高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一第1课时不等式的基本性质学案新人教a版 11页

第1课时　不等式的基本性质学习目标　1.理解不等式的性质，会用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明简单的不等式、解决不等式的简单问题．知识点　不等式的基本性质思考　你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？答案　作差，与0比较．类比等式的基本性质，联想并写出不等式的基本性质．梳理　(1)两个实数a，b的大小关系(2)不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a.②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.③可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.④可乘性：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.⑤乘方：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．⑥开方：如果a＞b＞0，那么＞(n∈N，n≥2).类型一　作差比较大小例1　(1)已知a＞b＞0，比较与的大小；(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．解　(1)－＝＝.因为a＞b＞0，所以a－b＞0，b(b＋1)＞0，n所以＞0，所以＞.(2)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，因为x＞1，所以x－1＞0.又因为2＋＞0，所以(x－1)＞0，所以x3－1＞2x2－2x.反思与感悟　比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—得出结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．跟踪训练1　已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，试比较m和n的大小．解　m－n＝＋－＝－＝＝，∵x，y均为正数，∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0.∴m－n≥0，即m≥n.(当且仅当x＝y时，等号成立)类型二　不等式基本性质的应用例2　判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若a＞b＞0，则＜；(2)若c＞a＞b＞0，则＞；(3)若＞，则ad＞bc；n(4)设a，b为正实数，若a－＜b－，则a＜b.解　(1)正确．因为a＞b＞0，所以ab＞0.两边同乘以，得a·＞b·，得＞.(2)正确．因为c－a＞0，c－b＞0，且c－a＜c－b，所以＞＞0.又a＞b＞0，所以＞.(3)不正确．因为＞，所以－＞0，即＞0，所以或即ad＞bc且cd＞0或ad＜bc且cd＜0.(4)正确．因为a－＜b－，且a＞0，b＞0，所以a2b－b＜ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a＜0⇒ab(a－b)＋(a－b)＜0⇒(a－b)(ab＋1)＜0，所以a－b＜0，即a＜b.反思与感悟　(1)利用不等式的性质判断命题真假的技巧①要判断一个命题为真命题，必须严格证明；②要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果．其中，举反例在解选择题时用处很大．(2)运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项①倒数法则要求两数同号；②两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；③同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．跟踪训练2　下列命题中正确的是________．(填序号)①若a＞b＞0，c＞d＞0，那么＜；n②若a，b∈R，则a2＋b2＋5≥2(2a－b)；③若a，b∈R，a＞b，则a2＞b2；④若a，b∈R，a＞b，则＞.答案　②④解析　对于①，∵c＞d＞0，∴＞＞0，∴＞＞0，∴＞，∴①不对；对于②，a2＋b2＋5－(4a－2b)＝a2－4a＋b2＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2＋5≥2(2a－b)，∴②对；对于③，由于a＞b不能保证a，b同时大于0，∴a2＞b2不成立，∴③不对；对于④，∵c2＋1＞0，∴由a＞b，可得＞，∴④对．例3　已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：＜.证明　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜＜.又0＜b＜a，∴＜.引申探究1．若本例条件不变，求证：＜.证明　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴0＜＜.∴＞＞0，n∴＞，即－＞－，∴＜.2．若本例条件不变，求证：＜.证明　∵a＞b＞0，∴＞＞0.又∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴＞＞0.∴＋＞＋＞0，即＞＞0，∴＞＞0，∴＜.反思与感悟　进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．跟踪训练3　已知a＞0，b＞0，求证：＋≥a＋b.证明　＋－(a＋b)＝＋＝＋＝(a－b)(a＋b)·＝(a－b)2(a＋b)，∵a＞0，b＞0，∴(a－b)2(a＋b)≥0，即＋≥a＋b.1．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是(　　)A．a2＜b2B．ab＜a2C.＋＞2D．|a|－|b|＝|a－b|答案　A解析　∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，即(－a)2＞(－b)2，∴a2＞b2.2．若a＜0，－1＜b＜0，则有(　　)A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞anC．ab＞a＞ab2D．ab＞ab2＞a答案　D解析　∵－1＜b＜0，∴b＜b2＜1.∵a＜0，∴ab＞ab2＞a.3．下列说法中，正确的个数是________．①若a＞b，则ac2＞bc2；②若a≥b，则ac2≥bc2；③若＞，则ac＞bc；④若≥，则ac≥bc；⑤若则c＞0；⑥若则c≥0.