨，六月份比五月份少用煤 25％，五月份用煤多少吨？ 解：设五月份用煤ｘ吨。 ｘ – 25%ｘ = 60 ｘ = 80 （ 2）某工厂六月份用煤 60 吨，五月份比六月份多用煤 25％，五月份用煤多少吨？ 60 + 60 × 25% = 75 （吨） 2、一张课桌比一把椅子贵 10 元，如果椅子的单价是课桌单价的 60%，课桌和椅子的单价各是 多少元？ 解：设课桌的单价是ｘ元，椅子的单价是 60%ｘ元。 ｘ – 60%ｘ = 10 ｘ = 25 25 × 60% = 15 （元）或 25 – 10 = 15 （元） 答：课桌的单价是 25 元，椅子的单价是 15 元。 3、果园里的梨树和苹果树共有 360 棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的 20%。苹果树和梨 树各有多少棵？ 解：设梨树的棵树是ｘ棵，苹果树的棵树是 20%ｘ棵。 ｘ + 20% ｘ = 360 ｘ = 300 300 × 20% = 60 （棵）或 360 – 300 = 60 （棵） 答：梨树的棵树是 300 棵，苹果树的棵树是 60 棵。 4、一套桌椅的价格是 78 元，其中椅子的价格是桌子的 30%。桌子和椅子的价格各是多少元？ 解：设课桌的单价是ｘ元，椅子的单价是 30%ｘ元。 ｘ + 30% ｘ = 78 ｘ = 60 60 × 30% = 18 （元）或 78 – 60 = 18 （元） 答：课桌的单价是 60 元，椅子的单价是 18 元。 5、一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，两次共剪去 6 米，这条绳子共 长多少米？ 解：设这条绳子共长ｘ米。 25%ｘ + 35% ｘ = 6 ｘ = 10 答：这条绳子共长 10 米。 6、一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，第二次比第一次多剪了 1 米， 这条绳子长多少米？ 解：设这条绳子共长ｘ米。 35%ｘ - 25% ｘ = 1 ｘ = 10 答：这条绳子共长 10 米。 7、根据问题列式。 平山茶场去年原计划种茶 20 公顷，实际种茶 25 公顷， ________? ①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？ 25 ÷ 20 = 125% ②计划种茶的公顷数是实际的百分之几？ 20 ÷ 25 = 80% ③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？ （25 – 20） ÷ 20 = 25% ④计划种茶的公顷数比实际少百分之几？ （25 – 20） ÷ 25 = 20% 8、根据算式填条件 果园里有苹果树 200 棵， ，梨树有多少棵？ ① 200÷20% 苹果树是梨树的 20% ② 200×20% 梨树是苹果树的 20% ③ 200÷（1+20%） 苹果树比梨树多 20% ④ 200÷（1-20%） 苹果树比梨树少 20% ⑤ 200×（1-20%） 梨树比苹果树少 20% ⑥ 200×（1+20%） 梨树比苹果树多 20% 参考答案（四） ： 上图上面从左到右依次是：底面、侧面积 中间从左到右依次是：高、高 下面从左到右依次是：底面、底面周长、底面周长 下面 ( A )图形旋转会形成圆柱。 3、在下图中，以直线为轴旋转，可以得出圆锥的是（ ④ ）。 4、求下列圆柱体的侧面积 （1）底面半径是 3 厘米，高是 4 厘米。 3.14 ×3×2×4 = 75.36 （厘米） （2）底面直径是 4 厘米，高是 5 厘米。 3.14 ×4×5 = 62.8 （厘米） （3）底面周长是 12.56 厘米，高是 4 厘米。 12.56 ×4 = 50.24 （厘米） 5、求下列圆柱体的表面积 （1）底面半径是 4 厘米，高是 6 厘米。 底面积： 3.14 × 4 2 = 50.24 （平方厘米） 侧面积： 3.14 × 4 × 2 × 6 = 150.72 （平方厘米） 表面积： 50.24 × 2 + 150.72 = 251.2 （平方厘米） （2）底面直径是 6 厘米，高是 12 厘米。 底面积： 3.14 × （6÷2）2 = 28.26 （平方厘米） 侧面积： 3.14 × 6 × 12 = 226.08 （平方厘米） 表面积： 28.26 × 2 + 226.08 = 282.6 （平方厘米） （3）底面周长是 25.12 厘米，高是 8 厘米。 底面积： 25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 4 （厘米） 3.14 × 4 2 = 50.24 （平方厘米） 侧面积： 25.12 × 8 = 200.96 （平方厘米） 表面积： 50.24 × 2 + 200.96 = 301.44 （平方厘米） 6、用铁皮制作一个圆柱形烟囱，要求底面直径是 3 分米，高是 15 分米，制作这个烟囱至少需要铁 皮多少平方分米？（接头处不计，得数保留整平方分米） 侧面积： 3.14 × 3 × 15 = 141.3 （平方分米）≈ 142 （平方分米） 7、请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。 解法一：选择①和④ 底面积： 3.14 × （3÷2）2 = 7.065 （平方分米） 侧面积： 9.42 × 2 = 18.84 （平方分米） 表面积： 7.065 × 2 + 18.84 = 32.97 （平方分米） 解法二：选择②和③ 底面积： 3.14 × （4÷2）2 = 12.56 （平方分米） 侧面积： 12.56 × 5 = 62.8 （平方分米） 表面积： 12.56 × 2 + 62.8 = 87.92 （平方分米） 8、一个圆柱形蓄水池，底面周长是 25.12 米，高是 4 米，将这个蓄水池四周及底部抹上水泥。如果 每平方米要用水泥 20 千克，一共要用多少千克水泥？ 底面积： 25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 4 （米） 3.14 × 4 2 = 50.24 （平方米） 侧面积： 25.12 × 4 = 100.48 （平方米） 表面积： 50.24 + 100.48 = 150.72 （平方米） 水泥质量： 150.72 × 20 = 3014.4 千克 小学数学总复习专题讲解及训练（第九） 教学内容： 期中复习及考前模拟 复习要点： （一）数与代数 1、百分数的应用 百分数的应用是在六年级（上册）认识百分数的基础上编排的，是本册教材的重点内容 之一。要联系实际解决一些求一个数比另一个数多（或少）百分之几的问题，解决较简单的 有关纳税、利息、折扣的问题，解决已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题。通过 这些内容的教学，能让学生进一步理解百分数的意义，学会在日常生活中应用百分数。 2、比例的有关知识 比例的知识有比例的意义、 比例的基本性质和解比例。 这些知识有助于理解图形的放大与缩 小，能用来解决有关比例尺的问题。 3、成正比例和成反比例的量 教学正比例和反比例， 着重理解正比例的意义和反比例的意义， 让学生在现实的情境中作出 相应的判断。根据《标准》的精神，教材适当加强了正比例关系图像的教学，不再安排解答 正比例或反比例的应用题。 （二）空间与图形 1、圆柱和圆锥 圆柱与圆锥是本册教材的又一个重点内容，包括圆柱和圆锥的形状特征，圆柱的表面积 及计算方法，圆柱和圆锥的体积及计算方法等知识。 2、图形的放大或缩小 图形的放大和缩小是小学数学新增加的教学内容， 让学生初步了解图形可以按一定的比 例发生大小变换。这个内容安排在第三单元里，结合比例的知识进行教学。 3、确定位置等内容 确定位置也是新增的教学内容，在初步认识方向的基础上，用“北偏东几度” “南偏西 几度”的形式量化描述物体所在的具体方向，还要联系比例尺的知识，用“距离多少”的形 式描述物体所在的位置。 知识点梳理 （一）数与代数 1、百分数的应用 （1）求一个数比另一个数多（少）百分之几的实际问题 ①要点：一个数比另一个数多（少）百分之几 = 一个数比另一个数多（少）的量÷另一个 数 ②例题：六年级男生有 180 人，女生有 160 人，男生比女生多百分之几？女生比男生少百 分只几？ 男生比女生多的人数 ÷ 女生人数 = 百分之几 （180 - 160）÷ 160 = 12.5％ 女生比男生少的人数 ÷ 男生人数 = 百分之几 （180 - 160）÷ 180 ≈ 11.1％ （2）纳税问题 ①要点：应该缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入的比率叫做税率， 应纳税额 = 收入 × 税率 ②例题： 张强编写的书在出版后得到稿费 1400 元， 稿费收入扣除 800 元后按 14%的税率缴 纳个人所得税，张强应该缴纳个人所得税多少元？ （1400 - 800 ）× 14% = 84（元） （3）利息问题 ①要点：存入银行的钱叫做本金，取款时银行除还给本金外，另外付给的钱叫做利息，利息 占本金的百分率叫做利率。