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  • 2022-02-11 发布

小升初数学总复习总归纳(必备知识点大全)

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小升初数学总复习必备知识点总归纳 常用单位换算 1、长度单位换算: 1 千米 =1000 米 1 米=10 分米 1 分米 =10 厘米 1 米=100 厘米 1 厘米 =10 毫米 2、面积单位换算: 1 平方千米 =100 公顷 1 公顷 =10000 平方米 1 平方米 =100 平方分米 1 平方分米 =100 平方厘米 1 平方厘米 =100 平方毫米 3、体 ( 容 ) 积单位换算: 1 立方米 =1000 立方分米 1 立方 分米 =1000 立方厘米 1 立方分米 =1 升 1 立方厘米 =1 毫升 1 立方米 =1000 升 4、重量单位换算: 1 吨=1000 千克 1 千克 =1000 克 1 千克 =1 公斤 5、人民币单位换算: 1 元 =10 角 1 角=10 分 1 元 =100 分 6、时间单位换算: 1 世纪 =100 年 1 年=12 月 大月 (31 天 ) 有 :135781012 月 小 月 (30 天 ) 的 有 :46911 月 平年 2 月 28 天 , 闰年 2 月 29 天 平年全年 365 天 , 闰年全年 366 天 1 日=24 小时 1 时 =60 分 1 分=60 秒 1 时 =3600 秒 常用数量关系等式 1、份数: 每份数×份数=总数 总数÷每份数=份数 总数÷份数=每份数 2、倍数: 1 倍数×倍数=几倍数 几倍数÷ 1 倍数=倍数 几倍数÷倍数= 1 倍数 3、路程: 速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度 4、价量: 单价×数量=总价 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价 5、工作量: 工作效率×工作时间=工作总量 工作总 量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 6、数据运算: 加数+加数=和 和-一个加数=另一个 加数 被减数-减数=差 被减数-差=减数 差+减数=被减数 因数×因数=积 积÷一个因数=另一 个因数 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数 常用图形计算公式 1、正方形 (C:周长 S :面积 a :边长 ) 周长=边长× 4 C=4a 面积 =边长×边长 ×a 2、正方体 (V: 体积 a: 棱长 ) 表面积 =棱长×棱长× 6 S 表× a×6 体积 =棱长×棱长×棱长 ×a×a 3、长方形 ( C:周长 S :面积 a :边长 ) 周长 =(长 +宽 ) ×2 C=2() 面积 =长×宽 4、长方体 (V: 体积 s: 面积 a: 长 b: 宽 h: 高) 表面积 =( 长×宽 +长×高 +宽×高 ) ×2 2() 体积 =长×宽×高 5、三角形 (s:面积 a :底 h :高) 面积 =底×高÷ 2 ÷2 三角形高 =面积 ×2÷底 三角形底 =面积 ×2÷高 6、平行四边形 (s:面积 a :底 h :高) 面积 =底×高 7、梯形 (s:面积 a :上底 b :下底 h :高) 面积 =(上底 +下底 ) ×高÷ 2 () × h ÷2 8、圆形 (S:面积 C :周长 л 直径 半径) 周长 =直径×л =2×л×半径 л2лr 面积 =半径×半径×л 9、圆柱体 (v: 体积 h: 高 s :底面积 r: 底面半径 c: 底面周长) 侧面积 =底面周长×高 (2 лr 或л d) 表面积 =侧面积 +底面积× 2 体积 =底面积×高 体积=侧面积÷ 2×半径 10、圆锥体 (v: 体积 h: 高 s :底面积 r: 底面半径) 体积 =底面积×高÷ 3 奥数常用公式 1、平均数 总数÷总份数=平均数 2、和差问题 :( 和+差 ) ÷2=大数 ( 和-差 ) ÷2=小 数 3、和倍问题 :和÷ ( 倍数- 1) =小数 小数×倍数=大 数 ( 或者 和-小数=大数 ) 4、差倍问题 :差÷ ( 倍数- 1) =小数 小数×倍数=大数 ( 或 小数+差=大数 ) 5、相遇问题 相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间 6、追及问题 追及距离=速度差×追及时间 追及时间=追及距离÷速度差 速度差=追及距离÷追及时间 7、流水问题 顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度-水流速度 8、浓度问题 溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量× 100%=浓度 溶液的重量×浓度=溶质的重量 溶质的重量÷浓度=溶液的重量 9、利润与折扣问题 利润=售出价-成本 利润率=利润÷成本× 100%=( 售出价÷成本- 1) × 100% 涨跌金额=本金×涨跌百分比 利息=本金×利率×时间 税后利息=本金×利率×时间× (1 -20%) 10、盈亏问题 ( 盈+亏 ) ÷两次分配量之差=参加分配的份数 ( 大盈-小盈 ) ÷两次分配量之差=参加分配的份数 ( 大亏-小亏 ) ÷两次分配量之差=参加分配的份数 应特别注意奥数中的植树问题 1、非封闭线路上的植树问题, 主要可分为以下三种情形 : ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树 , 那么 : 全长=株距× ( 株数- 1) 株距=全长÷ ( 株数- 1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树 , 另一端不要植树 , 那么 : 株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树 , 那么 株数=段数- 1=全长÷株距- 1 全长=株距× ( 株数+ 1) 株距=全长÷ ( 株数+ 1) 2、封闭线路上的植树问题 株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数 奥数中的常用数据及规律 1、圆周率常取数据 3.14 ×1=3.14 3.14 ×2=6.28 3.14 ×3=9.42 3.14 ×4=12.56 3.14 ×5=15.7 3.15 ×6=18.84 3.14 ×7=21.98 3.14 ×8=25.12 3.14 ×9=28.26 2、常用特殊数的乘积 25×3=75 25×4=100 25×8=200 125 ×3=375 125×4=500 125×8=1000 625×16=10000 37 ×3=111 3、常用平方数 112=121 12 2=144 13 2=169 14 2=196 15 2=225 162=256 17 2=289 18 2=324 19 2=361 10 2=100 202=400 30 2=900 40 2=1600 50 2=2500 60 2=3600 7702=4900 80 2=6400 15 2=225 25 2=625 35 2=1225 452=2025 55 2=3025 65 2=4225 75 2=5625 85 2=7225 4、关于常用分数与小数的互化 1/2=0.5 4=0.25 3/4=0.75 1/5=0.2 2/5=0.4 3/5=0.6 4/5=0.8 1/8=0.125 3/8=0.375 5/8=0.625 7/8=0.875 1/20=0.05 3/20=0.15 7/20=0.35 9/20=0.45 11/20=0.55 1/25=0.04 2/25=0.08 3/25=0.12 4/25=0.16 6/25=0.24 5、常用立方数 13=1 2 3=8 3 3=27 4 3=64 5 3=125 63=216 7 3=343 8 3=512 9 3=729 小学数学应掌握的基本概念、数理规律及应用 第一章 数和数的运算 一、概念 (一)整数 1 整数的意义:自然数和 0 都是整数。 2 自然数:我们在数物体的时候,用来表示物体个数的 1, 2,3⋯⋯叫做自然数。一个物体也没有,用 0 表示。 0 也是自然 数。 3 计数单位:一(个) 、十、百、千、万、十万、百万、千 万、亿⋯⋯都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。这样的计数法叫 做十进制计数法。 4 数位: 计数单位按照一定的顺序排列起来, 它们所占的位 置叫做数位。 5 数的整除:整数 a 除以整数 b(b ≠ 0 ),除得的商是整数 而没有余数,我们就说 a 能被 b 整除,或者说 b 能整除 a 。 如果数 a 能被数 b(b ≠ 0 )整除, a 就叫做 b 的倍数, b 就叫做 a 的约数(或 a 的因数) 。倍数和约数是相互依存的。 因为 35 能被 7 整除,所以 35 是 7 的倍数, 7 是 35 的约数。 一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是 1,最大 的 约数是它本身。