小学数学精讲教案6_1_3 还原问题（一） 教师版 13页

本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用 倒推法解决问题． 1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题． 2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题． 3. 培养学生“倒推”的思想． 一、还原问题 已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以 新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题． 还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的 叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推． 二、解还原问题的方法 在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反． 方法：倒推法。 口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数． 关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变 减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号. 模块一、计算中的还原问题 【例 1】 一个数的四分之一减去 5，结果等于 5，则这个数等于_____。 【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第 3 题 【解析】方法一：倒推计算知道，一个数的四分之一是 ，所以这个数是 。 方法二：令这个数为 ,则 ，所以 。 【答案】 【例 2】 某数先加上 3，再乘以 3，然后除以 2，最后减去 2，结果是 10，问：原数是多少？ 【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 6-1-2.还原问题（一） 教学目标 知识点拨 例题精讲 10 10 4=40× x 1 5 54 − =x 40=x 40 【解析】分析时可以从最后的结果是 10 逐步倒着推。这个数没减去 2 时应该是多少？没除以 2 时应该是多 少？没乘以 3 时应该是多少？没加上 3 时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没减 去 2 ，此数是： ，如果没除以 2 ，此数是： ，如果没乘以 3 ，此数是： ，如果没加上 3，此数是： ，综合算式 ，原数是 5. 【答案】 【巩固】 (2008 年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上 ，然后乘以 ，再减去 ， 最后除以 ，所得的商还是 ，那么这个数是 。 【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法 【解析】将最终结果进行逆推，得： 【答案】 【巩固】 一个数减 16 加上 24，再除以 7 得 36，求这个数．你知道这个数是几吗? 【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 . 【答案】 【巩固】 少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以 5，再减去 25，还剩 25，你算一 算，共采集了多少个树种子? 【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 (个)，即共采集了 250 个树种子. 【答案】 【例 3】 学学做了这样一道题：某数加上 10，乘以 10，减去 10，除以 10，其结果等于 10，求这个数．小 朋友，你知道答案吗？ 【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果 10，应用逆推法，由结果 10， 根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算． ， ， ， 综合算式为： 所以这个数为 1. 解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆 运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号， 这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法． 【答案】 【巩固】 学学做了这样一道题：一个数加上 3，减去 5，乘以 4，除以 6 得 16，求这个数．小朋友，你知道 答案吗？ 【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果 16，应用逆推法，由结果 10， 根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算． 综合算式为： 【答案】 【巩固】 一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去 后，缩小 倍， 再加上 后，扩大 倍，恰好是 分”．小刚这次竞赛得了多少分？ 