税前应得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ②例题：叔叔今年存入银行 10 万元，定期二年，年利率 4.50% ，二年后到期，扣除利息税 5% ，得到的利息能买一台 6000 元的电脑吗？ 100000 × 4.5% × 2 × （1 - 5%） = 8550（元） 8550 元 > 6000 元 得到的利息能买一台 6000 元的电脑 （4）有关折扣问题 ①要点：几折就是十分之几，也就是百分之几十。商品现价 = 商品原价 × 折数。 ②例题：一种衣服原价每件 50 元，现在打九折出售，每件售价多少元？ 九折就是 90%，50×90%=50 ×0.9=45(元 ) 例题：一种衣服现在打九折出售，现在售价是 45 元，每件的原价是多少元？ 九折”就是 90%，ⅹ× 90% = 45 ⅹ=50 （5）列方程解稍复杂的百分数实际问题 ①要点：解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相 同；解答“已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数”的实际问题， 可以根据数量间的相等关系列方程求解；或者根据除法的意义，直接解答。 ②例题：果园里的梨树和苹果树共有 360 棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的 20%。 苹果树和梨树各有多少棵？ 解：设梨树有ｘ棵，苹果树有 20%ｘ棵 ｘ + 20％ｘ = 360 ｘ = 300 20％ｘ = 300 × 20％ = 60 答：梨树有 300 棵，苹果树有 60 棵。 例题：某工厂六月份用煤 60 吨，六月份比五月份少用煤 25％，五月份用煤多少吨？ 解：设五月份用煤ｘ吨 ｘ - 25％ｘ = 60 ｘ = 80 答：五月份用煤 80 吨。 2、比例的有关知识 （1）比例的意义 ①要点：表示两个比相等的式子叫做比例。 ②例题：应用比例的意义判断 6.4 : 4 和 9.6 : 6 能否组成比例？ 因为： 6.4 : 4 = 6.4 ÷ 4 = 1.6 9.6 : 6 = 9.6 ÷ 6 = 1.6 所以： 6.4 : 4 = 9.6 : 6 （2）比例的基本性质 ①要点：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫 做比例的内项；在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本 性质。 ②例题： 3 ：8 = 18 ： 48 3 × 48 = 8 × 18 内项 外项 例题：运用比例的基本性质判断 3． 6 ：1． 8 和 0． 5 ：0． 25 能否组成比例？ 因为 3.6 × 0.25 = 0.9 1.8 × 0.5 = 0.9 所以 3 ．6 ：1．8 = 0 ．5 ：0．25 例题：从 12 的因数中任意选出 4 个数，再组成 8 个比例式。 因为： 12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4 所以从 12 的因数中任意选出两组 4 个数并运用比例的基本性质可以组成 8 个不同的比例。 2 × 6 = 3 × 4 （2）︰（ 3） = （4）︰（ 6） （3）︰（ 2）= （6）︰（ 4） （2）︰（ 3） = （4）︰（ 6） （3）︰（ 2）= （6）︰（ 4） （6）︰（ 4） = （3）︰（ 2） （4）︰（ 6）= （2）︰（ 3） （6）︰（ 4） = （3）︰（ 2） （4）︰（ 6）= （2）︰（ 3） （3）解比例 ①要点：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个 未知项。求比例的未知项，叫做解比例。 ②例题： 3 : 8 = ⅹ : 40 x 9 = 8.0 5.4 8 ⅹ = 3 × 40 4.5 ⅹ = 9 × 0.8 8ⅹ = 120 4.5 ⅹ = 7.2 ⅹ = 15 ⅹ = 1.6 (4) 比例尺 ①要点：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 比例尺 = 实际距离 图上距离 ，比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。 ②例题：在一幅某乡农作物布局图上， 20 厘米表示实际距离 16 千米。求这幅图的比例尺。 16 千米 = 1600000 厘米 1600000 20 = 80000 1 例题：说出下面比例尺表示的意思。 这是线段比例尺，它表示图上 1 厘米的距离代表实际距离 200 千米。 例题：在一幅比例尺是 1：500000 的地图上，量得甲、乙两城的距离是 12.5 厘米。甲、乙两城 实际相距多少千米？ 方法 1、12.5 ×500000 = 6250000 （厘米） = 62.5 （千米） 方法 2、2.5 ×5 = 62.5 （千米） 方法 3、12.5 ÷ 500000 1 = 12.5 × 500000 = 6250000 （厘米） = 62.5 千米 解：设甲、乙两城实际相距ⅹ厘米。 5.12 = 500000 1 1ⅹ = 12.5 × 500000 ⅹ = 6250000 6250000（厘米） = 62.5 千米 （5）面积变化 ①要点： 把一个平面图形按照一定的倍数 （n）放大或缩小到原来的几分之一 （ n 1 ）后， 放大（或 缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是 n2:1 （或 1:n 2）。 ②例题： 下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。 分别量出它们的长和宽， 算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。 量得小长方形的长是 2.5 厘米，宽是 1 厘米；大长方形的长是 7.5 厘米，宽是 3 厘米。 大长方形与小长方形长的比是 7.5 : 2.5 = 3 : 1 ，宽的比是 3 : 1 。 小长方形的面积 大长方形的面积 = 15.2 35.7 = 5.2 5.7 × 1 3 = 9 : 1 = 3 2 : 1 大长方形与小长方形面积的比是 9 : 1 。 3、成正比例和成反比例的量 （1）正比例的意义和图像 ①要点：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两 个数的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关 系叫做正比例关系。 如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可 以用这样的式子来表示： x y = K （一定）用“描点法”可以得到正比例的图像，正 比例的图像是一条直线。对照图像，能根据一种量的值，估计另一种量相对应的值。 ②例题：仔细观察下表，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？ 表格 1 数量 / 本 1 3 6 8 10 20 ⋯⋯ 总价 / 元 4 12 24 32 40 80 ⋯⋯ 1 4 = 4 ， 3 12 = 4 ， 6 24 = 4 ⋯⋯ 因为 数量 总价 = 单价（一定） ，所以单价一定时，总价和数量成正比例。 例题：在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当（ ）一定时， （ ）与（ ）成正比例； 当（ ）一定时， （ ）与（ ）成正比例。 例题：某造纸厂每小时造纸 1.5 吨， 2 小时、 3 小时┈┈各造纸多少吨？ 造纸时间 / 时 1 2 3 4 ⋯⋯ 造纸吨数 / 吨 1.5 ⋯⋯ 根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。 吨数 / 吨 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间 / 时 造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？ 因为 造纸时间 造纸吨数 = 每小时造纸吨数（一定） ，所以每小时造纸吨数一定时，造纸吨数与造 纸时间成正比例。 根据图像判断， 5 小时造纸多少吨？ 根据图像判断， 5 小时造纸 7.5 吨 （2）反比例的意义 ①要点：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个 数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。 如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的积，反比例关系可 以用这样的式子来表示：ｘｙ = K （一定） 。 ②例题： 仔细观察下表， 思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？用 60 元钱购 买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表： 单 价 / 元 1.5 2 3 4 5 6 ⋯⋯ 数 量 / 本 40 30 20 15 12 10 ⋯⋯ 1.5 × 40 = 60 ，2 × 30 = 60 ，4 × 15 = 60 ⋯⋯ 因为单价 × 数量 = 总价（一定） ，所以总价一定时，单价和数量成反比例。 例题：在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中当（ ）一定时， （ ）与（ ）成 反比例。 （二）空间与图形 1、圆柱和圆锥 （ 1）圆柱和圆锥的特征 圆柱 圆锥 底面 两个底面完全相同， 都是圆形。 一个底面，是圆形。 侧面 曲面，沿高剪开，展 开后是长方形。 曲面， 沿顶点到底面圆周上 的一条线段剪开， 展开后是 扇形。 高 两 个底 面之 间的 距 离，有无数条。 顶点到底面圆心的距离， 只 有一条。 （2）圆柱的表面积和体积 ①要点：圆柱的侧面积 = 底面周长 × 高 圆柱的表面积 = 侧面积 + 底面积 × 2 圆柱所占空间的大小是圆柱的体积，圆柱的体积（容积） = 底面积 × 高，用含 有字母的式子表示是： V = sh 或者 V = лr 2h 。 ②例题：用铁皮制作一个圆柱形烟囱，要求底面直径是 3 分米，高是 15 分米，制作这个烟 囱至少需要铁皮多少平方分米？（接头处不计，得数保留整平方分米） 侧面积： 3.14 × 3 × 15 = 141.3 （平方分米）≈ 142 （平方分米） 例题：一个圆柱形蓄水池，底面周长是 25.12 米，高是 4 米，将这个蓄水池四周及底部 抹上水泥。如果每平方米要用水泥 20 千克，一共要用多少千克水泥？ 底面积： 25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 4 （米） 3.14 × 4 2 = 50.24 （平方米） 侧面积： 25.12 × 4 = 100.48 （平方米） 表面积： 50.24 + 100.48 = 150.72 （平方米） 水泥质量： 150.72 × 20 = 3014.4 千克 例题：在直径 0.8 米的水管中，水流速度是每秒 2 米，那么 1 分钟流过的水有多少立方 米？ 3.14 ×（ 0.8 ÷2）2 × 2 × 60 = 60.288 （立方米） （ 3）圆锥的体积 ①要点：圆锥所占空间的大小是圆锥的体积，圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的三 分之一。即 V = 3 1 sh 或者 V = 3 1 лr 2h 。 ②例题：一个圆锥体的体积是 a 立方米，和它等底等高的圆柱体体积是 ( ) 例题：把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是 6 立方米，圆锥体体积是 ( )立方米 例题：一个圆锥形沙堆，高是 1.5 米，底面半径是 2 米，每立方米沙重 1.8 吨。这堆沙约 重多少吨？ 3 1 ×3.14 ×2 2×1.5 × 1.8 = 11.304 （吨） 2、图形的放大或缩小 ①要点：把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。 ②例题： 一张长方形图片， 长 12 厘米， 宽 9 厘米。 按 1 : 3 的比缩小后， 新图片的长是 （ ） 厘米，宽是（ ）厘米，这张图片（ ）不变，大小（ ）。 一张长方形图片， 长 12 厘米，宽 9 厘米。按 1 : 3 的比缩小后， 新图片的长是 （ 4 ） 厘米，宽是（ 3 ）厘米，这张图片（ 形状 ）不变，大小（ 变了 ）。 例题：一块正方形的花手帕，边长 10 厘米，将其按（ ）的比放大后，边长变为 30 厘米。 一块正方形的花手帕，边长 10 厘米，将其按（ 3 : 1 ）的比放大后，边长变为 30 厘 米。 例题：按 2 : 1 的比画出平行四边形放大后的图形，按 1 : 3 的比画出长方形缩小后的图形。 3、确定位置等内容 ①要点：知道了物体的方向和距离，就能确定物体的位置。 根据物体的位置，结合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置。画的时 候先按方向画一条射线，在根据图上距离找出点所在的位置。 描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行走的方向与路程。 ②例题：下图是按 1︰50000 的比例尺绘出的方位图。说一说商店、公园、电影院的位置。 电影院 ●30o ● ● 40o 广场 公园 ● 商店 公园在广场的东面（ 0.75 ）千米处。 量得公园到广场的图上距离是 1.5 厘米， 1.5 × 50000 = 75000 厘米 = 0.75 千米 电影院在广场的（ 北 ）偏（ 东 ）（ 60 o ）方向（ 0.75 ）千米处。 商店在广场的（ 南偏西 50 o方向 1.5 千米处 ）。量得商店到广场的图上距离是 3 厘米 例题：下图是某市旅游 1 号车行驶的线路图，请根据线路图填空。 旅游 1 号车从起点站出发，向（ ）行驶到达青水公园，再向（ ）偏（ ） （ ）的方向行（ ）千米到达抗战纪念碑。 由绿博园向南偏 （ ）（ ）的方向行 （ ）千米到达购物中心， 再向北偏 （ ） （ ）的方向行（ ）千米到达人民公园。 旅游 1 号车从起点站出发，向（ 东 ）行驶到达青水公园， 再向（ 北 ）偏（东） （40o）的方向行（ 1.8 ）千米到达抗战纪念碑。 由绿博园向南偏（东） （60o）的方向行（ 1.7）千米到达购物中心，再向北偏（ 东 ） （ 70o）的方向行（ 1.5）千米到达人民公园。 小学数学总复习专题讲解及训练（九） 模拟试题 一、填空。 1、( )÷15=0.8=( )%=( )成 2、篮球个数是足球的 125％，篮球比足球多（ ）％。 3、一个圆锥的体积是 76 立方厘米，底面积是 19 平方厘米。这个圆锥的高是（ ）厘米。 4、如果 3a=4b，那么 a : b = ( )：（ ） 。 5、 一个直角三角形中，两个锐角度数的比是 3 : 2 ,这两个锐角分别是（ ）度、（ ）度。 6、 12 的约数中可以选出 4 个数组成一个比例，请你写出比值不同的两组： （ ）、 （ ）。 7、 一个比例里，两个外项正好互为倒数，其中一个内项是 2.5，另一个内项是（ ）。 8、一个圆柱的底面半径为 2 厘米，侧面展开后正好是一个正方形，圆柱的体积是（ ）立方厘 米。 9、一个长为 6 厘米，宽为 4 厘米的长方形，以长为轴旋转一周，将会得到一个底面直径是（ ） 厘米，高为（ ）厘米的（ ）体，它的体积是（ ）立方厘米。 10、 如左图所示，把一个高为 10 厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近 似的长方体。如果这个长方体的底面积是 50 平方厘米，那么圆柱体 积是 ( ) 立方厘米 二、选择。 1、圆的面积和它的半径 . A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成比例 2、下列说法正确的有 。 A、表示两个比相等的式子叫做比例。 B 、互质的两个数没有公约数。 C、分子一定，分数值和分母成反比例。 D、圆锥的体积等于圆柱体积的 3 1 。 3、圆柱的底面半径扩大 2 倍，高不变。它的底面积扩大 倍，侧面积扩 大 倍，体积扩大 倍。 A 2 、 B 4 、 C 8 、 D 16 4. 六（ 2）班人数的 40％是女生，六（ 3）班人数的 45％是女生，两班女生人数相等。那么六（ 2） 班的人数 _____六（ 3）班人数。 A. 小于 B. 等于 C . 大于 D ．都不是 5．把一团圆柱体橡皮泥揉成一个与它等底的圆锥体，高将 _______ A. 扩大 3 倍 B. 缩小 3 倍 C. 扩大 6 倍 D. 缩小 6 倍 宜陵农业银行 （定期）储蓄存单 帐号×××××× 币种人民币 金额（大写）五千元 小写￥ 5000 元 存入期 存期 年利率 起息日 到期日 2005年 3月20 3 年 5．22% 2003年 4月1 2008年3月20日 三、计算。 1、用递等式计算。 （ 12 分） 0.16 ＋4÷（ 8 3 － 4 1 ） 1.7 ＋3.98 ＋5 10 3 4.8 × 3.9 ＋6.1 ×4 5 4 2、解方程。 (6 分) 2X＋3× 0.9=24.7 0.3 ：x=17 ：51 X 2.3 =0.5 四、画一画。 （5 分） 学校的操场长 150 米，宽 60 米，请你根据比例尺在下面的空白处画出操场的平面图。 （并请你 标明比例尺及长宽的厘米数） （1：3000） 五、解决实际问题（ 25 分） 1、下面是张大爷的一张存单，如果到期要交 5%的利息税，他的存款到期时实际可得多少元利息？ 2、一个圆柱形的无盖水桶，底面半径 4 分米，高 6 分米，至少需要用多少平方分米的铁皮？（用进 一法取近似值，得数保留整数） ；如果用来装水，可以装多少千克水？