小学常考应用题 52页

01 归一问题 【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要 求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】 总量÷份数＝1 份数量 1 份数量×所占份数＝所求几份的数量 另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数 【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？ 解 （1）买 1 支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元） （2）买 16 支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元） 列成综合算式 0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元） 答：需要 1.92 元。 例 2 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 解 （1）1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？90÷3÷3＝10（公顷） （2）5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？10×5×6＝300（公顷） 列成综合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷） 答：5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。 例 3 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的 7 辆汽车运送 105 吨钢材， 需要运几次？ 解 （1）1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？100÷5÷4＝5（吨） （2）7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？5×7＝35（吨） （3）105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？105÷35＝3（次） 列成综合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次） 答：需要运 3 次。 02 归总问题 【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归 总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公 亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】 1 份数量×份数＝总量 总量÷1 份数量＝份数 总量÷另一份数＝另一每份数量 【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。 原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少套？ 解 （1）这批布总共有多少米？3.2×791＝2531.2（米） （2）现在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套） 列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套） 答：现在可以做 904 套。 例 2 小华每天读 24 页书，12 天读完了《红岩》一书。小明每天读 36 页书，几天 可以读完《红岩》？ 解 （1）《红岩》这本书总共多少页？24×12＝288（页） （2）小明几天可以读完《红岩》？288÷36＝8（天） 列成综合算式 24×12÷36＝8（天） 答：小明 8 天可以读完《红岩》。 例 3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来 根据大家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？ 解 （1）这批蔬菜共有多少千克？50×30＝1500（千克） （2）这批蔬菜可以吃多少天？1500÷（50＋10）＝25（天） 列成综合算式 50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天） 答：这批蔬菜可以吃 25 天。 03 和差问题 【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。 【数量关系】 大数＝（和＋差）÷2 小数＝（和－差）÷2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。 例 1 甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？ 解 甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人） 乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人） 答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。 例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积。 解 长＝（18＋2）÷2＝10（厘米） 宽＝（18－2）÷2＝8（厘米） 长方形的面积＝10×8＝80（平方厘米） 答：长方形的面积为 80 平方厘米。 例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，甲丙两 袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。 解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2 千克， 且甲是大数，丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克） 丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克） 乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克） 答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。 例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙 车还多 3 筐，两车原来各装苹果多少筐？ 解 “从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐”，这说明甲车是 大数，乙车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是 97，因此甲 车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐） 乙车筐数＝97－64＝33（筐） 答：甲车原来装苹果 64 筐，乙车原来装苹果 33 筐。 04 和倍问题 【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两 个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】 总和÷（几倍＋1）＝较小的数 总和－较小的数＝较大的数 较小的数×几倍＝较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 1 果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏树、桃树各 多少棵？ 解 （1）杏树有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵） （2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵） 答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。 例 2 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍，求两库各存 粮多少吨？ 解 （1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨） （2）东库存粮数＝480－200＝280（吨） 答：东库存粮 280 吨，西库存粮 200 吨。 例 3 甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站 开往甲站 24 辆，几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍？ 解 每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，相当于每天从甲站开往 乙站（28－24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量，这时乙站的车辆 数就是 2 倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍， 那么，几天以后甲站的车辆数减少为 （52＋32）÷（2＋1）＝28（辆） 所求天数为（52－28）÷（28－24）＝6（天） 答：6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。 例 4 甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三数各是 多少？ 解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1 倍量。 