小学数学精讲教案6_1_25 周期问题 教师版 13页

1. 掌握各种周期问题的求解方法． 2. 培养学生观察、分析和逻辑推理能力。 知识点说明： 周期问题： 周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的 时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期. 分类： 1．图形中的周期问题； 2．数列中的周期问题； 3．年月日中的周期问题． 周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题 的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几 问题等。 ⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期， 结果就为周期里的最后一个； 例如：1，2，1，2，1，2，…那么第 18 个数是多少？ 这个数列的周期是 2， ，所以第 18 个数是 2． ⑵如果比整数个周期多 个，那么为下个周期里的第 个； 例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第 16 个数是多少？ 这个数列的周期是 3， ，所以第 16 个数是 1． ⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算． 例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第 16 个数是多少？ 这个数列从第二个数开始循环，周期是 2， ，所以第 16 个数是 2． 板块一、图形中的周期问题 【例 1】 小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列： ●●○●●○●●○… 你知道它们所排列的这些小球中，第 90 个是什么球？第 100 个又是什么球呢？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2 个黑球，1 个白球；2 个黑球，1 个白 球；……也就是按“2 个黑球，1 个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为 3（2 个黑球， 1 个白球）．再看看 90、100 里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的 最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为 ，正好 有 30 个周期，第 90 个是白球． …1，有 33 个周期还多 1 个，所以，第 100 个是黑 球． 【答案】第 90 个是白球，第 100 个是黑球 【巩固】 美美有黑珠、白珠共 102 个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序 教学目标 知识精讲 18 2 9÷ = n n 16 3 5 1÷ = ⋅⋅⋅ (16 1) 2 7 1− ÷ = ⋅⋅⋅ 例题精讲 90 3 30÷ = 100 3 33÷ = 周期问题 排列的： ○●○○○●○○○●○○○…… 那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？ 美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4 个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我 们先算出 102 个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个 珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．因为 …2，所以最后一个珠子是第 26 个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有 1 个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共 有 （个） 【答案】最后一个珠子是黑色的，黑色珠子在这串珠子中共有 个 【巩固】 黑珠、白珠共 101 颗，穿成一串，排列如下图。这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____色的,这 种颜色的珠子在这串中共有_____颗. 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】观察图形可知从第二个珠子开始每隔 3 个出现一个黑色的，即 4 个一循环。所以：（101－1） ÷4=25，判定最后一个为黑色，共有 25 颗。 【答案】最后一个珠子是黑色的，黑色珠子在这串珠子中共有 个 【巩固】 ★○○○★★○○○★★○○○……这样的一排图形中第 87 个是什么图形，在 87 个图形中一 共有多少个五角星？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 …2．第 87 个图形是圆形． （个）． 【答案】 【例 2】 甲、乙、丙三个网站定期更新，甲网站每隔一天更新 1 次；乙网站每隔两天更新 1 次，丙网站 每隔三天更新 1 次。在一个星期内，三个网站最多更新 次。 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】希望杯，五年级，二试 【解析】甲最多 4 次，乙最多 3 次，丙最多 2 次，和为 9 次 【答案】 【例 3】 小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列． ⑴第 73 颗是什么颜色的？ ⑵第 10 颗黄珠子是从头起第几颗？ ⑶第 8 颗红珠子与第 11 颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有 5 颗． (组)……3(颗)，第 73 颗是第 15 组的第 3 颗，所以是蓝色的． ⑵第 10 颗黄珠子前面有完整的 9 组，一共有 (颗)珠子．第 10 颗黄珠子是第 l0 组的第 2 颗，所以它是从头数的第 47 颗．列式： (颗) ⑶第 8 颗红珠子与第 11 颗红珠子之间一共有 14 颗珠子．第 8 颗红珠子与第 11 颗红珠子之间有 完整的两组(第 9、10 组)，共 l0 颗珠子，第 8 颗红珠子后面还有 4 颗珠子，所以是 14 颗．