小学六年级经典必学奥数题集锦及答案 24页

小学六年级经典必学奥数题集锦及答案 工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要 20 小时，16 小时. 丙水管单独开，排一池水要 10 小时，若水池没水，同时打开甲乙两 水管，5 小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解： 1/20+1/16＝9/80 表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80 表示 5 小时后进水量 1-45/80＝35/80 表示还要的进水量 35/80÷（9/80-1/10）＝35 表示还要 35 小时注满 答：5 小时后还要 35 小时就能将水池注满。 2．修一条水渠，单独修，甲队需要 20 天完成，乙队需要 30 天完 成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降 低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的 十分之九。现在计划 16 天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽 可能少，那么两队要合作几天？ 解：由题意得，甲的工效为 1/20，乙的工效为 1/30，甲乙的合作工 效为 1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效> 乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲 多做，16 天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能 “两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为 x 天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作 10 天 3．一件工作，甲、乙合做需 4 小时完成，乙、丙合做需 5 小时完 成。现在先请甲、丙合做 2 小时后，余下的乙还需做 6 小时完成。 乙单独做完这件工作要多少小时？ 解： 由题意知，1/4 表示甲乙合作 1 小时的工作量，1/5 表示乙丙合作 1 小时的工作量 （1/4+1/5）×2＝9/10 表示甲做了 2 小时、乙做了 4 小时、丙做了 2 小时的工作量。 根据“甲、丙合做 2 小时后，余下的乙还需做 6 小时完成”可知甲做 2 小时、乙做 6 小时、丙做 2 小时一共的工作量为 1。 所以 1－9/10＝1/10 表示乙做 6-4＝2 小时的工作量。 1/10÷2＝1/20 表示乙的工作效率。 1÷1/20＝20 小时表示乙单独完成需要 20 小时。 答：乙单独完成需要 20 小时。 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做， 这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二 天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时 间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需 17 天完成，甲单独 做这项工程要多少天完成？ 解：由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1 （1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须 如上所示，否则第二种做法就不比第一种多 0.5 天） 1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因为前面的工作量都相等） 得到 1/甲＝1/乙×2 又因为 1/乙＝1/17 所以 1/甲＝2/17，甲等于 17÷2＝8.5 天 5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了 1/2 时，徒弟完成了 120 个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了 4/5 这批零件共有多少 个？ 答案为 300 个 120÷（4/5÷2）＝300 个 可以这样想：师傅第一次完成了 1/2，第二次也是 1/2，两次一共全 部完工，那么徒弟第二次后共完成了 4/5，可以推算出第一次完成 了 4/5 的一半是 2/5，刚好是 120 个。 6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽 6 棵；如果单份给女 生栽，平均每人栽 10 棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？ 答案是 15 棵 算式：1÷（1/6-1/10）＝15 棵 7．一个池上装有 3 根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20 分 钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30 分钟可将满池水放完。现 在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了 18 分钟放 完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将 水放完？ 答案 45 分钟。 1÷（1/20+1/30）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。 1/12*（18-12）＝1/12*6＝1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还 多放了 6 分钟的水，也就是甲 18 分钟进的水。 1/2÷18＝1/36 表示甲每分钟进水 最后就是 1÷（1/20-1/36）＝45 分钟。 8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成， 若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再 由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？ 答案为 6 天 解： 由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天， 再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知： 乙做 3 天的工作量＝甲 2 天的工作量 即：甲乙的工作效率比是 3：2 甲、乙分别做全部的的工作时间比是 2：3 时间比的差是 1 份 实际时间的差是 3 天 所以 3÷（3-2）×2＝6 天，就是甲的时间，也就是规定日期 方程方法： [1/x+1/（x+2）]×2+1/（x+2）×（x-2）＝1 解得 x＝6 9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要 2 小时，而点完一根细蜡 烛要 1 小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若 干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细 蜡烛的 2 倍，问：停电多少分钟？ 