因为乙比甲的 2 倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数的 2 倍； 又因为丙比甲的 3 倍多 6，所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍； 这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么， 甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28 乙数＝28×2－4＝52 丙数＝28×3＋6＝90 答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。 05 差倍问题 【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两 个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】 两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数 较小的数×几倍＝较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树 各多少棵？ 解 （1）杏树有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵） （2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵） 答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。 例 2 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子二人今年 各是多少岁？ 解 （1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁） （2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁） 答：父子二人今年的年龄分别是 36 岁和 9 岁。 例 3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元，又知本 月盈利比上月盈利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？ 解 如果把上月盈利作为 1 倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1） 倍，因此 上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元） 本月盈利＝18＋30＝48（万元） 答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是 48 万元。 例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨，问几天 后剩下的玉米是小麦的 3 倍？ 解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差 （138－94）。把几天后剩下的小麦看作 1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，因此 剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨） 运出的小麦数量＝94－22＝72（吨） 运粮的天数＝72÷9＝8（天） 答：8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。 06 倍比问题 【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍 数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。 【数量关系】 总量÷一个数量＝倍数 另一个数量×倍数＝另一总量 【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。 例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，现在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？ 解 （1）3700 千克是 100 千克的多少倍？3700÷100＝37（倍） （2）可以榨油多少千克？40×37＝1480（千克） 列成综合算式 40×（3700÷100）＝1480（千克） 答：可以榨油 1480 千克。 例 2 今年植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400 棵，照这样计算，全县 48000 名师生共植树多少棵？ 解 （1）48000 名是 300 名的多少倍？48000÷300＝160（倍） （2）共植树多少棵？400×160＝64000（棵） 列成综合算式 400×（48000÷300）＝64000（棵） 答：全县 48000 名师生共植树 64000 棵。 例 3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元，照这样计 算，全乡 800 亩果园共收入多少元？全县 16000 亩果园共收入多少元？ 解 （1）800 亩是 4 亩的几倍？800÷4＝200（倍） （2）800 亩收入多少元？11111×200＝2222200（元） （3）16000 亩是 800 亩的几倍？16000÷800＝20（倍） （4）16000 亩收入多少元？2222200×20＝44444000（元） 答：全乡 800 亩果园共收入 2222200 元，全县 16000 亩果园共收入 44444000 元。 07 相遇问题 【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇 问题。 【数量关系】 相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速） 总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 例 1 南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京 开出的船每小时行 28 千米，从上海开出的船每小时行 21 千米，经过几小时 两船相遇？ 解 392÷（28＋21）＝8（小时） 答：经过 8 小时两船相遇。 例 2 小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑 5 米，小刘每 秒钟跑 3 米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二 次相遇需多长时间？ 解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。 因此总路程为 400×2 相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒） 答：二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。 例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在距中点 3 千米处相遇，求两地的距离。 解 “两人在距中点 3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑 得快，乙骑得慢，甲过了中点 3 千米，乙距中点 3 千米，就是说甲比乙多走的 路程是（3×2）千米，因此， 相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时） 两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米） 答：两地距离是 84 千米。 08 追及问题 【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在 不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面 的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题 就叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间＝追及路程÷（快速－慢速） 追及路程＝（快速－慢速）×追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 1 好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追 上劣马？ 解 （1）劣马先走 12 天能走多少千米？75×12＝900（千米） （2）好马几天追上劣马？900÷（120－75）＝20（天） 列成综合算式 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天） 答：好马 20 天能追上劣马。 例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点 同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米，求小亮的速度是每 秒多少米。 解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200 米，此时小亮跑了（500－200） 米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间。又知小明 跑 200 米用 40 秒，则跑 500 米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速 度是 （500－200）÷［40×（500÷200）］ ＝300÷100＝3（米） 答：小亮的速度是每秒 3 米。 