10 2 12+ = 12 2 24× = 24 3 8÷ = 8 3 5− = ( )10 2 2 3 3 5+ × ÷ − = 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 1（ ）× + ÷ − = 1 36 7 24 16 244× − + = 244 25 25 5 250（ ）+ × = 250 10 10 100× = 100 10 110+ = 110 10 11÷ = 11 10 1− = 10 10 10 10 10 100 10 10 10 110 10 10 11 10 1（ ） （ ）× + ÷ − = + ÷ − = ÷ − = − = 1 16 6 4 5 3 96 4 5 3 24 5 3 29 3 26× ÷ + − = ÷ + − = + − = − = 26 6 2 10 2 100 【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】从最后一个条件“恰好是 分”向前推算．扩大 倍是 分，没有扩大 倍之前应是 (分)，加上 后是 分，没有加上 前应是 (分)，缩小 倍是 分，那么没有缩小 倍 前应是 (分)，减去 后是 分，没有减去 前应是 (分)．综合列式为： (分)，所以，小刚这次竞赛得了 分． 【答案】 【例 4】 牛老师带着 37 名同学到野外春游．休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答： “我的年龄乘以 2，减去 16 后，再除以 2，加上 8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋 友们，你知道牛老师今年多少岁吗? 【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即 38 倒着往前推．这个数没加上 8 时应是 多少？没除以 2 时应是多少？ 没减去 16 时应是多少？没乘以 2 时应是多少？ 这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数．没加上 8 时应是： ；没除以 2 时应是： ； 没 减 去 16 时 应 是 ： ； 没 乘 以 2 时 应 是 ： ， 即 (岁). 【答案】 岁 【巩固】 小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去 8，乘以 7，加上 6，除以 5，正好 等于 4. 请你算一算，我今年几岁？” 【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】分析时可以从最后的结果是 4 逐步倒着推。这个数没除以 5 时应该是多少？没没加上 6 时应该是多 少？没乘以 7 时应该是多少？没减去 8 时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。 如果没除以 5，此数是： 如果没加上 6，此数是： 如果没乘以 7，此数是： 如果没减去 8，此数是： 综合算式： （岁） 答：小康今年 10 岁。 【答案】 岁 【巩固】 在小新爷爷今年的年龄数减去 15 后,除以 4,再减去 6 之后,乘以 10,恰好是 100,问:小新爷爷今年多 少岁数? 【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】采用倒推法， （岁）. 【答案】 岁 【巩固】 学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：“你一定不到 100 岁吧！”谁知这位神仙 摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上 75，再除以 5，然后减去 15，再乘以 10，恰好是 2000 岁．”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？ 【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】这就是一个还原问题，可以用倒推法解决．从结果“2000”逐步倒着推，没乘 10 时是多少？没减去 15 时是多少？没除以 时是多少？没加 75 时是多少？这样依次倒推，就可以知道神仙的年龄了． ⑴ “乘以 10，恰好是 2000”，不乘 10 时，应该是： ⑵ “减去 15”是 200，不减 15 时，应该是： ⑶ “除以 5”是 215，不除以 5，应该是： ⑷ 现在的年龄加上 75 是 1075，如果不加 75，这个数是： 也就是神仙现在的年龄是 1000 岁． 验算：按原题顺序进行列式计算，看最后是否等于 2000，如果等于 2000，则解题正确． 4 5 20× = 20 6 14− = 14 7 2÷ = 2 8 10+ = ( )4 5 6 7 8 10× − ÷ + = 100 2 100 2 100 2 50÷ = 10 50 10 50 10 40− = 2 40 2 40 2 80× = 6 80 6 80 6 86+ = (100 2 10) 2 6 40 2 6 86÷ − × + = × + = 86 86 38 8 30− = 30 2 60× = 60 16 76+ = 76 2 38÷ = [ 38 8 2 16] 2 38（ ）− × + ÷ = 38 10 (100 10 6) 4 15 79÷ + × + = 79 5 2000 10 200÷ = 200 15 215+ = 215 5 1075× = 1075 75 1000− = ， ， ， ． 【答案】 岁 【例 5】 在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数，就把它除 以 2；如果输入的数是奇数，就把它加上 3．同样的运算这样进行了 3 次，得出结果为 27．原 来输入的数可能是 ． 