小升初分班奥数平面图形面积 11页

. . 小升初奥数几何部分辅导讲义 讲义编号： 学员编号 : 年 级：小六 课时数： 3 学员姓名 : 辅导科目：奥数 学科教师： 课 题 平面图形面积问题 授课时间： 备课时间： 教学目标 1. 掌握五大模型的特征，会从复杂图形中找出基本模型 . 2. 灵活运用五大模型求直线型图形的面积和线段长度 . 教学内容 【专题知识点概述】 一、等积变换模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ba S2S1 DC BA 如左图 1 2: :S S a b ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ACD BCDS S△ △ ； 反之，如果 ACD BCDS S△ △ ，则可知直线 AB 平行于 CD ． ④正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角 ( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比 如 图 在 ABC△ 中 ， ,D E 分 别 是 ,AB AC 上 的 点 如 图 ⑴ （ 或 D 在 BA 的 延 长 线 上 ， E 在 AC 上 ）， 则 : ( ) : ( )ABC ADES S AB AC AD AE△ △ E D CB A E D CB A . . 图⑴ 图⑵ 推理过程连接 BE ，再利用等积变换模型即可 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系 ( “蝴蝶定理” ) ： S4 S3 S2 S1 O D CB A ① 1 2 4 3: :S S S S 或者 1 3 2 4S S S S ② 1 2 4 3: :AO OC S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形 的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系 ( “梯形蝴蝶定理” ) ： A B C D O b a S3 S2 S1 S4 ① 2 2 1 3: :S S a b ② 2 2 1 3 2 4: : : : : :S S S S a b ab ab ； ③梯形 S 的对应份数为 2 a b ． 四、相似模型 相似三角形性质： G F E A B C D （金字塔模型） A B C DE F G （沙漏模型） . . ① AD AE DE AF AB AC BC AG ； ② 2 2:ADE ABCS S AF AG△ △： ． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 ( 只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似 ) ， 与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 五、燕尾定理模型 S△ABG : S△AGC S△ BGE : S△EGC BE : EC； S△BGA : S△BGC S△ AGF : S△FGC AF : FC； S△AGC : S△BCG S△ ADG : S△ DGB AD : DB ； 【习题精讲】 【例 1】（难度等级 ※※） 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 【例 2】（难度等级 ※※） 如右图，已知在△ ABC中， BE=3AE，CD=2AD．若△ ADE的面积为 1 平方厘米．求三角形 ABC的面积． 【例 3】（难度等级 ※※） 如图，长方形 ABCD 的面积是 56平方厘米，点 E 、 F 、 G 分别是长方形 ABCD 边上的中点， H 为 AD 边上的任 意一点，求阴影部分的面积． G F E D CB A . . H G F E D CB A 【例 4】（难度等级 ※※） 如图，在三角形 ABC中，，D 为 BC的中点， E 为 AB上的一点，且 BE=1 3 AB,已知四边形 EDCA的面积是 35，求三 角形 ABC的面积 . 【例 5】（难度等级 ※※） (2008 年四中考题 ) 如右图， AD DB ， AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米， ABC 的面积是 平方厘米． FE D C B A 【举一反三】（难度等级 ※※） 如右图，在平行四边形 ABCD中， E、 F 分别是 AC、BC的三等分点，且 SABCD=54平方厘米，求 S△BEF． 【例 6】（难度等级 ※※※） 图 30-10 是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米 ? . . 【例 7】（难度等级 ※※） 如图在 ABC△ 中， ,D E 分别是 ,AB AC 上的点，且 : 2:5AD AB ， : 4:7AE AC ， 16ADES△ 平方厘米，求 ABC△ 的面积． E D CB A 【举一反三】（难度等级 ※※） 如图，三角形 ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面积等于 1，那么三角形 ABC 的面积是多少？ ED CB A 【例 8】（难度等级 ※※） 如图在 ABC△ 中， D 在 BA的延长线上， E 在 AC 上，且 : 5: 2AB AD ， : 3: 2AE EC ， 12ADES△ 平方厘 米，求 ABC△ 的面积． E D CB A 【例 9】（难度等级 ※※） 如图所示，在平行四边形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， 2AF CF ，三角形 AFE( 图中阴影部分 ) 的面积为 8 平方 厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？ E F D C BA 【例 10 】（难度等级 ※※※） 已知 DEF△ 的面积为 7 平方厘米， , 2 , 3BE CE AD BD CF AF ，求 ABC△ 的面积． . . F E D C B A 【例 11 】（难度等级 ※※※） ( 2007 年”走美”五年级初赛试题 ) 如图所示， 正方形 ABCD 边长为 6 厘米， 1 3 AE AC ， 1 3 CF BC ．三角形 DEF 的面积为 _______平方厘米． F E D CB A 【例 12 】（难度等级 ※※※） 如图，在 ABC△ 中，延长 AB 至 D ，使 BD AB ，延长 BC至 E ，使 1 2 CE BC ， F 是 AC 的中点，若 ABC△ 的 面积是 2 ，则 DEF△ 的面积是多少？ A B C D E F 【例 13 】（难度等级 ※※※） 如图所示，已知 1. , 2 .ABCS AE ED BD DC 求图中阴影部分的面积 . 【举一反三】（难度等级 ※※※） 下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？ . . 【例 14 】（难度等级 ※※※） 右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为 15、18、 30 公顷，问图 中阴影部分的面积是多少？ 【例 15 】（难度等级 ※※※） 梯形 ABCD的上底长为 3 厘米，下底长为 9 厘米，而三角形 ABO的面积为 12 平方厘米。则整个梯形的面积为多少？ 【例 16 】（难度等级 ※※※） 在图中，正方形 ADEB和正方形 ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为 6 和 4．三角形 ACG和三角形 BDF的面积 分别是多少？ 【例 17 】（难度等级 ※※※） 如右图，梯形 ABCD 的面积是 45 平方米，高 6 米，△ AED 的面积是 5 平方米， BC=10 米，求阴影部分面积 . . . 【例 18 】（难度等级 ※※※） 在ΔABC中 BD：DC=2:1,AE： EC=1:3 求 BO：OE。 【例 19 】（难度等级 ※※※） 图中的四边形土地总面积为 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2 个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ 【例 20 】（难度等级 ※※※） 梯形 ABCD 被两条对角线分成了四个三角形 S1 、S2、S3、S 4。已知 S 1 =2 厘米 2 ，S2 =6 厘米 2 。求梯形 ABCD 的面积。（小学数学奥林匹克通讯赛决赛试题） 【例 21 】（难度等级 ※※※） 右图中 ABCD是梯形， ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米） ，阴影部分的面积是多 少平方厘米？ 【例 22 】（难度等级 ※※※） 如下图，已知 ABCD是长方形， A、D、E 和 F 在一条直线上， AB＝7， BC＝5， DG＝3。（单位：厘米），求 DE的 长。 O A B D C E . . 【例 23 】（难度等级 ※※※） 将三角形 ABC的 BA边延长 1 倍到 D；CB边延长 2 倍到 E，AC边延长 3 倍到 F，如果三角形 ABC的面积等于 1，那 么三角形 DEF的面积是多少？（ 08 年三帆考题） 【作业】 1、如图，三角形 ABC 被分成了甲 ( 阴影部分 ) 、乙两部分， 4BD DC ， 3BE ， 6AE ，乙部分面积是甲部 分面积的几倍？ 乙 甲 E D CB A 2、已知三角形 ABC 的面积为 1，BE=2AB ， BC=CD ，求三角形 BDE 的面积？ 3、如右图，在梯形 ABCD中， AC与 BD是对角线，其交点 O，求证：△ AOB与△ COD面积相等． . . 4、如右图，已知在△ ABC中， BE=3AE，CD=2AD．若△ ADE的面积为 1 平方厘米．求三角形 ABC的面积． 5、一块长方形的土地被分割成 4 个小长方形，其中三块的面积如图所示（单位：平方米） ，剩下一块的面积应该 是多少平方米？ 6. 下图中大正方形的边长为 3 厘米，小正方形的边长为 2 厘米，求阴影部分的面积。 7、如右图所示，已知三角形 ABC面积为 1，延长 AB至 D，使 BD=AB；延长 BC至 E，使 CE=2BC；延长 CA至 F，使 AF=3AC，求三角形 DEF的面积。 8、如下图，已知 D是 BC的中点， E 是 CD的中点， F 是 AC的中点，且 ADG 的面积比 EFG 的面积大 6 平方 厘米。 ?的面积是多少平方厘米ABC A B CD E F G . .