例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑，解放军在晚上 22 点接到命令，以每小时 30 千米的速度开 始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人？ 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃 跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距 60 千米。由此推知 追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10） ＝220÷20＝11（小时） 答：解放军在 11 小时后可以追上敌人。 例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆货车同时从乙站开往甲站， 每小时行 40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车 （16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间， 这个时间为 16×2÷（48－40）＝4（小时） 所以两站间的距离为（48＋40）×4＝352（千米） 列成综合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］ ＝88×4 ＝352（千米） 答：甲乙两站的距离是 352 千米。 09 植树问题 【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量， 要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。 【数量关系】 线形植树棵数＝距离÷棵距＋1 环形植树棵数＝距离÷棵距 方形植树棵数＝距离÷棵距－4 三角形植树棵数＝距离÷棵距－3 面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距） 【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。 例 1 一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵） 答：一共要栽 69 棵垂柳。 例 2 一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少 棵白杨树？ 解 400÷4＝100（棵） 答：一共能栽 100 棵白杨树。 例 3 一个正方形的运动场，每边长 220 米，每隔 8 米安装一个照明灯，一共可以 安装多少个照明灯？ 解 220×4÷8－4＝110－4＝106（个） 答：一共可以安装 106 个照明灯。 例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘米，问至少需要多少块地板砖？ 解 96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（块） 答：至少需要 400 块地板砖。 例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50 米有一个电杆， 每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？ 解 （1）桥的一边有多少个电杆？500÷50＋1＝11（个） （2）桥的两边有多少个电杆？11×2＝22（个） （3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏） 答：大桥两边一共可以安装 44 盏路灯。 10 年龄问题 【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是， 两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 【数量关系】 年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题 思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。 【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 例 1 爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？ 解 35÷5＝7（倍） （35+1）÷（5+1）＝6（倍） 答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍， 明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。 例 2 母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁，几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？ 解 （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？37－7＝30（岁） （2）几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？30÷（4－1）－7＝3（年） 列成综合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年） 答：3 年后母亲的年龄是女儿的 4 倍。 例 3 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁”。乙对甲说：“当 我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？ 解 这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析： 过去某一年 今年 将来某一年 甲 □岁 △岁 61 岁 乙 4 岁 □岁 △岁 表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。 因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是 4，□，△，61 成 等差数列，所以，61 应该比 4 大 3 个年龄差， 因此二人年龄差为（61－4）÷3＝19（岁） 甲今年的岁数为△＝61－19＝42（岁） 乙今年的岁数为□＝42－19＝23（岁） 答：甲今年的岁数是 42 岁，乙今年的岁数是 23 岁。 11 行船问题 【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是 船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度， 船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之 差。 【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速 （顺水速度－逆水速度）÷2＝水速 顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每小时 15 千米，这只船逆水 行这段路程需用几小时？ 解 由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时 15 千米，所以， 船速为每小时 320÷8－15＝25（千米） 船的逆水速为 25－15＝10（千米） 船逆水行这段路程的时间为 320÷10＝32（小时） 答：这只船逆水行这段路程需用 32 小时。 例 2 甲船逆水行 360 千米需 18 小时，返回原地需 10 小时；乙船逆水行同样一段 距离需 15 小时，返回原地需多少时间？ 解 由题意得甲船速＋水速＝360÷10＝36 甲船速－水速＝360÷18＝20 可见（36－20）相当于水速的 2 倍， 所以，水速为每小时（36－20）÷2＝8（千米） 又因为，乙船速－水速＝360÷15， 所以，乙船速为 360÷15＋8＝32（千米） 乙船顺水速为 32＋8＝40（千米） 所以，乙船顺水航行 360 千米需要 360÷40＝9（小时） 答：乙船返回原地需要 9 小时。 12 列车问题 【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。 【数量关系】 火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速 火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离） ÷（甲车速－乙车速） 火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离） ÷（甲车速＋乙车速） 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 一座大桥长 2400 米，一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥，从车头开上 桥到车尾离开桥共需要 3 分钟。这列火车长多少米？ 解 火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。 （1）火车 3 分钟行多少米？900×3＝2700（米） （2）这列火车长多少米？2700－2400＝300（米） 列成综合算式 900×3－2400＝300（米） 答：这列火车长 300 米。 例 2 一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥，用了 2 分 5 秒钟时间， 求大桥的长度是多少米？ 解 火车过桥所用的时间是 2 分 5 秒＝125 秒，所走的路程是（8×125）米，这段 路程就是（200 米＋桥长），所以，桥长为 8×125－200＝800（米） 答：大桥的长度是 800 米。 例 3 一列长 225 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶，一列长 140 米的快车以每秒 22 米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？ 