【考点】计算中的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法，第七届，小数报 【解析】本题用倒推法解．最后结果是 27，上一步的结果是 54，再上一步的结果是 108 或 51，原来输入的 数是 216，105，102．思路如下： 【答案】 或 或 ，答案不唯一 【例 6】 假设有一种计算器，它由 A、B、C、D 四种装置组成，将一个数输入一种装置后会自动输出 另一个数。各装置的运算程序如下： 装置 A：将输入的数加上 6 之后输出；装置 B：将输入 的数除以 2 之后输出；装置 C：将输入的数减去 5 之后输出；装置 D：将输入的数乘以 3 之 后输出。这些装置可以连接，如在装置 A 后连接装置 B，就记作：A→B。例如：输人 1 后， 经过 A→B，输出 3．5。(1)若经过 A→B→C→D，输出 120，则输入的数是多少?(2)若经过 B→D→A→C，输出 13，则输入的数是多少? 【考点】计算中的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第 16 题，可逆思想方法 【解析】方法一：逆向考虑。（1）输入到 D 的数为 120÷3=40，输入到 C 的数为 40+5=45，输入到 B 的数为 45×2=90，所以输入到 A 的数是 90-6=84。（2）输入到 C 的数是 13+5=18，输入到 A 的数是 18-6=12， 输入到 D 的数是 12÷3=4，所以输入到 B 的数是 4×2=8。 方 法 二 ： (1) 设 输 入 的 数 是 x ， 则 ( 解 得 ， x=84 。 (2) 设 输 入 的 数 是 y ， 则 ，解得 y=8 【答案】（1） ；（2） 【例 7】 哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的 6 错写成 9，减数个位上的 9 错写成 6， 最后所得的差是 577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？ 【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】被减数十位上的 6 变成 9，使被减数增加 ，差也增加了 30；减数个位上的 9 错写成 6， 使减数减少了 ，这样又使差增加了 3，这道题可以说成：正确的差加上 30 后又加上 3 得 577，求正确的差．所以列式得： ．这题的正确答案应该是 544． 【答案】 【巩固】 小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的 看作 ，十位上的 看作 ，结果和是 ，那么 正确的结果应该是多少呢？ 【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数(正确答案)，由于小马虎两次错误的计算，变成了另一个数 (错误结果)，我们知道引起这种变化的原因是： ①把个位上的 看作 ，这就相当于把正确答案减少了 ②把十位上的 看作 ，这就相当于把正确答案增加了： 这样原题就变成了“一个数减去 ，再加上 ，所得结果是 ，求这个数．”我们只要把少加的加上， 多加的减去，就可以求出正确的结果： 1000 75 1075+ = 1075 5 215÷ = 215 15 200− = 200 10 2000× = 2000 216108 105 5427 10251 48( 24( ) 不合 意) 不合 意               216 105 102 6 5 3=1202 x + − ×   3 6 5=132 y × + − 84 8 90 60 30− = 9 6 3− = 577 9 6 90 60 544（ ）（ ）− − − − = 544 9 6 6 9 174 9 6 9 6 3− = 6 9 10 9 6 30（ ）× − = 3 30 174 174 9 6 10 9 6 174 3 30 147（ ） （ ）+ − − × − = + − = 【答案】 【巩固】 淘气在做一道减法时，把减数个位上的 9 看成了 3，把十位上的 4 看成了 7，得到的结果是 164，请 你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢? 【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 或 . 【答案】 【巩固】 小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的 5 看作 9，把十位上的 8 看作 3，结果所得的和是 123．正确的答案是多少？ 【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】倒推法，把个位上的 5 看作 9，相当于把正确的和多算了 4，求正确的和，应把 4 减去；把十位上的 8 看作 3，相当于把正确的和少算了 50，求正确的和，应把 50 加上去．所以正确的和是： .即： . 【答案】 模块二、单个变量的还原问题 【例 8】 一只猴吃 63 只桃，第一天吃了一半加半只，以后每天吃前一天剩下的一半再加半只，则 _________ 天后桃子被吃完。 【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】通过画表格的方式,可知答案是 6. 【答案】 天 【例 9】 乒乓球从高空落下，到达地面后弹起的高度是落下高度的一半，如果乒乓球从 8 米的高度落下， 那么弹起后再落下，则弹起第_______次时它的弹起高度不足 1 米。 【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，三年级，初赛，可逆思想方法 【解析】弹起第一次时变为 4 米，弹起第二次时变为 2 米，弹起第三次时变化为 1 米，第 4 次弹起时不足 1 米，所以弹起第 4 次时不足 1 米。 