（每升水重 1 千克） 3、一条公路已经修了它的 5 2 ，再修 300 米，就修好这条公路的一半。这条公路长多少米？ 4．有一个近似的圆锥形砂堆重 3.6 吨，测得高是 1.2 米，如果每吨砂的体积是 0.6 立方米。这堆砂 的底面积是多少平方米？ 5、用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如下图） ，打结处正好是底面圆心，打 结用去绳长 25 厘米。 （１）、扎这个盒子至少用去塑料绳多少厘米？ （２）、在它的整个侧面贴上商标和说明，这部分的面积至少多少平方厘米？ 参考答案： 一、填空。 1、( 12 )÷15=0.8=( 80 )%=( 八 )成 2、篮球个数是足球的 125％，篮球比足球多（ 25 ）％。 3、一个圆锥的体积是 76 立方厘米，底面积是 19 平方厘米。这个圆锥的高是（ 12）厘米。 4、如果 3a=4b，那么 a : b = ( 4 )：（ 3 ） 。 5、一个直角三角形中，两个锐角度数的比是 3 : 2 ,这两个锐角分别是（ 54）度、（36）度。 6、12 的约数中可以选出 4 个数组成一个比例，请你写出比值不同的两组： （ 2 ：3 = 4 ： 6 ）、（ 1 ：3 = 4 ：12 ）。 7、一个比例里，两个外项正好互为倒数，其中一个内项是 2.5，另一个内项是（ 0.4 ）。 8、一个圆柱的底面半径为 2 厘米，侧面展开后正好是一个正方形，圆柱的体积是（ 157.7536 ） 立方厘米。 9、一个长为 6 厘米，宽为 4 厘米的长方形，以长为轴旋转一周，将会得到一个底面直径是（ 8 ） 厘米，高为（ 6）厘米的（ 圆柱 ）体，它的体积是（ 301.44 ）立方厘米。 10、 如左图所示，把一个高为 10 厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近 似的长方体。如果这个长方体的底面积是 50 平方厘米，那么圆柱体 积是 ( 500 ) 立方厘米。 二、选择。 1、圆的面积和它的半径 C . A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成比例 2、下列说法正确的有 A C 。 A、表示两个比相等的式子叫做比例。 B 、互质的两个数没有公约数。 C、分子一定，分数值和分母成反比例。 D、圆锥的体积等于圆柱体积的 3 1 。 3、圆柱的底面半径扩大 2 倍，高不变。它的底面积扩大 B 倍，侧面积扩 大 A 倍，体积扩大 B 倍。 A 2 、 B 4 、 C 8 、 D 16 4. 六（ 2）班人数的 40％是女生，六（ 3）班人数的 45％是女生，两班女生人数相等。那么六（ 2） 班的人数 ___ C __ 六（ 3）班人数。 A. 小于 B. 等于 C . 大于 D ．都不是 5．把一团圆柱体橡皮泥揉成一个与它等底的圆锥体，高将 ____ A ___ A. 扩大 3 倍 B. 缩小 3 倍 C. 扩大 6 倍 D. 缩小 6 倍 三、计算。 1、用递等式计算。 （ 12 分） 0.16 ＋4÷（ 8 3 － 4 1 ）= 32.16 1.7 ＋3.98 ＋5 10 3 = 10.98 4.8 ×3.9 ＋6.1 ×4 5 4 =48 2、解方程。 (6 分) 2X＋3× 0.9=24.7 0.3 ：x=17 ：51 X 2.3 =0.5 X = 11 X = 0.9 X = 6.4 四、画一画。 （5 分） 学校的操场长 150 米，宽 60 米，请你根据比例尺在下面的空白处画出操场的平面图。 （并请你 标明比例尺及长宽的厘米数） （1：3000） 长： 150 米 = 15000 厘米 15000 × 3000 1 = 5 厘米 宽： 60 米 = 6000 厘米 6000 × 3000 1 = 2 厘米 宜陵农业银行 （定期）储蓄存单 帐号×××××× 币种人民币 金额（大写）五千元 小写￥ 5000 元 存入期 存期 年利率 起息日 到期日 2005年 3月20 3 年 5．22% 2003年 4月1 2008年3月20日 2 厘米 5 厘米 比例尺： 3000 1 五、解决实际问题（ 25 分） 1、下面是张大爷的一张存单，如果到期要交 5%的利息税，他的存款到期时实际可得多少元利息？ 5000 × 5．22% × 3 × （1 - 5% ） = 743.85 （元） 2、一个圆柱形的无盖水桶，底面半径 4 分米，高 6 分米，至少需要用多少平方分米的铁皮？（用进 一法取近似值，得数保留整数） ；如果用来装水，可以装多少千克水？（每升水重 1 千克） 3.14 ×4 2 + 3.14 ×4 × 2 × 6 = 200.96 （平方分米）≈ 201 （平方分米） 3.14 × 4 2× 6 = 301.44 立方分米 = 301.44 升 = 301.44 千克 3、一条公路已经修了它的 5 2 ，再修 300 米，就修好这条公路的一半。这条公路长多少米？ 解：设这条公路长 X 米 50%X - 5 2 X = 300 X = 3000 4．有一个近似的圆锥形砂堆重 3.6 吨，测得高是 1.2 米，如果每吨砂的体积是 0.6 立方米。这堆砂 的底面积是多少平方米？ 解：设这堆砂的底面积是 X 平方米 3 1 × X × 1.2 = 0.6 × 3. 6 X = 5.4 5、用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如下图） ，打结处正好是底面圆心，打 结用去绳长 25 厘米。 （１）、扎这个盒子至少用去塑料绳多少厘米？ （２）、在它的整个侧面贴上商标和说明，这部分的面积至少多少平方厘米？ （１）、（50 + 15 ）× 2 × 2 + 25 = 285 厘米 （２）、3.14 × 50 × 15 = 2355 平方厘米 小学数学总复习专题讲解及训练（十） 小学数学总复习专题讲解及训练之期中试卷 一、填空。 （ 24 分，每题 2 分。） 1、24÷（ ） =（ ）：24 = 4 3 = （ ）% =（ ）折 = （ ）（填小数）。 2、8 厘米是 16 分米的（ ）% 100 千克比 80 千克多（ ）% 12 米比（ ）少 20% （ ）比 16 少 40% 3、一件篮球打九折出售后，售价 72 元，原价（ ）元。 4、在一个比例里， 已知两个外项互为倒数， 其中一个内项是最小的合数， 另一个内项是 （ ）。 5、把 4 3 、 6 5 、 8 5 和 1 组成一个比例是 ( )。 6、已知 6x=4y,x 和 y 成（ ）比例，已知 3 x = y 6 ， x 和 y 成（ ）比例。 7、一个圆锥的体积是 32 立方厘米，高是 4 厘米，底面积是（ ）。 8、把边长是 3 厘米的正方形按 4 ：1 扩大后，扩大前后图形之间的面积比是（ ）。 9、一个圆柱体和一个圆锥体体积相同， 底面积也相同， 如果圆柱的高是 12 厘米，圆锥的高是 （ ） 厘米，如果圆锥的高是 12 厘米，圆柱的高是（ ）厘米。 10、比例尺 10 ：1，表示图上距离 1 厘米相当于实际距离（ ）厘米。 11、一个圆柱侧面展开是一个周长为 24 厘米的正方形，圆柱的侧面积是（ ）平方厘米。 12、李叔叔写了一部长篇小说，除 800 元以外，按 14%交纳了 532 元个人所得税，李叔叔这次共 得了（ ）元稿费。 二、判断。（每题 1 分，共 5 分。） 1、两种相关联的量不是正比例，就是反比例。 （ ） 2 、一种商品先涨价 5%，后又降价 5%，又回到了原价。 （ ） 3 、一个圆柱的体积等于圆锥体积的 3 倍，它们一定等底等高。 （ ） 4 、如果两个圆柱体的体积相等，那么它们的侧面积也相等。 （ ） 5 、如果 3a=4b，那么 a : b=4 ：3。 （ ） 三、选择。 （每空 1 分，共 6 分。） 1 、做一个铁皮烟囱需要多少铁皮，就是求烟囱的（ ） A、表面积 B 、体积 C 、侧面积 2、①根据我国《国旗法》的规定，国旗的长和宽（ ）。 ②圆的面积和半径（ ）。 A、成正比例 B 、成反比例 C 、不成比例 3、一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱体积比圆锥的体积大（ ） A、 3 1 B、2 倍 C 、 3 2 4 、根据 4×6=3×8, 可以写出（ ）个不同的比例。 A、8 B、4 C、 2 5 、12 个铁圆锥，可以熔铸成等底等高的圆柱体的个数是（ ） A、6 B、4 C、18 四、计算（共 26 分）。 1、直接写得数。 （每小题 0.5 分） 1047-998= 4 1 + 6 1 = 3.7+1.9= 2 ÷14+ 7 6 = 1÷100%= 0.1+9.9 ×0.1= 12 ×（ 4 1 × 6 1 ）= 0.27 ÷0.3= 2、解方程。（每题 2 分） ① 48 5 x – 2= 0.5 ② 18 1 : 9 2 = x : 13 6 ③ 1.8 x = 8.10 4 ④ X ：12 = 4 7 ：2.8 3、用递等式计算（能简便计算的要简便计算，每题 2 分） ① 3 ÷ 7 3 － 7 3 ÷3 ② 20 9 ÷[ 2 1 ×（ 3 2 ＋ 5 4 ）] ③（ 3 1 － 6 1 ＋ 4 1 ）× 12 ④ 5.7- （1.9-1.3 ） 4、文字题。 （每小题 3 分） ①用 2 除 7 10 的商，减去 7 的倒数，差是多少？ ②甲数的 4 3 等于乙数的 5 4 ，如果乙数是 15，甲数是多少？ 五、操作题。 （第 1 题 4 分，第 2 题 5 分）。 1、下图的比例尺是 4000 1 ，量出图上各数据， 求出它的实际占地面积是多少平方米？（量时得数 保留整厘米数） 2、在下图中量出学校到汽车站的图上距离，再据比例尺算出实际距离。 ①学校到汽车站的图上距离是 ( ) 厘米 ②汽车站到商场的图上距离是 ( ) 厘 ③商场在汽车站的 ( ) 偏( ) ( ) o 方向 2 千米处，这幅图的比例尺是 ( ）。 ④从学校到汽车站的实际距离是（ ）千米。 ⑤在汽车站南偏东 45o 方向 1000 米处有一个公园，请在图上画出公园的位置。 六、应用题。 （共 30 分）。 1、水结成冰后，体积增加 10%，一块体积是 3.3 立方米的冰，融化成水后体积是多少？ 2、一个无盖的铁皮水桶， 底面周长是 9.42 平方分米 ,高 5 分米 ,做这个水桶至少用了铁皮多少平方 分米 ?至少能装多少水 ? 学校 汽车站 商场 小河 3、组装一批电脑，已装了总数的 40%，剩下的比已装的多 500 台。这批电脑共有多少台？ 4、一幅地图的线段比例尺是： 0 40 80 120 160 千米，甲乙两城在这幅地图上相距 14 厘米，如果 把它画在比例尺是 1:2800000 的地图上 ,该画多少厘米 ? 5、把一个横截面为正方形的长方体木块 ,削成一个最大的圆锥体 ,已知圆锥的底面周长是 12.56 厘 米 ,高 5 厘米 ,长方体的体积是多少 ? 【参考答案】 一、填空。 （ 24 分，每题 2 分。） 1、24÷（ 32 ）=（18）：24 = 4 3 = （75）% =（七五）折 = （0.75 ）（填小数）。 2、8 厘米是 16 分米的（ 5 ）% 100 千克比 80 千克多（ 25 ）% 12 米比（ 15 ）少 20% （ 9.6 ）比 16 少 40% 3、一件篮球打九折出售后，售价 72 元，原价（ 80 ）元。 4、在一个比例里，已知两个外项互为倒数，其中一个内项是最小的合数，另一个内项是 （ 0.25 ）。 5、把 4 3 、 6 5 、 8 5 和 1 组成一个比例是 ( 4 3 : 1 = 8 5 : 6 5 )。 6、已知 6x=4y,x 和 y 成（ 正 ）比例，已知 3 x = y 6 ，x 和 y 成（ 反 ）比例。 7、一个圆锥的体积是 32 立方厘米，高是 4 厘米，底面积是（ 24 ）。 8、把边长是 3 厘米的正方形按 4 ：1 扩大后，扩大前后图形之间的面积比是（ 1 ：16 ）。 9、一个圆柱体和一个圆锥体体积相同，底面积也相同，如果圆柱的高是 12 厘米，圆锥的高是 （ 36 ）厘米，如果圆锥的高是 12 厘米，圆柱的高是（ 4 ）厘米。 10、比例尺 10 ：1，表示图上距离 1 厘米相当于实际距离（ 0.1 ）厘米。 11、一个圆柱侧面展开是一个周长为 24 厘米的正方形，圆柱的侧面积是（ 36 ）平方厘米。 12、李叔叔写了一部长篇小说，除 800 元以外，按 14%交纳了 532 元个人所得税，李叔叔这次共 得了（ 4600 ）元稿费。 二、判断。（每题 1 分，共 5 分。） 1、两种相关联的量不是正比例，就是反比例。 （×） 2 、一种商品先涨价 5%，后又降价 5%，又回到了原价。 （×） 3 、一个圆柱的体积等于圆锥体积的 3 倍，它们一定等底等高。 （×） 4 、如果两个圆柱体的体积相等，那么它们的侧面积也相等。 （×） 5 、如果 3a=4b，那么 a : b=4 ：3。 （√） 三、选择。 （每空 1 分，共 6 分。） 1 、做一个铁皮烟囱需要多少铁皮，就是求烟囱的（ C ） A、表面积 B 、体积 C 、侧面积 2、①根据我国《国旗法》的规定，国旗的长和宽（ A ）。 ②圆的面积和半径（ C ）。 A、成正比例 B 、成反比例 C 、不成比例 3、一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱体积比圆锥的体积大（ B ） A、 3 1 B、2 倍 C 、 3 2 4 、根据 4×6=3×8, 可以写出（ A ）个不同的比例。 A、8 B、4 C、 2 5 、12 个铁圆锥，可以熔铸成等底等高的圆柱体的个数是（ B ） A、6 B、4 C、18 四、计算（共 26 分）。 1、直接写得数。 （每小题 0.5 分） 1047-998=49 4 1 + 6 1 = 12 5 3.7+1.9=5.6 2 ÷14+ 7 6 =1 0.27 ÷0.3=0.9 1 ÷100%=1 0.1+9.9 ×0.1=1.09 12 ×（ 4 1 × 6 1 ）= 2 1 2、解方程。（每题 2 分） ① 48 5 x – 2= 0.5 ② 18 1 : 9 2 = x : 13 6 解： 48 5 x = 2.5 解： 9 2 x = 18 1 × 13 6 x = 24 x = 26 3 ③ 1.8 x = 8.10 4 ④ X ：12 = 4 7 ：2.8 解： 10.8x = 8.1 ×4 解： 2.8x = 12 × 4 7 x = 3 x = 7.5 3、用递等式计算（能简便计算的要简便计算，每题 2 分） ① 3 ÷ 7 3 － 7 3 ÷3 ② 20 9 ÷[ 2 1 ×（ 3 2 ＋ 5 4 ）] = 7 - 7 1 = 20 9 ÷[ 2 1 × 15 22 ] =6 7 6 = 20 9 ÷ 15 11 = 20 9 × 11 15 = 11 27 ③（ 3 1 － 6 1 ＋ 4 1 ）× 12 ④ 5.7- （1.9-1.3 ） = 3 1 × 12 － 6 1 ×12 ＋ 4 1 ×12 = 5.7 + 1.3 – 1.9 = 4 – 2 + 3 = 7 – 1.9 = 5 = 5.1 4、文字题。 （每小题 3 分） ①用 2 除 7 10 的商，减去 7 的倒数，差是多少？ 7 10 ÷2 - 7 1 = 7 4 ②甲数的 4 3 等于乙数的 5 4 ，如果乙数是 15，甲数是多少？ 15 × 5 4 ÷ 4 3 = 16 五、操作题。 （第 1 题 4 分，第 2 题 5 分）。 1、下图的比例尺是 4000 1 ，量出图上各数据， 求出它的实际占地面积是多少平方米？（量时得数 保留整厘米数） 量得图上长是 3 厘米，宽是 1.5 厘米 实际长是： 3÷ 4000 1 = 12000 厘米 = 120 米 实际宽是： 1.5 ÷ 4000 1 = 6000 厘米 = 60 米 实际面积： 120 × 60 = 7200 平方米 2、在下图中量出学校到汽车站的图上距离，再据比例尺算出实际距离。 ①学校到汽车站的图上距离是 ( 2 ) 厘米 ②汽车站到商场的图上距离是 ( 2 ) 厘 ③商场在汽车站的 ( 南) 偏( 西) ( 60 ) o 方向 2 千米处，这幅图的比例尺是 ( 1:100000 ）。 ④从学校到汽车站的实际距离是（ 2 ）千米。 ⑤在汽车站南偏东 45o 方向 1000 米处有一个公园，请在图上画出公园的位置。 1000 米 = 100000 厘米 100000 × 100000 1 = 1 厘米 六、应用题。 （共 30 分）。 1、水结成冰后，体积增加 10%，一块体积是 3.3 立方米的冰，融化成水后体积是多少？ 解：设融化成水后体积是 x 立方米 x + 10%x = 3.3 x = 3 2、一个无盖的铁皮水桶， 底面周长是 9.42 平方分米 ,高 5 分米 ,做这个水桶至少用了铁皮多少平方 分米 ?至少能装多少水 ? 底面半径： 9.42 ÷3.14 ÷ 2 = 1.5 分米 底面积： 3.14 ×1.5 2 = 7.065 平方分米 侧面积： 9.42 ×5 = 47.1 平方分米 表面积： 7.065 + 47.1 = 54.165 平方分米 体积： 7.065 ×5 = 35.325 立方分米 答：做这个水桶至少用了铁皮 54.165 平方分米，至少能装 35.325 立方分米水。 3、组装一批电脑，已装了总数的 40%，剩下的比已装的多 500 台。这批电脑共有多少台？ 解：设这批电脑共有 x 台 （1 - 40%x） - 40%x = 500 x = 2500 4、一幅地图的线段比例尺是： 0 40 80 120 160 千米，甲乙两城在这幅地图上相距 14 厘米，如果 学校 汽车站 商场 小河 学校 汽车站 商场 45o●公园 把它画在比例尺是 1:2800000 的地图上 ,该画多少厘米 ? 甲乙两城的实际距离： 14 ×40 = 560 千米 = 56000000 厘米 56000000 × 2800000 1 = 20 厘米 5、把一个横截面为正方形的长方体木块 ,削成一个最大的圆锥体 ,已知圆锥的底面周长是 12.56 厘 米 ,高 5 厘米 ,长方体的体积是多少 ? 12.56 ÷3.14 = 4 厘米 4×4× 5 = 80 立方厘米 小学数学总复习专题讲解及训练（十一） 主要内容 解决问题的策略 学习目标 1、让学生在直观的情境中想到转化，并应用图形的平移和旋转知识进行图形的等积，等周长的 变形。 