答案为 40 分钟。 解：设停电了 x 分钟 根据题意列方程 1-1/120*x＝（1-1/60*x）*2 解得 x＝40 二．鸡兔同笼问题 1．鸡与兔共 100 只,鸡的腿数比兔的腿数少 28 条,问鸡与兔各有几 只? 解： 4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有 400 只兔子的脚， 那么鸡的脚为 0 只，鸡的脚比兔子的脚少 400 只。 400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少 28 只，相差 372 只， 这是为什么？ 4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会 减少 4 只（从 400 只变为 396 只），鸡的总脚数就会增加 2 只（从 0 只到 2 只），它们的相差数就会少 4+2＝6 只（也就是原来的相差 数是 400-0＝400，现在的相差数为 396-2＝394，相差数少了 400-394＝6） 372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的 100 只兔子中有 62 只改为了鸡，所以脚的相差数从 400 改为 28，一共改了 372 只 100-62＝38 表示兔的只数 三．数字数位问题 1．把 1 至 2005 这 2005 个自然数依次写下来得到一个多位数 123456789.....2005,这个多位数除以 9 余数是多少? 解： 首先研究能被 9 整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被 9 整除，那么这个数也能被 9 整除；如果各个位数字之和不能被 9 整除，那么得的余数就是这个数除以 9 得的余数。 解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45 能被 9 整除 依次类推：1~1999 这些数的个位上的数字之和可以被 9 整除 10~19，20~29……90~99 这些数中十位上的数字都出现了 10 次，那 么十位上的数字之和就是 10+20+30+……+90=450 它有能被 9 整除 同样的道理，100~900 百位上的数字之和为 4500 同样被 9 整除 也就是说 1~999 这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被 9 整除； 同样的道理：1000~1999 这些连续的自然数中百位、十位、个位 上 的数字之和可以被 9 整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我 们少 200020012002200320042005 从 1000~1999 千位上一共 999 个“1”的和是 999，也能整除； 200020012002200320042005 的各位数字之和是 27，也刚好整除。 最后答案为余数为 0。 2．A 和 B 是小于 100 的两个非零的不同自然数。求 A+B 分之 A-B 的最小值... 解： (A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B) 前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)/(A+B) 最 大。 对于 B / (A+B) 取最小时，(A+B)/B 取最大， 问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。 (A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1 (A+B)/B = 100 (A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 100 3．已知 A.B.C 都是非 0 自然数,A/2 + B/4 + C/16 的近似值市 6.4,那 么它的准确值是多少? 答案为 6.375 或 6.4375 因为 A/2 + B/4 + C/16＝8A+4B+C/16≈6.4， 所以 8A+4B+C≈102.4，由于 A、B、C 为非 0 自然数，因此 8A+4B+C 为一个整数，可能是 102，也有可能是 103。 当是 102 时，102/16＝6.375 当是 103 时，103/16＝6.4375 4．一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位数字大 1. 如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位 数,则新的三位数比原三位数大 198,求原数. 答案为 476 解：设原数个位为 a，则十位为 a+1，百位为 16-2a 根据题意列方程 100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198 解得 a＝6，则 a+1＝7 16-2a＝4 答：原数为 476。 5．一个两位数,在它的前面写上 3,所组成的三位数比原两位数的 7 倍多 24,求原来的两位数. 答案为 24 解：设该两位数为 a，则该三位数为 300+a 7a+24＝300+a a＝24 答：该两位数为 24。 6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与 原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少? 答案为 121 解：设原两位数为 10a+b，则新两位数为 10b+a 它们的和就是 10a+b+10b+a＝11（a+b） 因为这个和是一个平方数，可以确定 a+b＝11 因此这个和就是 11×11＝121 答：它们的和为 121。 7．一个六位数的末位数字是 2,如果把 2 移到首位,原数就是新数的 3 倍,求原数. 答案为 85714 解：设原六位数为 abcde2，则新六位数为 2abcde（字母上无法加 横线，请将整个看成一个六位数） 再设 abcde（五位数）为 x，则原六位数就是 10x+2，新六位数就是 200000+x 根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2 解得 x＝85714 所以原数就是 857142 答：原数为 857142 8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是 12,十位数字与千位数 字的和是 9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互 换,新数就比原数增加 2376,求原数. 答案为 3963 解：设原四位数为 abcd，则新数为 cdab，且 d+b＝12，a+c＝9 根据“新数就比原数增加 2376”可知 abcd+2376=cdab,列竖式便于观 察 abcd 2376 cdab 根据 d+b＝12，可知 d、b 可能是 3、9；4、8；5、7；6、6。 