解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行 （22－17）米，因此，所求的时间为 （225＋140）÷（22－17）＝73（秒） 答：需要 73 秒。 例 4 一列长 150 米的列车以每秒 22 米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒 3 米的 速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？ 解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。 150÷（22＋3）＝6（秒） 答：火车从工人身旁驶过需要 6 秒钟。 13 时钟问题 【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、 两针夹角为 60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。 【数量关系】 分针的速度是时针的 12 倍， 二者的速度差为 11/12。 通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。 【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。 例 1 从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？ 解 钟面的一周分为 60 格，分针每分钟走一格，每小时走 60 格；时针每小时走 5 格，每分钟走 5/60＝1/12 格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12 格。4 点整，时针在前，分针在后，两针相距 20 格。所以 分针追上时针的时间为 20÷（1－1/12）≈22（分） 答：再经过 22 分钟时针正好与分针重合。 例 2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？ 解 钟面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而两针成直角的时候相差 15 格（包括 分针在时针的前或后 15 格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5×4） 格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4－15）格， 如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格。再 根据 1 分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。 （5×4－15）÷（1－1/12）≈6（分） （5×4＋15）÷（1－1/12）≈38（分） 答：4 点 06 分及 4 点 38 分时两针成直角。 例 3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？ 解 六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。 这实际上是一个追及问题。 （5×6）÷（1－1/12）≈33（分） 答：6 点 33 分的时候分针与时针重合。 14 盈亏问题 【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不 足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做 盈亏问题。 【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差 如果两次都盈或都亏，则有： 参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差 参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11 个；若每人分 4 个就少 1 个。 问有多少小朋友？有多少个苹果？ 解 按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系： （1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人） （2）有多少个苹果？3×12＋11＝47（个） 答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。 例 2 修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长 8 天；如果每天修 300 米，修完全长仍得延长 4 天。这条路全长多少米？ 解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配 的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知 原定完成任务的天数为 （260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天） 这条路全长为 300×（22＋4）＝7800（米） 答：这条路全长 7800 米。 例 3 学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30 人；如果每辆车坐 45 人，就 刚好坐完。问有多少车？多少人？ 解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有 （1）有多少车？（30－0）÷（45－40）＝6（辆） （2）有多少人？40×6＋30＝270（人） 答：有 6 辆车，有 270 人。 15 工程问题 【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在 已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土 地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工 作总量。 【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间 的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作 量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 工作量＝工作效率×工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率 工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率） 【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。 例 1 一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完成，现在两 队合作，需要几天完成？ 解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此， 把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需 10 天完成，那么每天完成这项工 程的 1/10；乙队单独做需 15 天完成，每天完成这项工程的 1/15；两队合做， 每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。 由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天） 答：两队合做需要 6 天完成。 例 2 一批零件，甲独做 6 小时完成，乙独做 8 小时完成。现在两人合做，完成任务 时甲比乙多做 24 个，求这批零件共有多少个？ 解一 设总工作量为 1，则甲每小时完成 1/6，乙每小时完成 1/8，甲比乙每小时多 完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需 要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做 24 个零件，所以 （1）每小时甲比乙多做多少零件？ 24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个） （2）这批零件共有多少个？ 7÷（1/6－1/8）＝168（个） 答：这批零件共有 168 个。 解二 上面这道题还可以用另一种方法计算： 两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8＝4∶3 由此可知，甲比乙多完成总工作量的 4－3/4＋3＝1/7 所以，这批零件共有 24÷1/7＝168（个） 例 3 一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时完成，丙独做 15 小时完成。 现在甲先做 2 小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？ 解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带 来方便，因此，我们设总工作量为 12、10、和 15 的某一公倍数，例如最小公 倍数 60，则甲乙丙三人的工作效率分别是 60÷12＝560÷10＝660÷15＝4 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 （60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时） 答：还需要 5 小时才能完成。 例 4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。 