2、在解决实际问题过程中体会转化的含义和应用的手段，感受转化在解决这个问题时的价值。 3、进一步积累解决问题的经验 , 增强解决问题的“转化”意识 , 提高学好数学的信心。 考点分析 转化能把新颖的问题变成已经认识、已能解决的问题，从而创造性地利用已有的知识，经验。 典型例题 例 1、（运用转化的策略巧算周长） 求下面图形的周长。 （单位：厘米） 分析与解： 求这个图形的周长，就是求围成这个图形的所有线段的长度和。图中有的线段的长 度不知道，可以将其中的 4 条线段进行平移（如下图） ，平移之后形成一个长方形， 长方形的周长和原来图形的周长是相等的。因此求原来图形周长的问题就转化成了 求下图这个长方形的周长。 解答：（20 + 7 +3 ）× 2 = 60 （厘米） 点评： 通过相等面积的代换转化，把一些不规则的图形转化为规则的、容易判断的图形，这就 是转化的优点，在解答时要灵活运用。 例 2、（将复杂的图形转化成简单的图形后计算面积） 如图 1 是一块长方形草地，长方形的长是 16 米，宽是 10 米。中间有两条道路，一条是长方形， 一条是平行四边形。草地部分的面积有多大？ 图 1 图 2 分析与解： 求草地部分的面积，可以用大长方形的面积减去两条道路的面积，但要考虑两条道 路的重叠部分，因此计算比较复杂。可以将图 1 转化成图 2，两条道路转化到了长 方形草地的边上，很明显，图 2 草地部分（阴影部分）的面积和图 1 相等，现在求 草地的面积转化成了求长方形的面积，计算比较简单。 解答：（16 - 2 ）× （ 10 - 2 ） = 112 （平方米） 答： 草地部分的面积是 112 平方米。 例 3、（辨析） 下面图形的周长可以转化成长 15 厘米、宽 9 厘米的长方形来计算， 即周长是（ 15 + 9 ）× 2 = 48 （厘米）。 分析与解： 如下图，将长 2 厘米的线段移到上面，转化成了一个长方形，但还多两条 3 厘米的 线段。 正确解答： （15 + 9 ）× 2 + 3 × 2 = 54 （厘米） 例 4、（已知两个量之间的分率关系与它们的和，求这两个量） 学校图书馆购进的科技书的册数是故事书的 7 3 ，购进的科技书和故事书一共 1500 册。购进科技 书多少册？ 分析与解： 这类有关分数的实际问题可以用方程来解答。需要注意的是根据“购进的科技书的 册数是故事书的 7 3 ”故事书是单位“ 1”的量，要设故事书有ｘ册，而不能直接设科 技书有ｘ册。 解答： 方法 1：设故事书有 x 册，科技书有 7 3 ｘ册。 X + 7 3 x = 1500 7 10 x = 1500 x = 1050 7 3 x = 7 3 × 1050 = 450 答： 购进科技书 450 册。 很显然，上面解答过程比较复杂。可以这样想：把总数看作单位“ 1”，根据“购进的科技 书的册数是故事书的 7 3 ”，可以把故事书看成 7 份，科技书有这样的 3 份，一共有 10 份，科技 书占总数的 10 3 ；可以看出科技书和故事书的比是 3 :7 ，根据按比例分配问题的解法，可以知 道科技书占总数的 10 3 。 方法 2：3÷（ 3 + 7 ）= 10 3 1500 × 10 3 = 450 （册） 答： 购进科技书 450 册。 例 5、（辨析） 红花的朵数比蓝花多 7 2 ，蓝花的朵数就比红花少 7 2 。 蓝花： 红花： 分析与解： 如图，根据“红花的朵数比蓝花多 7 2 ”，蓝花是单位“ 1”的量，平均分成 7 份，红 花有这样的 9 份。反过来，把红花看作单位“ 1”，红花平均分成了 9 份，蓝花相当 于这样的 7 份，蓝花的朵数比红花少 9 2 。 正确解答： 红花的朵数比蓝花多 7 2 ，蓝花的朵数就比红花少 9 2 。 例 6、（综合题） 小明读一本书，已读的页数是未读页数的 2 3 。他再读 30 页，这时已读的页数 是未读页数的 3 7 。这本书共多少页？ 分析与解： 本题中已读的页数和未读的页数均发生了变化，不变的量是一本书的总页数，即已 读的页数和未读页数的和没有变，把这本书的总页数看作单位“ 1”。“已读的页数是 未读页数的 2 3 ”，可以转化为 “已读的页数是这本书总页数的 5 3 ”；再读 30 页后 “已 读的页数是未读页数的 3 7 ”，可以转化为“已读的页数是这本书总页数的 10 7 ”。 解答： 3 ÷ （3 + 2 ） = 5 3 7 ÷ （7 + 3 ）= 10 7 30 ÷ （ 10 7 - 5 3 ）= 300 （页） 答： 这本书共 300 页。 例 7、（综合题） 六（ 1）班原来女生占全班人数的 9 4 ，新学期转出了 4 名女生，这时女生占全 班人数的 5 2 。六（ 1）班现在有女生多少人？ 分析与解： 本题中女生人数和全班人数均发生了变化，不变的量是男生的人数，因此把男生的 人数看作单位 “ 1”。“女生占全班人数的 9 4 ”，可以转化为 “女生人数是男生人数的 5 4 ”； 转出若干名女生后， “女生占全班人数的 5 2 ”，可以转化为“女生人数是男生人数的 3 2 ”。 解答： 4 ÷ （9 - 4 ）= 5 4 2 ÷ （5 - 2 ）= 3 2 4 ÷ （ 5 4 - 3 2 ）= 30 （人）┈┈ 男生人数 30 × 3 2 = 20 （人） ┈┈ 现有女生人数 答： 现在有女生 20 人。 点评： 分率的转化过程通常要借助于份数，可以先分析出单位“ 1”的份数，再根据关系分析出 另外的量的份数，再结合具体的条件进行分率的转化。 小学数学总复习专题讲解及训练（十） 模拟试题 1、计算下面图形的周长。 （单位：厘米） 图 1 图 2 2、有一块长方形菜地，长 16 米，宽 8 米。菜地中间留了两条 2 米宽的路，把菜地平均分成 4 块，每块地的面积是多少平方米？（单位：米） 3、填空。 （1）六年级女生人数是男生人数的 3 2 ，那么男生人数是女生人数的 ______，女生人数是全班人 数的 _____。 （2）白兔的只数比黑兔少 6 1 ，白兔的只数是黑兔的 ____，黑兔的只数是白兔的 ____，黑兔的只 数比白兔多 ____，黑兔的只数占兔子总数的 ____。 （3）一杯果汁，已经喝了 5 2 ，喝掉的是剩下的 ____，剩下的是喝掉的 _____。 4、白兔和黑兔共有 40 只，黑兔的只数是白兔的 5 3 ，黑兔有多少只？ 5、小明看一本故事书，已经看了全书的 7 3 ，还有 48 页没有看。 小明已经看了多少页？ 6、修一条长 30 千米的路，已经修的占剩下的 3 2 ，已经修了多少千米？ 7、山羊有 120 只，比绵羊少 6 1 ，绵羊有多少只？ 8、六年级（ 1）班的男生占全班人数的 5 2 ，女生有 18 人。男生有多少人？ 9、有 3 堆围棋子，每堆 60 枚。第一堆的黑子和第二堆的白子同样多，第三堆有 3 1 白子。这三 堆棋子一共有白子多少枚？ 参考答案 1、计算下面图形的周长。 （单位：厘米） 图 1 图 2 将图 1 转化为长 12 宽 20 厘米的长方形 周长： （ 20 +12）× 2 = 64 厘米 将图 2 长 2 厘米的线段移到下面，转化成了一个长方形，但还多两条 3 厘米的线段。 周长： （15 + 9 ）× 2 + 3 × 2 = 54 （厘米） 2、有一块长方形菜地，长 16 米，宽 8 米。菜地中间留了两条 2 米宽的路，把菜地平均分成 4 块，每块地的面积是多少平方米？（单位：米） （16 - 2 ）× （8 - 2 ）÷ 4 = 21 （平方米） 3、填空。 （1）六年级女生人数是男生人数的 3 2 ，那么男生人数是女生人数的 )2( )3( ，女生人数是全班人数 的 )5( )2( 。 （2）白兔的只数比黑兔少 6 1 ，白兔的只数是黑兔的 )6( )5( ，黑兔的只数是白兔的 )5( )6( ，黑兔的只 数比白兔多 )5( )1( ，黑兔的只数占兔子总数的 )11( )6( 。 （3）一杯果汁，已经喝了 5 2 ，喝掉的是剩下的 )3( )2( ，剩下的是喝掉的 )2( )3( 。 4、白兔和黑兔共有 40 只，黑兔的只数是白兔的 5 3 ，黑兔有多少只？ 黑兔的只数是白兔的 5 3 转化为黑兔的只数是兔子总只数的 8 3 40 × 8 3 = 15 （只） 5、小明看一本故事书，已经看了全书的 7 3 ，还有 48 页没有看。 小明已经看了多少页？ 已经看了全书的 7 3 转化为已经看了的页数是还没有看的 4 3 48 × 4 3 = 36 （页） 6、修一条长 30 千米的路，已经修的占剩下的 3 2 ，已经修了多少千米？ 已经修的占剩下的 3 2 转化为已经修的占全长的 5 2 30 × 5 2 = 12 （千米） 7、山羊有 120 只，比绵羊少 6 1 ，绵羊有多少只？ 比绵羊少 6 1 转化为山羊是绵羊的 6 5 120 ÷ 6 5 = 144 （只） 8、六年级（ 1）班的男生占全班人数的 5 2 ，女生有 18 人。男生有多少人？ 男生占全班人数的 5 2 转化为男生占女生人数的 3 2 18 × 3 2 = 12 （人） 9、有 3 堆围棋子，每堆 60 枚。第一堆的黑子和第二堆的白子同样多，第三堆有 3 1 白子。这三 堆棋子一共有白子多少枚？ 