再观察竖式中的个位，便可以知道只有当 d＝3，b＝9；或 d＝8，b ＝4 时成立。 先取 d＝3，b＝9 代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。 根据 a+c＝9，可知 a、c 可能是 1、8；2、7；3、6；4、5。 再观察竖式中的十位，便可知只有当 c＝6，a＝3 时成立。 再代入竖式的千位，成立。 得到：abcd＝3963 再取 d＝8，b＝4 代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数， 所以不成立。 9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为 9 余数为 6,如果用 这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为 5 余数为 3,求这个 两位数. 解：设这个两位数为 ab 10a+b＝9b+6 10a+b＝5（a+b）+3 化简得到一样：5a+4b＝3 由于 a、b 均为一位整数 得到 a＝3 或 7，b＝3 或 8 原数为 33 或 78 均可以 10．如果现在是上午的 10 点 21 分,那么在经过 28799...99(一共有 20 个 9)分钟之后的时间将是几点几分? 答案是 10：20 解： （28799……9（20 个 9）+1）/60/24 整除，表示正好过了整数天， 时间仍然还是 10：21，因为事先计算时加了 1 分钟，所以现在时间 是 10：20 四．排列组合问题 1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有 （ ） A 768 种 B 32 种 C 24 种 D 2 的 10 次方中 解： 根据乘法原理，分两步： 第一步是把 5 对夫妻看作 5 个整体，进行排列有 5×4×3×2×1＝120 种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生 5 个 5 个重复，因此实际排法只有 120÷5＝24 种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均 有 2 种排法，总共又 2×2×2×2×2＝32 种 综合两步，就有 24×32＝768 种。 2 若把英语单词 hello 的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( ) A 119 种 B 36 种 C 59 种 D 48 种 解： 5 全排列 5*4*3*2*1=120 有两个 l 所以 120/2=60 原来有一种正确的所以 60-1=59 五．容斥原理问题 1． 有 100 种赤贫.其中含钙的有 68 种,含铁的有 43 种,那么,同时含 钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解：根据容斥原理最小值 68+43-100＝11 最大值就是含铁的有 43 种 2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校 25 名学生参 加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生 中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的 2 倍:(3)只解出第一题 的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1 人;(4)只解出一道题 的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A，5 B，6 C，7 D，8 解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为 7 类： 只答第 1 题，只答第 2 题，只答第 3 题，只答第 1、2 题，只答第 1、 3 题，只答 2、3 题，答 1、2、3 题。 分别设各类的人数为 a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…① 由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……② 由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③ 由（4）知：a1＝a2+a3……④ 再由②得 a23＝a2－a3×2……⑤ 再由③④得 a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3＝26 由于 a2、a3 均表示人数，可以求出它们的整数解： 当 a2＝6、5、4、3、2、1 时，a3＝2、6、10、14、18、22 又根据 a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3 因此，符合条件的只有 a2＝6，a3＝2。 然后可以推出 a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝ 8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数 a2＝6 人。 3．一次考试共有 5 道试题。做对第 1、2、3、、4、5 题的分别占 参加考试人数的 95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道 以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？ 答案：及格率至少为 71％。 假设一共有 100 人考试 100-95＝5 100-80＝20 100-79＝21 100-74＝26 100-85＝15 5+20+21+26+15＝87（表示 5 题中有 1 题做错的最多人数） 87÷3＝29（表示 5 题中有 3 题做错的最多人数，即不及格的人数最 多为 29 人） 100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的） 及格率至少为 71％ 六．抽屉原理、奇偶性问题 1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、 黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有 3 副同色的？ 解：可以把四种不同的颜色看成是 4 个抽屉，把手套看成是元素， 要保证有一副同色的，就是 1 个抽屉里至少有 2 只手套，根据抽屉 原理，最少要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后 4 个抽屉中还 剩 3 只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套，又能保证有 一副手套是同色的，以此类推。 把四种颜色看做 4 个抽屉，要保证有 3 副同色的，先考虑保证有 1 副就要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后，4 个抽屉中还剩下 3 只手套。