例如: 10 的约数有 1、2、5、10,其中最小 的约数是 1,最大的约数是 10。 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。 3 的倍数有: 3、6、9、12⋯⋯其中最小的倍数是 3 ,没有最大 的倍数。 个位上是 0、2、4、6、8 的数,都能被 2 整除,例如: 202、 480、304,都能被 2 整除。。 个位上是 0 或 5 的数,都能被 5 整除,例如: 5、30、405 都能被 5 整除。。 一个数的各位上的数的和能被 3 整除,这个数就能被 3 整除, 例如: 12、108、204 都能被 3 整除。 一个数各位数上的和能被 9 整除,这个数就能被 9 整除。 能被 3 整除的数不一定能被 9 整除,但是能被 9 整除的数一 定能被 3 整除。 一个数的末两位数能被 4(或 25)整除,这个数就能被 4(或 25)整除。例如: 16、404、1256 都能被 4 整除, 50、325、500、 1675 都能被 25 整除。 一个数的末三位数能被 8(或 125)整除,这个数就能被 8 (或 125)整除。例如: 1168、4600、5000、12344 都能被 8 整 除, 1125、13375、5000 都能被 125 整除。 能被 2 整除的数叫做偶数。不能被 2 整除的数叫做奇数。 0 也是偶数。 自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶 数。 一个数, 如果只有 1 和它本身两个约数, 这样的数叫做质数 (或素数) ,100 以内的质数有: 2、3、5、7、11、13、17、19、 23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、 83、89、97。 一个数, 如果除了 1 和它本身还有别的约数, 这样的数叫做 合数,例如 4 、6、8、9、12 都是合数。 1 不是质数也不是合数,自然数除了 1 外,不是质数就是合 数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类,可分为质数、合 数和 1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 其中每个质数都 是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如 15=3×5,3 和 5 叫做 15 的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因 数。 例如把 28 分解质因数 几个数公有的约数, 叫做这几个数的公约数。 其中最大的一 个,叫做这几个数的最大公约数,例如 12 的约数有 1、2、3、4、 6、12;18 的约数有 1、2、3、6、9、18。其中, 1、2、3、6 是 12 和 1 8 的公约数, 6 是它们的最大公约数。 公约数只有 1 的两个数,叫做互质数, 成互质关系的两个数, 有下列几种情况: 1 和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。 两个合数的公约数只有 1 时, 这两个合数互质, 如果几个数 中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。 如果较小数是较大数的约数, 那么较小数就是这两个数的最 大公约数。 如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是 1。 几个数公有的倍数, 叫做这几个数的公倍数, 其中最小的一 个,叫做这几个数的最小公倍数,如 2 的倍数有 2、4、6 、8、 10、12、14、16、18 ⋯⋯ 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18 ⋯⋯ 其中 6、12、18⋯⋯ 是 2、3 的公倍数, 6 是它们的最小公倍数。 。 如果较大数是较小数的倍数, 那么较大数就是这两个数的最 小公倍数。 如果两个数是互质数, 那么这两个数的积就是它们的最小公 倍数。 几个数的公约数的个数是有限的, 而几个数的公倍数的个数 是无限的。 (二)小数 1 小数的意义: 把整数 1 平均分成 10 份、 100 份、 1000 份⋯⋯ 得到的十分之几、百分之几、千分之几⋯⋯ 可以用小数表示。 一位小数表示十分之几, 两位小数表示百分之几, 三位小数 表示千分之几⋯⋯ 一个小数由整数部分、 小数部分和小数点部分组成。 数中的 圆点叫做小数点, 小数点左边的数叫做整数部分, 小数点左边的 数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。 在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。小数 部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一” 之间的进率也是 10。 2 小数的分类 纯小数: 整数部分是零的小数, 叫做纯小数。 例如: 0.25 、 0.368 都是纯小数。 带小数:整数部分不是零的小数,叫做带小数。 例如: 3.25 、 5.26 都是带小数。 有限小数:小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。 例如: 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。 无限小数:小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。 例如: 4.33 ⋯⋯ 3.1415926 ⋯⋯ 无限不循环小数: 一个数的小数部分, 数字排列无规律且位 数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。 例如:∏ 循环小数: 一个数的小数部分, 有一个数字或者几个数字依 次不断重复出现,这个数叫做循环小数。 例如: 3.555 ⋯⋯ 0.0333 ⋯⋯ 12.109109 ⋯⋯ 一个循环小数的小数部分, 依次不断重复出现的数字叫做这 个循环小数的循环节。 例如: 3.99 ⋯⋯的循环节是“ 9 ” , 0.5454 ⋯⋯的循环节是“ 54 ” 。 纯循环小数: 循环节从小数部分第一位开始的, 叫做纯循环 小数。 例如: 3.111 ⋯⋯ 0.5656 ⋯⋯ 混循环小数: 循环节不是从小数部分第一位开始的, 叫做混 循环小数。 3.1222 ⋯⋯ 0.03333 ⋯⋯ 写循环小数的时候, 为了简便, 小数的循环部分只需写出一 个循环节,并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如 果循环 节只有 一个数字,就只在它的上面点一个点。例如: 3.777 ⋯⋯ 简写作 0.5302302 ⋯⋯ 简写作 。 (三)分数 1 分数的意义:把单位“ 1”平均分成若干份,表示这样的 一份或者几份的数叫做分数。 在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做 分母,表示把单位“ 1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做 分子,表示有这样的多少份。 把单位“ 1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做 分数单位。 2 分数的分类 真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于 1。 假分数: 分子比分母大或者分子和分母相等的分数, 叫做假 分数。假分数大于或等于 1。 带分数: 假分数可以写成整数与真分数合成的数, 通常叫做 带分数。 3 约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子、 分母都比较小的分数 , 叫做约分。 分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数, 叫做 通分。 (四)百分数 1 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数 , 也 叫做百分率 或百分比。 百分数通常用 "%"来表示。 百分号是表示 百分数的符号。 二、方法 (一)数的读法和写法 1. 整数的读法:从高位到低位,一级一级地读。读亿级、 万级时, 先按照个级的读法去读, 再在后面加一个 “亿” 或 “万” 字。 每一级末尾的 0 都不读出来, 其它数位连续有几个 0 都只读 一个零。 2. 整数的写法:从高位到低位,一级一级地写,哪一个数 位上一个单位也没有,就在那个数位上写 0。 3. 小数的读法:读小数的时候,整数部分按照整数的读法 读,小数点读作“点” ,小数部分从左向右顺次读出每一位数位 上的数字。 4. 小数的写法:写小数的时候,整数部分按照整数的写法 来写, 小数点写在个位右下角, 小数部分顺次写出每一个数位上 的数字。 5. 