列式： (颗)． 【答案】⑴蓝色 ⑵ ⑶ 【巩固】 在一根绳子上依次穿 2 个红珠、2 个白珠、5 个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到 第 50 颗，那么其中白珠有多少颗？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 …5． （个）． 【答案】 102 4 25÷ = 25 1 26+ = 26 25 87 (2 3) 17÷ + = 17 2 1 35× + = 35 35 73 5 14÷ = 5 9 45× = 5 9 2× + 45 2= + 47= 5 2 4× + 10 4 14= + = 47 14 50 (2 2 5) 5÷ + + = 5 2 2 12× + = 12 【例 4】 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照 5 盏红灯、再接 4 盏蓝灯、再接 1 盏黄灯，然后　又是 5 盏红灯、4 盏蓝灯、1 盏黄灯、……这样排下去．问： ⑴第 150 盏灯是什么颜色？ ⑵前 200 盏彩灯中有多少盏蓝灯？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】⑴街上的彩灯按照 5 盏红灯、再接 4 盏蓝灯、再接 1 盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个 周期就是 （盏）灯． ，150 盏灯刚好 15 个周期，所以第 150 盏应 该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯． ⑵如果是 200 盏灯，就是 的周期．每个周期都有 4 盏蓝灯， （盏） 前 200 盏彩灯中有 80 盏蓝灯． 【答案】⑴黄色 ⑵80 【巩固】 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就 是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏彩灯．那么第 73 盏灯是什么颜色的灯？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是： 1，5，9，13，……，这些编号被 4 除所得的余数都是 1． ，即 73 被 4 除的余数 是 1，因此第 73 盏灯是白灯． 【答案】白灯 【巩固】 按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第 100 个三角形是什么颜色的？在这 100 个三角形中有 多少个白色的三角形？ △△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲…… 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】从图中可以看出，按照 6 个为一个周期，因为 …4，所以第 100 个三角形应该是这一 个周期当中的第四个，应该是黑色的．每个周期里有 3 个白色的，一共有 16 个周期就有 48 个白 色三角形，余下的 4 个三角形中还有 3 个白色的，所以一共有 个． 【答案】 【巩固】 流水线上给小木球涂色的次序是：先 5 个红、再 4 个黄、再 3 个绿、在 2 个黑、再 1 个白，然 后又依次是 5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白……如此继续涂下去，到第 2003 个小球该涂什么颜色？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】小木球的涂色顺序是：“5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白”，也就是每涂过“5 红、4 黄、3 绿、2 黑、 1 白”循环一次，给小木球涂色的一个周期是 ，因此只要用 2003 除以 15， …8 根据余数是 8 就可以判断：第 2003 个小木球出现在上面所列一个周期中第 8 个，所以第 2003 个小球是涂黄色． 【答案】涂黄色 【例 5】 奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎 你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第 28 个字是什么字？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即 5 个字为一个周期．因为 …3，所以 28 个 字里含有 5 个周期还多 3 个字，即第 28 个字就是所列一个周期中的第 3 个字，所以第 28 个字是 “欢”字． 【答案】“欢” 【巩固】 在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林）， 那么第 50 组是什么？ 新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运…… 奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会…… 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】要知道第 50 组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第 50 个字分别应该是什么．第 一行“新北京新奥运”是 6 个字一个周期， …2，第 50 个字就是北．再看第二行“奥林匹 克运动会”是 7 个字一个周期， …1，第 50 个字就是奥．把第一行和第二行合在一起， 第 50 组就是“北奥”． 5 4 1 10+ + = 150 (5 4 1) 15÷ + + = 200 (5 4 1) 20÷ + + = 20 4 80× = 73 4 18 1= × + 100 6 16÷ = 16 3 3 51× + = 51 5 4 3 2 1 15+ + + + = 2003 15 133÷ = 28 5 5÷ = 50 6 8÷ = 50 7 7÷ = 【答案】“北奥” 【例 6】 小莉把平时积存下来的 200 枚硬币按 3 个 1 分，2 个 2 分，1 个 5 分的顺序排列起来． ⑴最后 1 枚是几分硬币 ⑵这 200 枚硬币一共价值多少钱？