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- 2022-02-12 发布
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第02讲 归纳与递推
【简述】
归纳：从个别事实→普遍的推理（特殊→一般），总结规律，找出通项
递推：有点枚举的感觉，知道前面的才能知道后面的
【复习常见数列】
【一】等差数列
（一）4个基本公式
1、求第N项/通项：通项首项(项数1)×公差 /
2、求项数：项数(末项-首项)÷公差1 /
3、求和：和(首项末项)×项数÷2 /
当项数为奇数：和中项×项数
当项数为偶数：和首末平均×项数
4、中项定理：项数为奇数：中项(首项末项)÷2
项数为偶数：隐藏中项(首项末项)÷2
（二）2个引申公式
1、天下无双，项数平方：
例如：
2、山顶数列求和，山顶平方：
例如：
【二】其他数列
1、等比数列
（末项的2倍 - 首项）
【思维导图】
【正文】
【一】图形中的找规律
1：如图⑴所示，是一个正方形，分别连接这个正方形各边中点得到图⑵，再分别连接图⑵中的小正方形各边的中点，得到图⑶
（1）填写下表：
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个正方形？多少个三角形？
{解析}（1）+（2）
2：如图，①、②、③、④四个图都称作平面图，观察图①和表中对应数值，探究计数的方法并答：
（1）数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出多少区域，并将结果填入下表：
（2）根据表中数值，写出平面图的顶点数m、边数n、区域数f之间的一种关系：
（3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么根据（2）那么中得出的关系，则这个平面图有________条边．
{解析}（1）填表
（2）
（3）
3：如下图是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字，第二个“上”字，第三个“上”字，如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第90 个“上”字分别需用________枚棋子．
{解析}把图形转换为数列，首项为6，公差为4，即：
4：按下图的方式，用火柴搭成三角形
当三角形个数变为 7 时，火柴棒的根数为________．
{解析}把图形转换为数列，如下表：
第一个图
第二个图
第三个图
第四个图
第N个图
火柴棒个数
3
5
7
9
2n+1
即当n=7时，火柴棒个数为15.
5：图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②的中间的小三角形三边的中点，得到图③．
按上边的方法继续下去，第 100 个图有________个三角形．
{解析}把图形转换为数列，如下表：
操作次数
1
2
3
4
n
三角形个数
1
1+4
即当n=100时，三角形个数为298个.
6：把同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，则第 10 个图形需要黑色棋子的个数是________．
{解析}如下表：
7：有一块地坪，需要铺红砖和白砖，按图示规律排列，已知每个小等边三角形边长为一分米，这块等边三角形地坪的边长为103 分米，问共需多少块红砖？
{解析}除第一层以外，每两层有六边形红色砖，六边形红色砖依次增加，即为1、2、3、……
最后一层：，即最后一层有51个红色正六边形．
总共有：（块）．
8：根据下图中的图形和字母的关系，将 bc 的图补上．
{解析}观察：a表示大圆，b表示小三角，c表示大三角，d表示小圆.
即：
9：有 A、B、C、D，4 张透明胶片，请你根据字母与图形关系将 4 幅图补充完整．
{解析}
10：4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人；开始由甲发球，并作为第一次传球；第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？
【二】兔子数列+兔子数列型
（一）兔子数列
1：每对雌雄小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对雌雄大兔子每个月能生出一对雌雄小兔子来．如果一个人在一月份买了一对雌雄小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？
{解析}第一个月，有1对小兔子；
第二个月，长成大兔子，所以还是1对；
第三个月，大兔子生下一对小兔子，所以共有2对；
第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有3对；
第五个月，两对大兔子生下2 对小兔子，共有5 对；
……
这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，
每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，
所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加． 依次类推可以列出下表：
经过月数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
兔子对数
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
所以十二月份的时候共有144对小兔子.
2：一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝便可每年长出一条新枝，如此下去，十年后树枝将有多少？
{解析}将每年的枝条情况列表如下
经过年数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
新枝数
1
0
1
1
2
3
5
8
13
21
老枝数
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
总枝数
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
今年的新枝数等于去年的老枝数，今年的老枝数等于去年的新枝加去年的老枝这就造成了三个数列都呈现出斐波那契数列的样子，其中总枝数数列正是斐波那契数列：从第3 个数开始，每个数都是它前面两个相邻数的和.