分数的读法:读分数时,先读分母再读“分之”然后读 分子,分子和分母按照整数的读法来读。 6. 分数的写法:先写分数线,再写分母,最后写分子,按 照整数的写法来写。 7. 百分数的读法:读百分数时,先读百分之,再读百分号 前面的数,读数时按照整数的读法来读。 8. 百分数的写法:百分数通常不写成分数形式,而在原来 的分子后面加上百分号“ %”来表示。 (二)数的改写 一个较大的多位数, 为了读写方便, 常常把它改写成用 “万” 或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要,省略这个数某一位 后面的数,写成近似数。 1. 准确数:在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个 较大的数改写成以万或亿为单位的数。 改写后的数是原数的准确 数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万; 改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。 2. 近似数:根据实际需要,我们还可以把一个较大的数, 省略 某 一 位 后 面 的 尾 数 , 用 一 个 近 似 数 来 表 示 。 例 如 : 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 3. 四舍五入法:要省略的尾数的最高位上的数是 4 或者比 4 小,就把尾数去掉; 如果尾数的最高位上的数是 5 或者比 5 大, 就把尾数舍去,并向它的前一位进 1。例如:省略 345900 万后 面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。 4. 大小比较 1. 比较整数大小: 比较整数的大小, 位数多的那个数就大, 如果位数相同,就看最高位,最高位上的数大,那个数就大;最 高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大。 2. 比较小数的大小: 先看它们的整数部分, ,整数部分大的 那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大; 十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大⋯⋯ 3. 比较分数的大小 : 分母相同的分数,分子大的分数比较 大;分子相同的数,分母小的分数大。分数的分母和分子都不相 同的,先通分,再比较两个数的大小。 (三)数的互化 1. 小数化成分数:原来有几位小数,就在 1 的后面写几个 零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。 2. 分数化成小数:用分母去除分子。能除尽的就化成有限 小数,有的不能除尽, 不能化成有限小数的, 一般保留三位小数。 3. 一个最简分数,如果分母中除了 2 和 5 以外,不含有其 他的质因数, 这个分数就能化成有限小数; 如果分母中含有 2 和 5 以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。 4. 小数化成百分数:只要把小数点向右移动两位,同时在 后面添上百分号。 5. 百分数化成小数:把百分数化成小数,只要把百分号去 掉,同时把小数点向左移动两位。 6. 分数化成百分数:通常先把分数化成小数(除不尽时, 通常保留三位小数 ) ,再把小数化成百分数。 7. 百分数化成小数:先把百分数改写成分数,能约分的要 约成最简分数。 (四)数的整除 1. 把一个合数分解质因数,通常用短除法。先用能整除这 个合数的质数去除, 一直除到商是质数为止, 再把除数和商写成 连乘的形式。 2. 求几个数的最大公约数的方法是:先用这几个数的公约 数连续去除, 一直除到所得的商只有公约数 1 为止,然后把所有 的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数 。 3. 求几个数的最小公倍数的方法是:先用这几个数(或其 中的部分数) 的公约数去除, 一直除到互质 (或两两互质) 为止, 然后把所有的除数和商连乘求积, 这个积就是这几个数的最小公 倍数。 4. 成为互质关系的两个数: 1 和任何自然数互质 ; 相邻 的两个自然数互质; 当合数不是质数的倍数时, 这个合数和这 个质数互质; 两个合数的公约数只有 1 时,这两个合数互质。 (五) 约分和通分 约分的方法:用分子和分母的公约数( 1 除外)去除分子、 分母;通常要除到得出最简分数为止。 通分的方法: 先求出原来的几个分数分母的最小公倍数, 然 后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 三、性质和规律 (一)商不变的规律 商不变的规律: 在除法里, 被除数和除数同时扩大或者同时 缩小相同的倍,商不变。 (二)小数的性质 小数的性质: 在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不 变。 (三)小数点位置的移动引起小数大小的变化 1. 小数点向右移动一位, 原来的数就扩大 10 倍; 小数点向 右移动两位,原来的数就扩大 100 倍;小数点向右移动三位,原 来的数就扩大 1000 倍⋯⋯ 2. 小数点向左移动一位, 原来的数就缩小 10 倍; 小数点向 左移动两位,原来的数就缩小 100 倍;小数点向左移动三位,原 来的数就缩小 1000 倍⋯⋯ 3. 小数点向左移或者向右移位数不够时, 要用“0" 补足位。 (四)分数的基本性质 分数的基本性质:分数的分子和分母都乘以或者除以相同 的数(零除外),分数的大小不变。 (五)分数与除法的关系 1. 被除数÷除数 = 被除数 / 除数 2. 因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零。 3. 被除数 相当于分子,除数相当于分母。 四、运算的意义 (一)整数四则运算 1 整数加法: 把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。加数是部 分数,和是总数。 加数 +加数 =和 一个加数 =和-另一个加数 2 整数减法: 已知两个加数的和与其中的一个加数, 求另一个加数的运算 叫做减法。 在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未 知的加数叫做差。被减数是总数,减数和差分别是部分数。 加法和减法互为逆运算。 3 整数乘法: 求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 在乘法里, 相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。 相同 加数的和叫做积。 在乘法里, 0 和任何数相乘都得 0. 1 和任何数相乘都的 任何数。 一个因数× 一个因数 = 积 一个因数 =积÷另一个因 数 4 整数除法: 已知两个因数的积与其中一个因数, 求另一个因数的运算叫 做除法。 在除法里, 已知的积叫做被除数, 已知的一个因数叫做除数, 所求的因数叫做商。 乘法和除法互为逆运算。 在除法里, 0 不能做除数。因为 0 和任何数相乘都得 0,所 以任何一个数除以 0,均得不到一个确定的商。 被除数÷除数 =商 除数 =被除数÷商 被除数 =商×除数 (二)小数四则运算 1. 小数加法: 小数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成 一个数的运算。 2. 小数减法: 小数减法的意义与整数减法的意义相同。 已知两个加数的和 与其中的一个加数,求另一个加数的运算 . 3. 小数乘法: 小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同, 就是求几个相同 加数和的简便运算; 一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之 几、百分之几、千分之几⋯⋯是多少。 4. 小数除法: 小数除法的意义与整数除法的意义相同, 就是已知两个因数 的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。 5. 乘方 : 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32 (三)分数四则运算 1. 分数加法: 分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并 成一个数的运算。 2. 分数减法: 分数减法的意义与整数减法的意义相同。 已知两个加数的和 与其中的一个加数,求另一个加数的运算。 3. 分数乘法: 分数乘法的意义与整数乘法的意义相同, 就是求几个相同加 数和的简便运算。 4. 乘积是 1 的两个数叫做互为倒数。 5. 分数除法: 分数除法的意义与整数除法的意义相同。 就是已知两个因数 的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。 (四)运算定律 1. 