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】⑴每个周期有 枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以 6，根据余数来判断 ……2，所以最后一枚是 1 分硬币 ⑵每个周期中 6 枚硬币共价值 （分），用这个数乘以周期次数再加上余下的， 就可以得到一共价值多少了 （分），所以，这 200 枚硬币一共价值 398 分． 【答案】⑴1 分硬币 ⑵398 分 【巩固】 桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共 19 枚硬币．问：最 后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 …1, …2,所以,第 19 枚硬币是一角的,第 14 枚硬币是五角的． 【答案】最后一个是一角的,第十四个是五角的 【例 7】 有 249 朵花，按 5 朵红花，9 朵黄花，13 朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？ 这 249 朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】这些花按 5 红、9 黄、13 绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有 （朵）花．因为 ……6，所以，这 249 朵花中含有 9 个周期还余下 6 朵花．按花的排列规律，这 6 朵 花中前 5 朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在 249 朵花中，自然也是绿花最多，红花最少．少几朵呢？有两种解法： （方法 1） ……6 红花有： （朵）绿花有： （朵）红花比绿花少： （朵） （方法 2） ……6，一个周期少的： （朵）， （朵），余下的 6 朵中还有 5 朵红花，所以 （朵）. 【答案】红花最少，少 朵 【巩固】 如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我， ”，第二组是“们， ”…… 我 们 爱 科 学 我 们 爱 科 学 我 …… …… ⑴写出第 62 组是什么？ ⑵如果“爱， ”代表 1991 年，那么“科， ”代表 1992 年……问 2008 年对应怎样的组？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】⑴要求第 62 组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我们爱 科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“ ”七个字母为一个周期 ……2 , ……6，所以第 62 组是“们， ” ⑵2008 是 1991 之后的第 17 组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按 “ ” 七个字母为一个周期： （组）， ……2 ……3，所以 2008 年对应的组为“学， ”． 【答案】⑴第 62 组是“们， ” ⑵2008 年对应的组为“学， ” 【例 8】 如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是 1 米，A、B、C 三点周围的阴影部分是圆形的水洼。一只小鸟 飞来飞去，四处觅食，它最初停留在 0 号位，过了一会儿， 它跃过水洼，飞到关于 A 点对称的 1 号位；不久，它又飞到 关于 B 点对称的 2 号位；接着，它飞到关于 C 点对称的 3 号 位，再飞到关于 A 点对称的 4 号位，……，如此继续，一直 3 2 1 6+ + = 200 6 33÷ = 1 3 2 2 1 5 12× + × + × = 12 33 2 398× + = 19 6 3÷ = 14 6 2÷ = 5 9 13 27+ + = 249 27 9÷ = 249 (5 9 13) 9÷ + + = 5 9 5 50× + = 13 9 117× = 117 50 67− = 249 (5 9 13) 9÷ + + = 13 5 8− = 9 8 72× = 72 5 67− = 67 A B A B C D E F G A B C D C D ABCDEFG 62 5 12÷ = 62 7 8÷ = F DEFGABC 2008 1991 17− = 17 5 3÷ = 17 7 2÷ = F F F 对称地飞下去。由此推断，2004 号位和 0 号位之间的距离是多少米？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】0 米。根据题上给出的条件，动手画出，就可以了！四次再次回到 0 号位置！2004 是 4 的倍数， 所以第 2004 号位和 0 号位之间的距离是 0 米。 【答案】0 米 板块二、数列中的周期问题 【例 9】 小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3… 你知道他写的第 81 个数是多少吗？ 你能求出这 81 个数相加的和是多少吗？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】⑴从排列上可以看出这组数按 7，0，2，5，3 依次重复排列，那么每个周期就有 5 个数．81 个数 则是 16 个周期还多 1 个，第 1 个数是 7，所以第 81 个数是 7， …1 ⑵每个周期各个数之和是： ．再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下 的各数，即可得到答案． ，所以，这 81 个数相加的和是 279． 【答案】⑴第 81 个数是 7 ⑵这 81 个数相加的和是 279 【巩固】 根据下面一组数列的规律求出 51 是第几个数？ 1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17…… 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】观察题目可知数列个位数字每九个数一组，十位数字依次增加，0～4 共五个数，则可列式为：5×9 ＋1=46，即 51 为第 46 个数。 【答案】第 46 个数 【巩固】 如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列，第 99 行右边第一个数是几？ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】每 7 个数，分成两行一个周期，99÷2=49……1，第 98 行中最大的那个数为：（49×7-1）×2=684， 所以第 99 行从左到右的数依次为：686、688、690 ，第 99 行右边第一个数是 690 【答案】690 【巩固】 某个早晨,容器中有 200 个细菌,白天有光照,容器中的细菌将减少 65 个,夜间无光照,容器中的细 菌将增加 40 个.则在第几个白天,容器中的细菌全部死亡！ 【考点】周期问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】该题属于周期中的减少问题，即不完全按照周期回归.一昼夜细菌减少 65－40=25 个，200÷25=8 天，该解法有误.第 6 天的时候剩余细菌：200-25×6=50，则第 7 天就可. 【答案】第 7 天 【例 10】 ⑴ …… （25 个 4），积的个位数是几？ ⑵24 个 2 相乘，积末位数字是几？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】⑴按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，……，奇数个 4 相乘得数的末 位数字是 4，偶数个 4 相乘得数的末位数是 6，所以 …1，25 个 4 相乘，积的末位数字 是 4． ⑵按照乘数的个数，末位数字的规律是 2，4，8，6，2，4，8，6，……，4 个一组 ，所 以 24 个 2 相乘，积末位数字是 6． 【答案】⑴末位数字是 4 ⑵末位数字是 6 81 5 16÷ = 7 0 2 5 3 17+ + + + = 17 16 7 279× + = 4 4× × 4× 25 2 12÷ = 24 4 6÷ = 【巩固】 紧接着 1989 后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如， ，在 9 后面写 2， ，在 2 后面写 8……得到一串数字：19892868…，问：这串 数字从 1 开始，往右数，第 l999 个数字是几？这 1999 个数字的和是多少？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】⑴根据题意，写出这列数的前面部分数字：19892868842868842……“286884”这 6 个数字重复出 现，周期是 6． ⑵第 1999 个数字是：因为 ，所以，第 l999 个数字是 6． ⑶这 1999 个数字的和是： 【答案】第 l999 个数字是 6；这 1999 个数字的和是 【例 11】 12 个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图． 　　⑴从 1 号同学开始，顺时针传 l00 次，手绢应在谁手中？ 　　　 ⑵从 1 号同学开始，逆时针传 l00 次，手绢又在谁手中？ 　　 ⑶从 1 号同学开始，先顺时针传 l56 次，然后从那个同学开始逆时针传 143 次，再顺时针传 107 次，最后手绢在谁手中？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】⑴因为一圈有 l2 个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，现在，从 1 号开始，顺时针传 l00 次， 我们先用除法求传了几圈、还余几次． (圈)……4(次)从 1 号同学顺时针传 4 次正好传 到 5 号同学手中． ⑵与第一小题的道理一样，先做除法． (圈)……4(次)这 4 次是逆时针传，正好传到 9 号同学手中(如图)． ⑶先顺时针传 156 次，然后逆时针传 l43 次，相当于顺时针传 (次)；再顺时针传 l07 次，与 13 次合并，相当于顺时针传 (次)， (圈)，手绢又回到 l 号同学手 中． 【答案】⑴5 号同学 ⑵9 号同学 ⑶l 号同学 【巩固】 8 个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按 顺序报数．当报到 72 时，球在几号队员手上？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】将 8 名队员看作一组，每组报 8 个数，72 个数可以分成几组： 组，没有余数，球正好 在一组的最后一位队员手中，因此球应该在 8 号队员手上． 1211 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1211 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 9 72× = 9 2 18× = (1999 4) 6 332 3− ÷ = ⋅⋅⋅ (1 9 8 9) (2 8 6 8 8 4) 332 (2 8 6)+ + + + + + + + + × + + + 27 11952 16= + + 11995= 11995 100 12 8÷ = 100 12 8÷ = 156 143 13− = 13 107 120+ = 120 12 10÷ = 72 8 9÷ = 【答案】8 号队员 【巩固】 如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字．的 圆圈按顺时针方向跳了 1991 步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字．的圆圈起跳，但 它是沿着逆时针方向跳了 1949 步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】解答此类问题时，只要能发现旋转周期现象，并充分加以利用，就能较快找到解题的关键．本题 中，不难看出这是一个与周期性有关的问题，电子跳蚤每跳 12 步就回到了原来的位置，如此循 环，周期为 12． ⑴因为 ，所以，红跳蚤跳了 1991 步后落到了标有数字 11 的圆圈． ⑵因为 ，所以，黑跳蚤跳了 1949 步后落到了标有数字 7 的圆圈． ⑶所求的乘积是 . 【答案】 【巩固】 如下图，把 1～8 八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从 1 号开始按顺时针方向前进 329 个位置，第二天接着按逆时针方向前进 485 个位置，第三天又顺时针前进 329 个位置，第四 天再逆时针前进 485 个位置……如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的 1 号位置？