小学数学精讲教案5_5_4 余数性质（二） 教师版 5页

‎5-5-4‎‎.余数性质（二）‎ 教学目标 1. 学习余数的三大定理及综合运用 2. 理解弃9法，并运用其解题 知识点拨 一、三大余数定理：‎ ‎1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。‎ 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。‎ 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2‎ ‎2.余数的加法定理 a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。‎ 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.‎ 当余数的差不够减时时，补上除数再减。‎ 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4‎ ‎3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。‎ 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。‎ 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。‎ 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.‎ 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么与除以m的余数也相同．‎ 二、弃九法原理 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：‎ 例如：检验算式 ‎1234除以9的余数为1‎ ‎1898除以9的余数为8‎ ‎18922除以9的余数为4‎ ‎678967除以9的余数为7‎ ‎178902除以9的余数为0‎ 这些余数的和除以9的余数为2‎ 而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。‎ 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。‎ 而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。‎ 所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。‎ 以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。‎ 利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。‎ 例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的 但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。‎ 例题精讲 模块一、余数性质的综合运用 【例 1】 与的和除以7的余数是________．‎ ‎【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】南京市，少年数学智力冬令营 ‎ 【解析】 找规律．用7除2，，，，，，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为，所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 除以7的余数是多少？‎ ‎【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 除以7的余数为1，，所以，其除以7的余数为：；2008除以7的余数为6，则除以7的余数等于除以7的余数，为1；所以除以7的余数为：．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 被除所得的余数是多少？‎ ‎【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，时被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1以4为周期循环出现，所以被13除的余数与被13除的余数相同，余12，则除以13的余数为12；‎ ‎30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，时，被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6为周期循环出现，所以被13除所得的余数等于被13除所得的余数，即4，故除以13的余数为4；‎ 所以被13除所得的余数是．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 ‎、为非零自然数，且被整除。的最小值为 。‎ ‎【考点】余数性质的综合运用 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，6年级，决赛，第7题，10分 【解析】 除以的余数是，除以的余数是，所以能被整除，经试算，最小值为 ‎【答案】‎ 【例 1】 除以10所得的余数为多少？‎ ‎【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算的个位数字，‎ 为的个位数字，为4，‎ 由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是的个位数即0，另外5个数为、、、、，它们和的个位数字是的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 已知n是正整数，规定，‎ 令，则整数m除以2008的余数为多少？‎ ‎【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】清华附中 【解析】 ‎2008能够整除，所以的余数是2007．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 设n为正整数，，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值．‎ ‎【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以被7除余数为2，被11除余数为3．由于被7除余2，而被7除余1，所以n除以3的余数为1；由于被11除余3，被11除余1，所以n除以10的余数为8．可见是3和10的公倍数，最小为，所以n的最小值为28．‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 试求不大于100，且使能被11整除的所有自然数n的和．‎ ‎【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 通过逐次计算，可以求出被11除的余数，依次为：为3，为9，为5，为4，为1，…，因而被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；类似地，可以求出被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……；于是被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，……；这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，即时能被11整除，所以，所有满足条件的自然数n的和为：‎ ‎．‎ ‎【答案】‎ 【例 5】 对任意的自然数n，证明能被1897整除． ‎ ‎【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略 ‎【答案】，7与271互质，因为，，，，所以，，故能被7整除．又因为，，，所以 ‎，故能被271整除．因为7与271互质，所以能被1897整除．‎ 【例 1】 若为自然数，证明．‎ ‎【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略 ‎【答案】，由于与的奇偶性相同，所以．，如果 能被5整除，那么；如果不能被5整除，那么被5除的余数为1、2、3或者4，被5除的余数为、、、被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管为多少，被5除的余数为1，而，即14个相乘，所以除以5均余1，则能被5整除，有．所以．由于2与5互质，所以．‎ 【例 2】 有一位奥运会志愿者，向看台上的一百名观众按顺序发放编号1，2，3，……100，同时还向每位观众赠送一个单色喇叭．他希望如果两位观众的编号之差是质数，那么他们拿到的喇叭就是不同颜色的．为了实现他自己的愿望，他最少要准备 种颜色的喇叭．‎ ‎【考点】余数性质的综合运用 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第11题 【解析】 编号、、、这四个编号两两之间的差都是质数，所以这四个编号的观众应该使用不同颜色的喇叭．所以他最少应该准备种不同颜色的喇叭，然后按编号被除后的余数分派不同颜色喇叭．‎ ‎【答案】种 模块二、弃九法 【例 3】 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以9的余数．‎ ‎【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于被9除的余数，但是由于1999与被9除的余数相同，2000与被9除的余数相同，所以19992000就与被9除的余数相同．由此可得，从1开始的自然数1234567891011121320072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为：，它被9除的余数为1．另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，……，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同．因此，此数被9除的余数为1．‎ ‎【答案】1‎ 【巩固】 连续写出从开始的自然数，写到时停止，得到一个多位数：，请说明：这个多位数除以，得到的余数是几？为什么？‎ ‎【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】希望杯 【分析】 因为连续个自然数可以被整除，而且最后一个自然数都是的倍数，因为是的倍数，所以是的倍数，又因为 ‎，所以 除以，得到的余数是．‎ ‎【答案】0‎ 【例 4】 将依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．‎ ‎【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．共有9个数字，‎ 共有90个两位数，共有数字： (个), 共900个三位数，共有数字： (个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是： (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为．‎ ‎【答案】7‎ 【例 1】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。‎ ‎【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3.将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，‎ 即 所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360‎ ‎【答案】360‎ 【例 2】 设的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，那么 ‎ ‎【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以与、、、 除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则除以9的余数与除以9的余数相同，而除以9的余数为1，所以除以9的余数为除以9的余数，即为5．‎ 另一方面，由于，所以的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过，即；那么的各位数字之和，的各位数字之和，小于18且除以9的余数为5，那么为5或14，的各位数字之和为5，即．‎ ‎【答案】5‎ 【例 3】 ‎3个三位数乘积的算式 (其中)， 在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的是多少？‎ ‎【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛 【解析】 由于，， 于是，从而(用代入上式检验)‎ ‎…(1)，对进行讨论：‎ 如果，那么…(2)，又的个位数字是6，所以的个位数字为4，可能为、、、，其中只有符合(2)，经检验只有 符合题意．‎ 如果，那么…(3)，又的个位数字为2或7，则可能为、、、、，其中只有符合(3)，经检验，不合题意．‎ 如果，那么…(4)，则可能为、，其中没有符合(4)的．‎ 如果，那么，，，因此这时不可能符合题意．综上所述，是本题唯一的解．‎ ‎【答案】983‎