加法交换律: 两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即 。 2. 加法结合律: 三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先 把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即( )() 。 3. 乘法交换律: 两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即 a×× a。 4. 乘法结合律: 三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先 把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即 (a ×b) ×× (b ×c) 。 5. 乘法分配律: 两个数的和与一个数相乘, 可以把两个加数分别与这个数相 乘再把两个积相加,即 () ××× c 。 6. 减法的性质: 从一个数里连续减去几个数, 可以从这个数里减去所有减数 的和,差不变,即 () 。 (五)运算法则 1. 整数加法计算法则: 相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就向 前一位进一。 2. 整数减法计算法则: 相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数不够减,就从它 的前一位退一作十,和本位上的数合并在一起,再减。 3. 整数乘法计算法则: 先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位 上的数, 用因数哪一位上的数去乘, 乘得的数的末尾就对齐哪一 位,然后把各次乘得的数加起来。 4. 整数除法计算法则: 先从被除数的高位除起, 除数是几位数, 就看被除数的前几 位; 如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写 在哪一位的上面。如果哪一位上不够商 1,要补“ 0”占位。每 次除得的余数要小于除数。 5. 小数乘法法则: 先按照整数乘法的计算法则算出积, 再看因数中共有几位小 数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;如果位数不够,就 用“ 0”补足。 6. 除数是整数的小数除法计算法则: 先按照整数除法的法则去除, 商的小数点要和被除数的小数 点对齐; 如果除到被除数的末尾仍有余数, 就在余数后面添 “0”, 再继续除。 7. 除数是小数的除法计算法则: 先移动除数的小数点, 使它变成整数, 除数的小数点也向右 移动几位(位数不够的补“ 0”),然后按照除数是整数的除法法 则进行计算。 8. 同分母分数加减法计算方法 : 同分母分数相加减,只把分子相加减,分母不变。 9. 异分母分数加减法计算方法 : 先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 10. 带分数加减法的计算方法 : 整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来。 11. 分数乘法的计算法则 : 分数乘整数, 用分数的分子和整数相乘的积作分子, 分母不 变; 分数乘分数, 用分子相乘的积作分子, 分母相乘的积作分母。 12. 分数除法的计算法则 : 甲数除以乙数( 0 除外),等于甲数乘乙数的倒数。 (六) 运算顺序 1. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 2. 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 3. 没有括号的混合运算 : 同级运算从左往右依次运算;两级运算 先算乘、除法,后 算加减法。 4. 有括号的混合运算 : 先算小括号里面的, 再算中括号里面的, 最后算括号外面的。 5. 第一级运算: 加法和减法叫做第一级运算。 6. 第二级运算: 乘法和除法叫做第二级运算。 五、具体应用 (一)整数和小数的应用 1 简单应用题 (1) 简单应用题:只含有一种基本数量关系,或用一步运 算解答的应用题,通常叫做简单应用题。 (2) 解题步骤: a 审题理解题意: 了解应用题的内容, 知道应用题的条件和 问题。读题时,不丢字不添字边读边思考,弄明白题中每句话的 意思。也可以复述条件和问题,帮助理解题意。 b 选择算法和列式计算:这是解答应用题的中心工作。从题 目中告诉什么,要求什么着手,逐步根据所给的条件和问题,联 系四则运算的含义,分析数量关系,确定算法,进行解答并标明 正确的单位名称。 C检验:就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式 和计算过程是否正确, 是否符合题意。 如果发现错误, 马上改正。 2 复合应用题 (1)有两个或两个以上的基本数量关系组成的,用两步或 两步以上运算解答的应用题,通常叫做复合应用题。 (2)含有三个已知条件的两步计算的应用题。 求比两个数的和多(少)几个数的应用题。 比较两数差与倍数关系的应用题。 (3)含有两个已知条件的两步计算的应用题。 已知两数相差多少(或倍数关系)与其中一个数,求两个数 的和(或差) 。 已知两数之和与其中一个数, 求两个数相差多少 (或倍数关 系)。 (4)解答连乘连除应用题。 (5)解答三步计算的应用题。 (6)解答小数计算的应用题:小数计算的加法、减法、乘 法和除法的应用题,他们的数量关系、结构、和解题方式都与正 式应用题基本相同,只是在已知数或未知数中间含有小数。 d 答案:根据计算的结果,先口答,逐步过渡到笔答。 ( 3 ) 解答加法应用题: a 求总数的应用题:已知甲数是多少,乙数是多少,求甲乙 两数的和是多少。 b 求比一个数多几的数应用题:已知甲数是多少和乙数比甲 数多多少,求乙数是多少。 (4 ) 解答减法应用题: a 求剩余的应用题: 从已知数中去掉一部分, 求剩下的部分。 求两个数相差的多少的应用题:已知甲乙两数各是多少, 求甲数比乙数多多少,或乙数比甲数少多少。 c 求比一个数少几的数的应用题:已知甲数是多少, ,乙数 比甲数少多少,求乙数是多少。 (5 ) 解答乘法应用题: a 求相同加数和的应用题:已知相同的加数和相同加数的个 数,求总数。 b 求一个数的几倍是多少的应用题:已知一个数是多少,另 一个数是它的几倍,求另一个数是多少。 ( 6) 解答除法应用题: a 把一个数平均分成几份,求每一份是多少的应用题:已知 一个数和把这个数平均分成几份的,求每一份是多少。 b 求一个数里包含几个另一个数的应用题:已知一个数和每 份是多少,求可以分成几份。 C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题: 已知甲数乙数各 是多少,求较大数是较小数的几倍。 d 已知一个数的几倍是多少,求这个数的应用题。 (7)常见的数量关系: 总价 = 单价×数量 路程 = 速度×时间 工作总量 =工作时间×工效 总产量 =单产量×数量 3 典型应用题 具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题, 通 常叫做典型应用题。 (1)平均数问题:平均数是等分除法的发展。 解题关键:在于确定总数量和与之相对应的总份数。 算术平均数:已知几个不相等的同类量和与之相对应的份 数,求平均每份是多少。数量关系式:数量之和÷数量的个数 = 算术平均数。 加权平均数: 已知两个以上若干份的平均数, 求总平均数是 多少。 数量关系式 (部分平均数×权数)的总和÷(权数的和) = 加权平均数。 差额平均数: 是把各个大于或小于标准数的部分之和被总 份数均分,求的是标准数与各数相差之和的平均数。 数量关系式: (大数-小数)÷ 2=小数应得数 最大数与 各数之差的和÷总份数 =最大数应给数 最大数与个数之差 的和÷总份数 =最小数应得数。 例:一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地, 又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。 求这辆车的平均速 度。 分析: 求汽车的平均速度同样可以利用公式。 此题可以把甲 地到乙地的路程设为“ 1 ”,则汽车行驶的总路程为“ 2 ”,从 甲地到乙地的速度为 100 ,所用的时间为 ,汽车从乙地到甲 地速度为 60 千米 ,所用的时间是 ,汽车共行的时间为 + = , 汽车的平均速度为 2 ÷ =75 (千米) (2) 归一问题: 已知相互关联的两个量, 其中一种量改变, 另一种量也随之而改变, 其变化的规律是相同的, 这种问题称之 为归一问题。 根据求“单一量”的步骤的多少,归一问题可以分为一次归 一问题,两次归一问题。 根据球痴单一量之后, 解题采用乘法还是除法, 归一问题可 以分为正归一问题,反归一问题。 一次归一问题, 用一步运算就能求出 “单一量” 的归一问题。 又称“单归一。 ” 两次归一问题, 用两步运算就能求出 “单一量” 的归一问题。 又称“双归一。 ” 正归一问题:用等分除法求出“单一量”之后,再用乘法计 算结果的归一问题。 