（二）兔子数列型
（三）走台阶
1：一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？
{解析}89
台阶
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
方法
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
2：一楼梯共10 级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10 级，共有多少种不同走法？
{解析}28
台阶
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
方法
1
1
1
2
3
4
6
9
13
19
28
3：一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级、两级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法？
{解析}274
台阶
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
方法
1
1
2
4
7
13
24
44
81
149
274
4：一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级且必过第5级，共有多少种不同走法？
{解析}64
台阶
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
方法
1
1
2
3
5
8
8
16
24
40
64
5：一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级且不过第5级，共有多少种不同走法？
{解析}25
台阶
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
方法
1
1
2
3
5
0
5
5
10
15
25
6：一楼梯共10级，规定每步只能跨质数级，要登上第10级，共有多少种不同走法？
{解析}16
台阶
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
方法
1
0
1
1
1
3
2
6
6
10
16
7：大白有18个鸡蛋，妈妈规定他每天吃2个或3个，吃完共有多少种不同的吃法？
{解析}65
鸡蛋
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
方法
1
0
1
1
1
2
2
3
4
5
7
9
12
16
21
28
37
49
65
8：老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇。如果冬冬每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？
{解析} 927
鸡蛋
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法
1
1
2
4
7
13
24
44
81
149
274
504
927
（四）小蜜蜂回家
1：如下图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
{解析}蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可以运用标数法进行计算．如下图所示，小蜜蜂从A
出发到B 处共有89 种不同的回家方法．
2：如下图，一只蜜蜂从A 处出发，回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
{解析}按照蜜蜂只能从小号码的蜂房爬近相邻大号码的蜂房的原则，运用标号法进行计算．如下图所示，小蜜蜂从A出发到B处共有286种不同的回家方法．
【三】直线分平面
1：观察下图，并阅读图形下面的相关文字：
（1）在上面画出五条直线相交时交点最多的情况，并写出此时的交点数；
（2）猜想22 条直线相交时，最多有________个交点．
{解析}（1）1+2+3+4=10 （2）1+2+3+…+21=231
2：平面上6条直线最多将平面分成几部分．
{解析}22部分
3：平面上2个圆最多能把平面分为多少部分？3个圆呢？4个圆呢？10个圆呢？
{解析}4部分，8部分，14部分，92部分
4：2个三角形最多将平面分成几个部分？3个三角形呢？10个三角形呢？
{解析}8部分，20部分，272部分
5：5个长方形最多可以把平面分成多少个部分？
{解析}82个部分
6：平面上三条直线和两个圆最多能把这个平面分成几部分？
{解析}三条直线最多把平面分成7个部分，再加1个圆，多6个部分（一个圆与一条直线最多有2个交点）；再多加一个圆，多8个部分（两个圆最多有2个交点）；共7+6+8=21个部分.
7：在平面上画5 个圆和1 条直线，最多可把平面分成多少部分？
{解析}先考虑圆．1个圆将平面分成2个部分．这时增加1个圆，这个圆与原有的1个圆最多有两个交点，成为2条弧，每条弧将平面的一部分一分为二，增加了2个部分，所以2个圆最多将平面分成4个部分．当有3个圆时，第3个圆与原有的2个产生4 个交点而增加4 个部分，所以3个圆最多将平
面分成8个部分．同样的道理，5个圆最多将平面分成22个部分．
再考虑直线．直线与每个圆最多有2个交点，这样与5个圆最多有10个交点．它们将直线分成11条线段或射线，而每条线段又将平面的一部分一分为二，2 条射线增加了一部分，
因此5个圆和1条直线最多可将平面分成32 个部分．
【四】附加练习题
1：三角形内部有 2008 个点，将这2008 个点与三角形的三个顶点用线段连结，可以将三角形分割成不重叠的三角形共________．
A．4017 个 B．2008 个 C．4016 个 D．6024 个
{解析}A（3+20072=4017）
2：汉诺塔
汉诺塔层数
1
2
3
4
5
……
步骤数
1
3
7
15
31
……
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