答案　4解析　当c2＝0时，①不正确；②正确；③正确；④正确；⑤正确；当a＝b时，⑥不正确．4．已知12＜a＜60,10＜b＜20，则的取值范围是________．答案　＜＜解析　由12＜a＜60，得＜＜，又10＜b＜20，所以根据不等式的性质可得＜＜.5．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b满足的条件是________．答案　ab≠1或a≠－2解析　∵x＞y，∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，∴ab≠1或a≠－2.1．不等式的基本性质是不等式变形的依据，每一步变形都要做到有根有据，严格按照不等式的性质进行．2．作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结．其关键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较．3．不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中一定要注意不等式成立的条件．n一、选择题1．已知a＞0＞b，c＜d＜0，给出下列不等式：(1)ad＞bc；(2)a－c＞b－d；(3)a(d－c)＞b(d－c)．其中成立的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3答案　C解析　因为a＞0，b＜0，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，故(1)不成立；因为a＞b，c＜d＜0，所以－c＞－d，所以a－c＞b－d，故(2)成立；由c＜d＜0，知d－c＞0，又a＞0＞b，所以a(d－c)＞b(d－c)，故(3)成立．2．已知a＞－1且b＞－1，则p＝＋与q＝＋的大小关系是(　　)A．p＞qB．p＜qC．p≥qD．p≤q答案　C解析　p－q＝＋＝＝≥0，∴p≥q.3．设a，b∈(－∞，0)，则“a＞b”是“a－＞b－”成立的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　a，b∈(－∞，0)，∵a＞b，∴＜，即－＞－，∴a－＞b－，∴“a＞b”是“a－＞b－”成立的充分条件．又由a－＞b－⇒a－b＋－＞0⇒(a－b)＋＞0⇒(a－b)·＞0⇒a－b＞0⇒a＞b.n∴“a＞b”又是“a－＞b－”成立的必要条件．故“a＞b”是“a－＞b－”成立的充要条件．4．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若＜＜，则(　　)A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．c＜b＜a答案　A解析　由＜＜，可得＋1＜＋1＜＋1，即＜＜.又a，b，c∈(0，＋∞)，所以a＋b＞b＋c＞c＋a.由a＋b＞b＋c，可得a＞c；由b＋c＞c＋a，可得b＞a，于是有c＜a＜b.5．设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是(　　)A.＜B.＞C．a＞b2D．a2＞2b答案　C解析　∵－1＜b＜1，∴b2＜1＜a.6．设角α，β满足－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是(　　)A．－π＜α－β＜0B．－π＜α－β＜πC．－＜α－β＜0D．－＜α－β＜答案　A解析　∵－＜α＜β＜，∴－＜－β＜且α－β＜0，∴－π＜α－β＜0.二、填空题7．已知a，b，c是实数，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小关系是__________．答案　a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋can解析　∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.8．已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是________．答案　M＞N解析　M－N＝＋＝.∵0＜a＜，∴ab＜1，即1－ab＞0，∴M－N＞0，∴M＞N.9．若a，b∈R，且a＞b，下列不等式：①＞；②(a＋b)2＞(b＋1)2；③(a－1)2＞(b－1)2.其中不成立的是________．(填序号)答案　①②③解析　①中，－＝＝.因为a－b＞0，a(a－1)的符号不确定，①不成立；②中，取a＝2，b＝－2，则(a＋b)2＝0，(b＋1)2＞0，②不成立；③中，取a＝2，b＝－2，则(a－1)2＝1，(b－1)2＝9，③不成立．10．已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成________个正确命题．答案　3解析　若ab＞0，bc＞ad成立，不等式bc＞ad两边同除以ab，得＞，即ab＞0，bc＞ad⇒＞；若ab＞0，＞成立，＞两边同乘以ab，得bc＞ad，即ab＞0，＞⇒bc＞ad；若＞，bc＞ad成立，n由于－＝＞0，又bc－ad＞0，故ab＞0，所以＞，bc＞ad⇒ab＞0.综上，任两个作为条件都可推出第三个成立，故可组成3个正确命题．三、解答题11．已知a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y.求证：＞.证明　因为a，b，x，y都是正数且＞，x＞y，所以＞，故＜，则＋1＜＋1，即＜.所以＞.12．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.证明　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴＜.又∵e＜0，∴＞.13．已知a＞0，b＞0，试比较＋与＋的大小．解　－(＋)＝＝＝n＝＝.因为a＞0，b＞0，所以＋＞0，＞0，又因为(－)2≥0(当且仅当a＝b时等号成立)，所以≥0，即＋≥＋(当且仅当a＝b时等号成立)．四、探究与拓展14．若x＞y＞0，则与的大小关系是________．答案　＞解析　－＝＝＝.因为x＞y＞0，所以x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0，x2＋1＞1，所以＞0.所以＞＞0.故＞.15．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．解　设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，∴解得λ1＝，λ2＝－.又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，∴－≤a＋3b≤1，即a＋3b的取值范围为.