反归一问题:用等分除法求出“单一量”之后,再用除法计 算结果的归一问题。 解题关键: 从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数 量(单一量) ,然后以它为标准,根据题目的要求算出结果。 数量关系式:单一量×份数 =总数量(正归一) 总数量÷单一量 =份数(反归一) 例 一个织布工人, 在七月份织布 4774 米 , 照这样计算, 织布 6930 米 ,需要多少天? 分析:必须先求出平均每天织布多少米,就是单一量。 693 0 ÷( 477 4 ÷ 31 ) =45 (天) (3)归总问题:是已知单位数量和计量单位数量的个数, 以及不同的单位数量(或单位数量的个数) ,通过求总数量求得 单位数量的个数(或单位数量) 。 特点:两种相关联的量,其中一种量变化,另一种量也跟着 变化,不过变化的规律相反,和反比例算法彼此相通。 数量关系式:单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另 一个单位数量 单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量。 例 修一条水渠,原计划每天修 800 米 , 6 天修完。实际 4 天修完,每天修了多少米? 分析: 因为要求出每天修的长度, 就必须先求出水渠的长度。 所以也把这类应用题叫做“归总问题” 。不同之处是“归一”先 求出单一量,再求总量,归总问题是先求出总量,再求单一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 (米) (4) 和差问题:已知大小两个数的和,以及他们的差,求 这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。 解题关键: 是把大小两个数的和转化成两个大数的和 (或两 个小数的和) ,然后再求另一个数。 解题规律:(和+差)÷ 2 = 大数 大数-差 =小数 (和-差)÷ 2=小数 和-小数 = 大数 例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人,因工作需要临时 从乙班调 46 人到甲班工作, 这时乙班比甲班人数少 12 人,求 原来甲班和乙班各有多少人? 分析:从乙班调 46 人到甲班,对于总数没有变化,现在把 乙数转化成 2 个乙班,即 9 4 - 12 ,由此得到现在的乙班是 ( 9 4 - 12 )÷ 2=41 (人),乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 (人),甲班为 9 4 - 87=7 (人) (5)和倍问题:已知两个数的和及它们之间的倍数 关系, 求两个数各是多少的应用题,叫做和倍问题。 解题关键: 找准标准数 (即 1 倍数) 一般说来, 题中说是 “谁” 的几倍,把谁就确定为标准数。求出倍数和之后,再求出标准的 数量是多少。根据另一个数(也可能是几个数)与标准数的倍数 关系,再去求另一个数(或几个数)的数量。 解题规律:和÷倍数和 =标准数 标准数×倍数 =另一个数 例 : 汽车运输场有大小货车 115 辆,大货车比小货车的 5 倍多 7 辆,运输场有大货车和小汽车各有多少辆? 分析:大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆,这 7 辆也在总 数 115 辆内,为了使总数与( 5+1 )倍对应,总车辆数应 ( 115-7 )辆 。 列式为 ( 115-7 )÷( 5+1 ) =18 (辆) , 18 × 5+7=97 (辆) (6)差倍问题:已知两个数的差,及两个数的倍数关系, 求两个数各是多少的应用题。 解题规律:两个数的差÷(倍数- 1 )= 标准数 标准数× 倍数 =另一个数。 例 甲乙两根绳子,甲绳长 63 米 ,乙绳长 29 米 ,两根 绳剪去同样的长度, 结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍, 甲乙 两绳所剩长度各多少米? 各减去多少米? 分析:两根绳子剪去相同的一段,长度差没变,甲绳所剩的 长度是乙绳的 3 倍,实比乙绳多( 3-1 )倍,以乙绳的长度为 标准数。列式( 63-29 )÷( 3-1 ) =17 (米)⋯乙绳剩下 的长度, 17 × 3=51 (米)⋯甲绳剩下的长度, 29-17=12 (米)⋯剪去的长度。 (7)行程问题:关于走路、行车等问题,一般都是计算路 程、时间、速度,叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速 度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念,了解他们之 间的关系,再根据这类问题的规律解答。 解题关键及规律: 同时同地相背而行:路程 =速度和×时间。 同时相向而行:相遇时间 =速度和×时间 同时同向而行(速度慢的在前,快的在后) :追及时间 =路程 速度差。 同时同地同向而行(速度慢的在后,快的在前) :路程 =速度 差×时间。 例 甲在乙的后面 28 千米 ,两人同时同向而行, 甲每小时 行 16 千米 ,乙每小时行 9 千米 ,甲几小时追上乙? 分析:甲每小时比乙多行( 16-9 )千米,也就是甲每小时 可以追近乙( 16-9 )千米,这是速度差。 已知甲在乙的后面 28 千米 (追击路程), 28 千米 里包 含着几个( 16-9 )千米,也就是追击所需要的时间。列式 2 8 ÷ ( 16-9 ) =4 (小时) (8)流水问题:一般是研究船在“流水”中航行的问题。 它是行程问题中比较特殊的一种类型, 它也是一种和差问题。 它 的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。 船速:船在静水中航行的速度。 水速:水流动的速度。 顺水速度:船顺流航行的速度。 逆水速度:船逆流航行的速度。 顺速 =船速+水速 逆速 =船速-水速 解题关键: 因为顺流速度是船速与水速的和, 逆流速度是船 速与水速的差,所以流水问题当作和差问题解答。 解题时要以 水流为线索。 解题规律:船行速度 =(顺水速度 + 逆流速度)÷ 2 流水速度 =(顺流速度逆流速度)÷ 2 路程 =顺流速度× 顺流航行所需时间 路程 =逆流速度×逆流航行所需时间 例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行,每小时行 28 千 米 ,到乙地后, 又逆水 航行,回到甲地。 逆水比顺水多行 2 小 时,已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米? 分析: 此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间, 或 者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度,因此不 难算出逆水的速度, 但顺水所用的时间, 逆水所用的时间不知道, 只知道顺水比逆水少用 2 小时,抓住这一点,就可以就能算出 顺水从甲地到乙地的所用的时间,这样就能算出甲乙两地的路 程。列式为 284 × 2=20 (千米) 2 0 × 2 =40 (千米) 40 ÷( 4 × 2 ) =5 (小时) 28 × 5=140 (千米) 。 (9) 还原问题:已知某未知数,经过一定的四则运算后所 得的结果,求这个未知数的应用题,我们叫做还原问题。 解题关键:要弄清每一步变化与未知数的关系。 解题规律:从最后结果 出发, 采用与原题中相反的运算 (逆 运算)方法,逐步推导出原数。 根据原题的运算顺序列出数量关系, 然后采用逆运算的方法 计算推导出原数。 解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法, 后算乘除法时别忘记写括号。 例 某小学三年级四个班共有学生 168 人,如果四班调 3 人到三班,三班调 6 人到二班,二班调 6 人到一班,一班调 2 人到四班,则四个班的人数相等,四个班原有学生多少人? 分析: 当四个班人数相等时, 应为 168 ÷ 4 ,以四班为例, 它调给三班 3 人,又从一班调入 2 人,所以四班原有的人数减 去 3 再加上 2 等于平均数。四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43 (人) 一班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38 (人);二班原有人 数列式为 168 ÷ 4-6+6=42 (人) 三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45 (人)。 (10)植树问题:这类应用题是以“植树”为内容。凡是研 究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题,叫做植树 问题。 解题关键: 解答植树问题首先要判断地形, 分清是否封闭图 形, 从而确定是沿线段植树还是沿周长植树, 然后按基本公式进 行计算。 