【答案】 次 【例 10】 李奶奶卖一筐鸡蛋，第一位客人买走了一半少 2 个，第二位客人又买走了剩下的一半多 2 个，第 三位客人把剩下的 5 个鸡蛋全部买走了．老婆婆的篮子里原来有 个鸡蛋． 【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，1 年级，第 12 题，可逆思想方法 【解析】用倒堆的方法，第二位客人没有买走之前共有 （个），第一位客人没买走之前就是 （个）， （个）． <考点> 数学方法倒退法 【答案】 个 【巩固】 小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又 10 页，第二天看了余下的一半又 10 页，第三天看 了 10 页正好看完。这本故事书共有 页。 【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第 13 题，可逆思想方法 【解析】第三天看的 10 页等于第一天看了余下的一半少 10 页，所以第一天看了余下了（10+10）×2=40 页， 所以原来有（40+10）×2=100 页. 【答案】 页 【例 11】 学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多 2 米，第二次用去余下 的一半少 10 米，第三次用去 15 米，最后还剩 9 米，那么这根绳子原来有多少米呢？ 147 164 (73 49) 188+ − = 164 6 30 188− + = 188 123 50 4 169+ − = 123 (80 30) (9 5) 169+ − − − = 169 6 4 7 7 14+ = 14 2 12− = 12 12 24+ = 24 100 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】根据题意，画图倒推分析： (米) (米) (米) 所以，这根绳子全长 60 米． 【答案】 米 【巩固】 一个人沿着公园马路走了全长的一半后，又走了剩下路程的一班，还剩下 1 千米，问：公园马路全 长多少千米？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】如图： 采取倒推的方法，1 千米是第一次剩下的路程的一半，所以第一次剩下路程就是 （千 米）。而第一次剩下的路程 2 千米又是全程长的一半，所以全程长为 （千米）。 答：公园马路全长为 4 千米。 【答案】 千米 【巩固】 一捆电线，第一次用去全长的一半多 3 米，第二次用去余下的一半少 10 米，第三次用去 15 米，最 后还剩 7 米。这捆电线原来有多少米？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】为了帮助同学们分析数量关系，可依照题意画出右图。从线段图上可以看出： （1） （米），就是第一次用去后余下的一半。 （2） （米），就是余下的电线长度。 （3） （米），就是全长的一半。 （4） （米），就是原来电线的长度。 综合列式计算： （米） 还剩9米用去15米 第三次 一半10米 剩下24米用去 第二次 剩下28米 第一次 2米一半 用去 1 2 2× = 2 2 4× = 7 15 10 12+ − = 12 2 24× = 24 3 27+ = 27 2 54× = 54= 15 9 24+ = 24 10 2 28（ ）− × = 28 2 2 60（ ）+ × = 60 4 ( )7 15 10 2 3 2 + − × + ×  (12 2 3) 2= × + × 27 2= × 答：这捆电线原来有 54 米。 【答案】 米 【巩固】 甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又 10 个，第二天又加工了剩下的一半又 10 个， 还剩下 25 个没有加工，问：这批零件有多少个？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】如右图所示，按照图与题目的条件， 可以有如下算式： （个）， （个）， （个）， （个）列综合算式： ，答：这批零件共有 160 个。 【答案】 个 【巩固】 食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少 千克，第二天吃了余下的一半少 千克，最后剩下 千克．这批大米共有多少千克？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】列式为： (千克) 【答案】 千克 【巩固】 山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多 2 个，第二天又偷吃了剩下的一 半多 2 个，这时还剩 1 个，问：树上原来有多少个桃子？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 (个). 【答案】 个 【例 12】 盒子里有若干个球。小明每次拿出盒中的一半再放回一个球。这样共操作了 次，袋中还有 个球。 袋中原有（ ）个球。 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛 【解析】倒退法：如，第 7 次操作前，还剩 个球。 【答案】 个球 【例 13】 有一个培养某种微生物的容器，这个容器的特点是：往里面放入微生物，再把容器封住，每过一 个夜晚，容器里的微生物就会增加一倍，但是，若在白天揭开盖子，容器内的微生物就会正好减 少 16 个。小丽在实验的当天往容器里放入一些微生物，心急的她在第二、三、四天斗开封看了看， 到第五天，当她又启封查看时，惊讶地发现微生物都没了。