当打开 4 个进水管时，需要 5 小时才能注满水池；当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池；现在要用 2 小时将水池注满，至少要打开多少个进水 管？ 解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项 工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。 要 2 小时内将水池注满，即要使 2 小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。 为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一 个量为单位 1，其余两个量便可由条件推出。 我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1，则 4 个进水管 5 小时注水量为（1 ×4×5），2 个进水管 15 小时注水量为（1×2×15），从而可知 每小时的排水量为（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为 1×4×5－1×5＝15 又因为在 2 小时内，每个进水管的注水量为 1×2， 所以，2 小时内注满一池水 至少需要多少个进水管？（15＋1×2）÷（1×2） ＝8.5≈9（个） 答：至少需要 9 个进水管。 16 正反比例问题 【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应 的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量， 它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综 合运用。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应 的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关 系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。 【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化 为正反比例问题去解决，而且比较简捷。 【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质 去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 例 1 修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的变成未修的 1/2， 求这条公路总长是多少米？ 解 由条件知，公路总长不变。 原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比较以上两式可知，把总长度当作 12 份，则 300 米相当于（4－3）份，从而 知公路总长为 300÷（4－3）×12＝3600（米） 答：这条公路总长 3600 米。 例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算，91 分钟可以做几道应用题？ 解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系 设 91 分钟可以做 X 应用题则有 28∶4＝91∶X 28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13 答：91 分钟可以做 13 道应用题。 例 3 孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看 24 页，15 天看完，如果每天看 36 页，几天就可以看完？ 解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系 设 X 天可以看完，就有 24∶36＝X∶15 36X＝24×15X＝10 答：10 天就可以看完。 17 按比例分配问题 【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件 一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种 是直接给出份数。 【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总份数＝比的前后项之和 【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数， 再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子）， 再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。 例 1 学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二 班有 48 人，三班有 45 人，三个班各植树多少棵？ 解 总份数为 47＋48＋45＝140 一班植树 560×47/140＝188（棵） 二班植树 560×48/140＝192（棵） 三班植树 560×45/140＝180（棵） 答：一、二、三班分别植树 188 棵、192 棵、180 棵。 例 2 用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是 3∶4∶5。三条边 的长各是多少厘米？ 解 3＋4＋5＝1260×3/12＝15（厘米） 60×4/12＝20（厘米） 60×5/12＝25（厘米） 答：三角形三条边的长分别是 15 厘米、20 厘米、25 厘米。 例 3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把 17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数 的 1/2，二儿子分总数的 1/3，三儿子分总数的 1/9，并规定不许把羊宰割分， 求三个儿子各分多少只羊。 解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比 例分配的方法解，则很容易得到 1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2 9＋6＋2＝1717×9/17＝9 17×6/17＝617×2/17＝2 答：大儿子分得 9 只羊，二儿子分得 6 只羊，三儿子分得 2 只羊。 例 4 某工厂第一、二、三车间人数之比为 8∶12∶21，第一车间比第二车间少 80 人，三个车间共多少人？ 解 80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人） 答：三个车间一共 820 人。 18 百分数问题 【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。 分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以 表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而 百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。 在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是 1%，两个百分点就 是 2%。 【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数＝比较量÷标准量 标准量＝比较量÷百分数 【解题思路和方法】 一般有三种基本类型： （1）求一个数是另一个数的百分之几； （2）已知一个数，求它的百分之几是多少； （3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 例 1 仓库里有一批化肥，用去 720 千克，剩下 6480 千克，用去的与剩下的各占原 重量的百分之几？ 解 （1）用去的占 720÷（720＋6480）＝10% （2）剩下的占 6480÷（720＋6480）＝90% 答：用去了 10%，剩下 90%。 例 2 红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，男职工人数比女职工少百分之 几？ 解 本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以（525－ 420）÷525＝0.2＝20% 或者 1－420÷525＝0.2＝20% 答：男职工人数比女职工少 20%。 例 3 红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，女职工比男职工人数多百分之 几？ 解 本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此 （525－420）÷420＝0.25＝25% 或者 525÷420－1＝0.25＝25% 答：女职工人数比男职工多 25%。 例 4 红旗化工厂有男职工 420 人，有女职工 525 人，男、女职工各占全厂职工总 数的百分之几？ 解 （1）男职工占 420÷（420＋525）＝0.444＝44.4% （2）女职工占 525÷（420＋525）＝0.556＝55.6% 答：男职工占全厂职工总数的 44.4%，女职工占 55.6%。 19 “牛吃草”问题 【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的 特点在于要考虑草边吃边长这个因素。 【数量关系】 草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数 【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。 例 1 一块草地，10 头牛 20 天可以把草吃完，15 头牛 10 天可以把草吃完。问多少 头牛 5 天可以把草吃完？ 