解题规律:沿线段植树 棵树 =段数 +1 棵树 =总路程÷株距 +1 株距 =总路程÷(棵树 -1 ) 总路程 =株距×(棵树 -1 ) 沿周长植树 棵树 =总路程÷株距 株距 =总路程÷棵树 总路程 =株距×棵树 例 沿公路一旁埋电线杆 301 根,每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装,只埋了 201 根。求改装后每相邻两根 的间距。 分析:本题是沿线段埋电线杆,要把电线杆的根数减掉一。 列式为 50 ×( 301-1 )÷( 201-1 ) =75 (米) (11 )盈亏问题:是在等分除法的基础上发展起来的。 他 的特点是把一定数量的物品, 平均分配给一定数量的人, 在两次 分配中, 一次有余, 一次不足 (或两次都有余) ,或两次都不足) , 已知所余和不足的数量, 求物品适量和参加分配人数的问题, 叫 做盈亏问题。 解题关键: 盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没 份所得物品数量的差, 再求两次分配中各次共分物品的差 (也称 总差额) ,用前一个差去除后一个差,就得到分配者的数,进而 再求得物品数。 解题规律:总差额÷每人差额 =人数 总差额的求法可以分为以下四种情况: 第一次多余,第二次不足,总差额 =多余 + 不足 第一次正好,第二次多余或不足 ,总差额 =多余或不足 第一次多余,第二次也多余,总差额 =大多余 - 小多余 第一次不足,第二次也不足, 总差额 = 大不足 - 小不足 例 参加美术小组的同学,每个人分的相同的支数的色笔, 如果小组 10 人,则多 25 支,如果小组有 12 人,色笔多余 5 支。求每人 分得几支?共有多少支色铅笔? 分析:每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人, 比 10 人多 2 人,而色笔多出了( 25-5 ) =20 支 , 2 个人 多出 20 支,一个人分得 10 支。列式为 ( 25-5 )÷( 12-10 ) =10 (支) 10 × 12+5=125 (支)。 (12)年龄问题: 将差为一定值的两个数作为题中的一个条 件,这种应用题被称为“年龄问题” 。 解题关键:年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似,主要 特点是随着时间的变化, 年岁不断增长, 但大小两个不同年龄的 差是不会改变的,因此,年龄问题是一种“差不变”的问题,解 题时,要善于利用差不变的特点。 例 父亲 48 岁,儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子 的 4 倍? 分析:父子的年龄差为 48-21=27 (岁) 。由于几年前父亲 年龄是儿子的 4 倍,可知父子年龄的倍数差是( 4-1 )倍。这 样可以算出几年前父子的年龄, 从而可以求出几年前父亲的年龄 是儿子的 4 倍。 列式为: 21( 48-21 )÷( 4-1 ) =12 (年) (13)鸡兔问题: 已知 “鸡兔” 的总头数和总腿数。 求 “鸡” 和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡 兔同笼问题 解题关键: 解答鸡兔问题一般采用假设法, 假设全是一种动 物(如全是“鸡”或全是“兔” ,然后根据出现的腿数差,可推 算出某一种的头数。 解题规律:(总腿数-鸡腿数×总头数)÷一只鸡兔腿数的 差 =兔子只数 兔子只数 =(总腿数 -2 ×总头数)÷ 2 如果假设全是兔子,可以有下面的式子: 鸡的只数 =(4×总头数 - 总腿数)÷ 2 兔的头数 =总头数 - 鸡的只数 例 鸡兔同笼共 50 个头, 170 条腿。 问鸡兔各有多少只? 兔子只数 ( 170-2 × 50 )÷ 2 =35 (只) 鸡的只数 50-35=15 (只) - (二)分数和百分数的应用 1 分数加减法应用题: 分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、 数量关 系和解题方法基本相同, 所不同的只是在已知数或未知数中含有 分数。 2 分数乘法应用题: 是指已知一个数,求它的几分之几是多少的应用题。 特征:已知单位“ 1”的量和分率,求与分率所对应的实际 数量。 解题关键:准确判断单位“ 1”的量。找准要求问题所对应 的分率,然后根据一个数乘分数的意义正确列式。 3 分数除法应用题: 求一个数是另一个数的几分之几(或百分之几)是多少。 特征: 已知一个数和另一个数, 求一个数是另一个数的几分 之几或百分之几。 “一个数”是比较量, “另一个数”是标准量。 求分率或百分率,也就是求他们的倍数关系。 解题关键: 从问题入手, 搞清把谁看作标准的数也就是把谁 看作了“单位一” ,谁和单位一的量作比较,谁就作被除数。 甲是乙的几分之几(百分之几) : 甲是比较量,乙是标准量, 用甲除以乙。 甲比乙多 (或少) 几分之几 (百分之几):甲减乙比乙多 (或 少几分之几) 或 (百分之几)。关系式 (甲数减乙数) / 乙数或 (甲 数减乙数) / 甲数 。 已知一个数的几分之几(或百分之几 ) , 求这个数。 特征:已知一个实际数量和它相对应的分率,求单位“ 1” 的量。 解题关键:准确判断单位“ 1”的量把单位“ 1”的量看成 x 根据分数乘法的意义列方程,或者根据分数除法的意义列算式, 但必须找准和分率相对应的已知实际 数量。 4 出勤率 发芽率 =发芽种子数 / 试验种子数× 100% 小麦的出粉率 = 面粉的重量 / 小麦的重量× 100% 产品的合格率 =合格的产品数 / 产品总数× 100% 职工的出勤率 =实际出勤人数 / 应出勤人数× 100% 5 工程问题: 是分数应用题的特例,它与整数的工作问题有着密切的联 系。它是探讨工作总量、 工作效率和工作时间三个数量之间相互 关系的一种应用题。 解题关键:把工作总量看作单位“ 1”,工作效率就是工作时 间的倒数,然后根据题目的具体情况,灵活运用公式。 数量关系式: 工作总量 =工作效率×工作时间 工作效率 =工作总量÷工作时间 工作时间 =工作总量÷工作效率 工作总量÷工作效率和 =合作时间 6 纳税 纳税就是把根据国家各种税法的有关规定, 按照一定的比率 把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。 缴纳的税款叫应纳税款。 应纳税额与各种收入的(销售额、营业额、应纳税所得 额 ⋯⋯)的比率叫做税率。 * 利息 存入银行的钱叫做本金。 取款时银行多支付的钱叫做利息。 利息与本金的比值叫做利率。 利息 =本金×利率×时间 第二章 度量衡 一、长度 ( 一) 什么是长度 长度是一维空间的度量。 ( 二) 长度常用单位 * 公里 () * 米(m) * 分米 () * 厘米 () * 毫米 () * 微米 () ( 三 ) 单位之间的换算 * 1 毫米 =1000 微米 * 1 厘米 =10 毫米 * 1 分米 = 10 厘米 * 1 米 =1000 毫米 * 1 千米 =1000 米 二、面积 (一)什么是面积 面积, 就是物体所占平面的大小。 对立体物体的表面的多少 的测量一般称表面积。 (二)常用的面积单位 * 平方毫米 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平 方千米 (三)面积单位的换算 * 1 平方厘米 =100 平方毫米 * 1 平方分米 =100 平方厘 米 * 1 平方米 =100 平方分米 * 1 公倾 =10000 平方米 * 1 平方公里 =100 公顷 三、体积和容积 (一)什么是体积、容积 体积,就是物体所占空间的大小。 容积,箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做 它们的容积。 (二)常用单位 1 体积单位: * 立方米 * 立方分米 * 立方厘米 2 容积单位 * 升 * 毫升 (三)单位换算 1 体积单位 * 1 立方米 =1000 立方分米 * 1 立方分米 =1000 立方厘米 2 容积单位 * 1 升=1000 毫升 * 1 升=1 立方米 * 1 毫升 =1 立方厘米 四、质量 (一)什么是质量:质量,就是表示表示物体有多重。 (二)常用单位: * 吨 t * 千克 * 克 g (三)常用换算 * 一吨 =1000 千克 * 1 千克 =1000 克 五、时间 (一)什么是时间:是指有起点和终点的一段时间 (二)常用单位: 世纪、 年 、 月 、 日 、 时 、 分、 秒 (三)单位换算 * 1 世纪 =100 年 * 1 年=365 天 平年 * 一年 =366 天 闰年 * 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有 31 天 * 四、六、九、十一是小月小月 小月有 30 天 * 平年 2 月有 28 天 闰年 2 月有 29 天 * 1 天 = 24 小时 * 1 小时 =60 分 * 一分 =60 秒 六、货币 (一)什么是货币 货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。 货币是价值的一 般代表,可以购买任何别的商品。 (二)常用单位: * 元 * 角 * 分 (三)单位换算 * 1 元 =10 角 * 1 角=10 分 - 第三章 代数初步知识 一、用字母表示数 1 用字母表示数的意义和作用 * 用字母表示数, 可以把数量关系简明的表达出来, 同时也 可以表示运算的结果。 2 用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体 的计算公式 (1)常见的数量关系 路程用 s 表示,速度 v 用表示,时间用 t 表示,三者之间的 关系: 总价用 a 表示,单价用 b 表示,数量用 c 表示,三者之间的 关系 : (2)运算定律和性质 加法交换律: 加法结合律: ()() 乘法交换律: 乘法结合律: ()() 乘法分配律: () 减法的性质: () (3)用字母表示几何形体的公式 长方形的长用 a 表示,宽用 b 表示,周长用 c 表示,面积用 s 表示。 2() 正方形的边长 a 用表示,周长用 c 表示,面积用 s 表示。 4a 2 平行四边形的底 a 用表示,高用 h 表示,面积用 s 表示。 三角形的底用 a 表示,高用 h 表示,面积用 s 表示。 2 梯形的上底用 a 表示,下底 b 用表示,高用 h 表示,中位线 用 m表示,面积用 s 表示。 ()2 圆的半径用 r 表示,直径用 d 表示,周长用 c 表示,面积用 s 表示。 ∏2∏r ∏ r 2 扇形的半径用 r 表示, n 表示圆心角的度数, 面积用 s 表示。 ∏ 2/360 长方体的长用 a 表示,宽用 b 表示,高用 h 表示,表面积用 s 表示,体积用 v 表示。 2() 正方体的棱长用 a 表示, 底面周长 c 用表示, 底面积用 s 表 示, 体积用 v 表示 . 6a2 3 圆柱的高用 h 表示,底面周长用 c 表示,底面积用 s 表示, 体积用 v 表示 . s 侧 s 表侧 +2s 底 圆锥的高用 h 表示,底面积用 s 表示, 体积用 v 表示 . 3 3 用字母表示数的写法 数字和字母、字母和字母相乘时,乘号可以记作“ . ”,或者 省略不写,数字要写在字母的前面。 当“ 1”与任何字母相乘时, “1”省略不写。 在一个问题中, 同一个字母表示同一个量, 不同的量用不同 的字母表示。 用含有字母的式子表示问题的答案时,除数一般写成分母, 如果式子中有加号或者减号,要先用括号把含字母的式子括起 来,再在括号后面写上单位的名称。 4 将数值代入式子求值 * 把具体的数代入式子求值时, 要注意书写格式: 先写出字 母等于几,然后写出原式,再把数代入式子求值。字母表示的是 数,后面不写单位名称。 * 同一个式子, 式子中所含字母取不同的数值, 那么所求出 的式子的值也不相同。 二、简易方程 (一)方程和方程的解 1 方程:含有未知数的等式叫做方程。 注意方程是等式,又含有未知数,两者缺一不可。 方程和算术式不同。 算术式是一个式子, 它由运算符号和已 知数组成,它表示未知数。方程是一个等式,在方程里的未知数 可以参加运算,并且只有当未知数为特定的数值时 ,方程才成 立 。 2 方程的解: 使方程左右两边相等的未知数的值, 叫做方程 的解。 三、解方程 解方程,求方程的解的过程叫做解方程。 四、列方程解应用题 1 列方程解应用题的意义 * 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。 2 列方程解答应用题的步骤 * 弄清题意,确定未知数并用 x 表示; * 找出题中的数量之间的相等关系; * 列方程,解方程; * 检查或验算,写出答案。 3 列方程解应用题的方法 * 综合法:先把应用题中已知数(量)和所设未知数(量) 列成有关的代数式, 再找出它们之间的等量关系, 进而列出方程。 这是从部分到整体的一种 思维过程,其思考方向是从已知到未 知。 * 分析法: 先找出等量关系, 再根据具体建立等量关系的需 要,把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的 代数式进而列出方程。 这是从整体到部分的一种思维过程, 其思 考方向是从未知到已知。 4 列方程解应用题的范围 小学范围内常用方程解的应用题: a 一般应用题; b 和倍、差倍问题; c 几何形体的周长、面积、体积计算; d 分数、百分数应用题; e 比和比例应用题。 五、比和比例 1 比的意义和性质 (1) 比的意义 两个数相除又叫做两个数的比。 “:”是比号,读作“比” 。比号前面的数叫做比的前项,比 号后面的数叫做比的后项。 比的前项除以后项所得的商, 叫做比 值。 同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比 值相当于商。 比值通常用分数表示, 也可以用小数表示, 有时也可能是整 数。 比的后项不能是零。 根据分数与除法的关系, 可知比的前项相当于分子, 后项相 当于分母,比值相当于分数值。 (2)比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数( 0 除外),比 值不变,这叫做比的基本性质。 (3) 求比值和化简比 求比值的方法: 用比的前项除以后项, 它的结果是一个数值 可以是整数,也可以是小数或分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。 它的结果 必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。 (4)比例尺 图上距离:实际距离 =比例尺 要求会求比例尺; 已知图上距离和比例尺求实际距离; 已知 实际距离和比例尺求图上距离。 线段比例尺: 在图上附有一条注有数目的线段, 用来表示和 地面上相对应的实际距离。 (5)按比例分配 在农业生产和日常生活中, 常常需要把一个数量按照一定的 比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法: 首先求出各部分占总量的几分之几, 然后求出总数的 几分之几是多少。 2 比例的意义和性质 (1) 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数,叫做比例的项。 两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。 (2)比例的性质 在比例里, 两个外项的积等于两个两个内向的积。 这叫做比 例的基本性质。 (3)解比例 根据比例的基本性质, 如果已知比例中的任何三项, 就可以 求出这个数比例中的另外一个未知项。 求比例中的未知项, 叫做 解比例。 3 正比例和反比例 (1) 成正比例的量 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果 这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量 就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。 用字母表示 ( 一定) (2)成反比例的量 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果 这两种量中相对应的两个数的积一定, 这两种量就叫做成反比例 的量,他们的关系叫做反比例关系。 用字母表示 x×( 一定 ) 第四章 几何的初步知识 一、线和角 (1)线 * 直线 直线没有端点;长度无限;过一点可以画无数条,过两点只 能画一条直线。 * 射线 射线只有一个端点;长度无限。 * 线段 线段有两个端点,它是直线的一部分;长度有限;两点的连 线中,线段为最短。 * 平行线 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。 * 垂线 两条直线相交成直角时, 这两条直线叫做互相垂直, 其中一 条直线叫做另一条直线的垂线 , 相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线 的距离。 (2)角 (1)从一点引出两条射线,所组成的图形叫做角。这个点 叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。 (2)角的分类 锐角:小于 90°的角叫做锐角。 直角:等于 90°的角叫做直角。 钝角:大于 90°而小于 180°的角叫做钝角。 平角:角的两边成一条直线,这时所组成的角叫做平角。平 角 180°。 周角: 角的一边旋转一周, 与另一边重合。 周角是 360°。 二、平面图形 1 长方形 (1)特征:对边相等, 4 个角都是直角的四边形。有两条 对称轴。 (2)计算公式 2() 2 正方形 (1)特征: 四条边都相等,四个角都是直角的四边形。有 4 条对称轴。 (2)计算公式 4a 2 3 三角形 (1)特征:由三条线段围成的图形。内角和是 180 度。三 角形具有稳定性。三角形有三条高。 (2)计算公式 2 (3) 分类 按角分 锐角三角形 :三个角都是锐角。 直角三角形 :有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各 为 45 度,它有一条对称轴。 钝角三角形:有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形:三条边长度不相等。 