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变换方向.每一个周期 中，小球实际上是按逆时针方向前进 485-329=156（个）位置. 156÷8=19……4，就是说，每个 周期（2 天）中，小球是逆旋转了 19 周后再逆时针前进 4 个位置. 要使小球回到原来的 1 号位， 至少应逆时针前进 8 个位置. 8÷4=2（个）周期，2×2=4（天），所以至少要用 4 天，小球才又回 到原来“1”号位置. 【答案】4 天 【巩固】 如下图，有 16 把椅子摆成一个圆圈，依次编上从 1 到 16 的号码.现在有一人从第 1 号椅子顺时 针前进 328 个，再逆时针前进 485 个，又顺时针前进 328 个，再逆时针前进 485 个，又顺时针 前进 136 个，这时他到了第几号椅子？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这个人顺时针前进了 328+328+136=792 个位置，由于 792÷16=49…8，所以他走到 9 号位置.又这 个人逆时针共退回 485+485=970 个位置，由于 970÷16＝60…10，因此这个人到了第 15(=9+16-10) 号椅子. 【答案】15 011 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1991 12 165 11÷ =  1949 12 162 5÷ =  11 7 77× = 77 【例 12】 甲、乙两人对一根 3 米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色 5 厘米，间隔 5 厘米 不涂色，再涂 5 厘米黑色，这样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开始留出 6 厘米不涂色， 然后涂 6 厘米黑色，再间隔 6 厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长 度是多少？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】此题最好画图为同学们示意：在前 30 厘米内未被涂黑的是：1，3，5，在 31-60 厘米内的是：4， 2，因此 60 厘米一个周期：（1+3+5+4+2）×300/60=75 厘米 . 【答案】75 厘米 【例 13】 右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是 891，那么 B 代表多少？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是 891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相 隔 2 个小圆圈的小圆圈中的数是相同的. 于是：B=891÷(9×9)=11. 【答案】11 【巩固】 课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数．甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报 “4”，这样每人报的数总比前一个人多 1．问“34”是谁报的？“71”是谁报的？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】根据题意，甲从“1”开始报数，一共报了 34 次．因为是 4 个人在报数，所以报 4 次就要重复一遍， 也就是说是以 4 为一个周期重复的．34 里面有 8 个周期还余 2 次，所以“34”应是重复 8 遍以后第 二个人报的，即乙报的． …3，所以“71”应是第三个人报的，即丙报的． 【答案】 “34”是乙报的； “71”是丙报的 【巩固】 同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法，大家排成一排 1～2 报数， 报 2 的同学再 1～2 报数，这样依次进行下去，最后报 2 的这名同学先玩，如果这列一共有 12 人，最先玩的同学是这一列中的第几个？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】第一次 1～2 报数，报 2 的是第 2，4，6，8，10，12 这几个同学，这些同学再 1～2 报数，报 2 的是第 4，8，12 这三名同学，最后这三名同学再 1～2 报数，就只剩下第 8 个同学是报 2，所以 最先玩的这个同学是这列中的第 8 个． 【答案】第 8 个 【巩固】 1999 名同学从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某名同学报的数是一位数，那么后一 个同学就要报出这个数与 9 的和；如果某名同学报的数是两位数，那么后一个同学就要报出这 个数的个位数与 6 的和。现让第一个同学报 1，那么最后一名同学报的数是( 　 )。 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】列出前几个数：1、10、6、15、11、10、6、15、11、10、6、… 可以看出除去第一个数之外后面每四个数一循环，所以（1999－1）÷4=499…2，那么最后一 名同学报的数是 6。 【答案】6 【例 14】 某班 43 名同学围成一圈。由班长起从 1 开始连续报数，谁报到 100，谁就表演一个节目；然后 再由这个同学起从 1 开始连续报数，结果第一个表演节目的是小明，第二个演节目的是小强。 那么小明和小强之间有________名同学。 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，初赛 【解析】 。小明和小强之间有同学 （名）或 。 【答案】 71 4 17÷ = 100 43 2 14÷ = … 14 2 12− = 43 14 29− = 29 【例 15】 实验室里有一只特别的钟，一圈共有 20 个格．每过 7 分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过 9 个格，今天早晨 8 点整的时候，指针恰好从 0 跳到 9，问：昨天晚上 8 点整的时候指针指着几？