请问：小丽开始往容器里放了 个 微生物？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 15 题 【解析】还原倒推：0←16←8←24←12←28←14←30←15 所以原来容器内放了 15 个微生物. 【答案】 个 【例 14】 小丽用 4 元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去第二 次剩下的钱的一半多 1 元，最后还剩 4 元，问：小丽原有多少钱？ 25 10 35+ = 35 2 70× = 70 10 80+ = 80 2 160× = 10066341810643 第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次 54 [ ](25 10) 2 10 2 160+ × + × = 160 28 8 122 [ 122 8 2 28] 2 200 2 400（ ）− × − × = × = 400 2 [ 1 2 2 2] 16（ ）× + × + = 16 7 3 ( )3 1 2 4− × = 4 15 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】用倒推法，第二次剩下的一半是 （元），第二次剩下 （元），第一次剩下 （元），原来有 （元）。列综合算式： 答：小丽原有 24 元。 【答案】 元 【巩固】 有一筐苹果，甲取出一半又 1 个；乙取出余下的一半又 1 个；丙取出再余下的一半又 1 个，这时筐 里只剩下 1 个苹果。这筐苹果共值 6 元 6 角，问每个苹果平均值多少钱？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 从上面的线段图可以看出： 最后剩下的 1 个再加上丙取出的 1 个就是再余下的一半，即 2 个是再余下的一半，因此，再余下的 就是 （个）；4 个再加上乙取出的 1 个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是 （个）；10 个再加上甲取出的 1 个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是 （个）。22 个 苹 果 共 值 6 元 6 角 ， 于 是 可 求 出 每 个 苹 果 平 均 值 多 少 钱 ？ 先 求 有 多 少 个 苹 果 ： （个）再求每个苹果平均值多少钱： （角），每个苹果平均 值 3 角钱。 【答案】 角 【例 15】 思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，这时还剩下 8 米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】根据题意，画出线段图，倒推分析． (米) (米) 所以这段五彩布原来长 米． 【答案】 米 【巩固】 一群蚂蚁搬家，原存一堆食物．第一天运出总数的一半少 12 克．第二天运出剩下的一半少 12 克， 结果窝里还剩下 43 克．问蚂蚁家原有食物多少克? 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】采用倒推法，教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出 12 克，就是剩下的一半，所以第 一天运出后，剩下的一半重量是 (克)；这样，第一天运出后剩下的重 (克).那么 同理，一半的重量是 (克)，原有食物 (克).即 (克). 4 1 5+ = 5 2 10× = 10 2 20× = 20 4 24+ = ( )4 1 2 2 4 24+ × × + = 2 2 4× = 5 2 10× = 11 2 22× = 66 22 3÷ = 剩下8米剪去一半第二次 剩下16米剪去一半 第一次 24 [ ]{ }2 1 2 22（1+1） 2+1× × + × = 3 8 2 16× = 16 2 32× = 32 32 43 12 31− = 31 2 62× = 62 12 50− = 50 2 100× = [ 43 12 2 12] 2 100（ ）− × − × = 【答案】 克 【巩固】 一捆电线，第一次用去全长的一半多 3 米，第二次用去余下的一半少 10 米，第三次用去 15 米，最 后还剩 7 米，这捆电线原有多少米？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】由逆推法知，第二次用完还剩下 (米)，第一次用完还剩下 (米)，原来电线 长 (米)， (米). 【答案】 米 【例 16】 工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多 米，第二天修了余下的一半少 米，第三天修 了 米，此时还剩下 米没有修，则这条小路长 米。 【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法，2008 年，陈省身杯 【解析】如图 所示，先根据线段图理清数量关系，可得全长为： （米）。 【答案】 米 【巩固】 修建一条下水道，第一周修了全长的一半多 米，第二周修了剩下的一半少 米，第三周修了 米，最后还剩 米，这条下水道长多少米？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】如下图，从图中可知 是第一周修后余下的一半， 米是下水道全长的一 半． 列式为： (米)，所以，这条下水道长 米．画图法的关键： 标好有倍数关系的位置。 【答案】 米 【例 17】 货场原有煤若干吨。第一次运出原有煤的一半，第二次运进 450 吨，第三次又运出现有煤的 一半又 50 吨，结果剩余煤的 2 倍是 1200 吨。