等腰三角形:有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对 称轴。 等边三角形:三条边长度都相等;三个内角都是 60 度;有 三条对称轴。 4 平行四边形 (1) 特征 两组对边分别平行的四边形。 相对的边平行且相等。 对角相等, 相邻的两个角的度数之和 为 180 度。平行四边形容易变形。 (2) 计算公式 5 梯形 (1)特征 只有一组对边平行的四边形。 中位线等于上下底和的一半。 等腰梯形有一条对称轴。 (2) 公式 ()2 6 圆 (1) 圆的认识 平面上的一种曲线图形。 圆中心的一点叫做圆心。一般用字母 o 表示。 半径:连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用 r 表示。 在同一个圆里,有无数条半径,每条半径的长度都相等。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用 d 表 示。 同一个圆里有无数条直径,所有的直径都相等。 同一个圆里,直径等于两个半径的长度,即 2r 。 圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。 (2)圆的画法 把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离(即半径) ; 把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上; 把装有铅笔尖的一只脚旋转一周,就画出一个圆。 (3) 圆的周长 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。 (4) 圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 (5)计算公式 2r 2 ∏d 2∏r ∏r 2 7 扇形 (1) 扇形的认识 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇 形。 圆上两点之间的部分叫做弧,读作“弧” 。 顶点在圆心的角叫做圆心角。 在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有 关。 扇形有一条对称轴。 (2) 计算公式 ∏r 2/360 8 环形 (1) 特征 由两个半径不相等的同心圆相减而成,有无数条对称轴。 (2) 计算公式 ∏(R22) 9 轴对称图形 (1) 特征 如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重 合,这个图形就是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做对称轴。 正方形有 4 条对称轴, 长方形有 2 条对称轴。 等腰三角形有 2 条对称轴,等边三角形有 3 条对称轴。 等腰梯形有一条对称轴,圆有无数条对称轴。 菱形有 4 条对称轴,扇形有一条对称轴。 三、立体图形 (一)长方体 1 特征 六个面都是长方形(有时有两个相对的面是正方形) 。 相对的面面积相等, 12 条棱相对的 4 条棱长度相等。 有 8 个顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 两个面相交的边叫做棱。 三条棱相交的点叫做顶点。 把长方体放在桌面上,最多只能看到三个面。 长方体或者正方体 6 个面的总面积,叫做它的表面积。 2 计算公式 2() (二)正方体 1 特征 六个面都是正方形 六个面的面积相等 12 条棱,棱长都相等 有 8 个顶点 正方体可以看作特殊的长方体 2 计算公式 S表 =6a2 3 (三)圆柱 1 圆柱的认识 圆柱的上下两个面叫做底面。 圆柱有一个曲面叫做侧面。 圆柱两个底面之间的距离叫做高 。 进一法:实际中,使用的材料都要比计算的结果多一些 , 因此,要保留数的时候,省略的位上的是 4 或者比 4 小,都要向 前一位进 1。这种取近似值的方法叫做进一法。 2 计算公式 s 侧 s 表侧底× 2 3 (四)圆锥 1 圆锥的认识 圆锥的底面是个圆,圆锥的侧面是个曲面。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 测量圆锥的高: 先把圆锥的底面放平, 用一块平板水平地放 在圆锥的顶点上面,竖直地量出平板和底面之间的距离。 把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 2 计算公式 3 (五)球 1 认识 球的表面是一个曲面,这个曲面叫做球面。 球和圆类似,也有一个球心,用 O表示。 从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径,用 r 表示, 每条半径都相等。 通过球心并且两端都在球面上的线段,叫做球的直径,用 d 表示 , 每条直径都相等 , 直径的长度等于半径的 2 倍,即 2r 。 2 计算公式: 2r 第五章 简单的统计 一、统计表 (一)意义 * 把统计数据填写在一定格式的表格内,用来反映情况、 说明问题,这样的表格就叫做统计表。 (二)组成部分 * 一般分为表格外和表格内两部分。 表格外部分包括标的 名称,单位说明和制表日期;表格内部包括表头、横标目、纵标 目和数据四个方面。 (三)种类 * 单式统计表:只含有一个项目的统计表。 * 复式统计表:含有两个或两个以上统计项目的统计表。 * 百分数统计表: 不仅表明各统计项目的具体数量, 而且表 明比较量相当于标准量的百分比的统计表。 (四)制作步骤 1 搜集数据 2 整理数据: 要根据制表的目的和统计的内容,对数据进行分类。 3 设计草表: 要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、 分栏格画法, 规 定横栏、竖栏各需几格,每格长度。 4 正式制表: 把核对过的数据填入表中,并根据制表要求,用简单、明确 的语言写上统计表的名称和制表日期。 二、统计图 (一)意义 * 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形 叫做统计图。 (二)分类 1 条形统计图 用一个单位长度表示一定的数量, 根据数量的多少画成长短 不同的直条,然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。 优点:很容易看出各种数量的多少。 注意:画条形统计图时,直条的宽窄必须相同。 取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定; 复式条形统计图中表示不同项目的直条, 要用不同的线条或 颜色区别开,并在制图日期下面注明图例。 制作条形统计图的一般步骤 : (1)根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线。 (2)在水平射线上,适当分配条形的位置,确定直线的宽 度和间隔。 (3)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况, 确定单位长度表示多少。 (4)按照数据的大小画出长短不同的直条,并注明数量。 2 折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少描出各 点,然后把各点用线段顺次连接起来。 优点: 不但可以表示数量的多少, 而且能够清楚地表示出数 量增减变化的情况。 注意:折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时, 不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。 制作折线统计图的一般步骤 : (1)根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线。 (2)在水平射线上,适当分配折线的位置,确定直线的宽 度和间隔。 (3)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况, 确定单位长度表示多少。 (4)按照数据的大小描出各点,再用线段顺次连接起来, 并注明数量。 3 扇形统计图 用整个圆的面积表示总数, 用扇形面积表示各部分所占总数 的百分数。 优点:很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。 制扇形统计图的一般步骤: (1)先算出各部分数量占总量的百分之几。 (2)再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。 (3)取适当的半径画一个圆,并按照上面算出的圆心角的 度数,在圆里画出各个扇形。 (4)在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的 百分数,并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。

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