根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套，又能保证有 1 副 是同色的。以此类推，要保证有 3 副同色的，共摸出的手套有： 5+2+2=9（只） 答：最少要摸出 9 只手套，才能保证有 3 副同色的。 2．有四种颜色的积木若干，每人可任取 1-2 件，至少有几个人去 取，才能保证有 3 人能取得完全一样？ 答案为 21 解： 每人取 1 件时有 4 种不同的取法,每人取 2 件时,有 6 种不同的取法. 当有 11 人时,能保证至少有 2 人取得完全一样: 当有 21 人时,才能保证到少有 3 人取得完全一样. 3．某盒子内装 50 只球，其中 10 只是红色，10 只是绿色，10 只是 黄色，10 只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少 包含有 7 只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？ 解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。 当黑球或白球其中没有大于或等于 7 个的，那么就是： 6*4+10+1=35(个) 如果黑球或白球其中有等于 7 个的，那么就是： 6*5+3+1＝34（个） 如果黑球或白球其中有等于 8 个的，那么就是： 6*5+2+1＝33 如果黑球或白球其中有等于 9 个的，那么就是： 6*5+1+1＝32 4．地上有四堆石子，石子数分别是 1、9、15、31 如果每次从其中 的三堆同时各取出 1 个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若 干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?（如果能请说明具体操作， 不能则要说明理由） 不可能。 因为总数为 1+9+15+31＝56 56/4＝14 14 是一个偶数 而原来 1、9、15、31 都是奇数，取出 1 个和放入 3 个也都是奇数， 奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14 个）。 七．路程问题 1．狗跑 5 步的时间马跑 3 步，马跑 4 步的距离狗跑 7 步，现在狗 已跑出 30 米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？ 解： 根据“马跑 4 步的距离狗跑 7 步”，可以设马每步长为 7x 米，则狗每 步长为 4x 米。 根据“狗跑 5 步的时间马跑 3 步”，可知同一时间马跑 3*7x 米＝21x 米，则狗跑 5*4x＝20 米。 可以得出马与狗的速度比是 21x：20x＝21：20 根据“现在狗已跑出 30 米”，可以知道狗与马相差的路程是 30 米， 他们相差的份数是 21-20＝1，现在求马的 21 份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630 米 2．甲乙辆车同时从 a b 两地相对开出，几小时后再距中点 40 千米 处相遇？已知，甲车行完全程要 8 小时，乙车行完全程要 10 小时， 求 a b 两地相距多少千米？ 答案 720 千米。 由“甲车行完全程要 8 小时，乙车行完全程要 10 小时”可知，相遇时 甲行了 10 份，乙行了 8 份（总路程为 18 份），两车相差 2 份。又 因为两车在中点 40 千米处相遇，说明两车的路程差是（40+40）千 米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720 千米。 3．在一个 600 米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时 针方向跑步，两人每隔 12 分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是 在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔 4 分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？ 答案为两人跑一圈各要 6 分钟和 12 分钟。 解： 600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差 600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和 （50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较 大数 （150-50）/2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小 数 600÷100=6 分钟，表示跑的快者用的时间 600/50=12 分钟，表示跑得慢者用的时间 4．慢车车长 125 米，车速每秒行 17 米，快车车长 140 米，车速每 秒行 22 米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追 上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？ 答案为 53 秒 算式是（140+125)÷(22-17)=53 秒 可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车 车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的 和。 5．在 300 米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲 平均速度是每秒 5 米，乙平均速度是每秒 4.4 米，两人起跑后的第 一次相遇在起跑线前几米？ 答案为 100 米 300÷（5-4.4）＝500 秒，表示追及时间 5×500＝2500 米，表示甲追到乙时所行的路程 2500÷300＝8 圈……100 米，表示甲追及总路程为 8 圈还多 100 米， 就是在原来起跑线的前方 100 米处相遇。 6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过 57 秒 火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他 1360 米，(轨道是直的),声音 每秒传 340 米，求火车的速度（得出保留整数） 答案为 22 米/秒 算式：1360÷(1360÷340+57）≈22 米/秒 关键理解：人在听到声音后 57 秒才车到，说明人听到声音时车已经 从发声音的地方行出 1360÷340＝4 秒的路程。也就是 1360 米一共 用了 4+57＝61 秒。 7．猎犬发现在离它 10 米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追 上去，猎犬的步子大，它跑 5 步的路程，兔子要跑 9 步，但是兔子 的动作快，猎犬跑 2 步的时间，兔子却能跑 3 步，问猎犬至少跑多 少米才能追上兔子。 正确的答案是猎犬至少跑 60 米才能追上。 解： 由“猎犬跑 5 步的路程，兔子要跑 9 步”可知当猎犬每步 a 米，则兔 子每步 5/9 米。