第一堆的黑子和第二堆的白子同样多转化为第一堆全是白子第二堆全是黑子 60 + 60 × 3 1 = 80 （枚） 小学数学总复习专题讲解及训练（十二） 主要内容 统计 学习目标 1、 使学生结合实例认识扇形统计图，能联系对百分数意义的理解，对扇形统计图提供的信息 进行简单的分析，提出或解决简单的实际问题，初步体会扇形统计图描述数据的特点。 2、 使学生通过具体的实例，初步理解众数的含义，会求一组简单数据的众数， ，并能根据 具体的问题，选择适当的统计量表示一组数据的特征，体会不同统计量的特点。 3、 使学生结合具体实例初步理解中位数的意义，会求一组简单数据的中位数。能根据具体问 题选择合适的统计量表示一组数据的整体特征。 三、考点分析 1、扇形统计图可以清楚地表示出各部分数量同总数量之间的关系。 2、在一组数据中，出现的最多的数，叫做这组数据的众数。 3、一组数据的中位数，是指这组数据按大小顺序依次排列，处于最中间的那个数；如果正中间 有两个数，中位数就是这两个数的平均数。 4、如果一组数据的众数出现的次数很多， 这时的众数具有代表性； 如果一组数据里有极端数据， 这时的中位数具有代表性。 典型例题 例 1、（理解扇形统计图表示数据的方式，对扇形统计图进行简单的分析） 看统计图回答问题。 小明家 5 月份支出情况统计图： （ 1）图中的这个圆表示什么什么？被分成了几部分？每一部分都是什么形状？ （ 2）从图上看，哪项支出最多？哪项支出最少？ （ 3）你还能获得哪些信息？ 分析与解： 扇形统计图用一个圆表示总数量，用不同的扇形表示各部分量占总数量的百分比。 根据统计图，我们可以对数据进行简单的分析。 解答：（1）图中的这个圆看作单位“ 1”，表示小明家 5 月份支出情况。被分成了 6 个扇形，分 别表示服装、食品、赡养老人、水电气、文化、其他这 6 项的支出情况。 （2）从图上扇形的大小可以直观地看出，食品支出最多，其他支出最少。当然也可以根 据各项支出占总支出的百分数来比较。 （3）可以看出各项支出占总支出的百分数，如食品支出占总支出的 36﹪，文化支出占总 支出的 20﹪┈┈┈ 点评： 扇形统计图通过各个扇形的大小，反映各个部分的多少。图的直观形象，容易引发比较、 估计和判断。当然所有量的扇形合起来是一个圆，总数量的分率是 100﹪。 例 2、（根据扇形统计图进行有关的计算） 如果小明家 5 月份总支出是 1600 元，根据例 1 的统计图，填写下表。 支出总类 食 品 服 装 赡养老人 水电气 文 化 其 他 金额 / 元 分析与解： 图中的这个圆表示总支出，看作单位“ 1”，可以根据每项支出占总支出的百分数， 求出每项支出多少元。 解答： 食品： 1600 × 36 ﹪ = 576 （元） 服装： 1600 × 10 ﹪ = 160 （元） 赡养老人： 1600 × 16 ﹪ = 256 （元） 水电气： 1600 × 10 ﹪ = 160 （元） 文化： 1600 × 20 ﹪ = 320 （元） 其他： 1600 × 8 ﹪ = 128 （元） 支出总类 食 品 服 装 赡养老人 水电气 文 化 其 他 金额 / 元 576 160 256 160 320 128 例 3、（辨析） 要表示各部分与总数的关系，就选用条形统计图。 分析与解： 条形统计图用长短不同的直条表示出不同的数量，可以很容易地看出各种数量的多 少。但要反映各部分与总数的关系，应选用扇形统计图。 正确解答： 要表示各部分与总数的关系，就选用扇形统计图。 例 4、（理解众数的意义，并求一组数据的众数） 江阳电子配件厂第一车间有 12 名工人， 5 月份每人的日均生产零件个数是： 42、51、46、 44、48、50、51、 56、44、48、48、43。找出这组日产量的众数。 分析与解： 一组数据的众数是这组数据中出现次数最多的数。在求众数的时候，只要数一数每 个数出现的次数，出现次数最多的就是众数。 解答： 48 出现的次数最多，因此 48 是这组数据的众数。 点评： 求众数的方法就是在一组数据中寻找出现次数最多的数 例 5、（根据统计表来求众数） 某商店销售各种领口尺寸衬衫的情况如下表。 领口尺寸 / 厘米 38 39 40 41 42 数量 / 件 13 19 34 15 9 你认为商店应多进哪种衬衣？ 分析与解： 应多进哪种衬衫，这种衬衫的尺寸就应该是众数。从统计表上看，销售的每一件衬 衫作为一个数据，每种尺寸的衬衫售出的件数，可以看作相应数据的个数。如领口 38 厘米的衬衫售出 13 件，表示 38 这个数出现了 13 次。 解答： 领口 40 厘米的衬衫售出 34 件，表示 40 这个数在一组数据中出现了 34 次， 40 是这组数 据的众数。所以应多进领口尺寸 40 厘米的衬衫。 例 6、（比较平均数和众数在表示一组数据特征时哪个更合适） 下面是某超市工作人员的月工资。 （单位：元） 3000、2000、900、800、750、650、 600、 600、600、600、500 请分别求出这组数据的平均数和众数，再比较哪个数据更能代表这组数据的特征。 分析与解： 平均数反映一组数据的平均值，而众数是一组数据中出现次数最多的数。它们都能 表示一组数据的特征，但由于一组数据中数据的不同，它们在反映一组数据特征的 时候代表性不同。 解答： 求平均数： （3000 + 2000 + 900 + 800 + 750 + 650 + 600 + 600 + 600 + 600 + 500 ）÷ 11 = 1000 求众数： 600 出现了 4 次，所以 600 是这组数据的众数。 平均数是 1000，但是大多数人的工资没有那么高，主要是前两个人的工资比其他人高得多，所 以平均数不能反映这组数据的真实情况。而众数 600 更能代表这组数据的特征。 例 7、（辨析） 一组数据的众数只有一个。 分析与解： 一组数据的众数可以是一个，也可以是两个或两个以上。如在 1.71 、1.75 、1.73 、 1.75 、1.72 、1.71 、1.75 、1.71 这组数据中， 1.71 和 1.75 都出现了 3 次，所以 1.71 和 1.75 都是这组数据的众数。而在 1、2、3、5、7 这组数据中，每个数都出现了一 次，这组数据没有众数。 解答： 一组数据的众数可能是一个，也可能不止一个，也可能没有众数。 例 8、（理解中位数的意义，会求一组数据的中位数） 下面是 9 位同学的体重。 （单位：千克） 35、42、30、29、52、 44、39、36、33 这组数据的中位数是多少？ 分析与解： 求一组数据的中位数，首先将这组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如 果这组数据的个数是奇数，找出中间的数就是中位数。 解答： 将 9 位同学体重的数据按从小到大排列如下： 29、30、33、35、36、39、42、44、52 正中间的一个数是 36，所以 36 是这组数据的中位数。 例 9、（一组数据的个数是偶数时，中位数就是中间两个数的平均数） 下面是 8 位同学的身高。 （单位：厘米） 142、138、145、130、150、145、139、143 这组数据的中位数是多少？ 分析与解： 本组有 8 个数据，先将这组数据按大小顺序排列，然后取中间两个数的平均数就是 中位数。 解答： 将 8 位同学身高的数据按从小到大排列如下： 130、138、139、142、 143、145、145、150 正中间的有两个数，是 142、143。 （142 + 143 ）÷ 2 = 142.5 这组数据的中位数是 142.5 。 例 10、（辨析） 中位数就是一组数据正中间的数。 分析与解： 要求一组数据的中位数，先要把这组数据按从小到大（或从大到小）排列，然后再找 中位数。 将一组数据从小到大（或从大到小）排列，如果数据有奇数个，正中间的数就是中位 数；如果数据有偶数个，正中间两个的平均数是中位数。 例 11、（综合题） 李玲同学前几次的数学成绩分别是： 96 分、 98 分、 95 分、 93 分。但最近一 次的数学成绩是 45 分，原因是考试时她患感冒，正在发烧。请你用一个合理的统计量 来评价李玲的数学学习水平。 分析与解： 李玲的数学成绩这组数据的中位数是 95，平均数是 85.4 ，很明显中位数更能代表李 玲的数学学习水平，因为她考了一个 45 分，对平均数的影响很大，使平均数比中 位数低了很多。 解答： 用中位数能代表李玲的数学学习水平。 例 12、（综合题） 某公司的 33 名职工的月工资收入统计如下。 职务 董事长 副董 事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 /元 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500 （ 1）求该公司职工月工资的平均数、中位数和众数。 （ 2）你认为用哪个数据更能代表这个公司员工的工资水平？结合此问题谈谈你的看法。 分析与解： 先求出这组数据的平均数、中位数和众数，然后再进行分析。 解答： （ 1）平均数是 2091，中位数是 1500，众数是 1500。 （ 2）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平。因为公司中少数人的工资 额与大多数人的工资额差别较大， 这样导致平均数与中位数偏差较大， 所以平均数不能反 映这个公司员工的工资水平。 