货场原有煤多少吨？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】这道题由于原有煤的总吨数是未知的，所以要想顺解是很不容易的，我们先看图 4，然后再分析。 100 15+7 22= (22 10) 2 24− × = (24 3) 2 54+ × = (15 7 10) 2 3 2 54+ − × + = × = 54 6 20 30 14 1 ( )14 30 20 2 6 2 108 + − × + × =  108 12 12 30 18 30 18 12 36+ − = 36 2 12 84× − = [ 30 18 12 2 12] 2 84 2 168（ ）+ − × + × = × = 168 168 结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可以跃然纸上，使学生们一目了然。 根据“剩余煤的 2 倍是 1200 吨”，就可以求剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤的一半又 50 吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；用现有煤 的吨数减去第二次运进的 450 吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少吨。 （1）剩余煤的吨数是： （吨） （2）现有煤的一半是： （吨） （3）现有煤的吨数是： （吨） （4）原有煤的一半是： （吨） （5）原有煤的吨数是： （吨） 答：货场原来有煤 1700 吨。 【答案】 吨 【例 18】 从前，有一位樵夫，整天幻想着遇见神仙，求得一种不花气力就能发财的窍门．一天，有一位 老人突然来到樵夫面前，对他说：“你不是想见到神仙吗？”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天 柴，累的要死要活，才卖的这么几个钱．您老人家神通广大，恳求您指点，使我可以不费力气 就能得到钱吧！”老人指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始，你只要从那座桥上每走 一个来回，口袋里的钱都会增长一倍，但是每次回来都要付给我 24 个钱作为报酬．”樵夫高兴 的在桥上走了一个来回，他数一数口袋里的钱，果然增长了一倍．他拿出 24 个钱交给神仙，然 后又向桥上走去，等到他第三次回来，把 24 个钱交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都 没有了．正当他焦急不安的时候，神仙按原数把钱留下飘然而去，并留下一句话：“年轻人，不 劳而获可不行啊！”故事读完了，小朋友们，你能不能算出，樵夫原来有多少钱呢？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】这个故事里包含的算题是：樵夫每次在桥上走一个来回，口袋里面的钱会增长 1 倍，樵夫第三次回 来，交付 24 个钱给神仙后，他的口袋里就一无所有了．问樵夫原来有多少钱？我们可以倒着想，最 后樵夫从桥上回来后，口袋里面只有 24 个钱，第二次交给神仙后有 （个）钱，从桥上回 来后有： （个）钱，也就是第一次交给神仙后还剩： （个）钱，第一次从桥 上回来后有： （个）钱，所以樵夫一开始有： （个）钱． 【答案】 个 【巩固】 有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走 过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我 32 个铜板．”财 迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老 人 32 个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后 32 个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问： 财迷身上原有多少个铜板？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】第五次回来时有 32 个铜板，表明第五次走时有 16 个铜板（因为走到桥对面钱数要增加一倍），又表 明第四次回来时有 48 个铜板（因为要给老人 32 个铜板）……依次类推即可．推算过程可列表如下： 1200 2 600÷ = 600 50 650+ = 650 2 1300× = 1300 450 850− = 850 2 1700× = 1700 24 2 12÷ = 12 24 36+ = 36 2 18÷ = 18 24 42+ = 42 2 21÷ = 21 所以原来有 个铜板． 【答案】 个 【巩固】 某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞 到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里， 使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了 3 个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是 64 枚一元的硬 币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】已知这个人和钱箱里最后都有 64 元，采用倒推法解题，列表如下： 所以最开始这个人身上有 43 元，箱子里有 85 元． 