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】昨晚 8 点至今早 8 点，共经历 (分钟)， ，说明从今早 8 点整起，7 分 钟，7 分钟…往回数，昨晚 8 点后，第 1 次指针跳是 8 点 6 分，直到今早 7 点 53 分，指针正好跳 到“0”位，指针共跳了 102 次． 由于每次跳 9 格，所以共跳了 (格)．每 20 格一圈， ，因此从“0”位 开始，往回倒 45 圈，还要倒回 18 格，正是昨晚 8 点时指针所指处： ，因此昨晚 8 点 整时指针正指着 2． 【答案】2 【巩固】 有 、 、 三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是 ．每个蜂鸣器每次鸣叫完后停 秒 钟又开始鸣叫．最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫， 分钟后第二次同时开始鸣叫，此时 蜂鸣器 已是第 次鸣叫了．问：最初同时开始鸣叫后的多少秒 与 第一次同时结束鸣叫？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】14 分钟即 秒，根据题意可知在 840 秒内 蜂鸣器已经鸣叫了 42 次，也停了 42 次， 那么 蜂鸣器每一次鸣叫加停止的时间为 秒，所以 蜂鸣器每次鸣叫持续的时间为： 秒，那么 蜂鸣器每次鸣叫持续 秒， 蜂鸣器每次鸣叫持续 秒， 则 、 两个蜂鸣器每次鸣叫加停止的时间分别为 秒和 秒， 由于 ，所以经过391秒之后 与 要第二次同时开始鸣叫，由于在此时 与 都停止 鸣叫了8秒，所以 与 第一次同时结束鸣叫是在最初开始鸣叫之后的第 秒． 【答案】 秒 【例 16】 有一个 111 位数，各位数字都是 1，这个数除以 6，余数是几？商的末位数字是几？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】我们可以用列表的方法寻求周期． 被除数中“1”的个数 1 2 3 4 5 6 7 … 除以 6 后余数的末位数字 1 5 3 1 5 3 1 … 除以 6 后商的末位数字 0 1 8 5 1 8 5 … 通过表格我们可以发现，余数出现的周期为 3（1，5，3）；第 1 个“1”上相对应的商为“0”，从第 二个“1”开始，商的末位数字的周期为 3（1，8，5） 因为 ，所以这个数除以 6 后余数的末位数字是 3； 因为 …2，所以这个数除以 6 后商的末位数字是 8． 【答案】8 【巩固】 有一个 1111 位数，各位数字都是 1，这个数除以 6，余数是几？商的末位数字是几？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】余数出现的周期为 3（1，5，3）；第 1 个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位 数字的周期为 3（1，8，5），因为 …1，所以这个数除以 6 后余数的末位数字是 1； 因为 ，所以这个数除以 6 后商的末尾数字是 5． 【答案】5 【例 17】 求 的个位数字. 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由 128÷4＝32 知， 的个位数与 的个位数相同，等于 6。由 29÷2＝14……1 知， 的个 位数与 的个位数相同，等于 9.因为 6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为 16－9 ＝7. 【答案】7 【巩固】 算式 的得数的尾数是几？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这是一道很经典的题目，分别找规律，我们只看个位数就够了： 7：7，9，3，1……，367/4=91…3，个位数是 3 ； 60 12 720× = 720 7 102 6÷ =  9 102 918× = 918 20 45 18÷ =  20 18 2− = A B C 3: 4:5 8 14 B 43 A C 14 60 840× = B B 840 42 20÷ = B 20 8 12− = A 9 C 15 A C 9 8 17+ = 15 8 23+ = [ ]17,23 391= A C A C A C 391 8 383− = 383 111 3 37÷ = (111 1) 3 36− ÷ = 1111 3 370÷ = (1111 1) 3 370− ÷ = 128 2928 29− 12828 48 2929 19 367 762 123367 762+ ×（ ） 123 2：2，4，8，6……，762/4=190…2，个位数是 4 ； 3：3，9，7，1……，123/4=30…3，个位数是 7 ； 因此个位数：（3+4）×7=49 . 【答案】49 板块三、日期中的周期问题 【例 18】 阳历 1978 年 1 月 1 日是星期日，阳历 2000 年 1 月 1 日是星期几？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】每四年有一个闰年，闰年的年份被 4 整除，所以从 1978 年至 1999 年共有 17 个平年，5 个闰年， 由此可以算出总天数，用总天数除以 7，余 1 是星期一，余 2 是星期二，依次类推 （天）， （星期）……6（天），所以，阳历 2000 年 1 月 1 日是星期六． 【答案】星期六 【巩固】 1999 年的元旦是星期五，那么据此你知道 2005 年的元旦是星期几吗？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】00、04 是闰年，01、02、03、05 是平年，一共度过了：365×6＋2=2192（天），2192÷7=313…1， 2005 年的元旦是星期六 【答案】星期六 【巩固】 小童的生日是 6 月 27 日，这一年的 6 月 1 日是星期六，小童的生日是星期几呢？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】从日历上可以看到，每个星期有 7 天，就是以 7 天为一个周期不断地重复．6 月 1 日是星期六， 那么再过 7 天，即 6 月 8 日，还是星期六；如果再过 14 天，即 6 月 15 日，还是星期六，所以要 知道 6 月 27 日是星期几，首先要求出 6 月 27 日是 6 月 1 日后的第几天， （天）；因为 每个星期都是 7 天，也就是周期为 7，所以 （星期）…5（天）．