六年级下册数学试题-思维强化训练： 应用题综合（上）（解析版）全国通用 6页

‎ ‎ 第三讲 应用题综合（上）‎ ‎1、掌握利用文氏图进行辅助分析比较复杂包含与排除的问题。清楚文氏图每一部分的含义。‎ ‎2、掌握利用抽屉原理对一些较复杂问题进行说明。‎ ‎3、培养学生发现数学中的美，激发学员学习探索的意识。‎ 有重叠部分的若干对象的计数问题。能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式酌重复计数问题。‎ 抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。‎ ‎ ‎ 讲演者：‎ 得分：‎ ‎ ‎ 四年级一班第二小组一共12人，其中5人会打乒乓球，8人会下象棋，3人既会打乒乓球又会下象棋，那么这个小组中，既不会打乒乓球又不会下象棋的有几人？‎ ‎【解析】此题可以画图分析，5＋8＝13（人），这里重复加了一次既会打乒乓球又会下象棋的3人，所以会打乒乓球和会下象棋的人数为13－3＝10（人），则剩下的12－10＝2（人）就是这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的人数。‎ ‎ 解答：2人。‎ 讲演者：‎ 得分：‎ 任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截取的所有两位数中，一定有两个相等。‎ ‎【解析】一个六位数截取相邻两位，有5种不同的截取方法，截取后得到的5个两位数都由数字1，2组成。由数字1，2组成的两位数一共有4种不同的数，根据抽屉原理，截取得到的5个数必有两个相等。‎ 某大学有外语老师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语，日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名？‎ ‎【解析】14名。此题是三个集合的容斥问题，可以画图分析。至少教英，日，法三门课其中一门的外语教师有50＋45＋40－10－8－4＝106(名），不教这三门课的教师有120－106＝14（名）。‎ ‎ 解答：不教三门课的外语教师有14名。‎ 某学校五年级一班有32人参加数学竞赛，有27人参加英语竞赛，有22人参加语文竞赛，其中参加了数学和英语两科的有12人，参加了语文和英语两科的人有14人，参加了数学和语文两科的有10人，那么五年级一班至少有多少人？‎ ‎【解析】22位学生参加语文竞赛，既参加英语竞赛又参加语文竞赛的有14人，既参加数学竞赛又参加语文竞赛的有10人，由此可以得出三门都参加的有14＋10－22＝2（人），那么只参加英语竞赛和数学竞赛的有12－2＝10（人），只参加英语和语文竞赛的有14－2＝12(人），只参加数学竞赛和语文竞赛的有10－2＝8（人），由此可以画图分析。从参加数学竞赛的有32人，参加语文竞赛的有22人，参加英语竞赛的有27人的总人数中，减去同时参加两门或三门的人数即可得出这个班的总人数，即（32＋27＋22）－（10＋8＋12)－2×2＝47（人）‎ ‎ 解答：五年级一班至少有47人。‎ 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下，数学20人，语文20人，英语20人，数学英语两科满分的8人，数学语文两科满分的7人，语文英语两科满分的9人，三科都没得满分的3人。问：这个班最多多少人？最少多少人？‎ ‎【解析】‎ 设三科都得满分者为x，全班人数＝20＋20＋20－7－8－9＋x＋3，整理后得，全班人数＝39＋x。39＋x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最少。x是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人数一定不超过两科得满分的人数，即x≤7，x≤8，由此我们得到x≤7。另一方面x最小可能是0，即没有三科都得满分的。当x取最大值7时，全班有39＋7＝46（人），当x取最小值0时，全班有39＋0＝39（人）。‎ 解答：这个班最多46人。最少39人。‎ ‎27只小猴分140颗花生，每只小猴最少分1颗，最多分9颗，请问：其中至少有几只小猴分到的花生颗数一样多？‎ ‎【解析】由于每只小猴最少分1颗，最多分9颗，因此我们可以把27只猴子分成9组：分到1颗花生的小猴；分到2颗花生的小猴，……，分到3颗花生的小猴。27÷9＝3，根据抽屉原理，至少有3只小猴分到同一组。如果每组都不超过3只小猴，那么所有猴子分到的花生总数最多只有（1＋2＋3＋……＋9）×3＝135颗，少于140颗，一次不可能每组都只有3只小猴，既至少有一组有4只小猴。‎ ‎ 解答：4只。‎ 有9个人，每人至少与另外5个人互相认识。试证明：可以从中找到3个人，他们彼此相互认识。‎ ‎【解析】设9人为A，B，C，D，E，F，G，H，I，不妨设A认识B，C，D，E，F这5个人，B除了认识A以外还认识4人，这4人必然有一人是C，D，E，F这4人中的一人。‎ 解析：先取两个人A，B，他们互相认识，其他还有9－7＝2个人。根据题目条件，A至少与其他7人中的4个人相互认识，B也至少与其他7人中的5个人相互认识，4＋4＝8；根据抽屉原理，7个人中必定有一个人和A、B都互相认识。‎ ‎25名男生与25名女生坐在一张圆桌，请说明：至少有一人，他（或她）的两边都是女生。‎ ‎【解析】将每个位置1，2，3，……，50编号，那么至少有13名女生坐在奇数号或者偶数好，不妨设有13名女生坐在奇数号，那么必然有相邻的两个奇数号上都坐这女生，这两个女生之间的人的两边都是女生。‎ 在一个50人的班级中，组织了3个课外活动小组，其中参加体育组的有25人，参加音乐组的有25人，参加美术组的有22人，同时参加音乐，体育两组的有11人，同时参加音乐，美术两组的有10人，同时参加美术，体育两组的有9人，三组都参加的有5人，那么在这个班级中这3个小组都未参加的有多少人？‎ ‎【解析】25＋25＋22－(11＋10＋9)＋5＝47(人） 50－47＝3（人）‎ ‎ 解答：3人。‎ 某班在四年级时、五年级时、六年级时，分别评出10名三好学生，又知四年级、五年级、六年级连续被评为三好学生的有4人，五年级、六年级连续被评为三好学生的有3人，四年级、六年级两年评上三好学生的有5人，三年都没评过三好学生的有20人，这个班最多多少人？最少多少人？ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】画出文氏图来辅助讲解。设三年连续被评为三好学生的人数为a人，全班人数＝10×3－5－4－3＋a＋20，全班人数＝38＋a，a最大是3，最小是0，所以这个班最多有38＋3＝41（名）同学，最少有38＋0＝38（名）同学。‎ 解答：最多有41名，最少有38名同学。‎ 任意写一个由数字1，2，3组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数，请证明：在从各个不同位置上截取的所有三位数中，一定有两个相等。‎ ‎【解析】一共可以截取28个三位数，但由1，2，3组成的三位数只有27个。‎ 将同学们编为两组，做脑筋急转弯的游戏，一组出题，另一组回答，轮流进行。同学们有很多这样的题目，谨举两例，抛砖引玉。‎ 动物园里大象的鼻子最长，那谁是第二个长的呢？‎ ‎【脑筋急转弯答案：小象】‎ 最坚固的锁，最怕什么？‎ ‎【脑筋急转弯答案：钥匙】‎ 这种训练，对数学审题和逻辑思维能力的培养非常有效。‎