小学数学总复习专题讲解及训练（十二） 模拟试题 1、下面是百花山公园占地分布情况统计图 （ 1）（ ）占地面积最大， （ ）占地面积最小。 （ 2）山丘占百花山公园的（ ）﹪。 （ 3）百花山公园占地 1200 公顷，请填写下表。 占地类型 湖面 山丘 路面 其他 占地面积 / 公顷 2、下面是小青家 10 月份支出及储蓄情况统计图。 （ 1）小青家 10 月份的伙食费共花了 800 元，小青家的支出及储蓄总共多少元？ （ 2）请根据扇形统计图，把下表填写完整。 项目 伙食费 购物 水电费 储蓄 其他 费用 /元 800 百分比 40﹪ 15﹪ 3、填空。 （1）在 40、 16、46、20、 40、50、40 这组数据中，众数是（ ），中位数是（ ），平均数是 （ ）。 （2）在 52、60、48、55、71、 60、60、58 这组数据中，众数是（ ），中位数是（ ）， 平均数是（ ）。 （3）下表是某校随机抽查的 20 名八年级男生的身高统计表。 身高 /厘米 150 155 160 163 165 168 人 数 1 3 4 4 5 3 在这组数据中，众数是（ ），中位数是（ ），（ ）数更能代表这 20 名男生的身高 情况。 4、某鞋店上周销售各种尺码男式皮鞋的情况如下表。 尺码 /cm 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27 数量 /双 4 15 34 48 29 18 5 讨论：假如你是这家鞋店的经理你最关心什么（哪种尺码销售最多）？假如让你去进货，你有 什么想法？ 5、这是六（ 3）班同学的左眼视力情况统计： 5.0 4.9 5.3 5.2 4.7 5.2 4.8 5.1 5.3 5.2 4.8 5.0 4.5 5.1 4.9 5.1 4.7 5.0 4.8 5.1 5.0 4.8 4.9 5.1 4.9 5.1 4.6 5.1 4.7 5.1 5.0 5.1 5.1 4.9 5.0 5.1 5.2 5.1 4.6 5.0 （ 1）根据上面的数据完成下面的统计表 左眼视力 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人 数 （ 2）这组数据中的众数、中位数各是多少？（ ）数更能代表这个班学生左眼视力的情况。 6、下面是从昆山人才市场获得的甲乙两家公司的员工招聘信息， 胡老师有一位亲戚今年正好大 学毕业，他应该去哪家公司应聘呢？ 甲公司： 员 工 总经理 副总经理 部门经理 普通职员 人 数 1 2 5 22 月工资 /元 5000 4000 3000 2000 乙公司 员 工 总经理 副总经理 部门经理 普通职员 人 数 1 2 5 22 月工资 /元 6000 5500 4000 1800 7 、出示：下面是四年级一班 10 个女生一分钟跳绳成绩记录单 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 / 下 106 99 104 120 107 112 33 102 97 100 这组数据的中位数是多少？ 8、出示：下面是第一小组 9 位同学家庭的住房面积。（单位：平方米） 86 84 50 92 87 80 93 43 88 这组数据的平均数和中位数各是多少？ 9、出示：一次时装模特大奖赛上，一个模特刚刚表演完，主持人说：下面请评委亮分， “6 分， 8.5 分， 8.4 分， 8.9 分， 8.8 分， 8.3 分， 8.5 分， 8.7 分， 8.4 分， 8.5 分。去掉一个最高 分，再去掉一个最低分。该选手的最后得分是 --------- （1）如果不去掉一个最高分和一个最低分，这位选手平均分是（ ） （2）如果去掉一个最高分和一个最低分，这位选手平均分是（ ） （3）在 10 个原始得分中，中位数是（ ） （4）两种算分的方式哪一种算出的得分更能代表这位选手的水平？ 参考答案 1、下面是百花山公园占地分布情况统计图 （ 1）（ 湖面 ）占地面积最大， （ 路面 ）占地面积最小。 （ 2）山丘占百花山公园的（ 21 ）﹪。 （ 3）百花山公园占地 1200 公顷，请填写下表。 占地类型 湖面 山丘 路面 其他 占地面积 / 公顷 510 252 102 336 2、下面是小青家 10 月份支出及储蓄情况统计图。 （ 1）小青家 10 月份的伙食费共花了 800 元，小青家的支出及储蓄总共多少元？ 800 ÷ 40 ﹪ = 2000 （元） （ 2）请根据扇形统计图，把下表填写完整。 项目 伙食费 购物 水电费 储蓄 其他 费用 /元 800 400 300 400 100 百分比 40﹪ 20﹪ 15﹪ 20﹪ 5﹪ 3、填空。 （1）在 40、 16、46、20、 40、50、40 这组数据中，众数是（ 40），中位数是（ 40 ），平均数是 （ 36 ）。 （2）在 52、60、48、55、71、 60、60、58 这组数据中，众数是（ 60 ），中位数是（ 59 ），平均数是（ 58 ）。 （3）下表是某校随机抽查的 20 名八年级男生的身高统计表。 身高 /厘米 150 155 160 163 165 168 人 数 1 3 4 4 5 3 在这组数据中，众数是（ 165 ），中位数是（ 163 ），（ 中位 ）数更能代表这 20 名 男生的身高情况。 4、某鞋店上周销售各种尺码男式皮鞋的情况如下表。 尺码 /cm 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27 数量 /双 4 15 34 48 29 18 5 讨论：假如你是这家鞋店的经理你最关心什么（哪种尺码销售最多）？假如让你去进货，你有 什么想法？ 我们通常不大关心所销售的鞋的平均尺码，而是关心各种尺码的鞋的销售情况，特别是 关心哪种尺码的鞋销售得最多，便于及时掌握市场需求情况，确定今后进货量。 指出：这里的 25.5 厘米的尺码销售量最多，它是这组数据的众数，进货时多进尺码是 25.5 厘米 的皮鞋。 5、这是六（ 3）班同学的左眼视力情况统计： 5.0 4.9 5.3 5.2 4.7 5.2 4.8 5.1 5.3 5.2 4.8 5.0 4.5 5.1 4.9 5.1 4.7 5.0 4.8 5.1 5.0 4.8 4.9 5.1 4.9 5.1 4.6 5.1 4.7 5.1 5.0 5.1 5.1 4.9 5.0 5.1 5.2 5.1 4.6 5.0 （ 1）根据上面的数据完成下面的统计表 左眼视力 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人 数 1 2 3 4 5 7 12 4 2 （ 2）这组数据中的众数是 5.1、中位数是 5.0（ 中位 ）数更能代表这个班学生左眼视力的情 况。 6、下面是从昆山人才市场获得的甲乙两家公司的员工招聘信息， 胡老师有一位亲戚今年正好大 学毕业，他应该去哪家公司应聘呢？ 甲公司： 员 工 总经理 副总经理 部门经理 普通职员 人 数 1 2 5 22 月工资 /元 5000 4000 3000 2000 乙公司 员 工 总经理 副总经理 部门经理 普通职员 人 数 1 2 5 22 月工资 /元 6000 5500 4000 1800 甲公司数据中的众数是 2000，中位数是 2000，平均数是 2400；乙公司数据中的众数是 1800， 中位数是 1800，平均数是 2553。 众数与中位数比平均数更能反映这组数据的整体情况，他应该去甲家公司应聘比较合适。 7 、出示：下面是四年级一班 10 个女生一分钟跳绳成绩记录单 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 / 下 106 99 104 120 107 112 33 102 97 100 从大到小排列： 33、97、99、100、102、104、106、107、112、120 这组数据的中位数是（ 102 +104 ）÷ 2 = 103 8、出示：下面是第一小组 9 位同学家庭的住房面积。（单位：平方米） 86 84 50 92 87 80 93 43 88 这组数据的平均数和中位数各是多少？ 从大到小排列： 43、50、80、84、86、 87、88、92、 93 这组数据的平均数：（ 43+50+80+84+86+87+88+92+93）÷ 9 ≈ 78.1 这组数据的中位数： 86 9、出示：一次时装模特大奖赛上，一个模特刚刚表演完，主持人说：下面请评委亮分， “6 分， 8.5 分， 8.4 分， 8.9 分， 8.8 分， 8.3 分， 8.5 分， 8.7 分， 8.4 分， 8.5 分。去掉一个最高 分，再去掉一个最低分。该选手的最后得分是 --------- （1）如果不去掉一个最高分和一个最低分，这位选手平均分是（ 8.3 ） （2）如果去掉一个最高分和一个最低分，这位选手平均分是（ 8.5 ） （3）在 10 个原始得分中，中位数是（ 8.5 ） （4）两种算分的方式哪一种算出的得分更能代表这位选手的水平？ 去掉一个最高分和一个最低分的算分方式更合适，因为这样使平均分更接近中位数。在一 些大型比赛中，为了比赛更公正公平些，都采取这种算分方式，如跳水比赛、体操比赛等 等。