这样，从 6 月 1 日开始 经过 3 个星期，最后一天是星期六，从这最后一天再过 5 天就是星期四． 【答案】星期四 【巩固】 今天是星期三，那么从明天起第 365 天是星期几？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】题中所说的第 365 天，不包括今天在内，是说“从今天之后的第 365 天”． （星期）…1（天），所以，从明天起，到第 365 天是星期三． 【答案】星期三 【例 19】 2002 年的 6 月 1 日是星期六，那么这一年的 10 月 1 日是星期几呢？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】我们只要算出 6 月 1 日到 10 月 1 日要经过多少天，然后按照 7 天为一个周期，运用周期变化规 律解答．由于 6 月 1 日与 10 月 1 日这两个日子不在同一个月里，就要考虑经过月份是什么月？ 一共有多少天？因为 6 月有 30 天，7 月有 31 天，8 月有 31 天，9 月有 30 天，所以 6 月 1 日到 10 月 1 日要经过的天数： （天）， …4 ，这个周期从周六开始， 那么第 4 天正好是星期二． 【答案】星期二 【巩固】 2008 年 3 月 3 号是星期一，算一算 2008 年 8 月 8 号奥运会开幕是星期几？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】首 先 我 们 应 该 算 出 2008 年 3 月 3 号 到 8 月 8 号 一 共 有 多 少 天 ， （天）．按照 7 天为一个周期， …5，这个周期的第 一天是星期一，那么第五天就应该是星期五，所以 2008 年 8 月 8 号奥运会开幕是星期五． 【答案】星期五 【巩固】 2008 年的“六·一”儿童节是星期日，2008 年的“十·一”是星期几？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 （天） …4，这个周期从周日开始，那么第 4 天正好是星期 三． 【答案】星期三 365 17 366 5 8035× + × = 8035 7 1147÷ = 27 1 26− = 26 7 3÷ = 365 7 52÷ = 30 31 31 30 1 123+ + + + = 123 7 17÷ = (31 2) 30 31 30 31 8 159− + + + + + = 159 7 22÷ = 30 31 31 30 1 123+ + + + = 123 7 17÷ = 【例 20】 某部 84 集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星期日每天都要播出 1 集，星 期六停播．问：最后一集在星期几播出? 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】每星期播 6 集，84 集播　84÷6＝14　个星期，第一集在星期日播出，所以最后一集在星期五播出. 【答案】星期五 【巩固】 某人连续打工 24 天，赚得 190 元(日工资 10 元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无 工资)．已知他打工是从 1 月下旬的某一天开始的，这个月的 1 号恰好是星期日．问：这人打工 结束的那一天是 2 月几日? 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】因为 3×7＜24＜4×7 所以 24 天中星期六和星期日的个数。都只能是 3 或 4 又，190 是 10 的整数倍．所以 24 天中的 星期六的天数是偶数再由 240—190＝50(元) 便可知道，这 24 天中恰有 4 个星期六、3 个星期日星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这 人打工结束的那一天必定是星期六．由此逆推回去。便可知道开始的那一天是星期四因为．1 月 1 日是星期日．所以 1 月 22 日也是星期日，从而 1 月下旬唯一的一个星期四是 1 月 26 日从 1 月 26 日往后算，可知第 24 天是 2 月 18 日，这就是打工结束的日子． 【答案】2 月 18 日 【巩固】 王师傅在某个特殊岗位上工作、他每上 8 天班后，就连续休息 2 天．如果这个星期六和星期天 他休息，那么，至少再过几个星期后他才能又在星期天休息？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】设至少过 n 个星期，可能第 n 个星期六休息，也可能第 n 个星期六不休息(在星期天与星期一连休 2 天)，前者得出：7n-2＝10K＋8(1)，后者得出：7n—1＝10K＋8(2)，其中 K 是自然数 (1)即　7n＝10(K＋1)，因此，n 是 10 的倍数，至少是 10 (2)即　7n＝10K＋9，它表明 7n 的个位数字是 9，所以 n＝7，17，… 于是至少再过 7 个星期后，才能又在星期天体息。 【答案】7 个星期 【例 21】 小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛 奶．方方第一次取奶是星期一，那么，他第 100 次取奶是星期几？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】21 天内，每人取奶 7 次，方方第 8 次取奶又是星期一，即每取 7 次奶为一个周 期． …2，所以方方第 100 次取奶是星期四． 【答案】星期四 【巩固】 甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第 30 次义诊是星期三，那么当丙首 次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】甲第 30 次义诊是在总次数的第 4×29+1=117（次），117÷7=16……5，从周三往前数 5 天，由周 期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前 7 次义诊分别是星期六、三、日、四、一、五、二 . 丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第 6 次去义诊.由于丁在丙后一天义诊，所以 他已经去过 5 次. 【答案】5 次 【例 22】 在某个月中刚好有 3 个星期天的日期是偶数(双数)，则这个月的 5 日是星期几？