解 草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少 头牛 5 天可以把草吃完”，就是说 5 天内的草总量要 5 天吃完的话，得有多少 头牛？设每头牛每天吃草量为 1，按以下步骤解答： （1）求草每天的生长量 因为，一方面 20 天内的草总量就是 10 头牛 20 天所吃的草，即（1×10×20）； 另一方面，20 天内的草总量又等于原有草量加上 20 天内的生长量，所以 1×10×20＝原有草量＋20 天内生长量 同理 1×15×10＝原有草量＋10 天内生长量 由此可知（20－10）天内草的生长量为 1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5 （2）求原有草量 原有草量＝10 天内总草量－10 内生长量＝1×15×10－5×10＝100 （3）求 5 天内草总量 5 天内草总量＝原有草量＋5 天内生长量＝100＋5×5＝125 （4）求多少头牛 5 天吃完草 因为每头牛每天吃草量为 1，所以每头牛 5 天吃草量为 5。 因此 5 天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头） 答：需要 5 头牛 5 天可以把草吃完。 例 2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如 果有 12 个人淘水，3 小时可以淘完；如果只有 5 人淘 水，要 10 小时才能淘完。求 17 人几小时可以淘完？ 解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相 当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为 1，按以下步骤计算： （1）求每小时进水量 因为，3 小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3 小时进水量 10 小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10 小时进水量 所以，（10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2 （2）求淘水前原有水量 原有水量＝1×12×3－3 小时进水量＝36－2×3＝30 （3）求 17 人几小时淘完 17 人每小时淘水量为 17，因为每小时漏进水为 2，所以实际上船中每小时减 少的水量为（17－2），所以 17 人淘完水的时间是 30÷（17－2）＝2（小时） 答：17 人 2 小时可以淘完水。 20 鸡兔同笼问题 【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各 有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差， 求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。 【数量关系】 第一鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2） 假设全都是兔，则有 鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2） 第二鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有 兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2） 假设全都是兔，则有 鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2） 【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果 先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题 也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。 例 1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你 仔细算一算，多少兔子多少鸡？ 解 假设 35 只全为兔，则 鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只） 兔数＝35－23＝12（只） 也可以先假设 35 只全为鸡，则 兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只） 鸡数＝35－12＝23（只） 答：有鸡 23 只，有兔 12 只。 例 2 2 亩菠菜要施肥 1 千克，5 亩白菜要施肥 3 千克，两种菜共 16 亩，施肥 9 千 克，求白菜有多少亩？ 解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克” 与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有 4 只脚”相对应，“16 亩”与“鸡兔总数”相对应，“9 千克”与“鸡兔总脚 数”相对应。假设 16 亩全都是菠菜，则有 白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩） 答：白菜地有 10 亩。 例 3 李老师用 69 元给学校买作业本和日记本共 45 本，作业本每本 3.20 元，日记 本每本 0.70 元。问作业本和日记本各买了多少本？ 解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设 45 本全都是日记本，则有 作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本） 日记本数＝45－15＝30（本） 答：作业本有 15 本，日记本有 30 本。 例 4 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80 只，问鸡与兔 各多少只？ 解 假设 100 只全都是鸡，则有 兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只） 鸡数＝100－20＝80（只） 答：有鸡 80 只，有兔 20 只。 例 5 有 100 个馍 100 个和尚吃，大和尚一人吃 3 个馍，小和尚 3 人吃 1 个馍，问 大小和尚各多少人？ 解 假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个， 这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数 100 不变的情况 下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。 因此，共有小和尚 （3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人） 共有大和尚 100－75＝25（人） 答：共有大和尚 25 人，有小和尚 75 人。 21 方阵问题 【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或 总物数，这类问题就叫做方阵问题。 【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数＝（每边人数－1）×4 每边人数＝四周人数÷4＋1 （2）方阵总人数的求法： 实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数 空心方阵：总人数＝（外边人数）?－（内边人数）? 内边人数＝外边人数－层数×2 （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数＝（每边人数－层数）×层数×4 【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的 变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。 例 1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行 22 人，参加体 操表演的同学一共有多少人？ 解 22×22＝484（人） 答：参加体操表演的同学一共有 484 人。 例 2 有一个 3 层中空方阵，最外边一层有 10 人，求全方阵的人数。 解 10－（10－3×2）? ＝84（人） 答：全方阵 84 人。 例 3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是 52 人，最内层人数是 28 人， 这队学生共多少人？ 解 （1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人） （2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人） （3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人） 答：这队学生共 160 人。 例 4 一堆棋子，排列成正方形，多余 4 棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层， 则缺少 9 只棋子，问有棋子多少个？ 解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只） （2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只） （3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只） 答：棋子有 40 只。 例 5 有一个三角形树林，顶点上有 1 棵树，以下每排的树都比前一排多 1 棵，最下 面一排有 5 棵树。这个树林一共有多少棵树？ 解 第一种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵） 第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵） 答：这个三角形树林一共有 15 棵树。