【答案】 元 【例 19】 学学和思思见到一种神奇的虫子，它每小时就长一倍，1 天能长到 20 厘米，聪明的小朋友，你知 道小虫长到 5 厘米时需要多少小时吗？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】小虫每小时长一倍的意思是：第二个小时的身长是第一个小时的 2 倍，第三个小时的身长是第二个 小时的 2 倍，第四个小时的身长是第三个小时的 2 倍，……1 天是 24 个小时，从 24 小时能长到 20 厘米开始，往前倒推，当长到 (厘米)时，就是第 23 个小时，以此倒推． (方法一)用倒推法解： (厘米)， (小时) (方法二)用列表倒推法解： 【答案】 小时 【例 20】 桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半 个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有 100 个桃了.那么园中原有多 少桃？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】第三群猴没吃，相应有桃： (个) 第二群猴没吃，相应有桃： (个) 第一群猴没吃，相应有桃(即桃园中原有桃)： (个) 【答案】 个 【巩固】 山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多 2 个，第二天又偷吃了剩下的一 半多 2 个，这时还剩 1 个，问：树上原来有多少个桃子？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 31 31 85 20 2 10÷ = 20 2 2 5÷ ÷ = 24 1 1 22− − = 22 (100 0.5) 2 201+ × = (201 0.5) 2 403+ × = (403 0.5) 2 807+ × = 807 【关键词】可逆思想方法 【解析】 (个). 【答案】 个 【巩固】 某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与现在的水 果同样多，已知原有的水果 800 千克，求原有的蔬菜多少千克？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】可逐步算出：运进水果 （千克），现有水果 （千克），原有蔬菜 （千克）。 【答案】 千克 【例 21】 玩具店的玩具每卖出一半，就补充 20 个，到第十次卖出一半后恰好余下 20 个，则玩具店原有玩 具___个。 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 4 题，可逆思想方法 【解析】20×2=40，40÷2+20=40，所以前 9 次每次都剩 40 个，原有也是 40 个。 【答案】 个 【巩固】 牧羊人赶一群羊过 10 条河，每过一条河时都有一半的羊掉入河中，每次他都捞上 3 只，最后清查 还剩 6 只。这群羊在过河前共有 只。 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 6 题 【解析】用还原法，过第 10 条河之前，有（6-3）×2＝6 只，因此他过每一条河之前都有 6 只羊，最初也共有 6 只。 【答案】 只 【巩固】 牧羊人赶一群羊过 10 条河，每过一条河时都有三分之一的羊掉人河中，每次他都捞上 3 只，最后 清查还剩 9 只。这群羊在过河前共有________只。 【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第 4 题 【解析】采用逆推的方法，最后剩的 9 只羊中有 3 只是上一次捞上来的，有 6 只是上次没有掉入河中的，也 就是上次全部羊的 ，那么可知前一次过河前羊的数量也是 9 只，同理可得最初羊的总数也是 9. 【答案】 只 【例 22】 甲、乙、丙三人一起去钓鱼，他们将钓得的鱼放在一个鱼篓中，就在原地躺下休息，结果都睡着 了。甲先醒来，他将鱼篓中的鱼平均分成 3 份，发现还多一条，就将多的这条鱼扔回河中，拿着 其中的一份鱼回家了。乙随后醒来，他将鱼篓中现有的鱼平均分成 3 份，发现还多一条，也将多 的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份鱼回家了。丙最后醒来，他也将鱼篓中的鱼平均分成 3 份， 这时也多一条鱼。这三个人至少钓到__________条鱼。 【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，一试，第 12 题 【解析】根据题意画图分析如下： 当 时， ，无法被 2 整除 当 时， ，无法被 2 整除 当 时， ， ∴ 三人至少钓得 【答案】 条 【巩固】 有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又 800 2 400÷ = 800 400 1200+ = 1200 2 2400× = 2 [ 1 2 2 2] 16（ ）× + × + = 16 2400 40 6 2 3 9 1=a 2 3 1 7⇒= + =b b 2=a 3 1 7+ =a 3=a ( )3 1 2 5= + ÷ =b a ( )3 1 2 8= + ÷ =c b ( )3 8 1 25 条× + = 25 一枚；剩下的再四等分又剩一枚.问：原来至少有多少枚棋子？ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为 1 枚.由此逆推，得到第三次分之前有 (枚)， 第二次分之前有 (枚)，第一次分之前有 (枚).所以原来至少有 85 枚棋子. 【答案】 枚 1 4 1 5× + = 5 4+1 21× = 21 4+1=85× 85