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】一个星期有 7 天，注意 7 是奇数(单数)，所以任意两个相继星期天的日数奇偶性不同．于是在每 个月从 l 日到 28 日这 28 天中，有 个星期天，且其中有两个星期天的日期是偶数，从而 100 7 14÷ = 28 7 4÷ = 题中第 3 个日期为偶数的星期天必为 30 日．由此可以推知，这个月的第 1 个星期天是 日，那么，5 日为星期三． 所以这个月的 5 日是星期三． 【答案】星期三 【巩固】 已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个 月的 5 号是星期几？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这道题表面看无从下手．实际上本题暗藏着一个重要条件：在一个月内，无论是星期几，它的天 数只能是 4 或 5，根据这个知识点，就可知道本月星期一，二都是 5 天，星期三，日都是 4 天， 用列表法可以得到答案． 所以这个月的 5 号是星期五． 【答案】星期五 【巩固】 一个月最多有 5 个星期日，在一年的 12 个月中，有 5 个星期日的月份最多有几个月? 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】1 月 1 日是星期日，全年就有 53 个星期日。每月至少有 4 个星期日，53-4×12=5，多出 5 个星期 日，在 5 个月中．即最多有 5 个月有 5 个星期日． 【答案】星期日 【巩固】 奶奶告诉小明：“2006 年共有 53 个星期日”。聪敏的小明立到告诉奶奶：2007 年的元旦一定是()。 (A)星期一　　(B)星期二　　(C)星期六　　(D)星期日 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】选择 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】2006 年有 365 天，而 365=7×52+1，又已知 2006 年有 53 个星期天，只能元旦是星期天，且 12 月 31 日也是星期日，所以，2007 年月的元旦是星期一。 【答案】A 【例 23】 1998 年元旦是星期五，l999 年元旦是星期几？2000 年元旦是星期几？2001 年元旦是星期几？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】l998 年是平年，1998 年元旦到 l999 年元旦共 365 天． ，即 l998 年元旦到 1999 年元旦要经过 52 个星期又 l 天，1998 年元旦是星期五，经过 52 个星期还是星期五，再经过 1 天 便是星期六，因此 l999 年元旦是星期六．1999 年元旦到 2000 年元旦也是 365 天，也要经过 52 周又 l 天，故 2000 年元旦是星期日．因为 2000 年是闰年，2 月份有 29 天，故 2000 年元旦到 2001 年元旦共 366 天， ，2000 年元旦是星期日，经过 52 周还是星期日，再过 2 天 便是星期二，即 2001 年元旦是星期二． 【答案】星期二 【巩固】 图中是 2002 年 5 月份日历表．⑴该月 8 号是星期几？⑵该年 6 月 l 日是星期几？该年 10 月 1 日 是星期几？⑶2004 年 5 月 l 日是星期几? 30 4 7 2− × = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 日 一 二 三 四 五 六 365 7 52 1÷ =  366 7 52 2÷ =  【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】一个星期有 7 天，因此 7 天为一个周期．从表中我们可以看出 l 号～７号是一个周期，1 号是第 一个循环的第一天，7 号是第一个循环的最后一天，8 号是第二个循环的第一天，计算天数时为 了方便，我们可以采取“算头不算尾”或“算尾不算头”的方法．在算该年 6 月 1 日、10 月 1 日、2004 年 5 月 1 日是星期几时，要注意应准确地算出各是经过了多少天，这其中不要忘记 2004 年是闰 年，共有 366 天． ⑴该月的 8 号是星期三． ⑵从 5 月 1 日到 5 月 31 日共 31 天， ，所以 6 月 1 日是星期六．从 5 月 1 日到 9 月 30 日共 l53 天． ，所以 10 月 1 日是星期二． ⑶从 2002 年的 5 月 1 日到 2004 年的 4 月 30 日共 731 天． ，所以 2004 年 5 月 1 日是星期六． 【答案】⑴星期三 ⑵星期二 ⑶星期六 【例 24】 2009 年的元旦是星期四，问：在 2009 年中，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有 5 个 星期日？ 【考点】周期问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛 【解析】下表列出各个月的 1 号的相关信息： 月份 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 号距 1 月 1 号的 天数 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334 除以 7 的 余数 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5 1 号的星 期数 日 日 三 五 一 三 六 二 四 日 二 10 月 1 号与 1 月 1 号相距 273 天，273 是 7 的倍数，所以，10 月份的第一天也是星期四。 3 月 1 号是星期日，3 月份有 31 天，所以 3 月有 5 个星期日； 5 月 3 号是星期日，5 月份有 31 天，所以 5 月有 5 个星期日； 8 月 3 号是星期日，8 月份有 31 天，所以 8 月有 5 个星期日； 11 月 1 号是星期日，11 月份有 30 天，所以 11 月有 5 个星期日。 【答案】10 月份的第一天也是星期四；3 月、5 月、8 月、11 月有 5 个星期日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 日 一 二 三 四 五 六 31 7 4 3÷ =  153 7 21 6÷ =  731 7 104 3÷ = 