由“猎犬跑 2 步的时间，兔子却能跑 3 步”可知同一 时间，猎犬跑 2a 米，兔子可跑 5/9a*3＝5/3a 米。从而可知猎犬与 兔子的速度比是 2a：5/3a＝6：5，也就是说当猎犬跑 60 米时候， 兔子跑 50 米，本来相差的 10 米刚好追完 8．AB 两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是 4:5,如果甲 乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自 继续前行,这样，乙到达 A 地比甲到达 B 地要晚多少分钟? 答案：18 分钟 解：设全程为 1,甲的速度为 x 乙的速度为 y 列式 40x+40y=1 x:y=5:4 得 x=1/72 y=1/90 走完全程甲需 72 分钟,乙需 90 分钟 故得解 9．甲乙两车同时从 AB 两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶， 各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离 B 地的距离是 AB 全程的 1/5。已知甲车在第一次相遇时行了 120 千米。AB 两地相距 多少千米？ 答案是 300 千米。 解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了 1 个 AB 的 路程，从开始到第二次相遇，一共又行了 3 个 AB 的路程，可以推 算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程 的 3 倍。即甲共走的路程是 120*3＝360 千米，从线段图可以看出， 甲一共走了全程的（1+1/5）。 因此 360÷（1+1/5）＝300 千米 从 A 地到 B 地，甲、乙两人骑自行车分别需要 4 小时、6 小时，现 在甲乙分别 AB 两地同时出发相向而行，相遇时距 AB 两地中点 2 千 米。如果二人分别至 B 地，A 地后都立即折回。第二次相遇点第一 次相遇点之间有（）千米 10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要 6 小时;逆流 8 小 时。如果水流速度是每小时 2 千米，求两地间的距离？ 解：（1/6-1/8）÷2＝1/48 表示水速的分率 2÷1/48＝96 千米表示总路程 11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行 33 千米， 相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要 8 小时，求 甲乙两地的路程。 解： 相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是 4：3 时间比为 3：4 所以快车行全程的时间为 8/4*3＝6 小时 6*33＝198 千米 12．小华从甲地到乙地,3 分之 1 骑车,3 分之 2 乘车;从乙地返回甲地,5 分之 3 骑车,5 分之 2 乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时 12 千米, 乘车每小时 30 千米,问:甲乙两地相距多少千米? 解： 把路程看成 1，得到时间系数 去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30 返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30 两者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75 相当于 1/2 小时 去时时间：1/2×（1/3÷12）÷1/75 和 1/2×（2/3÷30）1/75 路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3÷30）1/75〕 =37.5（千米） 八．比例问题 1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人 请求跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人 留下 10 元,甲、乙怎么分？快快快 答案：甲收 8 元，乙收 2 元。 解： “三人将五条鱼平分，客人拿出 10 元”，可以理解为五条鱼总价值为 30 元，那么每条鱼价值 6 元。 又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已经出资 3*6＝18 元，“乙钓 了两条”，相当于乙吃之前已经出资 2*6＝12 元。 而甲乙两人吃了的价值都是 10 元，所以 甲还可以收回 18-10＝8 元 乙还可以收回 12-10＝2 元 刚好就是客人出的钱。 份利润下降了 5 分之 2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分 之几？ 答案 22/25 最好画线段图思考： 把去年原来成本看成 20 份，利润看成 5 份，则今年的成本提高 1/10， 就是 22 份，利润下降了 22．一种商品，今年的成本比去年增加了 10 分之 1，但仍保持原售价，因此，每/5，今年的利润只有 3 份。 增加的成本 2 份刚好是下降利润的 2 份。售价都是 25 份。 所以，今年的成本占售价的 22/25。 3．甲乙两车分别从 A.B 两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是 5:4,相遇后,甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%,这样,当甲到达 B 地 时,乙离 A 地还有 10 千米,那么 A.B 两地相距多少千米? 解： 原来甲.乙的速度比是 5:4 现在的甲：5×（1-20％）＝4 现在的乙：4×（1+20％）4.8 甲到 B 后，乙离 A 还有：5-4.8＝0.2 总路程：10÷0.2×（4+5）＝450 千米 4．一个圆柱的底面周长减少 25%，要使体积增加 1/3，现在的高和 原来的高度比是多少？ 答案为 64：27 解：根据“周长减少 25％”，可知周长是原来的 3/4，那么半径也是 原来的 3/4，则面积是原来的 9/16。 根据“体积增加 1/3”，可知体积是原来的 4/3。 体积÷底面积＝高 现在的高是 4/3÷9/16＝64/27，也就是说现在的高是原来的高的 64/27 或者现在的高：原来的高＝64/27：1＝64：27 5．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共 30 吨香蕉、橘子和梨共 45 吨。橘子正好占总数的 13 分之 2。一共 运来水果多少吨？ 第二题：答案为 65 吨 橘子+苹果＝30 吨 香蕉+橘子+梨＝45 吨 所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75 吨 橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝2/13 说明：橘子是 2 份，香蕉+苹果+橘子+梨是 13 份 橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是 2+13＝15 份